離散數(shù)學(xué)(第二版)最全課后習(xí)題答案詳解

1.（4）2x+<3 0...（10）圓的面積等于半徑的平方乘以π.（11）只有6是偶數(shù)，3才能是2的倍數(shù).0.（12）8是偶數(shù)的充分必要條件是8能被3整除.0.（13）2008年元旦下大雪.. .（10）p:圓的面積等于半徑的平方乘以π.,,.（2）不但π是無理數(shù)，而且自然對數(shù)的底e也是無理數(shù)...答:p：2是偶數(shù)，q：3是偶數(shù)，r:3是素數(shù)，s:4是偶數(shù),t:5是偶數(shù)..答：p：劉曉月選學(xué)英語，q：劉曉月選學(xué)日語，符號化為:(∧∨∧pq)(pq).

,.

,則: ,則: ,q,, ,, ,（2）2+2=4的充要條件是3+36；（3）2+24與3+3=6互為充要條件； , ,,,,,

..（2）

. 是無理數(shù)q:3是無理數(shù)r: ,q: :

,p,p2,…,p n的公式,證明:.

1

nnn

1

1

1

?∨??∧?(AB)

001110001（1）?∧→(pqq)答：原式=??∧∨((pqq)=??∨?∨(pqq)=0是矛盾式.. p?∧∨∧?（pqpq）（）答：右式=pqq∧∨?（）=p∧1=p（2）((pq→∧→?→∧)(pr))(p(qr))答：右式=?∨∧pqr()=(?∨∧?∨pq)(pr)=(pqpr→∧→)())=左式（3）???∨∧?∧(pq)(pq)(pq)答：左式=??∨∨?∨?(pq)(pq)=(p∨?∧∧?∨?∧(pq))(q(pq))=(pq∨∧?∧)(pq)（4）(pq∧?∨?∧?∨∧?∧)(pq)(pq)(pq)答：左式=(p∨?∧∧?∨?∧(pq))(q(pq))=(pq∨∧?∧)(pq)(?→→?∨=∨→?∨=?∨∨?∨pq)

(qp)(pq)

(qp)

q

(qp)=(?∧?∨?∧∨?∨∧∨?pq) (qpp( (pqq()=(pq∧∨∨?∨?∧?=∨∨) (pp) (pqmmm)0 （2）?(p→q)∧q∧r答：?→∧∧=??∨∧∧=∧?∧∧=(pqqr)(pqqrpqq) （3）(pqr∨∧→∨∨(

(pqr)==mmmmmMMM1∨∨∨∨(pqr∨∧→∨∨=?∨∧∨∨∨=?∧?∧∨∨∨((pqr)(p(qr)) (pqr)=(?∧?∨?∨∨∨=?∧?∨?∧?∨∨∨p(qr))

(pqr)(pq)

(pqr)(pr)

(pqr())(pqr)=(?∧?∧∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨?∧∨?pqrr()(pqq(

)r)(pqqrr(∨∨?∧∧∨?∨((ppqrr) ))((ppqqr∨?∧∨?∧)( =(?∧?∧∨?∧?pqr)(pqr∧?∨?∧∧?∨∧∧∨∧?∧∨)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr∧∧?∨∧?∧?∨?∧∧=∨∨∨∨∨∨∨)(pqr)(pqrmmmmmm （1）?(q→?p)∧?p答：?→?∧?=??∨?∧?=∧∧?=(qp)p(qp)pq（2）(p∧q)∨(?p∨r)答：(pq∧∨?∨=∨?∨∧∨?∨=?∨∨=) (pr) (pprqpr)( (pqrM) （3）(p→(p∨q))∨r答：(p→∨∨=?∨∨∨=?∨∨∨=(pqr))(ppqr( (ppqr1，所以為重言式。所（1）(p∧q)∨r答：(pqrpqrr∧∨=∧∧∨?∨)( ((ppqqr∨?∧∨?∧)( =(pqrr∧∧∨?∨( ))((ppqqr∨?∧∨?∧) =(pqr∧∧∨∧∧?∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) 7=0∧2∧4==mmmmMMMM0∨∨∨==mmmmmm1∨∨∨∨∨==MMMMMMMM0∧∧(pqqr→∧→=?∨∧?∨=?∧?∨?∧∨∧?∨∧) )(pq)(qr)(pq) (prqqqr) =(?∧?∧∨?∨?∧∨?∧∨pqrr())

(pqqr(

))

((ppqr∨?∧∧)

=(?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧∨∧∧pqr) (pqr)(pqr)(pqr) 7=2∨4∨5∨6（1）(p∧q)→q答：(pq∧→=?∧∨=?∨?∨==∨∨∨)q(pqqpqq)1mmmm0

（2）(pq?→)r答：(pq?→=?∧∨?∧?∨=?∧∧??

∧?∨)r((pq) (pqr))((pq)(pqr))=((?∨?∧∨∨=?∨?∨∧∨∨pq)

(pqr))

(pqr)(pqrMM)=

（3）?→∧∧(rppq)答：?→∧∧=∧?∧∧(rppqrppq) 2∧3∧4∧5∧6∧7.（1）(pq∨∨?∧) (pr)

rq

?∧pr

(pq∨∨?∧)(pr)mmmmmmmm1∨∨∨∨∨∨==MMM0∧==MMMM2∧23 （2）(pq→→??)

(pq)答：公式的真值表如

?

(pq→→??)

(

q(pq→→??=∧?∨?∨?∧∨) (pq)(pq) ((pq) (pq))=(?∧∨∧?pq)(pq)（1）(pqr∧∨)答：(pqrprqr∧∨=∨∧∨)()()2∧4（2）(pqqr→∧→)()答：(pqqr→∧→=?∨∧?∨)()(pq)(qr)4∧5∧6qr∨∧)（2）p→∨∨(pqr)（3）?→?∧?(qp)pp q r (pqr∨∧) p→∨∨(pqr)?→?∧?(q p)p mmmmmmmmm0∨∨∨∨∨∨∨MMMM0∧∧mmmmm0∨∨∨∧∧ 23 2∧3.2∧4∧5∧7，主析取范式mmm0∨∨36.3∧6∧7， 7.答：A的主合取范式為1..15.用主析取范式判斷下列公式是否等值：（1）(pqr→→)與q→→(pr)答：(pq→→=∧?∨)rpqr()==mmmmm1∨∨∨∨==mmmmmmm0∨∨∨∨∨∨==mmm0∨∨((pq→→)rMMM=0∧34 7q→→=?∨?∨(pr) pqr .（2）?∧(pq)與?∨(pq)答：?∧=?∨?(pq) pq?∨=?∧?(pq)pq（1）p→→(qr)與?∧∨(pqr)答：p→→=(qrM)?∧∨(pqrM)=

（2）p→→(qr)與(pq→→)r答：p→→=(qrM)62∧6{（1）?→?∧(pq((qr)))答：?→?∧(p(q(qr)))=??∨?∧(pq((qr)))=p∧??∧((qr))=p∧??∨∧∧∨?∧((qqr(

(q(qr)))（2）(pq∧∨?)r答：(pq∧∨?)r，原式已滿（3）p??(qr)答：p??=→?∧?→(qr)(p(qr))((r)p)=(?∨?∨∧∨?p((qrqr)

()))∧??∨∧∨?∨(((qrqr) ))p)（1）pqr∧?∧?答：此公式已經(jīng)符合題目要求.（2）(prq?∧)答：(prq?∧=)((prrpq→∧→)())∧=((?∨∧?∨pr)(rpq))∧=((?∧?∧?∧?∧pr)(rpq))（3）(pqrq→∧∨())答：(p→∧∨=?∨∧∨(qrq))(pqr())p=?∧?∧∨(p(qr))p=?∧?∧∧?((p(qr))p)（1）(?∨?∧pqr)答：(?∨?∧=???∨?∨?pqr)((pq)r)（2）(p→∧?∧∧(qpqr))答：(p→∧?∧∧=???∨??∨(qpqr))((p(qp))∨?∨?qr)（3）pqr∧∧?答：pqr∧∧?=??∨?∨(pqr){（1）(p∧q)∨r（2）(p→?q)∧r（3）(p∧q)?r答：(pqr∧∨???∨?∨??→?∨?→?→)(pqr)(pqr)(pqr)(2)(p→?∧qr)答：(p→?∧???→?∨???→?→?qr)((pq)r)((pq)r)(3)(pq∧?)r答：(pq∧????∨?→∧→??∨?)r((pq)rr) (pq))?????∨?→∨?→??∨?(((pqr)) (r(pq)))???→?→→?→?→?(((p qr)) (r(pq)))（1）(p↑q)?(q↑p)，(p↓q)?(q↓p).（2）(p↑(q↑r))?((p↑q)↑r)，(p↓(q↓r))?((p↓q)↓r).證明：(1)pq↑??∧??∧?↑(pq) (qp)qp；pq↓??∨??∨?↓(pq) (qp)qp(2)令p=0,q=0,r=1則pqr↑↑=() 1,(pqr↑↑=)0，pqr↓↓=( 1,(pqr↓↓=) (pqr↑↑?( ))((pqrpqr↑↑))(，↓↓?())((pqr↓↓)). （3）(p∧?q)∨(?p∧q)（4）?(p→q)答：(1)F14(2);(2)F8(2);(3)F6(2);(4)F2(2) (2)BA???∨∧?∨??∨∧?∨??(BA)(AB)(AB) 若ABBC?且??→∧→∧→∧→(ABBABCCB)()?→∧→∧→∧→?→∧→(ABBCCBBA)()()??AC即AC???∨?∧∨??→∧→??A B(ABBA)( 答：(1)設(shè)ApBq=∨1,=∧0,Cr=∨1，則AC∨=?∨=1BC1 （2）設(shè)ApBq=∨1,=∧0,Cr=∨0，則AC∧=?∧=0BC0，但知A∧C?B∧C，在什么條件下，A?B一定成立？解：若C=0;則ACBC∨?∨，AA??mmmm1∨∨∨F?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) （b）F?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)????∧∧?∧?((pr)(pr))（c）F??∧?∧pqrAFA?∧?∧?∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)?∧?∨∧?(pq)(pq) FB??∧∧?∨?∧∧??∧(pqr)(pqr)FC??∧∧pqr

3.....5個條件，即pqrst∧∧?∧?∧.2若李去，周不去，由條件（4）得則孫去，從而由條件（3）得錢不去，而由條件（1）得趙也不去，即?∧?∧∧∧?pqrst.”p”p((p∨)∧?q?p。”qp(qpq：小明會跳舞，該假言推理定律符號化為→q)p?q（2）“如果3是奇數(shù)，則明天下雨，3是奇數(shù)，所以明天下雨”。令p：3是奇數(shù)，q：明天下雨，該假言推理定律符號化為(p→q)∧p?q。（3）“如果明天晴天，則小明去游泳，明天晴天，所以小明去游泳”。令p：明天晴q(p)pq(（2）析取三段論：“小明會彈琴或跳舞，小明不會跳舞，所以小明會彈琴”。令p：q（3）假言三段論：“明天要是周末，小明明天休息，小明要是明天休息，他就會去（4）等價三段論：“2是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù)，3是奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)4是偶數(shù)，所以(q∧q)p號化為（5）構(gòu)造性二難：“明天是周一，小明就要上學(xué)，明天是周末，小明就要去游泳，明天是周末或者周一，所以小明去上學(xué)或者去游泳”。令p：明天是周一，q小明要上學(xué)，s：(→)∧s→)∧ps)(qt) （6）破壞性二難：“明天是周一，小明就要上學(xué)，明天是周末，小明就要去游泳，”(pq)(st)∧?q∨?)(?p)。(p→q)∧q→p?(q) ?q→p(q∧?(?p∨q)∧q→p

q(pp(→)∧??(?p∨q)∧?p→?q等值演算法：?((?p∧?p)∨(q∧?p))→?q，q(→)∧??(?p∨q)∧?p→?q?(pq) pqp→q∨r。p→(q∨r)??p∨q∨r6pr(p?)p→?(p?r)∧?p→?r??((p→r)∧(r→p)∧?p)∨?r??(?p∨r)∨?(?r∨p)∨p∨?r?(p∧?r)∨(?p∧r)∨p∨?r?p∨(?p∧r)∨?r?pq（2）前提：(p∧q)→r，?r，q（3）前提：p→(q→r)，p，q前提：前提：r→()rr→q)→(??(?))→(???(qq∧r)∨???((??(?……,p∨?2(p→?)∧(r→)→(r→?) pqr000001010011100101110111

(p→?q)∧(r→q)

(r→?p) r→?p)p∨?

r∨

r∨?)p∨?rp∨?

q∧r)∨?r)(交換律，結(jié)合律)q∨?)rr前提：(p→?q),(r→q)結(jié)論：(r→?p)③r→q④r→?p

pqr (qr∧?∨?∧)(qr)p→∧?∨?∧(qr)(qr) ?∧?qr 000001010011100101110111(p→∧?∨?∧∨?∧∧?→?∧?((qr)(qr))(qr))p) (qr)??∨∧?∨?∧∧?→?∧?(pqr()(qr)??→?∧?p(qr)?∨?∧?p(qr)

p(qr))?∨∨∨∨mmmmm

前提：?p∨q，?q∨r，r→s，p∨④?q∨r

⑥r(nóng)→s 前提：p→(q→r)，q→(r→s)結(jié)論：(p∧q)→s④p→(q→r)⑤q→r⑦q→(r→s)⑧r→s13.前提：(→q)∧，p∨qr→((?→∧∧∨∧→→pqq) (pqrs)( )r?∧?∧∧∨∧→→(pqq)(pqrs)()r?∧∨∧→→0( )()rpqrs?→0r?1((?→∧∧∨∧→→pqq) (pqrs)( )s?∧?∧∧∨∧→→(pqq)(pqrs)()s?∧∨∧→→0( )()spqrs?→0s?1((?→∧∧∨∧→→∨pqq))(pqrs)(?∧?∧∧∨∧→→∨(pqq)(pqrs)()rs?∧∨∧→→∨0( )()rspqrs?→∨0rs

)rs((?→∧∧∨∧→→pqq))(pqrs)?∧?∧∧∨∧→→( )( )()*pqq pqrs?∧∨∧→→0( )()*pqrs?→0*（1）前提：p→(q→r)，p，q結(jié)論：r∨s2p→q?(∧r，rp（3）前提：p→q結(jié)論：p→(p∧q)qstr（5）前提：p→r，q→s，s→tt∧r結(jié)論：r∧s（6）前提：?p∨r，?q∨sp∧q結(jié)論：t→(r∨s)（1）p→→(qr) （3）qr→ （5）r （6）rs∨ （1）?∧(qr)（2）?∨?qr（3）r

（2）?∨pq（3）(?∨∧?∨pq)（4）?∨∧pqp()（5）p→∧(pq)（1）(stts→∧→)（3）tr→4tr（8）(qssq→∧→)(pp)（2）置換()前提引入()（7）置換（4）pr→（5）r（8）rs∧（4）?∨pr（5）r（6）?∨qs（8）rs∧（9）?∨∧trs( （10）t→∧(rs) （1）前提：p→(q→r)，s→p，q結(jié)論：s→r（2）前提：(p∨q)→(r∧s)，(s∨t)→u結(jié)論：p→u （4）p→→(qr)（5）qr→（7）r（3）(pq∨→∧)（4）rs∧(rs)前提引入（7）(st∨→)u（1）前提：p→?q，?r∨qr∧?s結(jié)論：?p（2）前提：p∨q，p→r，q→結(jié)論：r∨s（4）?∨rq（5）?r（6）r∧?s（7）r（8）?∧rr（1）?∨(rs)（2）?∧?rs（3）?r（5）pr→（9）?∧?pq（10）qp∨ 前提：(pq∧?→)rpqss,,→?,結(jié)論：

qs→?s(pq∧?→)r（7）r 前提：p→∨(qrs),→?qps,,rsp→∨(qr)qr∨q:前提：pqrpq→?→?,結(jié)論：r(4)?→rp(5)r（3）2大于3僅當(dāng)2大于4.（4）3不是偶數(shù)。（5）2或3是素數(shù)。詞的蘊(yùn)含式：FaFb()∧()。（2）設(shè)一元謂詞Fx():x是東北人。Gx()：x怕冷。a:李建。符號化為?Fa()→Ga()。（3）設(shè)二元謂詞Gxy(,)：x大于y；abc:2,:3,:4.符號化為：GabGac(,)→(,).（4）設(shè)一元謂詞Fx():x不是偶數(shù)。a：3。命題符號化為0元謂詞的蘊(yùn)含式：Fa()。（5）設(shè)一元謂詞Fx():x是素數(shù)。a：2，b：3.符號化為FaFb()∨()。a（2）有的有理數(shù)都能被2整除。其中（a）個體域為有理數(shù)集合。解:Fxx():能被2整除；Gxx():是整數(shù)。(1)對任意的x，均有x2?=+2(x2)(x+2)。解：設(shè)Fxx():2?=+2(x2)(x+2),Gxx():+=5 (1)??xFx(()∧?Gx())或者?xFxGx(()→())，其中Fxx():是有理數(shù)，Gxx():能表示(2)??xFxGx(()→())或?xFx(()∧?Gx())，其中Fxx():在北京賣菜，Gxx():是外地人(3)?xFxGx(()→())，其中Fxx():是烏鴉，Gxx():是黑色的；(4)?xFxGx(()∧())，其中Fxx():是人，Gxx():天天鍛煉身體。（1）??xyFxGyHxy(()∧()→(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是輪船，Hxyx(,):（2）??xyFxGyHxy(()∧()∧(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，Hxyx(,):（3）??xGx(()∧?yFy(()→Hxy(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，Hxyx(,):比y快；（4）??xGx ()→?yFy(()→Hxy(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，（1）??xyxy(*=0)，（2）??xyxy(*=0)，（3）??=+xyyx(1)，（4）??xyyxxy(*=*)，（5）??xyyxxy(*=+)，（6）??xyxy(2+<2

(1)????=xyzxyz()(2)??xyxy(*=1)(3)???+=xyzxyz() ()→(,))(2)?xFxy(,)→?yGxy(,)(3)??xyFxyGyz((,)∧(,))∨?xHxyz(,,)（3）在??xyFxyGyz((,)∧(,))，指導(dǎo)變元為x和y，轄域為(FxyGyz(,)∧(,))， yxyD(,)=?,,∈I（d）特定謂詞FxyxyGxyxyxyD(,):=,(,):<,,∈I.(1).??xyGxy((,)→?Fxy(,))(2)??xyFfxyaGxy( ((,),)→(,))(3)??xyGxy((,)→?Ffxya((,),))(4)??xyGfxyaFxy(((,),)→(,))（1）??xyxy((<)→≠(xy)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy<，則xy≠。（2）??xyxy((?=0)→(xy<)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy?=0，則xy<。（3）??xyx（4）??xyxy((?<0)→(xy=)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy?<0，則xy=。

a=2.ygxyxy(,)=+,

(,)=*.（d）D上謂詞Fxyxy(,):=.(1).?xFgxax((,),)(2)??xyFfxay(((,),)→Ffyax((,),)).(3)???xyzFfxyz((,),).(4)?xFfxxgxx((,),(,)).（1）?=xxx(2)，即對任意的自然數(shù)x，有xx=2；（3）???+=xyzxyz( （4）?xxx(2=2)，即存在的自然數(shù)x，使2xx=2。(1).Fxy(,)→((GxyFxy,)→(,))(2)?xFx(()→Fx())→?yGy(()∧?Gy()).(3)??xyFxy(,)→??xyFxy(,).(4)??xyFxy(,)→?(5)??xyFxy((,)→Fyz(,)).(6)??(xFx()→?yGy())∧?yGy().(1).?xFxy(,)→?yGxy(,). ()→())∧?yFyHy(()∧())..(3)??xyFxy((,)→?yGxy(,)).(4)?xFxGxHy( ()∧()∧())(1).?xFxGx(()∨())(2)?xFxGxHx(()∧()∧())(3)?xFx(()∧?yGyHxy(()∧(,)))成真的情況是：Fx()：x是偶數(shù)，Gxx():是奇數(shù)。成假的情況是：Fx()：x():是素數(shù)，Hxx():能被5整除。不存在一個數(shù)(1).?xFx(()→?yGyHxy(()∧(,)))(2)??xyFxGy(()∧()→Hxy(,)))（1）(FxGxFxGx()→())∧()→()，它是重言式(ABAB→∧→)（2）(Fx()→Fx())，它是矛盾式?→(AA)的代換實例。（3）xFxy (,)→Fyx(,))

:?xFx(()∧?yGy())??xFxGaGbGc( ()∧( ()∨()∨()))?(FaGaGbGc()∧(()∨()∨()))∧(FbGaGbGc()∧(()∨()∨()))∧(FcGaGbGc()∧( ()∨()∨()))?(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∨()∨())?xFx(()∧?yGy())??xFx()∧?yGy()?(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∨()∨())（1）??xyFxGy(()∧())（2）??xyFxGy(()∨())（3）?xFx()→?yGy()（4）?xFxy((,)→?yGy())答：1)(()FaFbFc∧()∧())∧(()GaGbGc∨()∨())

(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∧()∧())(()FaFbFc∧()∧())→(()GaGbGc∧()∧())(FayFbyFcy(,)∨(,)∨(,))→(GaGbGc()∨()∨())（1）?xFx(()→Gx())（2）?xFxGx(()∧()) 答：1.在I1下，?xFx()→?xFx()?FaFa()→()??FaFa()∨()?1在I2下，?xFx()→?xFx()?(FaFa(1)∨(2)....∨Fan())→(FaFa(1)∧(2).....∧Fan(（b）fx()為f(3)=4,fx()=3;（c）Fxy(,)為F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1（1）??xyFxy(,)（2）??xyFxy(,)（3）??xyFxyFfxfy((,)→((), ()))??xyFxy(,)??xFx((,3)∨Fx(,4))?(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))?∧?111??xyFxy(,)??xFx((,3)∧Fx(,4))?(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))?∧?0??xyFxy((,)→Ffxfy((),()))??xFx(((,3)→Ffxf((),(3)))∧(Fx(,4)→Ffxf((),(4))))?(F(3,3)→Ff((3),f(3)))∧(F(3,4)→Ff((3),f(4)))∧(F(4,3)→Ff((4),f(3)))∧(F(4,4)→Ff((4),f(4)))?→∧→∧→∧→?∧∧∧?(00) (11)(11)(0 0)1 ?xFx(()→Gxy(,))??xFx()→Gxy(,)???xyFxGy( ()∧( ()→Hxy(,))) ()∧(()→Hxy(,)))???xyFx((()→Gy())→Hxy(,))(FxGy()∧(()→Hxy(,)))?((Fx()→Gy())→Hxy(,))2

()∧())??xGx(()→?Fx()),其中Fxx():小于負(fù)數(shù)，Gxx():是正數(shù)。??xFxGx(()→()??xFx(()∧?Gx()), 數(shù)。?xFx()與?xGx()都是真命題，于是，?xFx()∧?xGx()?xFxGx(()∧())，由于?xFxxGx()∧?()是真命題，故?xFxGx(()∧())也是真命題，即有的實數(shù)是有理數(shù)，也10.在求前束范式時，有人說??xFxGxy(

()∧(,))已是前束范式，理由是量詞已在公11.有人說無法求公式?xFxGx(()→())→?xGxy(,)的前束范式，因為公式中的兩個量詞的指導(dǎo)變元相同。12.求下列各式的前束范式：?xFx()→?yGxy(,)?xFxy((,)→?yGxyz(,,))?xFxy(,)??xGxy(,)(4)?xFxGxx1((1)→(1,2))→?(xHx2(2)→?xLxx3(2,3))(5)?xFxx1(1,2)→(Fx(1)→??xGxx2(1,2))答：(1)??xyFxGzy(()→(,))

(,)→(,,))(3)????xxxxFxyGxyGxyFxy1(3,)→(4,)))

4(((1,)→(2,))∧((4)???yyyFyGyx1(5)??yyFyx1

23(((1)→(1,2))→(HyLxy(2)→(2,3)))2((1,2)→(Fx(1)→?Gxy(1,2)))13.將下列命題符號化，要求符號化的公式全為前束范式：??xyFxGyHxy(()∧()∧(,))yFxGy(()∧(()→Hxy(,)))??xyFxGy(()∧()∧?Hxy(,))??xyFxGy(()∧()→?Hxy(,))、14.在自然推理系統(tǒng)F中，指出下面各證明序列中的錯誤：(1)○1Fx()→?xGx() 前提引入○2FcGc()→()○1EI規(guī)則

?xFx()→?yGy()FyGy()→()

Fa()→Fb()

○1EI規(guī)則○2?xFxGx(()→()) ○1EG規(guī)則(4)○1FaGb()∧() ○2?xFxGx(()∧()) ○1EG規(guī)則(5)○1FcGc()→() ○2?xFxGx(()→()) ○1UG規(guī)則Fx()→?xGx()??xFyGx(()→())，因為量詞轄域(FyGx()→())中，除了(2)對FcGc()→()也應(yīng)先化成前束范式才能消去量詞，其前束范式為??xyFxGy(()→())，要消去量詞，既要使用UI規(guī)則又要使用EI規(guī)則。 AyFyGy()=()→()不滿足要求。F(x):x為奇數(shù)，G(x):x為偶數(shù)，顯然F(3)∧G(4)為真，但不存在使FxGx()∧()為真(5)這里c為個體常項，不能對?xHx(()→?Fx()()

(1)前提：?xFx()→?yFyGy((()∨())→RyxFx()),?()結(jié)論：(2)前提：?xFx(()→(()GaRx∧())),?xFx()

Rx(()∧())

()∨()),??xGx()

結(jié)論：?xFxGxxGx(()∨()),??(()∨?RxxRx()),?()

結(jié)論：證明：(1)○1?xFx()

?xFx()→?yFyGy((()∨())→Ry())?yFyGy((()∨())→Ry())

○1○2假言推理○4F(c) ○1EI○5(FcGc()∨())→Rc() ○3UI○6FcGc()∨() ○4附加○7R(c) ○5○6假言推理

?xRx()

○2?xFx(()→(GaRx()∧())) ○3F(c) ○1EI

Fc()→(GaRc()∧())GaRc()∧()

○3○4假言推理○6R(c) ○5化簡

○7FcRc()∧()?xFxRx(()∧())

○3○6合取

??xFx()??xFx()?Fc()

?xFxGx(()∨())○5FcGc()∨()○7?xFx()

○3○5析取三段論

?xFxGx(()∨())FyGy()∨()

??xGx(()∨?Rx())○4?Gy()∨?Ry()

○6R(y) ○5UI Gy() ○4○6析取三段論○8F(y) ○2○7析取三段論 ○8UG

())為假，從而說明?xFx()→?xGx()≠?xFxGx(()→())。答：取個體域為自然數(shù)集合N，F(xiàn)(x):x為奇數(shù)，G(x):x為偶數(shù)，則在以上解釋下，?xFx()→?xGx()為真而?xFxGx(()→())為假。 ()→?GxxHxGx()),?(()→())；結(jié)論：?xHx(()→?Fx())。有些人證明如下：○1?xHx() ○2H(y) ○1UI○3?xHxGx(()→()) ○4HyGy()→()

○2○5假言推理○6?xFx(()→?Gx()) ○7Fy()→?Gy() ○6UI

?Fy()??xFx()

○5○7拒取式證明：○1?xFx(()→?Gx()) ○2?xHxGx(()→()) ○3Fy()→?Gy()○4HyGy()→()○5Gy()→?Fy()○6Hy()→?Fy()

○1UI○