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第二章波函數(shù)和薛定諤方程

微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。第二章波函數(shù)和薛定諤方程1這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。主要介紹:1.二個(gè)基本假設(shè):A.微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。B.描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。2.用定態(tài)薛定諤方程求解三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題:A.一維無(wú)限深勢(shì)阱B.

一維諧振子C.勢(shì)壘貫穿(隧道效應(yīng))這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。21.波函數(shù):概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式§2.1

波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1.波函數(shù):概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,一般表示為3例:

一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述:

沿x軸勻速直線運(yùn)動(dòng)量子描述:類比:?jiǎn)紊矫娌ㄒ欢ㄑ刂本€傳播以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn),設(shè)=0,以速率u沿+x方向傳播(取實(shí)部)例:一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述:沿x軸勻速43個(gè)問(wèn)題?

描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),他的動(dòng)量和能量不再是常量(或不同時(shí)為常量)粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě),而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě),一般記為:描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù),它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。稱為deBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢?(2)如何體現(xiàn)波粒二象性的?(3)描寫(xiě)的是什么樣的波呢?3個(gè)問(wèn)題?描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子5三維自由粒子波函數(shù)2.波函數(shù)的強(qiáng)度——模的平方波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積例:一維自由粒子:3.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋光柵衍射電子衍射類比三維自由粒子波函數(shù)2.波函數(shù)的強(qiáng)度——模的平方波函數(shù)與其6I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=0無(wú)光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述電子到達(dá)該處概率大電子到達(dá)該處概率為零電子到達(dá)該處概率小光柵衍射電子衍射I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=7電子源感光屏(1)兩種錯(cuò)誤的看法①.波由粒子組成如水波,聲波,由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的,它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔,但只要時(shí)間足夠長(zhǎng),底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象,單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面,而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面,具有片面性。PPOQQO 事實(shí)上,正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性,才能理解氫原子(只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。電子源感光屏(1)兩種錯(cuò)誤的看法①.波由粒子組成如水波,聲8②.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu),是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小,波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。

什么是波包?波包是各種波數(shù)(長(zhǎng))平面波的迭加。 平面波描寫(xiě)自由粒子,其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間,這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成,那么自由粒子將充滿整個(gè)空間,這是沒(méi)有意義的,與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子,總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi),其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1?。電子究竟是什么東西呢?是粒子?還是波? “電子既不是粒子也不是波

”,既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波, 但是我們也可以說(shuō),“

電子既是粒子也是波,它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一。”

這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波,粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。②.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)9經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著

2.有確定的運(yùn)動(dòng)軌道,每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2.干涉、衍射現(xiàn)象,即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小,開(kāi)始顯示電子的微粒性,長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)2.

入射電子流強(qiáng)度大,很快顯示衍射圖樣.經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;10結(jié)論:衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是:許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的,在此基礎(chǔ)上,Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目, 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目, 正比于電子出現(xiàn)在r

點(diǎn)附近的幾 率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中,照相底片上

結(jié)論:衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是:許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中11一般:t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)

t時(shí)刻,出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比

t時(shí)刻,粒子出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率t時(shí)刻,粒子在空間分布的概率密度

的物理意義:一般:t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處某體積dV內(nèi)的粒12物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播的過(guò)程概率密度,粒子在空間分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律概率幅注意:干涉項(xiàng)物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播的過(guò)程概率134、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對(duì)微觀客體的數(shù)學(xué)描述:脫離日常生活經(jīng)驗(yàn),避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀矛盾標(biāo)準(zhǔn)條件是單值、有限、連續(xù)的。4、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為14平面波歸一化IDirac—函數(shù)定義:或等價(jià)的表示為:對(duì)在x=x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f(x)有:—函數(shù)亦可寫(xiě)成Fourier積分形式:令k=px/,dk=dpx/,則性質(zhì):0x0x平面波歸一化IDirac—函數(shù)定義:或等價(jià)15II平面波歸一化寫(xiě)成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維積分若取A122=1,則A1=[2]-1/2,于是平面波可歸一化為函數(shù)II平面波歸一化寫(xiě)成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維16三維情況:其中注意:這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度,依然只是表示平面波所描寫(xiě)的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。三維情況:其中注意:這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾17§2.2

態(tài)的迭加原理

態(tài)迭加原理是量子力學(xué)中一個(gè)很重要的原理,這一節(jié)先作一些初步介紹,隨著學(xué)習(xí)量子力學(xué)內(nèi)容的不斷深入,會(huì)不斷加深對(duì)態(tài)迭加原理的理解。§2.2態(tài)的迭加原理18一、量子態(tài)和波函數(shù)用波函數(shù)Ψ(r,t)來(lái)描述微觀粒子的量子態(tài)。當(dāng)Ψ(r,t)給定后,如果測(cè)量其位置,粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為||2。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。經(jīng)典波:遵從迭加原理,兩個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程迭加后也是一個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程。如:惠更斯原理。描述微觀粒子的波是幾率波,是否可迭加?意義是否與經(jīng)典相同?一、量子態(tài)和波函數(shù)191、經(jīng)典物理中,光波或聲波遵守態(tài)迭加原理:二列經(jīng)典波φ1與φ2線性相加,φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波,波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說(shuō)明的。

量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理(P17順2行):如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2,(c1、c2是復(fù)數(shù))也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。二、量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理1、經(jīng)典物理中,光波或聲波遵守態(tài)迭加原理:二列經(jīng)典波φ1與φ20考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)??臻g找到電子的幾率則是:|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過(guò)狹縫1出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫2出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn),才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2兩種可能的狀態(tài),Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。考慮電子雙縫衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是電子的212、雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中,衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理:3、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài),則它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時(shí),體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài),…等,即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)Ψi。

2、雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中,衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。22

4、說(shuō)明:(1)量子力學(xué)使用最多的是把可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)分解為某一個(gè)算符本征態(tài)的迭加。(2)如同經(jīng)典波的分解和迭加,量子力學(xué)的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加。而不是幾率(||2)的迭加。4、說(shuō)明:23

數(shù)學(xué)表示式:

其中,是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的,這正好是非周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)。三、一個(gè)結(jié)論:任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。三、一個(gè)結(jié)論:任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平24例:電子在晶體表面反射后,電子可能以各種不同的動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用deBroglie平面波表示根據(jù)疊加原理,在晶體表面反射后,電子的狀態(tài)Ψ可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊加,即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dΨΨp例:電子在晶體表面反射后,電子可能以各種不同的動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)25通常寫(xiě)成傅里葉變換的對(duì)稱形式:一維情況:通常寫(xiě)成傅里葉變換的對(duì)稱形式:一維情況:26說(shuō)明:1、在態(tài)Ψ(r,t)的粒子,它的動(dòng)量沒(méi)有確定的值,由上式可知:粒子可處于任何一個(gè)態(tài)Ψp(r,t),但是當(dāng)粒子的狀態(tài)確定后,粒子動(dòng)量集于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加,所以φ1+φ1=2φ1不是新的態(tài),只不過(guò)未歸一化。在態(tài)φ=c1φ1+c2φ2進(jìn)行測(cè)量時(shí),發(fā)現(xiàn)粒子要么處在φ1,要么處在φ2。薛定諤貓說(shuō)明:薛定諤貓27§2.3薛定諤方程薛定諤方程是波函數(shù)所遵從的基本方程,是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一,只能建立,不能推導(dǎo),其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。建立(簡(jiǎn)單→復(fù)雜,特殊→一般)1.一維粒子的薛定諤方程一維自由粒子:§2.3薛定諤方程薛定諤方程是波函數(shù)28一維自由粒子:一維自由粒子的薛定諤方程:一維自由粒子:一維自由粒子的薛定諤方程:29式中:振幅函數(shù)與駐波類比2.一維定態(tài)薛定諤方程能量E和動(dòng)量Px與作用在波函數(shù)上的下列算符相當(dāng)若粒子處在一維勢(shì)場(chǎng)中:一維粒子的薛定諤方程:式中:振幅函數(shù)與駐波類比2.一維定態(tài)薛定諤方程30要求波函數(shù)Ψ(x,t)的模方,只需求振幅函數(shù)Ψ(x)的模方。建立關(guān)于振幅函數(shù)Ψ(x)的方程——振幅方程*要求波函數(shù)Ψ(x,t)的模方,只需求振幅函數(shù)Ψ(x)的模方。31非相對(duì)論考慮自由粒子:勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒子的定態(tài)方程非相對(duì)論考慮自由粒子:勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒32*代入粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維定態(tài)薛定諤方程得*代入粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維333.三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定諤方程振幅函數(shù)3.三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定344.

一般形式薛定諤方程哈密頓算符4.一般形式薛定諤方程哈密頓算符35求定態(tài)問(wèn)題:一維:三維:求定態(tài)問(wèn)題:一維:三維:365.多粒子體系的薛定諤方程體系由N個(gè)粒子組成(N>1)體系能量為:將能量公式變?yōu)樗惴?

將算符公式同時(shí)作用在多粒子波函數(shù)Ψ(r1,r2,…,t)上,這樣就得到多粒子的薛定諤方程:

5.多粒子體系的薛定諤方程體系由N個(gè)粒子組成(N>1)將能37討論:1、薛定諤方程也稱波動(dòng)方程,描述在勢(shì)場(chǎng)U中粒子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。2、建立方程而不是推導(dǎo)方程,正確性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè),不能從其它更基本原理或方程推導(dǎo)出來(lái),它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程,相當(dāng)于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式,否則不滿足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。討論:38求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時(shí)才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義,即求|

|2,得出粒子在空間的概率分布。求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代39薛定諤的另一偉大科學(xué)貢獻(xiàn)《Whatislife?》薛定諤的另一偉大科學(xué)貢獻(xiàn)《Whatislif40薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因41§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

(或幾率流密度和幾率守恒定律)

本節(jié)要引入幾率流密度概念,有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來(lái)。由薛定諤方程出發(fā),討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。所以可以看作對(duì)薛定諤方程的討論?!?.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

(或幾率流42設(shè)Ψ已歸一化,q為單粒子的電荷,則|Ψ|2=幾率密度(w);|Ψ|2dV=dV的幾率;|Ψ|2q=電荷密度(ρ);|Ψ|2qdV=dV的電荷。

幾率流密度(J)含義=單位時(shí)間垂直流過(guò)單位面積幾率。J公式=?先介紹幾率的連續(xù)方程。設(shè)Ψ已歸一化,q為單粒子的電荷,則幾率流密度(J)含43

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式:通過(guò)類比,就可定義為幾率流密度J,這個(gè)方程也就是幾率的連續(xù)方程。

一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度類比:已知電荷有連續(xù)方程:其中,ρ電荷密度,電流密度。

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式:

一、幾率的連續(xù)方程與幾率流44薛定諤方程為:

(1)對(duì)上述方程取復(fù)共軛得(2)在非相對(duì)論情況下,實(shí)物粒子沒(méi)有產(chǎn)生和湮滅,所以,在隨時(shí)間的演化過(guò)程中,粒子數(shù)目保持不便。對(duì)一個(gè)粒子來(lái)說(shuō),在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化,即:

下面推導(dǎo)這個(gè)公式:薛定諤方程為:在非相對(duì)論情況下,實(shí)物粒子沒(méi)有產(chǎn)生和45定義:幾率流密度

得幾率的連續(xù)方程:定義:幾率流密度46二、幾率守恒定律對(duì)幾率的連續(xù)方程:

兩邊對(duì)一個(gè)封閉的體積V積分,并利用高斯公式,得:表示:左=體積V內(nèi)單位時(shí)間幾率的增加量=右=單位時(shí)間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量,這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律,兩者是等價(jià)的。幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生,也不會(huì)憑空消失。二、幾率守恒定律47三、質(zhì)量、電荷守恒定律1.wm=mw:質(zhì)量密度,Jm=mJ:質(zhì)量流密度。質(zhì)量守恒定律

2.we=qw:電荷密度,Je=qJ:電流密度。電荷守恒定律三、質(zhì)量、電荷守恒定律48四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:連續(xù),單值,有限。單值與有限,由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。連續(xù),由幾率的連續(xù)方程所確定。

另外,一般情況下,還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。說(shuō)明:

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了,必然在另外一些地方的概率增加了,使總概率不變,并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:連續(xù),單值,有限。49一.定態(tài)薛定諤方程條件:V(r,t)=V(r),與t無(wú)關(guān)。用分離變量法,令Ψ=φ(r)f(t),代入薛定諤方程,得兩個(gè)方程:此稱定態(tài)薛定諤方程

§2.5定態(tài)薛定諤方程一.定態(tài)薛定諤方程§2.5定態(tài)薛定諤方程50整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式:特點(diǎn):波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘;B.時(shí)間部分函數(shù)是確定的,為:定態(tài)波函數(shù)幾率密度w與t無(wú)關(guān),幾率分布不隨時(shí)間而變,因此稱為定態(tài)。重點(diǎn)要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問(wèn)題。整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式:51算符本征方程:λ:本征值,有多個(gè),甚至無(wú)窮多個(gè)。Ψλ:本征值為λ的本征函數(shù)。也有多個(gè),甚至無(wú)窮多個(gè),有時(shí)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的本征函數(shù),這稱為簡(jiǎn)并。若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)的不同本征函數(shù)數(shù)目為N,則稱N重簡(jiǎn)并。二、本征方程、本征函數(shù)與本征值算符本征方程:二、本征方程、本征函數(shù)與本征值52上述用分離變量得到兩個(gè)方程都是本征方程:

(1)或

(2)或稱為定態(tài)哈密頓算符。上述用分離變量得到兩個(gè)方程53

定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。

薛定諤方程就可簡(jiǎn)寫(xiě)成:定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。54

設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為En,本征函數(shù)為,定態(tài)波函數(shù)為它是定態(tài)情況下的薛定諤方程:的一個(gè)解。三、定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解

定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解,是所有定態(tài)波函數(shù)Ψn的線性迭加:設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為En,本征函數(shù)三、定態(tài)情55說(shuō)明:1、定態(tài)薛定諤方程或不含時(shí)的薛定諤方程是能量本征方程,E就稱為體系的能量本征值(energyeigenvalue),而相應(yīng)的解稱為能量的本征函數(shù)(energyeigenfunction)。2、是體系的哈密頓量算符,當(dāng)不顯含t時(shí),體系的能量是守恒量,可用分離變量。3、解定態(tài)薛定諤方程,關(guān)鍵是寫(xiě)出哈密頓量算符。說(shuō)明:56求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)

的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E

取某些特定值時(shí)才有解4.討論解的物理意義求解問(wèn)題的思路:57作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》2.1、2.2作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》58一維定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)問(wèn)題:一維:歸一化條件,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,邊界條件。

U(x)*=U(x),即U(x)為實(shí)函數(shù)。§2.6一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子能量的

一般性質(zhì)一維定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)問(wèn)題:一維:歸一化條件,波函數(shù)的標(biāo)59定理1:設(shè)是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量本征值是E,則也是方程的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量也是E。證:方程(1)取復(fù)共軛,注意E取實(shí)值,,容易證明。如果對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值E,方程(1)的解無(wú)簡(jiǎn)并,則可取為實(shí)解。一維問(wèn)題的一般性質(zhì)定理1:設(shè)是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量本征60

定理2:對(duì)應(yīng)能量的某個(gè)本征值E,總可以找到方程(1)的一組實(shí)解,凡是屬于E的任何解,總可以表示為這一組實(shí)解的線性疊加。證:如果(x)是實(shí)解,(x)*是復(fù)解,(x)*也是方程(1)的解,且:(x)=(x)+(x)*和(x)=-i[(x)-(x)*]也是方程(1)的解,屬于能量E。均為實(shí)解。

(x)和(x)均可以表示為(x)和(x)*的線形疊加。定理2:對(duì)應(yīng)能量的某個(gè)本征值E,總可以找到方程(61

定理3:設(shè)U(x)具有空間反射不變性,U(-x)=U(x)。如果(x)是方程(1)的對(duì)應(yīng)能量的本征值E的解,則(-x)也是方程(1)對(duì)應(yīng)能量E的解。證(略)量子力學(xué)第二章課件62

定理4:設(shè)U(-x)=U(x),則對(duì)應(yīng)任何一個(gè)能量本征值E,總可以找到方程(1)的一組解,而屬于能量本征值E的任何解,都可以用它來(lái)展開(kāi)。證:

構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)(x)=(x)+(-x)

(x)=[(x)-(-x)]均為方程(1)的解。(x)和(-x)均可以表示為上述兩個(gè)函數(shù)的疊加。定理4:設(shè)U(-x)=U(x),則對(duì)應(yīng)任何一個(gè)63

定理5:對(duì)于階梯性方位勢(shì),

U2-U1有限,則能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的。定理5:對(duì)于階梯性方位勢(shì),64定理6:對(duì)于一維粒子,設(shè)1與2均為方程(1)的屬于同一能量的E的解,則:定理6:對(duì)于一維粒子,設(shè)1與2均65

定理7:設(shè)粒子在規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),如存在束縛態(tài),則必定是不簡(jiǎn)并的。束縛態(tài)(boundstate)指粒子局限在有限空間中。

66一、一維勢(shì)阱實(shí)例如:金屬中的自由電子。金屬粒子有規(guī)則的排列成行,1)電子在金屬內(nèi)部勢(shì)能為常數(shù),認(rèn)定為零;2)表面有一個(gè)勢(shì)階??傊藭r(shí)電子勢(shì)能可以近似認(rèn)為是一個(gè)方勢(shì)阱形式。

§2.6一維(無(wú)限深)勢(shì)阱一、一維勢(shì)阱實(shí)例§2.6一維(無(wú)限深)勢(shì)阱67二、微分方程

的三種解形式。

這是二階常系數(shù)微分方程,有三種等價(jià)的解:

a.b.c.依方便,隨取一種形式的解.二、微分方程68

三、一維無(wú)限深勢(shì)阱求解1、一維無(wú)限深勢(shì)阱

一個(gè)粒子處在這樣勢(shì)阱內(nèi),其質(zhì)量為μ.具體例子:金屬中電子可以看成處在有限深勢(shì)阱內(nèi).-a0aV(x)IIIIII

三、一維無(wú)限深勢(shì)阱求解-a0692、一維無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解.這是定態(tài)問(wèn)題,只需解出定態(tài)波函數(shù)φn與定態(tài)能量En即可.定態(tài)薛定諤方程:2、一維無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解.703.一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題求解求解S—方程分四步:(1)列出各勢(shì)域的一維S—方程(2)解方程(3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解(4)定歸一化系數(shù)-a0aV(x)IIIIII3.一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題求解求解S—方程分四步:-a71(1)列出各勢(shì)域的S—方程方程可簡(jiǎn)化為:-a0aV(x)IIIIII勢(shì)V(x)分為三個(gè)區(qū)域,用I、II和III表示,其上的波函數(shù)分別為I(x),

II(x)和

III(x)。則方程為:22(1)列出各勢(shì)域的S—方程方程可-a72(3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮,粒子不能透過(guò)無(wú)窮高的勢(shì)壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,要求在阱壁上和阱壁外波函數(shù)為零,特別是

(-a)=(a)=0。-a0aV(x)IIIIII1.單值,成立;2.有限:當(dāng)x

-∞,ψ有限條件要求C2=0。(3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮,粒子不能透過(guò)無(wú)窮高的勢(shì)-73使用標(biāo)準(zhǔn)條件3。連續(xù):2)波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù):在邊界x=-a,勢(shì)有無(wú)窮跳躍,波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因?yàn)椋喝鬒(-a)=II(-a),則有,0=Aαcos(-αa)-Bαsin(-αa)

Acos(αa)+Bsin(αa)=0與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果-Asin(αa)+Bcos(αa)=0矛盾,二者不能同時(shí)成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無(wú)窮跳躍處不連續(xù)。1)波函數(shù)連續(xù):-a0aV(x)IIIIII使用標(biāo)準(zhǔn)條件3。連續(xù):2)波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù):1)波函數(shù)連74(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同時(shí)為零,分兩種情況:由(4)式(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同時(shí)為零,分兩種情況:75討論狀態(tài)不存在描寫(xiě)同一狀態(tài)所以m只取正整數(shù),即于是:或討論狀態(tài)不存在描寫(xiě)同一狀態(tài)所以m只取正整數(shù),即于是:或76于是波函數(shù):由(3)式類似I中關(guān)于m=k的討論可知:于是波由(3)式類似I中關(guān)于m=k的討論可知77綜合I、II結(jié)果,最后得:對(duì)應(yīng)n=2m對(duì)應(yīng)n=2m+1能量最低的態(tài)(n=1)稱為基態(tài),其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。綜合I、II結(jié)果,最后得:對(duì)應(yīng)n=2m對(duì)應(yīng)78

由此可見(jiàn),對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱,粒子束縛于有限空間范圍,在無(wú)限遠(yuǎn)處,=0。這樣的狀態(tài),稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí),組成分立譜。(4)由歸一化條件定系數(shù)A、B得:(取實(shí)數(shù)) 由此可見(jiàn),對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱,粒子束縛于有限空間范圍,在79[小結(jié)]由無(wú)窮深方勢(shì)阱問(wèn)題的求解可以看 出,解S—方程的一般步驟如下:一、列出各勢(shì)域上的S—方程;二、求解S—方程;三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件(單值、有限、連續(xù))定未知數(shù)和能量本征值;四、由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)(歸一化系數(shù))。[小結(jié)]由無(wú)窮深方勢(shì)阱問(wèn)題的求解可以看 出,解S—方程804.討論一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的狀態(tài)(2)n=0,E=0,=0,態(tài)不存在,無(wú)意義。而n=±k,k=1,2,...可見(jiàn),n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫(xiě)同一狀態(tài)。(1)n=1,基態(tài),與經(jīng)典最低能量為零不同,這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn),因?yàn)椤办o止的波”是沒(méi)有意義的。4.討論一維無(wú)限深(2)n=0,E=0,81(3)n*(x)=n(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。(4)定態(tài)波函數(shù)(3)n*(x)=n(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。(82能量本征值

n=1,2,3,…(5)波函數(shù)與幾率分布圖(P28圖2.2,圖2.3)-a0a圖2.2-a0a圖2.3能量本征值83?每一態(tài)Ψn可看成向x方向傳播與向-x方向傳播的二列平面波合成的駐波。?利用駐波條件也可得量子化能量公式。?每一態(tài)Ψn可看成向x方向傳播與向-x方向傳播的二84駐波條件:2a=nλ/2,n=1,2,3,…,得λ=4a/n.∴E=p2/2μ=h2/(2μλ2)

=?2π2n2/(8μa2),n=1,2,3,….

(6)勢(shì)阱坐標(biāo)不同時(shí)的波函數(shù)與能量A、勢(shì)阱從0→2a.波函數(shù)(空間部分)為能量公式不變。

B、勢(shì)阱從0→a.波函數(shù)(空間部分)為駐波條件:2a=nλ/2,n=1,2,3,85

B、勢(shì)阱從0→a.波函數(shù)(空間部分)為能量(此即書(shū)上44頁(yè)習(xí)題2.3解。今后通常都用B的勢(shì)阱坐標(biāo),故其波函數(shù)與能量要用B的波函數(shù)與能量)。

B、勢(shì)阱從0→a.86在一維情況下,宇稱的奇偶性與波函數(shù)的奇偶性是一致的。四、宇稱(1)空間反射:空間矢量反向的操作。(2)此時(shí)如果有:稱波函數(shù)具有正宇稱(或偶宇稱);稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱(或奇宇稱);(3)如果在空間反射下,則波函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱。在一維情況下,宇稱的奇偶性與波函數(shù)的奇偶性是一致的。四、宇稱87b)

若一維勢(shì)能是對(duì)稱的,即V(x)=V(-x),則其波函數(shù)一定具有宇稱(見(jiàn)P45習(xí)題2.6)。例如,一維無(wú)限深勢(shì)阱,勢(shì)阱坐標(biāo)為-a→a,勢(shì)能是對(duì)稱的,則其波函數(shù)具有宇稱,

n=偶數(shù),奇宇稱;

n=奇數(shù),偶宇稱。宇稱是一個(gè)十分重要的物理概念。傳統(tǒng)認(rèn)為高能物理中某一物理過(guò)程宇稱是守恒的。楊振寧與李政道發(fā)現(xiàn)了弱作用下宇稱不守恒,并被吳健雄所做實(shí)驗(yàn)證實(shí),從而獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。b)

若一維勢(shì)能是對(duì)稱的,即V(x)=V(-x),則其波88五、半無(wú)限深勢(shì)阱V(x)

-a0a五、半無(wú)限深勢(shì)阱V(x)89六、有限深方勢(shì)阱(曾教程p34)

V(x)

-a0a六、有限深方勢(shì)阱(曾教程p34)90作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》2.3、2.4作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》91第二章波函數(shù)和薛定諤方程

微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。第二章波函數(shù)和薛定諤方程92這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。主要介紹:1.二個(gè)基本假設(shè):A.微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。B.描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。2.用定態(tài)薛定諤方程求解三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題:A.一維無(wú)限深勢(shì)阱B.

一維諧振子C.勢(shì)壘貫穿(隧道效應(yīng))這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。931.波函數(shù):概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式§2.1

波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1.波函數(shù):概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,一般表示為94例:

一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述:

沿x軸勻速直線運(yùn)動(dòng)量子描述:類比:?jiǎn)紊矫娌ㄒ欢ㄑ刂本€傳播以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn),設(shè)=0,以速率u沿+x方向傳播(取實(shí)部)例:一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述:沿x軸勻速953個(gè)問(wèn)題?

描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),他的動(dòng)量和能量不再是常量(或不同時(shí)為常量)粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě),而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě),一般記為:描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù),它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。稱為deBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢?(2)如何體現(xiàn)波粒二象性的?(3)描寫(xiě)的是什么樣的波呢?3個(gè)問(wèn)題?描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子96三維自由粒子波函數(shù)2.波函數(shù)的強(qiáng)度——模的平方波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積例:一維自由粒子:3.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋光柵衍射電子衍射類比三維自由粒子波函數(shù)2.波函數(shù)的強(qiáng)度——模的平方波函數(shù)與其97I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=0無(wú)光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述電子到達(dá)該處概率大電子到達(dá)該處概率為零電子到達(dá)該處概率小光柵衍射電子衍射I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=98電子源感光屏(1)兩種錯(cuò)誤的看法①.波由粒子組成如水波,聲波,由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的,它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔,但只要時(shí)間足夠長(zhǎng),底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象,單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面,而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面,具有片面性。PPOQQO 事實(shí)上,正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性,才能理解氫原子(只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。電子源感光屏(1)兩種錯(cuò)誤的看法①.波由粒子組成如水波,聲99②.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu),是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小,波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。

什么是波包?波包是各種波數(shù)(長(zhǎng))平面波的迭加。 平面波描寫(xiě)自由粒子,其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間,這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成,那么自由粒子將充滿整個(gè)空間,這是沒(méi)有意義的,與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子,總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi),其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1?。電子究竟是什么東西呢?是粒子?還是波? “電子既不是粒子也不是波

”,既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波, 但是我們也可以說(shuō),“

電子既是粒子也是波,它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?!?/p>

這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波,粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。②.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)100經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著

2.有確定的運(yùn)動(dòng)軌道,每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2.干涉、衍射現(xiàn)象,即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小,開(kāi)始顯示電子的微粒性,長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)2.

入射電子流強(qiáng)度大,很快顯示衍射圖樣.經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;101結(jié)論:衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是:許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的,在此基礎(chǔ)上,Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目, 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目, 正比于電子出現(xiàn)在r

點(diǎn)附近的幾 率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中,照相底片上

結(jié)論:衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是:許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中102一般:t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)

t時(shí)刻,出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比

t時(shí)刻,粒子出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率t時(shí)刻,粒子在空間分布的概率密度

的物理意義:一般:t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處某體積dV內(nèi)的粒103物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播的過(guò)程概率密度,粒子在空間分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律概率幅注意:干涉項(xiàng)物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播的過(guò)程概率1044、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對(duì)微觀客體的數(shù)學(xué)描述:脫離日常生活經(jīng)驗(yàn),避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀矛盾標(biāo)準(zhǔn)條件是單值、有限、連續(xù)的。4、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為105平面波歸一化IDirac—函數(shù)定義:或等價(jià)的表示為:對(duì)在x=x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f(x)有:—函數(shù)亦可寫(xiě)成Fourier積分形式:令k=px/,dk=dpx/,則性質(zhì):0x0x平面波歸一化IDirac—函數(shù)定義:或等價(jià)106II平面波歸一化寫(xiě)成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維積分若取A122=1,則A1=[2]-1/2,于是平面波可歸一化為函數(shù)II平面波歸一化寫(xiě)成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維107三維情況:其中注意:這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度,依然只是表示平面波所描寫(xiě)的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。三維情況:其中注意:這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾108§2.2

態(tài)的迭加原理

態(tài)迭加原理是量子力學(xué)中一個(gè)很重要的原理,這一節(jié)先作一些初步介紹,隨著學(xué)習(xí)量子力學(xué)內(nèi)容的不斷深入,會(huì)不斷加深對(duì)態(tài)迭加原理的理解?!?.2態(tài)的迭加原理109一、量子態(tài)和波函數(shù)用波函數(shù)Ψ(r,t)來(lái)描述微觀粒子的量子態(tài)。當(dāng)Ψ(r,t)給定后,如果測(cè)量其位置,粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為||2。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。經(jīng)典波:遵從迭加原理,兩個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程迭加后也是一個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程。如:惠更斯原理。描述微觀粒子的波是幾率波,是否可迭加?意義是否與經(jīng)典相同?一、量子態(tài)和波函數(shù)1101、經(jīng)典物理中,光波或聲波遵守態(tài)迭加原理:二列經(jīng)典波φ1與φ2線性相加,φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波,波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說(shuō)明的。

量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理(P17順2行):如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2,(c1、c2是復(fù)數(shù))也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。二、量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理1、經(jīng)典物理中,光波或聲波遵守態(tài)迭加原理:二列經(jīng)典波φ1與φ111考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)??臻g找到電子的幾率則是:|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過(guò)狹縫1出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫2出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn),才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2兩種可能的狀態(tài),Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加??紤]電子雙縫衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是電子的1122、雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中,衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理:3、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài),則它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時(shí),體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài),…等,即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)Ψi。

2、雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中,衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。113

4、說(shuō)明:(1)量子力學(xué)使用最多的是把可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)分解為某一個(gè)算符本征態(tài)的迭加。(2)如同經(jīng)典波的分解和迭加,量子力學(xué)的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加。而不是幾率(||2)的迭加。4、說(shuō)明:114

數(shù)學(xué)表示式:

其中,是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的,這正好是非周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)。三、一個(gè)結(jié)論:任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。三、一個(gè)結(jié)論:任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平115例:電子在晶體表面反射后,電子可能以各種不同的動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用deBroglie平面波表示根據(jù)疊加原理,在晶體表面反射后,電子的狀態(tài)Ψ可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊加,即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dΨΨp例:電子在晶體表面反射后,電子可能以各種不同的動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)116通常寫(xiě)成傅里葉變換的對(duì)稱形式:一維情況:通常寫(xiě)成傅里葉變換的對(duì)稱形式:一維情況:117說(shuō)明:1、在態(tài)Ψ(r,t)的粒子,它的動(dòng)量沒(méi)有確定的值,由上式可知:粒子可處于任何一個(gè)態(tài)Ψp(r,t),但是當(dāng)粒子的狀態(tài)確定后,粒子動(dòng)量集于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加,所以φ1+φ1=2φ1不是新的態(tài),只不過(guò)未歸一化。在態(tài)φ=c1φ1+c2φ2進(jìn)行測(cè)量時(shí),發(fā)現(xiàn)粒子要么處在φ1,要么處在φ2。薛定諤貓說(shuō)明:薛定諤貓118§2.3薛定諤方程薛定諤方程是波函數(shù)所遵從的基本方程,是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一,只能建立,不能推導(dǎo),其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。建立(簡(jiǎn)單→復(fù)雜,特殊→一般)1.一維粒子的薛定諤方程一維自由粒子:§2.3薛定諤方程薛定諤方程是波函數(shù)119一維自由粒子:一維自由粒子的薛定諤方程:一維自由粒子:一維自由粒子的薛定諤方程:120式中:振幅函數(shù)與駐波類比2.一維定態(tài)薛定諤方程能量E和動(dòng)量Px與作用在波函數(shù)上的下列算符相當(dāng)若粒子處在一維勢(shì)場(chǎng)中:一維粒子的薛定諤方程:式中:振幅函數(shù)與駐波類比2.一維定態(tài)薛定諤方程121要求波函數(shù)Ψ(x,t)的模方,只需求振幅函數(shù)Ψ(x)的模方。建立關(guān)于振幅函數(shù)Ψ(x)的方程——振幅方程*要求波函數(shù)Ψ(x,t)的模方,只需求振幅函數(shù)Ψ(x)的模方。122非相對(duì)論考慮自由粒子:勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒子的定態(tài)方程非相對(duì)論考慮自由粒子:勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒123*代入粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維定態(tài)薛定諤方程得*代入粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維1243.三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定諤方程振幅函數(shù)3.三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定1254.

一般形式薛定諤方程哈密頓算符4.一般形式薛定諤方程哈密頓算符126求定態(tài)問(wèn)題:一維:三維:求定態(tài)問(wèn)題:一維:三維:1275.多粒子體系的薛定諤方程體系由N個(gè)粒子組成(N>1)體系能量為:將能量公式變?yōu)樗惴?

將算符公式同時(shí)作用在多粒子波函數(shù)Ψ(r1,r2,…,t)上,這樣就得到多粒子的薛定諤方程:

5.多粒子體系的薛定諤方程體系由N個(gè)粒子組成(N>1)將能128討論:1、薛定諤方程也稱波動(dòng)方程,描述在勢(shì)場(chǎng)U中粒子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。2、建立方程而不是推導(dǎo)方程,正確性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè),不能從其它更基本原理或方程推導(dǎo)出來(lái),它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程,相當(dāng)于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式,否則不滿足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。討論:129求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時(shí)才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義,即求|

|2,得出粒子在空間的概率分布。求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代130薛定諤的另一偉大科學(xué)貢獻(xiàn)《Whatislife?》薛定諤的另一偉大科學(xué)貢獻(xiàn)《Whatislif131薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因132§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

(或幾率流密度和幾率守恒定律)

本節(jié)要引入幾率流密度概念,有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來(lái)。由薛定諤方程出發(fā),討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。所以可以看作對(duì)薛定諤方程的討論?!?.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

(或幾率流133設(shè)Ψ已歸一化,q為單粒子的電荷,則|Ψ|2=幾率密度(w);|Ψ|2dV=dV的幾率;|Ψ|2q=電荷密度(ρ);|Ψ|2qdV=dV的電荷。

幾率流密度(J)含義=單位時(shí)間垂直流過(guò)單位面積幾率。J公式=?先介紹幾率的連續(xù)方程。設(shè)Ψ已歸一化,q為單粒子的電荷,則幾率流密度(J)含134

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式:通過(guò)類比,就可定義為幾率流密度J,這個(gè)方程也就是幾率的連續(xù)方程。

一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度類比:已知電荷有連續(xù)方程:其中,ρ電荷密度,電流密度。

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式:

一、幾率的連續(xù)方程與幾率流135薛定諤方程為:

(1)對(duì)上述方程取復(fù)共軛得(2)在非相對(duì)論情況下,實(shí)物粒子沒(méi)有產(chǎn)生和湮滅,所以,在隨時(shí)間的演化過(guò)程中,粒子數(shù)目保持不便。對(duì)一個(gè)粒子來(lái)說(shuō),在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化,即:

下面推導(dǎo)這個(gè)公式:薛定諤方程為:在非相對(duì)論情況下,實(shí)物粒子沒(méi)有產(chǎn)生和136定義:幾率流密度

得幾率的連續(xù)方程:定義:幾率流密度137二、幾率守恒定律對(duì)幾率的連續(xù)方程:

兩邊對(duì)一個(gè)封閉的體積V積分,并利用高斯公式,得:表示:左=體積V內(nèi)單位時(shí)間幾率的增加量=右=單位時(shí)間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量,這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律,兩者是等價(jià)的。幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生,也不會(huì)憑空消失。二、幾率守恒定律138三、質(zhì)量、電荷守恒定律1.wm=mw:質(zhì)量密度,Jm=mJ:質(zhì)量流密度。質(zhì)量守恒定律

2.we=qw:電荷密度,Je=qJ:電流密度。電荷守恒定律三、質(zhì)量、電荷守恒定律139四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:連續(xù),單值,有限。單值與有限,由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。連續(xù),由幾率的連續(xù)方程所確定。

另外,一般情況下,還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。說(shuō)明:

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了,必然在另外一些地方的概率增加了,使總概率不變,并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:連續(xù),單值,有限。140一.定態(tài)薛定諤方程條件:V(r,t)=V(r),與t無(wú)關(guān)。用分離變量法,令Ψ=φ(r)f(t),代入薛定諤方程,得兩個(gè)方程:此稱定態(tài)薛定諤方程

§2.5定態(tài)薛定諤方程一.定態(tài)薛定諤方程§2.5定態(tài)薛定諤方程141整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式:特點(diǎn):波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘;B.時(shí)間部分函數(shù)是確定的,為:定態(tài)波函數(shù)幾率密度w與t無(wú)關(guān),幾率分布不隨時(shí)間而變,因此稱為定態(tài)。重點(diǎn)要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問(wèn)題。整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式:142算符本征方程:λ:本征值,有多個(gè),甚至無(wú)窮多個(gè)。Ψλ:本征值為λ的本征函數(shù)。也有多個(gè),甚至無(wú)窮多個(gè),有時(shí)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的本征函數(shù),這稱為簡(jiǎn)并。若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)的不同本征函數(shù)數(shù)目為N,則稱N重簡(jiǎn)并。二、本征方程、本征函數(shù)與本征值算符本征方程:二、本征方程、本征函數(shù)與本征值143上述用分離變量得到兩個(gè)方程都是本征方程:

(1)或

(2)或稱為定態(tài)哈密頓算符。上述用分離變量得到兩個(gè)方程144

定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。

薛定諤方程就可簡(jiǎn)寫(xiě)成:定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。145

設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為En,本征函數(shù)為,定態(tài)波函數(shù)為它是定態(tài)情況下的薛定諤方程:的一個(gè)解。三、定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解

定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解,是所有定態(tài)波函數(shù)Ψn的線性迭加:設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為En,本征函數(shù)三、定態(tài)情146說(shuō)明:1、定態(tài)薛定諤方程或不含時(shí)的薛定諤方程是能量本征方程,E就稱為體系的能量本征值(energyeigenvalue),而相應(yīng)的解稱為能量的本征函數(shù)(energyeigenfunction)。2、是體系的哈密頓量算符,當(dāng)不顯含t時(shí),體系的能量是守恒量,可用分離變量。3、解定態(tài)薛定諤方程,關(guān)鍵是寫(xiě)出哈密頓量算符。說(shuō)明:147求解問(wèn)題的思路:1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)

的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E

取某些特定值時(shí)才有解4.討論解的物理意義求解問(wèn)題的思路:148作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》2.1、2.2作業(yè)周世勛:《量子力學(xué)教程》149一維定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)問(wèn)題:一維:歸一化條件,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,邊界條件。

U(x)*=U(x),即U(x)為實(shí)函數(shù)?!?.6一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子能量的

一般性質(zhì)一維定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)問(wèn)題:一維:歸一化條件,波函數(shù)的標(biāo)150定理1:設(shè)是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量本征值是E,則也是方程的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量也是E。證:方程(1)取復(fù)共軛,注意E取實(shí)值,,容易證明。如果對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值E,方程(1)的解無(wú)簡(jiǎn)并,則可取為實(shí)解。一維問(wèn)題的一般性質(zhì)定理1:設(shè)是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量本征151

定理2:對(duì)應(yīng)能量的某個(gè)本征值E,總可以找到方程(1)的一組實(shí)解,凡是屬于E的任何解,總可以表示為這一組實(shí)解的線性疊加。證:如果(x)是實(shí)解,(x)*是復(fù)解,(x)*也是方程(1)的解,且:(x)=(x)+(x)*和(x)=-i[(x)-(x)*]也是方程(1)的解,屬于能量E。均為實(shí)解。

(x)和(x)均可以表示為(x)和(x)*的線形疊加。定理2:對(duì)應(yīng)能量的某個(gè)本征值E,總可以找到方程(152

定理3:設(shè)U(x)具有空間反射不變性,U(-x)=U(x)。如果(x)是方程(1)的對(duì)應(yīng)能量的本征值E的解,則(-x)也是方程(1)對(duì)應(yīng)能量E的解。證(略)量子力學(xué)第二章課件153

定理4:設(shè)U(-x)=U(x),則對(duì)應(yīng)任何一個(gè)能量本征值E,總可以找到方程(1)的一組解,而屬于能量本征值E的任何解,都可以用它來(lái)展開(kāi)。證:

構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)(x)=(x)+(-x)

(x)=[(x)-(-x)]均為方程(1)的解。(x)和(-x)均可以表示為上述兩個(gè)函數(shù)的疊加。定理4:設(shè)U(-x)=U(x),則對(duì)應(yīng)任何一個(gè)154

定理5:對(duì)于階梯性方位勢(shì),

U2-U1有限,則能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的。定理5:對(duì)于階梯性方位勢(shì),155定理6:對(duì)于一維粒子,設(shè)1與2均為方程(1)的屬于同一能量的E的解,則:定理6:對(duì)于一維粒子,設(shè)1與2均156

定理7:設(shè)粒子在規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),如存在束縛態(tài),則必定是不簡(jiǎn)并的。束縛態(tài)(boundstate)指粒子局限在有限空間中。

157一、一維勢(shì)阱實(shí)例如:金屬中的自由電子。金屬粒子有規(guī)則的排列成行,1)電子在金屬內(nèi)部勢(shì)能為常數(shù),認(rèn)定為零;2)表面有一個(gè)勢(shì)階??傊藭r(shí)電子勢(shì)能可以近似認(rèn)為是一個(gè)方勢(shì)阱形式。

§2.6一維(無(wú)限深)勢(shì)阱一、一維勢(shì)阱實(shí)例§2.6一維(無(wú)限深)勢(shì)阱158二、微分方程

的三種解形式。

這是二階常系數(shù)微分方程,有三種等價(jià)的解:

a.b.c.依方便,隨取一種形式的解.二、微分方程159

三、一維無(wú)限深勢(shì)阱求解1、一維無(wú)限深勢(shì)阱

一個(gè)粒子處在這樣勢(shì)阱內(nèi),其質(zhì)量為μ.具體例子:金屬中電子可以看成處在有限深勢(shì)阱內(nèi).-a0aV(x)IIIIII

三、一維無(wú)限深勢(shì)阱求解-a01602、一維無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解.這是定態(tài)問(wèn)題,只需解出定態(tài)波函數(shù)φn與定態(tài)能量En即可.定態(tài)薛定諤方程:2、一維無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解.1613.一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題求解求解S—方程分四步:(1)列出各勢(shì)域的一維S—方程(2)解方程(3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解(4)定歸一化系數(shù)-a0aV(x)IIIIII3.一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題求解求解S—方程分四步:-a162(1)列出各勢(shì)域的S—方程方程可簡(jiǎn)化為:-a0aV(x)IIIIII勢(shì)V(x)分為三個(gè)區(qū)域,用I、II和III表示,其上的波函數(shù)分別為I(x),

II(x)和

III(x)。則方程為:22(1)列

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