上海高中數(shù)學-知識點總結良心出品必屬精品

上海高中數(shù)學一一知識點總結一、集合與常用邏輯.集合概念元素：互異性、無序性.集合運算全集U:如U=R交集：AClB={xxwA且xwB}并集：AuB={xxwA或xwB}補集：gA={xxwU且x正A}.集合關系空集HA子集AEB：任意x^AnxeBAB=A=ABAB=B=AB注：數(shù)形結合---文氏圖、數(shù)軸.四種命題原命題：若p原命題：若p則q否命題：若-p則-q原命題匕逆否命題.充分必要條件p是q的充分條件：Pnqp是q的必要條件：P=qp是q的充要條件：p?q.復合命題的真值逆命題：若q則p逆否命題：若飛則「p否命題u逆命題①q真（假）?“「q"假（真）②p、q同真？“pAq”真③p、q都假？“pVq”假7,全稱命題、存在性命題的否定飛三M,p(x)否定為：B^M,」p(X)3=M,p(x)否定為：M,「p(X)二、不等式.一元二次不等式解法若a>0,ax2+bx+c=0有兩實根a,P@<P),則ax2+bx+c<0解集(a,P)ax2+bx+ca0解集(-°o,o()U(P,-hc)注：若a<0,轉化為a>0情況.其它不等式解法一轉化22xcau—a<x<a。x<ax〉aux>a或x<—aux2>a2f(x)

f(x)

g(x)f(x)g(x)0af(x)〉ag(x)uf(x)>g(x)(a>1)f(x)0logaf(x)>logag(x)^<(0<a<1)f(x)：二g(x).基本不等式①a2b2,2ab②若a,bWR;則與二也至掠2注：用均值不等式a+b>2V0b>ab^Ca^b)22求最值條件是“一正二定三相等”三、函數(shù)概念與性質.奇偶性f(x)偶函數(shù)=f(-x)=f(x)^if(x)圖象關于y軸對稱f(x)奇函數(shù)uf(_x)=_f(x)uf(x)圖象關于原點對稱注：①f(x)有奇偶性=定義域關于原點對稱②f(x)奇函數(shù)，在x=0有定義=f(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定義域內).單調性f(x)增函數(shù)：xi<x2=f(x1)<f(x2)或xi>x2=f(x1)>f(x2)或"Xi)-0x1-x2f(x)減函數(shù)：？注：①判斷單調性必須考慮定義域②f(x)單調性判斷定義法、圖象法、性質法“增+土1=增”③奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反.周期性T是f(x)周期uf(xW)=f(x)恒成立(常數(shù)T#0).二次函數(shù)解析式：f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-xif(x)=a(x-xi)(x-x2)對稱軸:-bx對稱軸:-bx二——2a當x=2b，f(x)min=b4ac-b、頂點：(———,)2a4a單調Ta>°,(_8,一\］遞減，［一/4)遞增奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)ub=0閉區(qū)間上最值:配方法、圖象法、討論法---注意對稱軸與區(qū)間的位置關系注：一次函數(shù)f(x)=ax+b奇函數(shù)仁b=0四、基本初等函數(shù)12——.指數(shù)式a°=1(a=0)a"=：am=m；ana.對數(shù)式logaN=buab=N(a>0,a#1)logaMN=logaMlogaNMloga一=logaM-logaNNlogaMn=nlogaMulogmblogb二loglgb

lgalogab=lgb

lgalogab=loganbn_1logba注：性質loga1=0logaa-1alogaN=N常用對數(shù)1gN=l0gl0N,lg2+lg5=1自然對數(shù)InN=logeN,Ine=1.指數(shù)與對數(shù)函數(shù)y=ax與y=1ogax定義域、值域、過定點、單調性?定義域、值域、過定點、單調性?注：y=ax與y=logax圖象關于y=x對稱（互為反函數(shù)）1.帚函數(shù)y=x2,y=x3,y=x2,y=X」y=X”在第一象限圖象如下:五、函數(shù)圖像與方程1.描點法函數(shù)化簡一定義域一討論性質（奇偶、單調）取特殊點如零點、最值點等“左加右減,上正y=f(x)-.y=f(xh)/由4左一、每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼哪浮?1\伸縮：y=f(x)二y=f(x)對稱：“對稱誰，誰不變，對稱原點都要變”y=f(x)一型ty=—f(x)y=f(x)-吧ty=f(-x)y=f(x)-匕y=-f(-x)直線x—a注：y=f(x)-；y=f(2a-x)翻折：y=f(x)Ty=|f(x)|保留x軸上方部分，yy=|f(x)|并將下方部分沿x軸翻折到上方y(tǒng)y=|f(x)|y=f(x)^ao^b^Tcy=f(x)Ty=f(|x|)保留y軸右邊部分，并將右邊部分沿y軸翻折到左邊y」y=f(x)y=f(|x|)\I\/\/f\f\/\―"aob、c~—Vaob7cr3.零點定理若f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內有零點(條件：f(x)在［a,b］上圖象連續(xù)不間斷)注：①f(x)零點：f(x)=0的實根②在［a,b］上連續(xù)的單調函數(shù)f(x),f(a)f(b)<0則f(x)在(a,b)上有且僅有一個零點③二分法判斷函數(shù)零點---f(a)f(b)<0?六、三角函數(shù)

.概念第—象限角(2kn+—,2kn+n)(kwZ).弧長l=ar扇形面積S=1lr2.定義sina=—cosa=-tana=?rrx其中P(x,y)是“終邊上一點，PO=r.符號“一正全、二正弦、三正切、四余弦”.誘導公式：“奇變偶不變，符號看象限”如Sin(2n-a)=-since,cos(n/2+ct)=-since.特殊角的三角函數(shù)值a0冗冗冗冗冗3n64322sin口012①2員210-1cosa1<3262120-10tg口0v1331而/0/.基本公式22sin,1■-問用sin2二-cos2：--1=tan-cos-和差sin一F)：sin二cosI-二cos：sin:cos--:=cos：cos:"sin二sin:tan〔:工二1tan〔:工二1■1-tan.：：tan:倍角sin2：=2sin：cos：-2.2-22tan2：coS2=cos”-sin二二2cos”T=1-2sin;tan2：降哥cos2=降哥cos2==1+8s2asin1-cos2:疊加sins：：cos?-.2sin(：.—)4.3sin：-cos：-2sin(二一一)

6asin.：i；bcos==a2b2sin(二+：P)(tan=-)b.三角函數(shù)的圖象性質單調性：（爰增（。㈤減點）增sinxcosxtanx值域[-1,1][-1,1]無奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期2兀2兀兀對稱軸X=內+兀/2x=k71無中心(kn,0)5/2+k%0)(K/2,0)注：kZ.解三角形基本關系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC.ABCsin=cos—22正弦定理：_a_="_=—1-sinAsinBsinCa=2RsinAa:b:c=sinA:sinB:sinC余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA(求邊)1222cosA=b——c-a(求角)2bc面積公式：￡>△=1absinC2注：AABC中，A+B+C=A<BusinA<sinBa2>b2+c2?ZA>-2七、數(shù)列1、等差數(shù)列定義：an1-an=d通項：an=a1,(n-1)d求和：Sn=na一an)=na11n(n-1)d22中項：b=W(a,b,c成等差)2性質：若m+n=p+q,貝Uam+an=ap+aq2、等比數(shù)列定義：警川「0)通項:n1通項:n1an二a〔q一nai(q=1)求和:Sn=《ai(1-q)1-q(q=i)中項:b2=ac(a,b,c成等比)性質：若m+n=p+q貝Uama=apaq3、數(shù)列通項與前n項和的關系ans1二a[(nansn—sn」(n22)4、數(shù)列求和常用方法公式法、裂項法、錯位相減法、倒序相加法八、平面向量1.向量加減三角形法則，平行四邊形法則AB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始點中點公式：Ab+Ac=2ad^d是bc中點1—a，b，cos8,.向量數(shù)量積ab==x1x2+y1y2注：①a,b夾角：0°<e<180°②a,b同向：ab=a'b.基本定理a=%6)十九2e2(e^a不共線--基底)平彳?。篴〃bua=7ubux1y2=x2y1(b*°)—I--fc--I--I-垂直：a_b：=ab=°=x1x2y1y2=°模：a=v'x2+y2a+b=(a+b)2="''夾角：cos-二ab|a||b|注：①0//a②a,6c以QKe（結合律）不成立③ab=a，e=6=e（消去律）不成立九、復數(shù)與推理證明.復數(shù)概念復數(shù)：z=a+bi（a,bwR）,實部a、虛部b分類：實數(shù)（b=0）,虛數(shù)（b￥0）,復數(shù)集C注：z是純虛數(shù)ua=0,b#0相等：實、虛部分別相等共鈍：z=a-bi模：z=.a2,b2zz=z2復平面：復數(shù)z對應的點（a,b）.復數(shù)運算加減：（a+bi）士（c+di）=?乘法：（a+bi）（c+di）=?除法：a_^i=（abi）（c-di）==...cdi（cdi）（c-di）乘方：i2=—1,in=i4k+=ir.合情推理類比：特殊推出特殊歸納：特殊推出一般演繹：一般導出特殊（大前題一小前題一結論）.直接與間接證明綜合法：由因導果比較法：作差一變形一判斷一結論反證法：反設一推理一矛盾一結論分析法：執(zhí)果索因分析法書寫格式：要證A為真，只要證B為真，即證……，這只要證C為真，而已知C為真，故A必為真注：常用分析法探索證明途徑，綜合法寫證明過程.數(shù)學歸納法：(1)驗證當n=1時命題成立，(2)假設當n=k(kn*,k至1)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立由(1)(2)知這命題對所有正整數(shù)n都成立注：用數(shù)學歸納法證題時，兩步缺一不可，歸納假設必須使用十、直線與圓1、傾斜角范圍10,H)斜率k二tan二二-y2-y1X2-X1注：直線向上方向與X軸正方向所成的最小正角傾斜角為90。時，斜率不存在2、直線方程點斜式y(tǒng)-y0=k(x-X0),斜截式y(tǒng)=kx+b兩點式上二,截距式2+Y=1y2-y1X2-X1ab一般式AxByC=0注意適用范圍：①不含直線x=x0②不含垂直X軸的直線③不含垂直坐標軸和過原點的直線3、位置關系(注意條件)平彳丁仁k1=k2且b1#b2垂直=k1k2=-1垂直仁A1A2+B1B2=04、距離公式兩點間距離：|AB|=(xi-X2)2(yi-y2)2點到直線距離：d=1AA2B25、圓標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圓心(a,b),半徑r圓一^般方程：x2十y2+Dx十Ey+F=0(條件是？)圓心■，一旦］半徑「二八2-2一.2226、直線與圓位置關系位置關系相切相交相離幾何特征d=rd<rd>r代數(shù)特征△=0A>0△<0注：點與圓位置關系(Xo-a)2+(y0-b)2>r2u點P(x0,y0)在圓外7、直線截圓所得弦長AB=2,r2-d2十一、圓錐曲線一、定義橢圓：|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FE|)雙曲線：|PFi|-|PF2|=±2a(0<2a<|FE|)拋物線：與定點和定直線距離相等的點軌跡二、標準方程與幾何性質(如焦點在x軸)22橢圓斗?\=1(a>b>0)ab22雙曲線三一、=i(a>0,b>0)ab中心原點對稱軸？焦點Fi(c,0)、F2(-c,0)頂點：橢圓(土a,0),(0,士b),雙曲線(土a,0)范圍：橢圓-aMxwa,-b<y<b雙曲線|x|>a,ywR焦距：橢圓2c(c=va2-b2)雙曲線2c(c=Ja2+b2)2a、2b:橢圓長軸、短軸長，雙曲線實軸、虛軸長離心率：e=c/a橢圓0<e<1,雙曲線e>122注：雙曲線4=1漸近線y=±bXaba方程mx2+ny2=1表小橢圓um>0,n>0,mnn方程mx2ny2=1表示雙曲線之mn::0拋物線y2=2px（p>0）頂點（原點）對稱軸（x軸）開口（向右）范圍x之0離心率e=1焦點f（匕0）準線x=」22十二、矩陣、行列式、算法初步十、算法初步一.程序框圖程序框名稱功能1—]起止框起始和結束Z_/輸入、輸出框輸入和輸出的信息—處理框賦值、計算O判斷框判斷某一條件是否成立■1kr循環(huán)框重復操作以及運算二.基本算法語句及格式1輸入語句：INPUT"提示內容”；變量2輸出語句：PRINT”提示內容”；表達式3賦值語句：變量=表達式4條件語句IF—THEWELSE語句IF—THEWELSE語句IF—THEN語句IF條件THENIF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF5循環(huán)語句當型循環(huán)語句WHILE條件循環(huán)體WENDIF條件THEN語句ENDIF直到型循環(huán)語句DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件當型“先判斷后循環(huán)”直到型“先循環(huán)后判斷”當型“先判斷后循環(huán)”直到型“先循環(huán)后判斷”三.算法案例1、求兩個數(shù)的最大公約數(shù)輾轉相除法：到達余數(shù)為0更相減損術：到達減數(shù)和差相等2、多項式f(x)=anXn+an-iXn-1+?；+aix+ao的求值秦九韶算法：V1=anX+an1V2=V1X+an23=V2X+an3vn=Vnix+a0注：遞推公式vo=avk=Vkix+ank(k=1,2,???n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次3、進位制間的轉換k進制數(shù)轉換為十進制數(shù)：anan」.....a〔ao(k)=anknan」kn」■a〔ka。十進制數(shù)轉換成k進制數(shù)：“除k取余法”例1輾轉相除法求得123和48最大公約數(shù)為3例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5)123=2X48+27v。=248=1X27+21v1=2X5—5=527=1X21+6v2=5X5—4=2121=3X6+3v3=21X5+3=1086=2X3+0v4=108X5-6=534v5=534X5+7=2677十三、立體幾何.三視圖正視圖、側視圖、俯視圖.直觀圖：斜二測畫法ZXOY'=450平彳fX軸的線段，保平行和長度平彳fY軸的線段，保平行，長度變原來一半

.體積與側面積V柱=$底卜V錐=1S底hV球=4兀F333C_lC_/Cl_\1c__2S圓錐側=nrlS圓臺側=k(R+r)lS球表二4nR.公理與推論確定一個平面的條件：①不共線的三點②一條直線和這直線外一點③兩相交直線④兩平行直線公理：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。.兩直線位置關系相交、平行、異面異面直線——不同在任何一個平面內.直線和平面位置關系a二：1aH：-=A.平行的判定與性質線面平行：a//b,bua,a0a=a//aa//a,auP,Bca=b=a面面平行：AB//a,AC//”平面s//P,a=a=a//B.垂直的判定與性質線面垂直：p-AB,p_AC=a〃:p1面ABC面面垂直：a〃:p1面ABC如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直;若兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直逆定理?9.空間角、距離的計算異面直線所成的角范圍在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直逆定理?9.空間角、距離的計算異面直線所成的角范圍(0°平移法：轉化到一個三角形中，用余弦定理一個平面垂直三垂線定理：PO一,AO_a=PA_aPO一，PA_a=AO_a直線和平面所成的角范圍[00,90]定義法：找直線在平面內射影，轉為解三角形二面角范圍[0°,180]定義法：作出二面角的平面角，轉為解三角形點到平面的距離體積法--用三棱錐體積公式注：計算過程，“一作二證三求”，都要寫出10.立體幾何中的向量解法法向量求法：設平面ABC勺法向量n=(x,y)n-AB,n-ACnAB=0,nAC=0解方程組，得一個法向量n線線角：設RR是異面直線li,l2的方向向量,

li」2所成的角為日，貝Ucos8=|cos<ni,n2>即li』2所成的角等于<同月a或冗-工二〉線面角：ABn設n是平面Q的法向量，AB是平面a的一條斜線，AB與平面?所成的角為日，貝!Jsin?-cos:二n,AB=ABnAB、n二面角：設n1,n2是面。,P的法向量，二面角?-l-P的大小為e,則cos9=cos<ni,n2A或-cos:二ni,n2即二面角大小等于<n,n2>或n-<ni,n2A點到面距離:若n是平面a的法向量，AB是平面口的一條斜線段，且BE,r4一，，-.AB?n則點A到平面口的距離d=——n十四、計數(shù)原理.計數(shù)原理加