《第2課時(shí)-勾股定理的逆定理的應(yīng)用》課件-(同課異構(gòu))2022年課件

2021年“精英杯〞全國(guó)公開課大賽獲獎(jiǎng)作品展示2021年“精英杯〞1教育部“精英杯〞公開課大賽簡(jiǎn)介2021年6月，由教育學(xué)會(huì)牽頭，教材編審委員會(huì)具體組織實(shí)施，在全國(guó)8個(gè)城市，設(shè)置了12個(gè)分會(huì)場(chǎng)，范圍從“小學(xué)至高中〞全系列部編新教材進(jìn)行了統(tǒng)一的培訓(xùn)和指導(dǎo)。每次指導(dǎo)，都輔以精彩的優(yōu)秀示範(fàn)課。在這些示範(fàn)課中，不乏全國(guó)名師和各省名師中的佼佼者。他們的課程，無(wú)論是在內(nèi)容和形式上，都是經(jīng)過認(rèn)真研判，把各學(xué)科的核心素養(yǎng)作為教學(xué)主線。既涵蓋城市中小學(xué)、又包括鄉(xiāng)村大局部學(xué)校的教學(xué)模式。適合全國(guó)大局部教學(xué)大區(qū)。本課件就是從全國(guó)一等獎(jiǎng)作品中，優(yōu)選出的具有代表性的作品。示范性強(qiáng)，有很大的推廣價(jià)值。教育部“精英杯〞公開課大賽簡(jiǎn)介2021年6月，由218.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用八年級(jí)數(shù)學(xué)下〔HK〕教學(xué)課件18.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理導(dǎo)入新課講3學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.〔重點(diǎn)〕2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.〔難點(diǎn)〕學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.〔重點(diǎn)〕4導(dǎo)入新課問題

前面的學(xué)習(xí)讓我們對(duì)勾股定理及其逆定理的知識(shí)有了一定的認(rèn)識(shí)，你能說出它們的內(nèi)容嗎?回憶與思考a2+b2=c2(a,b為直角邊，c斜邊〕Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長(zhǎng)邊〕Rt△ABC，且∠C是直角.導(dǎo)入新課問題前面的學(xué)習(xí)讓我們對(duì)勾股定理及其逆定理回5(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,那么BC邊上的高是cm.8(1)△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,那么此三角形為三角形，是最大角.直角∠A快速填一填：思考

前面我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實(shí)際問題呢？你能舉舉例嗎？(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm6在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會(huì)被用到，這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)吧.在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知7講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航〞號(hào)、“海天〞號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航〞號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天〞號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航〞號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天〞號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1如圖，某港口P位8問題1認(rèn)真審題，弄清是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航〞號(hào)的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離，如圖.問題2

由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理問題1認(rèn)真審題，弄清是什么？要解決的12NEPQ9解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航〞號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天〞號(hào)沿西北方向航行.NEP

QR12解決實(shí)際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.歸納解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×10【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知下在PQ上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，假設(shè)該船只的速度為海里/時(shí)，那么可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚11解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5〔小時(shí)〕=30〔分鐘〕，∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，又∵該船只的速度為1212例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖圖例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠D13在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.∴這個(gè)零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖在△BCD中，解：在△ABD中，141.A、B、C三地的兩兩距離如以下圖，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．練一練1.A、B、C三地的兩兩距離如以下圖，A地在B地的正東方向152.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他16例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用二例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC17解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.四邊形問題對(duì)角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋〞，經(jīng)常配套使用.歸納解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，18【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD=3c19【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△A20例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝，BD=2．〔1〕求證：△BCD是直角三角形；〔2〕求△ABC的面積．〔1〕證明：∵CD=1，BC＝，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形.〔2〕解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)211.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如以下圖，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,公園到醫(yī)院的距離為400m.假設(shè)公園到超市的距離為500m,那么公園在醫(yī)院的北偏東的方向.東醫(yī)院公園超市北65°當(dāng)堂練習(xí)1.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如以下圖，超市在醫(yī)院的南偏222.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.D2.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將233.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請(qǐng)說明理由.解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．3.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度244.如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC.解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.4.如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中255.在尋找某墜毀飛機(jī)的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O〔如圖〕沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，同時(shí)，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，1.5小時(shí)后，他們同時(shí)分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時(shí)，他們相距30海里，請(qǐng)問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？5.在尋找某墜毀飛機(jī)的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有26解：根據(jù)題意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O(如圖)沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．解：根據(jù)題意得OA=16×1.5=24(海里),27解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得6.如圖，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，那么過3秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，6.如28課堂小結(jié)勾股定理的逆定理的應(yīng)用應(yīng)用航海問題方法認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理來解決問題與勾股定理結(jié)合解決不規(guī)那么圖形等問題課堂小結(jié)勾股定理的逆定理的應(yīng)用應(yīng)用航海問題方法認(rèn)真審題,畫出292021年“精英杯〞全國(guó)公開課大賽獲獎(jiǎng)作品展示2021年“精英杯〞30教育部“精英杯〞公開課大賽簡(jiǎn)介2021年6月，由教育學(xué)會(huì)牽頭，教材編審委員會(huì)具體組織實(shí)施，在全國(guó)8個(gè)城市，設(shè)置了12個(gè)分會(huì)場(chǎng)，范圍從“小學(xué)至高中〞全系列部編新教材進(jìn)行了統(tǒng)一的培訓(xùn)和指導(dǎo)。每次指導(dǎo)，都輔以精彩的優(yōu)秀示範(fàn)課。在這些示範(fàn)課中，不乏全國(guó)名師和各省名師中的佼佼者。他們的課程，無(wú)論是在內(nèi)容和形式上，都是經(jīng)過認(rèn)真研判，把各學(xué)科的核心素養(yǎng)作為教學(xué)主線。既涵蓋城市中小學(xué)、又包括鄉(xiāng)村大局部學(xué)校的教學(xué)模式。適合全國(guó)大局部教學(xué)大區(qū)。本課件就是從全國(guó)一等獎(jiǎng)作品中，優(yōu)選出的具有代表性的作品。示范性強(qiáng)，有很大的推廣價(jià)值。教育部“精英杯〞公開課大賽簡(jiǎn)介2021年6月，由3118.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用八年級(jí)數(shù)學(xué)下〔HK〕教學(xué)課件18.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理導(dǎo)入新課講32學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.〔重點(diǎn)〕2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.〔難點(diǎn)〕學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.〔重點(diǎn)〕33導(dǎo)入新課問題

前面的學(xué)習(xí)讓我們對(duì)勾股定理及其逆定理的知識(shí)有了一定的認(rèn)識(shí)，你能說出它們的內(nèi)容嗎?回憶與思考a2+b2=c2(a,b為直角邊，c斜邊〕Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長(zhǎng)邊〕Rt△ABC，且∠C是直角.導(dǎo)入新課問題前面的學(xué)習(xí)讓我們對(duì)勾股定理及其逆定理回34(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,那么BC邊上的高是cm.8(1)△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,那么此三角形為三角形，是最大角.直角∠A快速填一填：思考

前面我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實(shí)際問題呢？你能舉舉例嗎？(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm35在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會(huì)被用到，這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)吧.在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知36講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航〞號(hào)、“海天〞號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航〞號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天〞號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航〞號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天〞號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1如圖，某港口P位37問題1認(rèn)真審題，弄清是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航〞號(hào)的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離，如圖.問題2

由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理問題1認(rèn)真審題，弄清是什么？要解決的12NEPQ38解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航〞號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天〞號(hào)沿西北方向航行.NEP

QR12解決實(shí)際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.歸納解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×39【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知下在PQ上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，假設(shè)該船只的速度為海里/時(shí)，那么可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚40解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5〔小時(shí)〕=30〔分鐘〕，∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，又∵該船只的速度為1241例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖圖例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠D42在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.∴這個(gè)零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖在△BCD中，解：在△ABD中，431.A、B、C三地的兩兩距離如以下圖，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．練一練1.A、B、C三地的兩兩距離如以下圖，A地在B地的正東方向442.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他45例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用二例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC46解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.四邊形問題對(duì)角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋〞，經(jīng)常配套使用.歸納解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，47【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD=3c48【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△A49例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝，BD=2．〔1〕求證：△BCD是直角三角形；〔2〕求△ABC的面積．〔1〕證明：∵CD=1，BC＝，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形.〔2〕解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)501.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如以下圖，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,公園到醫(yī)院的距離為400m.假設(shè)公園到超市的距離為500m,那么公園在醫(yī)院的北偏東的方向.東醫(yī)院公園超市北65°當(dāng)堂練習(xí)1.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如以下圖，超市在醫(yī)院的南偏512.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.D2.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將523.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請(qǐng)說明理由.解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且