突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之2022年數(shù)學(xué)高考真題(全國(guó)通用)專題42導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(含詳解)

專題42導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【高考真題】1.(2022?全國(guó)甲理)已知函數(shù)/(x)=《-lnx+x-a.(1)若/(力20,求a的取值范圍;(2)證明：若“力有兩個(gè)零點(diǎn)對(duì)超，則x也<1.I.解析(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f'M=xxe，+04x-17+1,令/(x)=0,得當(dāng)xe(O,1),/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(l,+8),/，(x)>0,/(x)單調(diào)遞增./(x)>/(l)=e+l-a,若/(x)20,貝!]e+l-a20,即a4e+l.所以"的取值范圍為(yo,e+1].(2)由題知，f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1.不妨設(shè)X]V1〈X2，要證再々〈I,即證一X'j.因?yàn)椤?=/(々)，即證f(巧)>/<0.2則g'(x)=設(shè)W(x)=+(x>l),"(x)=(J=^ex>0.廠因?yàn)楹汀猠(0,1),即證/(X])>/X2-exex - 1 -e-即證 Inx+x—xex-Inx—>0,xg(1,+8)?即證 xev-2Inx-x下面證明x>l時(shí),設(shè)g(x)=—>0.所以。(x)>MD=e,而[<eX1所以￡--ex>0,所以g'(x)>0.X所以g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增.即g(x)>g⑴=。，所以f—疣(>0.X令h(x)=Inx--fx2x-x-\-(x-1)2x2<0.<0.所以人(X)在(1,+8)單調(diào)遞減，即〃(X)〈〃⑴=0,所以Inx-]x<0.>0,所以x8<>0,所以x8<1.【知識(shí)總結(jié)】一'極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)y(x)滿足內(nèi)任意自變量X都有火x)=A2m-x),則函數(shù)Hx)關(guān)于直線x=/n對(duì)稱.可以理解為函數(shù)/(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若40為單峰函數(shù)，則x=/n必為的極值點(diǎn)的，如圖(1)所示,函數(shù)月x)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)即，若_/(x)=c的兩根的中點(diǎn)則剛好滿足當(dāng)望=xo,則極值點(diǎn)在兩圖⑵圖⑵若若4xo,則極值點(diǎn)偏移.若單峰函數(shù)段)的極值點(diǎn)為XO,且函數(shù)兀V)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量X都有y(x)M2膽一x)或40勺則函數(shù)逐x)極值點(diǎn)X0左右側(cè)變化快慢不同.如圖(2)(3)所示.故單峰函數(shù)式外定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)單峰函數(shù)式外定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù).如滿足凡加=/3)，則:XI+》2,與極值點(diǎn)Xo必有確定的大小關(guān)系:若向罵玉，則稱為極值點(diǎn)左偏；若出>嗎上，則稱為極值點(diǎn)右偏.【方法總結(jié)】.對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為X0),即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)的.(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論xi+x2>2ro型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=_/(x)—/(Zxo—x)或F(x)=/(xo+x)—/(xo-x)；對(duì)結(jié)論X|X2>x5型，構(gòu)造函數(shù)尸(X)=_Ax)-/?),通過(guò)研究尸(X)的單調(diào)性獲得不等式.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出兀0與42xo—x)的大小關(guān)系.(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)4制的單調(diào)性，將人的與犬如一外的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2xo-x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.若要證明了的符號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論丐玉與次的大小，得出色玉所在的單調(diào)區(qū)間，從若要證明了而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)..比(差)值代換法比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值或差值(一般用/表

解解..對(duì)數(shù)均值不等式法a-b,兩個(gè)正數(shù)〃和b的對(duì)數(shù)平均定義：hw—lnJ'a(a—b).對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：“區(qū)等(此式記為對(duì)數(shù)平均不等式)取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)awb時(shí)，4ai><L(a,b)<a^.不失一般性，可設(shè)a>〃.證明如下：⑴先證：\[ab<L(a,b)①不等式①。lnq_]n6不等式①。lnq_]n6v1 2 1I構(gòu)造函數(shù)/(x)=21nx_(x),(x>l),則/'*)=一一1--r=-(l產(chǎn).X XX X因?yàn)閄>1時(shí)，r(X)<0,所以函數(shù)/3)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故/(x)v/⑴=0，從而不等式①成立；⑵再證：LQ切〈仁心②22(--1)不等式②<=>lna-lnZ?> ——<=>In—> <=>lnx>——(其中x=—>1)a+h b(日+]) (x+1) h(I)?

(I)?

X(X+1)2構(gòu)造函數(shù)g(x)=I…普肅(X>1),則g'(x)1-六因?yàn)閄>1時(shí),g'(X)>0,所以函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,故g(x)>g⑴=0,從而不等式②成立；綜合(1)(2)知，對(duì)Va,bwR*,都有對(duì)數(shù)平均不等式而4L(a,b)4告■成立,當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)，等號(hào)成立.【題型突破】1.已知函數(shù)式》)=^一以一1(。為常數(shù))，曲線y=/(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若xi<ln2,X2>ln2,且7(xi)=_/(x2),試證明：xi+x2<21n2..已知函數(shù)/(x)=lnx一加，其中aCR.(1)若函數(shù)_/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)於)有極大值為一3，且方程段)="7的兩個(gè)根為孫X2，且Xl，2，求證：Xl+X2>4a..已知函數(shù)4x)=lnx+[-s(s,fGR).(1)討論y(x)的單調(diào)性及最值；(2)當(dāng)f=2時(shí)，若函數(shù)?r)恰有兩個(gè)零點(diǎn)X|,X2(O<X1<￥2)?求證：X1+X2>4..已知f(x)=^x2—a2\nx,a>0.(1)若f(x)K)，求。的取值范圍；(2)若/(?)=/(12)，且加方2，證明：xi+x2>2a..已知函數(shù)/(x)=Hnx—/+(2。-l)x(〃￡R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)xi，X2是凡外的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x\+xi>2a..已知函數(shù)/(x)=x—ae'+仇a>0,b￡R).(1)求加0的最大值；(2)若函數(shù)人外有兩個(gè)不同的零點(diǎn)X1，X2，證明：X1+X2<-21n?..設(shè)函數(shù)/(x)=-qe2*+(x-l)e*(awR).(1)當(dāng)。=」時(shí)，求g(x)=r(x)-ej的單調(diào)區(qū)間(f'(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù))；e(2)若/'(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)與、x2(Xj<x,),證明：%+2%>3..(2021?新高考全國(guó)I)已知函數(shù)犬c)=x(l—lnx).(1)討論_/(x)的單調(diào)性：(2)設(shè)公人為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且川加一〃1汕=4一4證明：2V(+3<e..已知函數(shù)的圖象與直線y=m交于不同的兩點(diǎn)A(xi，V)，仇及，/2).求證：xiX2<^..已知函數(shù)/(x)=Inx-ar.⑴討論/*)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X1,%2(大<x,).①求〃的取值范圍；②證明：^x^e2..已知函數(shù)/(x)=x\nx+ax2-x+a(awR)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求a的取值范圍,(2)設(shè)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為為，x2,證明x/2>e2.InX.已知函數(shù)/(x)=TK(aGR),曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,負(fù)1))處的切線與直線x+y+l=0垂直.⑴試比較2018239與2019238的大小,并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)g(x)=Hx)—%有兩個(gè)不同的零點(diǎn)XI，X2，證明：XlX2>e2..已知函數(shù)犬x)=lnx+§—a(aGR,beR)有最小值M,且論0.(1)求e"r—6+1的最大值;_ ci-1 .⑵當(dāng)尸―/?+1取得最大值時(shí)，設(shè)尸(6)=丁一皿/nGR),F(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為m，X2(xi<x2),證明:再&2>e3..已知函數(shù)/(x)=(lnx-k—l)x(kGR).(1)當(dāng)X>1時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)任意xe[e,e2],都有/(x)<41nx成立，求人的取值范圍；(3)若制方2，且/1(XI)=7(X2),證明X|X2<e2"..設(shè)函數(shù)兒0=9—(a—2)x—alar.(1)求函數(shù)火x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程火幻=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根M，X2,求證：尸(笑乜)>0..(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)=lnx—ai^+Q—a)x.(1)討論/(》)的單調(diào)性；(2)設(shè)a>0,證明：當(dāng)0<x<￡時(shí)，/(-+%)>/(--%)；(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與軸交于A,8兩點(diǎn)，線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為沏，證明：廣(刈)〈0..設(shè)函數(shù)/(x)=e*—ar+a,其圖象與軸交于A(x”0),8(x2，0)兩點(diǎn)，且xi<X2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：f'(yfwc2)<0(f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))..已知函數(shù)/(x)=lnx—ax+1有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)X1，X2是4x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：f(xi-X2)<l—a..已知函數(shù)_/(x)=W+hu(aGR).(1)討論大外的單調(diào)性；(2)設(shè)兀T)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),若_/(1)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)XI，X2.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：x/(xi)+x/(X2)>21na+2..已知函數(shù)4x)=e*+ar-l(aGR).(1)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=x有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求"的取值范圍；(2)設(shè)g(x)=7(X)—]f+l,若函數(shù)g(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)XI，X2>且X1<T2,證明：g(Xl)+g(X2)>2.專題42導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【高考真題】1.(2022?全國(guó)甲理)已知函數(shù)/(x)=《-lnx+x-a.(1)若/(力20,求a的取值范圍;(2)證明：若“力有兩個(gè)零點(diǎn)對(duì)超，則x也<1.I.解析(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f'M=xxe，+04x-17+1,令/(x)=0,得當(dāng)xe(O,1),/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(l,+8),/，(x)>0,/(x)單調(diào)遞增./(x)>/(l)=e+l-a,若/(x)20,貝!]e+l-a20,即a4e+l.所以"的取值范圍為(yo,e+1].(2)由題知，f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1.不妨設(shè)X]V1〈X2，要證再々〈I,即證一X'j.因?yàn)椤?=/(々)，即證f(巧)>/<0.2則g'(x)=設(shè)W(x)=+(x>l),"(x)=(J=^ex>0.廠因?yàn)楹汀猠(0,1),即證/(X])>/X2-exex - 1 -e-即證 Inx+x—xex-Inx—>0,xg(1,+8)?即證 xev-2Inx-x下面證明x>l時(shí),設(shè)g(x)=—>0.所以。(x)>MD=e,而[<eX1所以￡--ex>0,所以g'(x)>0.X所以g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增.即g(x)>g⑴=。，所以f—疣(>0.X令h(x)=Inx--fx2x-x-\-(x-1)2x2<0.所以餌X)在(1,+8)單調(diào)遞減，即〃(幻〈〃⑴=0,所以綜上， xe"-2Inx—(x-]]>0,所以再為vl.x 2\x)\【知識(shí)總結(jié)】一'極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)y(x)滿足內(nèi)任意自變量X都有火x)=A2m-x),則函數(shù)Hx)關(guān)于直線x=/n對(duì)稱.可以理解為函數(shù)/(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若40為單峰函數(shù)，則x=/n必為的極值點(diǎn)的，如圖(1)所示,函數(shù)月x)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)即，若_/(x)=c的兩根的中點(diǎn)則剛好滿足當(dāng)望=xo,則極值點(diǎn)在兩圖⑵圖⑵若若馬流，則極值點(diǎn)偏移.若單峰函數(shù)段)的極值點(diǎn)為xo,且函數(shù)兀v)滿足定義域內(nèi)x=m左側(cè)的任意自變量x都有膽一x)或代打勺則函數(shù)逐x)極值點(diǎn)必左右側(cè)變化快慢不同.如圖(2)(3)所示.故單峰函數(shù)危淀義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)X],X2,滿足危1)=心2),則2^^與極值點(diǎn)X0必有確定的大小關(guān)系：若向罵玉，則稱為極值點(diǎn)左偏；若XO>W上，則稱為極值點(diǎn)右偏.【方法總結(jié)】.對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下:(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為X0),即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)的.(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論xi+x2>2ro型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=_/(x)—/(Zxo—x)或F(x)=/(xo+x)—/(沏一外；對(duì)結(jié)論ximxS型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/0,通過(guò)研究尸(x)的單調(diào)性獲得不等式.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出兀0與42xo—x)的大小關(guān)系.(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)4制的單調(diào)性，將人的與犬如一外的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2xo-x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.得出w所在的單調(diào)區(qū)間，從若要證明/'(工^二)的符號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論”:.與XO的大小,而得出w所在的單調(diào)區(qū)間，從.比(差)值代換法比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值或差值(一般用/表

解解..對(duì)數(shù)均值不等式法a-b,兩個(gè)正數(shù)〃和b的對(duì)數(shù)平均定義：hw—lnJ'a(a—b).對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：“區(qū)4L(a,b)4等(此式記為對(duì)數(shù)平均不等式)取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)awb時(shí)，y/ab<L(a,b)<a^.不失一般性，可設(shè)a>Z>.證明如下：⑴先證：>[ab<L(a,b)①不等式①。Ino-ln/? =ln曰< —、口。21nx<x-，(其中x=口>1)TOC\o"1-5"\h\zyJabb\b\a xvb2I i構(gòu)造函數(shù)/(x)=21nx_(x__),(x>l),則/'")=一一1--r=-(l―-產(chǎn).X XX X因?yàn)閄>1時(shí)，r(X)<0,所以函數(shù)/3)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故/(x)v/⑴=0，從而不等式①成立；⑵再證：LQ切〈仁心②22（--1）不等式②<=>lna-lnZ?> ——<=>In—> <=>lnx>——（其中x=—>1）a+b b（4+］） （x+1） b（X-l>（X-l>X（X+1）2構(gòu)造函數(shù)g(x)=I…普肅(X>1),則g'(x)1-六因?yàn)閄>1時(shí),g'(X)>0,所以函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,故g(x)>g⑴=0,從而不等式②成立；綜合(1)(2)知，對(duì)Va,bwR*,都有對(duì)數(shù)平均不等式而4L(a,b)4歿■成立,當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)，等號(hào)成立.【題型突破】1.已知函數(shù)4x)=ex-ar—1(。為常數(shù))，曲線y=/(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若xi<ln2,X2>ln2,且火由)=凡誦)，試證明：x\4-X2<21n2.1.解析(1)由火x)=e，一以一1,得/(1)=3-4.又/(0)=1—。=-1,所以4=2,所以貝*)=--2%—1,f(x)=e-2.由人工)=^-2>0,得x>ln2.所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-8,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增.(2)證明：設(shè)x>ln2,所以21n2-x〈ln2,_ 4X21n2-x)=e(2ln2-x>-2(21n2-x)-1=—+2x-41n2-I.4令g(x)=j(x)-f(2\n2-x)=ex-^-4x+4ln2(x>ln2)9所以^)=ev+4e-x-4>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=ln2時(shí)，等號(hào)成立，所以g(x)=/(x)—/(21n2—x)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.又g(ln2)=0,所以當(dāng)x>ln2時(shí)，g(x)=fix)-fi2[n2-x)>^(\n2)=0,即.*x)>y(2In2-x)，所以又因?yàn)榉瞨i)=/(X2),所以凡ri)>/(21n2-M),由于12>ln2,所以21n2—X2〈ln2,因?yàn)閤i〈ln2,由(1)知函數(shù)y=y(x)在區(qū)間(一oo,In2)上單調(diào)遞減,所以xi<2ln2—X2,即xi+xz<21n2..已知函數(shù)y(x)=lnx—ar2,其中〃￡R.(1)若函數(shù)4x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；(2)若函數(shù)式x)有極大值為一；，且方程段)=，〃的兩個(gè)根為由，X2，且為飆，求證：x\+x2>4a.I 1—2a*.解析(1)由題知/(幻=^-2如=―=—(x>0).當(dāng)方0時(shí)，/(x)>0,函數(shù)y(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)。>0時(shí)，由〃x)=0,得x=yj^.當(dāng)XG(O,U時(shí)，/(x)>0,火x)單調(diào)遞增，當(dāng)xG(yJ±,+8)時(shí)，/(X)<0,於)單調(diào)遞減，所以危)的極大值為八%)=ln(\信)一；，由ln(1島)一;>0,得0<"!因?yàn)開(kāi)/(鼠")=111(5")一ae2o=—a—ae2a<0,所以火x)在(b", 上必存在一個(gè)零點(diǎn).顯然當(dāng)x-++oo時(shí)，./(x)<0,所以在卜+oo)上必存在一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)0<a費(fèi)時(shí)，函數(shù)1Ax)有兩個(gè)零點(diǎn).⑵由(1)可知，當(dāng)。>0時(shí)，段)的極大值為3=—3，解得"=；,所以_/(x)=lnx-5H.由/(x)=;—x>0,得0<x<l,由〃x)<0,得x>l,所以貝X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.當(dāng)X—>0時(shí)，凡r)<0,且當(dāng)工一+8時(shí),危)<0,_/(1)=-；，則由Ax)=/n的兩個(gè)根分別為x\,X2,得xVG.令F(x)=J(x)-j(2-X),則尸3=/3+/(2-幻=;+±-2,當(dāng)(Kr<l時(shí)，F(xiàn)(x)X),所以F(x)單調(diào)遞增.因?yàn)橛?lt;1〃2,所以F(Xi)=/(xi)-/(2—即)<尸(1)=0,所以An)勺(2-xi).又因?yàn)閥(xi)=<>2),所以火X2)S/(2一X|).因?yàn)閥(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，X2e(1,+8),2—X1G(1,+oo),所以磔>2—乃，即即+x2>2=4a,原命題得證..已知函數(shù)逃x)=lnx+：—s(s,PR).(1)討論y(x)的單調(diào)性及最值：

(2)當(dāng)f=2時(shí)，若函數(shù)人￥)恰有兩個(gè)零點(diǎn)X|,X2(O<X1<￥2)?求證：X1+X2>4.3.解析(I)f(x)=—^~(x>0),當(dāng)￡0時(shí)，7W>0,凡r)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，Av)無(wú)最值；當(dāng)/乂)時(shí)，由/。)<0,得的/,由/(x)>0,得X>r,/)在(0,r)上單調(diào)遞減，在(八+8)上單調(diào)遞增，故風(fēng)外在x=r處取得極小值也是最小值，最小值為/(r)=lnr+1—s,無(wú)最大值.(2)..7(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)xi,X2(O<ri<r2),.2 ,2 nr21 2., .2(X2~X\)X2..^,)=10^+--5=0,y(x2)=lnx2+--5=0,即5=嘉+111》尸m+lnx2,..一-設(shè)切=邑1,貝山口小二冽二］x尸牛2故內(nèi)+X2=xi(m+1)=筆二2Xi mx\ m\nm ' 7/nlnmTOC\o"1-5"\h\z(nr—\… 、2 -21nmAxi+x2_4=Aj!? L??xi十及4 m,9jl~—1 (ni-1)2令函數(shù)如〃)=—-21nm,*：h\m)=/y?2>0,，。(布)在(1,+s)上單調(diào)遞增，m>1,/./?(;n)>/i(1)=0,又w=~>l,.*.ln/n>0,故x\+x2>4成立.五i.已知/⑴=52—a，nx,a>0.(1)若/(x)K),求〃的取值范圍；(2)若f(xi)=/(X2)，且x#M，證明：x\+x2>2a.a2(x+〃)(x—a).解析Wf\x)=x--= (x>0).當(dāng)x￡(0,a)時(shí),/r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)入e(a,+8)時(shí)，/(x)>0,/(幻單調(diào)遞增.當(dāng)x=a時(shí)，f(x)取最小值f(a)=^a2—a2\na.令52—9門以對(duì)，解得0<〃￡在,故a的取值范圍是(0,娠］.(2)由⑴知，貢x)在(0,“)上單調(diào)遞減，在(〃，+8)上單調(diào)遞增，不失一般性，設(shè)0<5q<X2,則2a—X2<a.要證即+犯>2〃即xi>2a一處則只需證/(汨)勺*(2〃一12).因/(?)=/(也)，則只需證/(右)勺*(2。一心).設(shè)^(x)=f(x)—f(2a—x)9a<^<2a.則g，(x)=/3—［/?(2a-4+2a-k養(yǎng)胃一鬻卷0,所以g(x)在［a,2a)上單調(diào)遞減，從而g(x)4(a)=0.又由題意得a<X2<2a,于是g(i2)=/(12)—/(2〃—X2)<0,即/(初)勺>(2a一必)..已知函數(shù)以行=〃111工-9+(2〃-1)%(4￡2有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)Xi,X2是共外的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x\+x2>2a.5.解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo),/(x)=,_2x+2"_］=(」+?"-2①當(dāng)把0時(shí)，易得/(x)<0,則y(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，則火x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.②當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)=0得：x=a9則

當(dāng)xE(O,〃)時(shí)，/(x)>0,O單調(diào)遞增,當(dāng)+8)時(shí)，f(x)<0,危)單調(diào)遞減.?\Z(X)max=y(X)較大=<〃)=〃(In〃+〃-1).???要使函數(shù)段)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有人a)=a(lna+a—l)>0,即1na+。-1>0,設(shè)g(a)=lna+a-l,???g，(a)=1+1>0,則g(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，又,.飛(1)=0,...aAl；當(dāng)a>l時(shí)，-1)一卜一[<°，?\/(》)在區(qū)間g，上有一個(gè)零點(diǎn)；1 1設(shè)力(x)=lnx—X,丁力口)=:—1=—???//(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+<30)上單調(diào)遞減，:./i(x)<//(l)=-1<0,Inx<x9?\Ax)=alnx-x2+(2a—\)x<cix-x2+(2a—\]x=3ax-x1—x<3ax—x2=x(3a-x),則腳4〃)<0,在區(qū)間(a,4”)上有一個(gè)零點(diǎn)，那么，此時(shí)人工)恰有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)兒0有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，〃的取值范圍是(1,+oo).(2)由(1)可知，；/(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且當(dāng)x￡(0,。)時(shí)，段)是增函數(shù).當(dāng)+8)時(shí)，式外是減函數(shù)，不妨設(shè)：X|<X2i則0<X|<a<X2.設(shè)尸(x)=y(a+x)一<4—x),x￡(o,a)t則斤(x)=/(a+x)+/(〃—x)=^~^—2(a+x)+(2〃-1)+^￡^—2(〃-x)+(2〃-1)a,a-2jt2= -|- —2= .a+xa-x(a+x)(a-x)'當(dāng)xG(0,a)時(shí)，F(xiàn)V)>0,，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，又?.,尸(0)=0,.\^)>0,：.J(a+x)>J(a-x),".'a—%|G(O,a),.".y(xi)=7(X2)=y(a—(a—xi))<7(a+(a—xi))=y(2d—xi),'.'x2^(a,+oo),2iz—X|G(a,+oo),y(x)在(a,+s)上單調(diào)遞減，.'.X2>2a—X],'.x\-\-x-i>2a..已知函數(shù)次x)=x-ae，+6(a>0,66R).(1)求40的最大值；(2)若函數(shù)y(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x”XI，證明：X|+X2<—21na.6.解析(1)令/(x)=1—ae*>0,得x<ln；J(x)在(一oo,In})上單調(diào)遞增，在(in，，+<?)上單調(diào)遞減，?\Ax)max=_/(ln￡)=ln《-1+4{x\-a^\+fe=0, _兩式相減得xi—X2—a(cx\-c^2)9即〃=g7~?初一ae‘2+b=0, 己1-^2._ 左、—gX?\2故要證xi+x2<-21n〃，只需證為+jqv—21n~~即證 ,e?—er2 Vxi—x2)即證(xi—12)2<-*2—2+er2xl.不妨設(shè)xi<X2,令及一xi=f>0,則需證F<e'-2+eL設(shè)8(/)=產(chǎn)一e'+2—U,則g")=2r+e=」-5.設(shè)人⑺=2r+e-，一el則〃")=2一bUvO,???//⑺在(0,+oo)上單調(diào)遞減，/./?(r)<M0)=0,即g")<0,，g⑺在(0,+8)上單調(diào)遞減，，g")vg(O)=。，故原不等式成立..設(shè)函數(shù)/(x)=~e2x4-(x-1)ex(agR).(1)當(dāng)■時(shí)，求g(x)=r(xAe~的單調(diào)區(qū)間(/'(x)是〃x)的導(dǎo)數(shù))；e(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)斗、%(石〈馬)，證明：%+29>3..解析⑴當(dāng)。=」時(shí)，f(x)=-e2'+(x-l)e',則尸(x)=產(chǎn)(--+ex),e 2eg(x)=-ex+ex,gf(x)=-ex+e,顯然g'(x)遞減，且g'(l)=O,故當(dāng)X,1時(shí)，g'(x)..O,X>1時(shí)，g'(x)vo,故g(x)在(-8,1)遞增,在(1,+8)遞減；(2)*.*f(x)=—c~x+(x—l)e", f\x)——ci€^x+X€x=e'{—u€x+x),由題意知r(x)=O有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即叱=%有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉，x2,X X 1—X則。==，令皿#=-7，則加(x)=——,令W(x)>。，解得，X<1,令W(x)v。，解得，X>\,e e e故皿x)在(T?,1)遞增，在(1,+8)遞減，故訊戲，皿1)=_,而Xfoo時(shí)，m(x)-O,e故。的取值范圍是(0,-],由,得a=與與，e[ae2=x2 e'-e2故為+2x,>3=3<ae''+2ae-=：一](y+2*)=(八+2),一 e'-e2 e'^-1令/=占一々，貝h<0,3<x,+2x,<=>3<- (e'+2),/<0,e—1故不等式只要(3-r)e'-2f-3>0在t<0時(shí)成立，令h(t)=(3-t)e'-2t-3(t<0),h'(t)=(2-t)e'-2(t<0),h"(t)=(l-t)e'>0,故〃(r)在，<0上單調(diào)遞增，即〃(f)<〃(0)=0,故人⑺在，<0上單調(diào)遞減，即〃(。>%(0)=0,故原不等式成立.8.(2021?新高考全國(guó)I)已知函數(shù)兀v)=Ml—lnx).(1)討論貝x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a,人為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且引na—alnb=a一方，證明：2<!+：々.8.解析解析(1)因?yàn)樨晉)=x(l—Inx),所以_/(x)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=l—lnx+x?(一；)=-Inx.當(dāng)xG(O,1)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，/(x)VO.所以函數(shù)y(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.(2)因?yàn)?a—alnb=a一'故伙Ina+l)=a(ln6+1),即.：+l」n廣1,故設(shè)￡=X1,馬=X2,由(1)可知不妨設(shè)0<5Vl,X2>1.因?yàn)閤￡(0,1)時(shí)，貝x)=Ml-lnx)>0,xe(e,+s)時(shí)，兀r)=Nl-Inx)<0,故1<￥2?.先證X\+x2>2,若x之2,即+%2>2必成立.若M<2,要證xi+x2>2,即證xi>2—m,而0<2一無(wú)2<1,故即證人仃)》2—X2),即證/(X2)次2—必)，其中1<X2<2.設(shè)g(x)=/U)-y(2—x),14V2,則<(外=/(處一了(2—1)=-151—111(2—此=一111口(2-1)],因?yàn)閘<x<2,故0<x(2—x)vl,故一Inx(2—x)>0,所以gG)X),故g(x)在(1,2)上為增函數(shù)，所以g(x)>g(l)=O,故人。次2—外，即於2)次2—刈)成立，所以汨+制>2成立，綜上，X|+x2>2成立.、門 M1...AIna+1Inb+11 1 __z-設(shè)X2=g,則>1,結(jié)合~~-=-m,-=xi,1=及可得加(1—111為)=及(1—ln%2),EIL .1 t—11/Int即1-ln；n=/(l-In/-Inxi),故lnxi= : ,t—1要證xi+x2<e,即證(Z+ 即證ln(r+l)+lnxi<l,t-1—/Int即證ln(r+1)+ ; <1,即證(f—l)ln(/+l)—/Inr<0,令S(f)=(Ll)ln(r+D-rtnr,t>\,則S")=ln(f+l)+￡yT-ln日11(1+{)-令,II1 \ IJII1先證明不等式ln(x+l)<r.設(shè)w(x)=ln(x+l)—x,則 1=二^,當(dāng)一14V0時(shí)，/(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，u\x)<0,故〃(x)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，故W(X)max=M(0)=0,故ln(x+l)》成立,由上述不等式可得當(dāng)>1時(shí)，故5”)<0恒成立，故S”)在(1,+8)上為減函數(shù)，故S⑺VS(1)=O,故(7—l)ln"+l)—finf<0成立，即xi+x2〈e成立.綜上所述，9.已知函數(shù)/(x)=xlnx的圖象與直線y=加交于不同的兩點(diǎn)4(即，y。，8(及，yi).求證：x\X2<^2-9.解析/(x)=lnx+1,由/(x)>0得x>W，由/(x)<0得0<x<~,；?函數(shù)火X)在(O,上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增.可設(shè)0<5[<￥2.方法一構(gòu)造函數(shù)尸a)=ya)-/(*)，則斤(x)=/(x)+石(上)=1+lnx+=(l+ln±)=(1+ln分(1一七)，當(dāng)時(shí)，l+lnx<0,1一去<0,則尸(x)>0,得尸(x)在(0,§上是增函數(shù)，?孫)勺晝)(《<4)，將xi代入上式得/(X。勺■(因，又兀3=/(X2),二混)勺■島?)，又X2>±1懸，且式X)在9+8)上單調(diào)遞增，；.X2念■一。用假X2方法二y(Xi)=y(X2)BPX\\nXi=X2lnX2,令z=f1,則為2=K,X\代人上式得xilnxi=rxi(lnz+lnxi),得皿占=E).*.xiX2<~2<=>lnxi+lnjqv-202lnxi+lnt<—2<=>^^+1n/<—2<=>lnr-2(/—I) . (f—1)2設(shè)g(f)=lnL-"](r>l),則g")=:存]戶>0???當(dāng)r>l時(shí)，g⑺為增函數(shù)，g(r)>g(l)=0,f-「>0.故即初生.lI-1 v10.已知函數(shù)/=(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)X1,x2(Xj<x,).①求a的取值范圍：②證明：xt-x2>e2.10.解析(l)/(x)的定義域?yàn)?0,+00),f'(x)=--a,X(i)當(dāng)a,o時(shí)/'(x)>0,.?./(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；TOC\o"1-5"\h\z(ii)當(dāng)a>0時(shí)，若xg(0,工)，則_f(x)>0,f(x)在(0,3上單調(diào)遞增；a a若X€(1,+00),則/''(X)<O,f(x)在區(qū)間P,+8)上單調(diào)遞減；a a綜上：4,0時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；a>0時(shí)，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在P,+8)上單調(diào)遞減；a a(2)①由(1)知，4,0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)a>0時(shí)，(x)在(0,工)上單調(diào)遞增，在區(qū)間P,+8)上單調(diào)遞減；Cl ClfMnuu=/(-)=In--I,若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x,，毛(占<々)，aa由于xf0時(shí)，y—?-oo,x->+8時(shí)，y->-oo,所以/(一)=ln1>0,解得av,，aa e故所求〃的取值范圍為0<a<1；e②證明：由題意：InXj=axx,lnx2=ax2,..a=出土~~國(guó)工，x2—xl要證x/W〉/,只要證lnX|+ln%2>2,即〃（王+%2）>2.

只要證嶼二g>_2_即證in經(jīng)”二D(其中/=%>1],超一X%)4-Xj r+1( Xjj令g(r)=lm-如a(r>l),9(。='2>0, (。在(1,+8)單調(diào)遞增，，+1 r(/+l)g(r)>g⑴=0,即lnr>"二4其中/=三>1]成立，r+1I士)故原不等式芯-x?>e?成立.11.已知函數(shù)f(x)=xlor+ar2-x+a(aeR)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求。的取值范圍.(2)設(shè)/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)為%,x2,證明xtx2>e2.???函數(shù)11.解析⑴函數(shù)/(xXxlnx+or1-x+a(aeR)的定義域?yàn)?0,+8),f'[x)=\nx+2ax???函數(shù)f(x)=xlnx+ax2-x+a(aeR)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).方程f'(x)=0在(0,+8)有兩個(gè)不同根；InX轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=—與函數(shù)y=-2a的圖象在(0,+oo)上有兩個(gè)不同交點(diǎn).x又g'(x)=^~~T—即Ovxve時(shí)，g'(x)>0,x>e時(shí)，g，(x)vO,x故g(x)在(0,e)上單調(diào)增，在(e,+8)上單調(diào)減.故g(x)極大=g(e)=Le又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在X-0時(shí)，g(x)f-oo,在在x->+8時(shí)，g(x)->0,故g(x)的草圖如圖，.?.0<-2a<l,即-,〈avo.故a的取值范圍為(-L，0).e2e 2e-2ax],(2)由(1)可知X，聲分別是方程歷^+2々=0的兩個(gè)根，即1叫l(wèi)nx2=-2ax-2ax],ixiIn—設(shè)作差得ln±=-2a(%-得-2a=———.要證明xxx2>e2.只需證明InXj+lnx2>2.1在_u-2a(X]+x))>2,u——(^1+x2)>2,即只需證明In—~,X1-W x2xl+x2令五=r,則”1,只需證明im>”二D,% t4-1設(shè)g?)=l”_2?D(r>l),g'(t)="二上>o.函數(shù)g(。在(i,+8)上單調(diào)遞增，r+1 P+1)g(r)>g⑴=0,故hv>———成立./.xx,>/成立.，+1Inr12.己知函數(shù)凡r)=百二(aGR),曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,負(fù)1))處的切線與直線x+y+1=0垂直.(1)試比較2018239與2019238的大小，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)g(x)=ytr)-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為，X2<證明：%iX2>e2.x+a-y—lnx 1+a.解析⑴依題意得/(x)=(x+“)2,所以八1)=不二歹=而，又曲線y=_/(x)在點(diǎn)(1,1AD)處的切線與直線x+y+l=0垂直，InV 1—InX所以〃1)=1,即H=l,解得a=0.故<x)=-1,/(x)=—^廠一.令/(幻>0,則l-lnx>0,解得IIci 人 人0<x<e；令/(x)<0,則1-lnxVO,解得x>e,所以_/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+oo).所以<2018)>12019),即聯(lián);8整理得ln20182S9>in20192。%所以20182。19>2019238.(2)不妨設(shè)X|>X2>O,因?yàn)間(xi)=g(X2)=0,所以Inxi—fcq=O,Inx2一履2=0,可得Inxi+lnX2=*(xi+x2),Inxi_Inxi=k(x\-xz).2要證xiM〉人,即證lnxiX2>2,只需證Inxi+ln.t2>2,也就是證人但+及)>2,即證k>三；(,?因?yàn)樽?岫二岫，所以只需證1E江口〉+，即證令1=心>1),則只需證in| 4 (r—I)2令A(yù)(/)=ln 1),則〃'⑺=7一薪故函數(shù)〃⑺在(1,+oo)上是單調(diào)遞增的，所以〃⑺>〃(1)=0,即In>2；：]"，所以為12>/.h.已知函數(shù)段)=欣+(一〃(〃￡R,b￡R)有最小值M,且怩0.(1)求e。一1一〃+1的最大值；a-1(2)當(dāng)e〃1一b+1取得最大值時(shí)，設(shè)尸(。)=一廠—皿機(jī)￡R),尸(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為xi,X2(xi<X2),證明：>e3.3解析⑴有題意小)小品矍a>o),當(dāng)R,0時(shí)，f'(x)..O,f(x)在(0,+8)上單增，此時(shí)顯然不成立，當(dāng)6>。時(shí)，令/'(x)=0,得x=6,此時(shí)/(x)在(0,6)上單減，在(。,+℃)上單增，：.M=f(b)=lnb+\-a..O,?plnb..a-\,所以,ea'1-b?0.所以e"T-b+1的最大值為1.(2)當(dāng)e"T-b+1取得最大值時(shí)，a-\=lnb,/(力=3'-機(jī)=華一機(jī)，bbTOC\o"1-5"\h\zInx, Inx-,???尸(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為％,x2,則 m=0; m=09gplnxy=mxy,Inx2=mx2,% x2不等式X?工22 恒成立等價(jià)于/叫+2lnx2=mx[+2mx2=m(x]+2x2)>3,歷五兩式相減得加工=雙為一々)=帆=* ，帶入上式得x2 Xx-X2歷五 3(五一1)(占+2天)?一上一〉3。/〃±<3(土*)=一一,x]-x2 X]+2x2 —?2令五=?0<r<l),則g⑴=加/_^^2,(0</<1),g”)=(C」>0,所以函數(shù)g⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，???g⑺vg(1)=0,得證..已知函數(shù)f(x)=(ln;r-)l-DxOtWR).(1)當(dāng)X>1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)任意x￡[e,e?],都有/a)〈41nx成立，求k的取值范圍；(3)若X1#X2，且/(X1)=/(X2)，證明X|X2〈e2t.解析(\)f\x)-^x+\nx—k—\=\nx-k.①當(dāng)仁0時(shí)，因?yàn)镼1,所以尸(x)=lnx—fc>0,所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+00),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，無(wú)極值.②當(dāng)fc>0時(shí)，令lnx-z=o,解得x=e*當(dāng)1ave”時(shí)，r(x)vO；當(dāng)時(shí)，:(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,9),單調(diào)遞增區(qū)間是(e\+oo),在(1,+s)上的極小值為f(e")=(k—k—l)e"=一於，無(wú)極大值.(2)由題意，/(%)—41nx<0,即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(x—4)lnx—(k+l)x<0對(duì)任意x￡[e,e?]恒成立，即％+1>"~:'對(duì)任意x￡[e,e2]恒成立，. (x-4)lnx . ?. 41nx+x-4令g(x)= ，xC[e，e2],則((x)= -4令*x)=41nx+x-4,xE[e,e2],則?x)=1+l>0,所以收)在區(qū)間[e,e?]上單調(diào)遞增，故心)min=?e)=4+e—4=e>0,故g<x)>0,

Q所以g(x)在區(qū)間[e, 上單調(diào)遞增，函數(shù)ga)max=g(e2)=2—要使我+>"~當(dāng)”對(duì)任意x￡[e,日恒成立，只要女+l>g(x)nm,所以2+1>2—解得fc>1—當(dāng)，4 e e所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為OT+8).(3)法一：因?yàn)?火為)=凡立)，由(1)知，當(dāng)qo時(shí)，函數(shù)次的在區(qū)間(0,M)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(i,+oo)上單調(diào)遞增，且4甘+1)=0?不妨設(shè)Xl<X2,當(dāng)X—>0時(shí)，./U)-0,當(dāng)X—+8時(shí)，段)—+8,則0<5<心42VHe2k p2k要證R%2<e",只需證X2<—,即證ek<X2<~.1X| Xl因?yàn)開(kāi)/(x)在區(qū)間(泊+吟上單調(diào)遞增，所以只需證兀⑷q(D又JU1)=#X2),即證y(xi)勺'(F，構(gòu)造函數(shù)人(x)=/(x)—/'U=(lnX—人一l)x-(ln?T—1片，即〃(x)=xln工_(k+J),(\—[nr]c—1、 口—p2人h\x)=Inx+1-(^+1)+e21(-J=(lnx—t)~~，當(dāng)工￡(0,eA)H*?Inx—i<0,jr<e2kt即"(x)>0,所以函數(shù)人⑺在區(qū)間(0，/)上單調(diào)遞增，h(x)<h(ek),而h(e，=XeA)-/⑤)=0,故ftU)<0,所以f(xt)<f(學(xué)，即凡誦)=火Xi)勺'(同，所以成立.法二：要證方處十乂成立，只要證Inxi+lnx2V2人.因?yàn)閤iRe,且/(即)=/(也)，所以(1口加一女一1)戈]=(111N2一々一1)氏2,即xilnxi—x21nx2=(攵+1)(即一也),xilnx\—X2lnx\+X2I11xi-.RnX2=(k+l)(xi—%2)?即(汨—X2)lnx\+x21n-=(^+l)(xi-m),X2[Xi ]Xi .XIX\^ln- ^iln- x2\ir-x,ln-k+l=lnxi+ 同理k+l=lni2+ -,從而2k=ln.ti+lnx2+ -+ 上一2,X\~X2 X|-X2 X\~X2X\—X2.X1.X\X21n￡xiln一要證Inxi+InX2<2k,只要證 -+ ——2>0,xi-X2X\—X2不妨設(shè)0口1令2,則｛R^nrcl,即證瞿■+%一2>0,即證.+ '>2,X2 L1 , 1 t'—11-7即證In對(duì)(0,1)恒f-1 1A /#一1\2設(shè)的)=lnf-2?可，當(dāng)°<f<l時(shí)，AV)=7-^p^=^-^>0,所以〃⑺在rw(o,1)上單調(diào)遞增，力⑺3(1)=0,得證，所以X|X2〈e2A..設(shè)函數(shù)J(x)=x2—(a—2)x—alrtr.(1)求函數(shù)犬力的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程式嗎=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，刈，求證：尸(日產(chǎn))>0.

TOC\o"1-5"\h\z15.解析(l)xw(O,+00),廣⑺=2x-(a-2)，=2『-(a2)xj(2xa)(x+1)X X X當(dāng)a40時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).當(dāng)a>0時(shí)，由r(x)>0得x>@；由r(x)<。，解得0<x<q.2 2所以函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(二，+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,二).2 2(2)???士，七是方程f(x)=c得兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，由⑴可知：a>0.不妨設(shè)。<為<工2.則片一(a—2)西一々In%=c,x1-(a-2)^-a\nx2=c.兩式相減得片一片一(4-2)玉-aIn%1-Xj+(a-2)x2+?Inx2=0化為a=x；+2Xj—x；—2x,

Xj+InX)-x2-Inx2???r(g=。，當(dāng)xe(o,，時(shí)，ra)<o,當(dāng)x嗚，+8)時(shí)，ra)>o.故只要證明中>>q即可，即證明為+超>安互二W二色，即證明In五〈至二生，2 2 %+In玉一/一In毛 x2xx+x2設(shè)，=五(0</<1),令且(。=111，一^-,則g'Q)=』一14八￡='C% ') t+\ t(r+1)2r(r+l)2vl>r>0,?,?g'⑺>0...ga)在(0,1)上是增函數(shù)，又在r=l處連續(xù)且g⑴=0,???當(dāng)re(0,1)時(shí)，g(f)<0總成立.故命題得證.16.(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)=lnx—底+(2—a)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)〃>0,證明：當(dāng)OVxV(時(shí)，x)；(3)若函數(shù)y=/U)的圖象與軸交于A,8兩點(diǎn)，線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為沏，證明：/(出)<0.16.解析(1)若把0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)增加；若4>0,/")在lO,f上單調(diào)遞增，在看,+網(wǎng)上單調(diào)遞減；TOC\o"1-5"\h\z(2)法一：構(gòu)造函數(shù)g(x)=/d+x)>/d-x),(Ovxv，),利用函數(shù)單調(diào)性證明，方法上同，略;a a a法二：構(gòu)造以a為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)h(d)=/(—4-x)> —,a ajr jr貝Ih(a)=ln(l+ar)-ln(l-ax)-lax,h\a)=—:—+—: 2x=? ,14-ar\-ax\-a^x由0<x<,，解得0<a<4，當(dāng)0<a<1時(shí)，h'(a)>0,ffiA(O)=O,a x x所以〃(a)>0,故當(dāng)Ovxv4時(shí)，/(—+x)>/(--x)aa a(2)由(1)可得。>0,r(x)=:-2ar+2—a在(0,+s)上單調(diào)遞減，/rri=O,不妨設(shè)A(xi,0),B(m,0),0<xi<x2?則0VxiV(Vx2,欲證明r(x)<o,即r(xo)</’《，只需證明的=口產(chǎn)>[,即m>[—x2,2只需證明f(X2)=f(Xi)>f\--X2).由(2)得好一X2)=/J+1-2)|>廣一(；一刈)=1/3),得證.CC v4C< C4C-417.設(shè)函數(shù)/。)=^一奴+小其圖象與軸交于A(jq,0),8(X2,0)兩點(diǎn)，且x】Vx2.(1)求。的取值范圍；(2)證明：廣(也的)VO/Q)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)).17.解析(1)〃￡(層，+oo),且OVjqVlnnVM,/(x)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(liw,+8)上單調(diào)遞增；(2)要證明:訴否)〈0,只需證((嚀玉)〈0,即/(號(hào)5</'(1|1々)，因?yàn)?'。)=匕"一。單調(diào)遞增，所以只需證亦即X2>21na—xi,只要證明f(X2)=f(xi)>/(21na—即)即可；令g(x)=f(x)—f(2\na—x)(x<Ina),則g,(x)=/((x)-/,(21na-xi)=et-^-2a<0,所以g(x)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，g(x)>g(ln?)=O,得證.18.已知函數(shù)犬x)=lnx—ar+1有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍：(2)設(shè)xi，X2是兀0的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：f(xvxi)<\-a.18.解析(1)由_/(x)=0,可得a=~,1Inr轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=—■-與直線y=a的圖象在(0,+8)上有兩個(gè)不同交點(diǎn).88)=三?>0)，故當(dāng)x￡(0,1)時(shí),g'(x)X)；當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，g\x)<0.故g(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以ga)max=g(l)=l.又g({)=0，當(dāng)X-+8時(shí)，g(x)-O,故當(dāng)xe(o,3時(shí)，g(x)<0;當(dāng)xG?，+8)時(shí)，g(x)>0.可得“G(o,1).(2)r(x)=1-a,由(1)知xi,切是Inx—ax+l=O的兩個(gè)根，,, .t . Inxi-lnx2故InX|-ari+1=0,Inx2-QQ+l=O=a=—二.X1X2要證f(xi-X2)<1—a,只需證xi?X2>1,即證Inx\+InX2>0,即證(的-1)+(ax2—1)>0,TOC\o"1-5"\h\zur、T-2 .ylnxi—lni2 2即證a>—;—,即證 >—:—.X\-TX2 X\—X2 X\~TX2力_12c-1)不妨設(shè)0542,故In『v ， (*)X2X\-TX2X\I—十1X2.x\ 2(/—I) 1 4 (/—I)2令F(o‘i),力⑺=1?—不丁，h\t)=--(z+l)2-/(r+l)2>0,則⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，則。")<〃(1)=0,故(*)式成立，即要證不等式得證.19.已知函數(shù)/(x)=4+lnx(aGR).(1)討論y(x)的單調(diào)性：(2