中考數(shù)學(xué)壓軸專練專題05圓與三角函數(shù)、相似結(jié)合的綜合問題(教師版)

【典例分析】例1如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，點P在BC延長線上，且滿足∠PAC=∠B．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）弦CE⊥AD交AB于點F，若AF?AB=12，求AC的長．思路點撥（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角和直角三角形的兩銳角互余得出∠ CAD+∠D=90°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等和已知條件等量代換可得∠ CAD+∠PAC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得出結(jié)論；2）先判斷出∠B=∠ACF，進(jìn)而判斷出△ABC∽△ACF，得出比例式即可得出結(jié)論．滿分解答（2） ，，，DP，使∠PDA＝∠ADC．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的長．思路點撥（1）求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=9°0，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）求出∠PDC=∠DOC，解直角三角形求出 =，設(shè)DC=4x，OC=3x，求出3x+3=5x，求出x，即可得出答案．滿分解答（1）證明：連接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD∵CD⊥AB于點C∴∠OAD+∠ADC=90°∴∠ODA+∠ADC=90°

∵∠PDA=∠ADC∴∠PDA+∠ODA=90°即∠PDO=90°∴PD⊥OD∵D在⊙O上∴PD是⊙O的切線例3已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D，且AB=5，AD=4，在AD上取一點G，使AG=點P是折線CB﹣BA上一動點，以PG為直徑作⊙O交AC于點E，連結(jié)PE使AG=1）求sinC的值；

（2）當(dāng)點P與點B重合時如圖②所示，⊙O交邊AB于點F，求證：∠EPG=∠FPG；（3）點P在整個運動過程中：①當(dāng)BC或AB與⊙O相切時，求所有滿足條件的 DE長；②點P以圓心O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到P′，當(dāng)P′恰好落在AB邊上時，求△OPP′與△OGE的=××：×××=25：24；=××：×××=25：24；如圖6中，當(dāng)△POH是等腰直角三角形時，﹣AG=，則△OPP′與△OGE的面積之比連接PE，利用相似三角形的性質(zhì)求得×××=25：7.AE=，PE=，即GE=AE（3）①⊙O與AB相切有兩種情況，與BC相切有一種情況，如圖3、4、5，靈活運用切線的性質(zhì)，三角函數(shù)與勾股定理分別求解即可；②如圖3中，用（2）可知，點P以圓心O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到P，當(dāng)P恰好落在AB邊上時，此時△OPP′與△OGE的面積之比滿分解答（2）如圖2中，連接GF,在Rt△ABD中，BD= =3，∵BG是直徑，∴∠BFG=∠AFG=90°，∴FG=，∵DG=AD﹣AG=4﹣=，∴GD=GF，∴∠EPG=∠FPG；（3）①如圖3中，當(dāng)⊙O與BC相切時，作OH⊥AB于H，

∴GPC=∠ABC=90°，∴GP∥AB，∴∠CGP=∠A，∴sin∠A=sin∠PGC，∴PC=，∴PC=，∴PB=BC∴∴PG= =3，OH=PB=OH=PB=∴此時⊙O與AB∴此時⊙O與AB相切，連接PE，∵PG是⊙O的直徑，∴∠PEG=9°0，∴∠PEC=∠CDB=9°0，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB：BC，∴DE=；如圖4中，當(dāng)點P在AB上，⊙O與BC相切時，設(shè)切點為T，連接OT，GH，延長TO交GH于N，連接PE，PE，易證四邊形BTNH是矩形，∴PA=PH+AH=，∴PA=PH+AH=，∵PE∥BD，∴AE=，∴DE=AD﹣AE=4﹣=；如圖5中，當(dāng)⊙O與AB相切時，GP⊥AB，連接PH，②如圖3中，用（②如圖3中，用（2）可知，點P以圓心O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到P，當(dāng)P恰好落在AB邊上時，=××：×××=25：24；此時△OPP′與△OGE的面積之比如圖6中，當(dāng)△POH是等腰直角三角形時，滿足條件；連接PE，∵PH=GH=，AH=2，∴PA=，OP=OH= ，∵PE∥BD，∴PA：AB=AE：AD=PE：BD，5=AE：4=PE：3，∴AE=，PE=，∴GE=AE﹣AG=，∴△OPP′與△OGE的面積之比=××：×××=25：7；綜上所述，滿足條件的△OPP′與△OGE的面積之比為25：24或25：7．例4如圖，已知在中，，，是邊上一點，以為圓心，為半徑的⊙與邊的另一個交點為，連結(jié)、．求△ABC的面積；設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；如果是直角三角形，求的長．分別求出BC和BC上的高；(2)作DM⊥AB垂足為M，用含x的式子表示出AP和DM；(3)分∠ADP＝90°和∠PAD＝90°兩種情況求解.滿分解答如圖，作DM⊥AB垂足為M，（3） ∠APD<90°，過C作CE⊥AB交BA的延長線于E，可得cos∠CAE＝.①當(dāng)∠ADP＝90°時，cos∠APD＝cos∠CAE＝，則，解得x＝；②當(dāng)∠PAD＝90°時， ，解得x＝.所以PB的值為或.例5已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如圖1，求證：PQ＝PE；（2）如圖2，G是圓上一點，∠GAB＝30°，連接AG交PD于F，連接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，PD＝6，連接QC交BC于點M，求QM的長．思路點撥（1）連接OP，PB，由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP，從而可得BP平分∠OBQ，結(jié)合BQ⊥CP于點Q，PE⊥AB于點E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE；（2）如下圖2，連接OP，則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，設(shè)EF=x，則由∠GAB=3°0，∠AEF=90°可得AE= ，在Rt△BEF中，由tan∠BFE= 可得BE=，從而可得AB=，則OP=OA=，結(jié)合AE=可得OE=，這樣即可得到sin∠OPE= ，由此可得∠OPE=30°，則∠C=30°；滿分解答（1）如下圖1，連接OP，PB，∵CP切⊙O于P，∴OP⊥CP于點P，又∵BQ⊥CP于點Q，∴OP∥BQ，∴∠OPB=∠QBP，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠QBP=∠OBP，

又∵PE⊥AB于點E，在Rt 中,tan∠BFE=3∴∴∴∴∴在RtPEO中,∴ 30°；∴在Rt中，，∴，∴QB=9，在△ABG中，AB為⊙O的直徑，∴AGB=9°0，∵BAG=3°0，∴BG=6，ABG=6°0，過點G作GN⊥QB交QB的延長線于點N，則∠N=90°，∠GBN=18°0-∠CBQ-∠ABG=6°0，TOC\o"1-5"\h\z∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=B·Qsin∠GBQ= ，∴QN=QB+BN=12，∴在Rt△QGN中，QG= ，∵∠ABG=∠CBQ=6°0，∴BM是△BQG的角平分線，∴QM：GM=QB：GB=9：6，∴QM= .

點睛：解本題第3小題的要點是：（1）作出如圖所示的輔助線，結(jié)合已知條件和（ 2）先求得BQ、BG的長及∠CBQ=∠ABG=6°0；（2）再過點G作GN⊥QB并交QB的延長線于點N，解出BN和GN的長，這樣即可在Rt△QGN中求得QG的長，最后在△BQG中“由角平分線分線段成比例定理”即可列出比例式求得QM的長了.例6已知如圖，拋物線與軸相交于B（1，0），C（5，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A，B，C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為軸負(fù)半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于N，交⊙P于D．（1）填空:A點坐標(biāo)是 ，⊙P半徑的長是__ ，= ，= ，= ；（2）若S△BNC:S△AOB＝48:5，求N點的坐標(biāo)；（3）若△AOB與以A，B，D為頂點的三角形相似，求MB·MD的值．思路點撥1）先將B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線方程，再根據(jù)題意求得⊙ P半徑，進(jìn)而求得拋物線方程；MB?MD的值．2）根據(jù)S△BNC：S△AOB=48：5求出N點的y坐標(biāo)，將yN代入拋物線方程即可求得N點坐標(biāo)；（3MB?MD的值．滿分解答（1）⊙P的半徑=3,=,=,=；（3）過點A作直徑AQ聯(lián)接BQ，∴∠ABQ=90o,∠BAO+∠AOB=90o,∵M(jìn)A與⊙P相切于點A，∴∠OAB+∠BAO=90o,∴∠OAB=∠AOB,而∠AQB=∠ADB,∴∠OAB=∠ADB,而∠AMB=AMD,∴△MAB∽△MDA,,∴當(dāng)△AOB∽△DBA時，∠ABD=∠AOB=90o,易證△AOB∽△BOM,則∴OM=∴;ⅱ當(dāng)△AOB∽△DAB時，∠BAD=∠AOB=90o,【變式訓(xùn)練】1．如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．有下列結(jié)論：①MN=；②若MN與⊙O相切，則AM=；③若∠MON=9°0，則MN與⊙O相切；④l1和l2的距離為2，其中正確的有（ ）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個答案】B解析】分析】首先過點N作NC⊥AM于點C，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B，⊙O的半徑為1，易求

得MN==，l1和l2的距離為2；若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點C，易證得CO=NO，繼而可得即O到MN的距離等于半徑，可證得MN與⊙O相切；由題意可求得若MN與⊙O相切，則AM=或．【詳解】如圖1，如圖3，若∠MON=9°0，連接NO并延長交MA于點C，則△AOC≌△BON，故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高為1，即O到MN的距離等于半徑．故③正確；如圖2，2．如圖，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，點O在∠B內(nèi)，點D為上的動點，點M，N，P分別是AD，DC，CB的中點．若⊙O的半徑為2，則PN+MN的長度的最大值是（）B． CB． C．A．【答案】D【解析】【分析】連接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的長，利用三角形的中位線定理即可解決問題【詳解】解：連接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．【點睛】本題考查圓周角定理、三角形的中位線的定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為D，CD與AB的延長線交于點C，∠A＝30°，CD＝3，則AB的值是（ ）A．3 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】連接OD，由圓周角定理可得∠DOC＝60°，根據(jù)三角函數(shù)可求OD的長，即可求AB的長．【詳解】連接OD，G，AP切⊙GG，AP切⊙G于點P，交⊙F于M、分析】【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，熟練運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，已知AD＝30，點B，C是AD的三等分點，分別以AB、BC、CD為直徑作圓，圓心分別為E、F、N，則弦MN的長是答案】8解析】連接PG、MF，過F作FQ⊥MN于點Q，根據(jù)AP是⊙G的切線，可證明△AFQ∽△AGP，利用相似比，可求得FQ=3，連接FM，在直角△FQM中根據(jù)勾股定理得到MQ=4，則MN=8．【詳解】∴FQ=PG=3，在直角△FQM中，MQ== =4，則MN=2MQ=8．故答案為：8【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理，切線垂直于過切點的半徑，并且本題還考查了相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等．5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點E．若DE=3，則AD的長為 .【答案】2【解析】【分析】先證明△ADF∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)可得 .再證明△DEF∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此可求出DF的值，進(jìn)而求出AD的值.詳解】如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，在Rt△ABD中，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠DEF=∠DBA，又∵∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，即∴DF=2，∴AD=2.故答案為：2.【點睛】本題主要了平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì) .熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.6．如圖，五邊形是邊長為的正五邊形，是正五邊形的外接圓，過點作的切線，與

、的延長線交分別于點和，延長、相交于點，那么的長度是 答案】解析】分析】先證明AG=AF，由SSS得到△OHD與△OED全等，得出∠ODH=∠ODE=5°4，證出∠B=∠C=72°，設(shè)GB=xcm，由△DHB∽△GBD，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，求出 x的值，即可得出結(jié)果．詳解】連接DG，如圖所示：∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC，∴∠BFO=∠CFO=9°0，在△OHD與△OED中，∴△OHD≌△OED（SSS），∴∠ODH=∠ODE=5°4，∴∠HDB=∠EDC=3°6，∴∠B=∠C=72°，∴BD=DH=DE=DC=GF，∴GF=BC，設(shè)GB=x，∵∠BDH=∠BGD，∠B=∠B，∴△DHB∽△GBD，∴，即，整理得：x2-2x-4=0，解得：x=1±（負(fù)值舍去），∴AG=GB=1+，∴AB=2+2；故答案為：2+2．【點睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，切線的性質(zhì)；熟練掌握正五邊形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知在⊙O中，直徑AB＝4，點E是OA上任意一點，過E作弦CD⊥AB，點F是上一點，連接AF交CE于點H，連接AC，CF，BD，OD.

（1）求證：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH·AF與AE·AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）探究：當(dāng)點E位于何處時，S△AEC∶S△BOD＝1∶4？并加以說明．【答案】（1）詳見解析；（2）AH·AF＝AE·AB，證明詳見解析；（3）當(dāng)OE＝（或AE＝）時，S△AEC∶S△BOD＝1∶4.解析】分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到弧AC=弧AD，再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠F=∠ACH，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明兩個三角形相似；（2）連接BF，構(gòu)造直角三角形，把要探索的四條線段放到兩個三角形中，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明；（3）根據(jù)三角形的面積公式，得到兩個三角形的面積比即為 AE：OB，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為AE：AO的比，再根據(jù)半徑的長求得OE的長．詳解】(3)解：當(dāng)OE＝(或AE＝)時，S△AEC∶S△BOD＝1∶4.∵直線AB⊥CD，∴CE＝ED，又∵S△AEC＝AE·CE，S△BOD＝S△BOD＝OB·ED，∴＝＝∵⊙O的半徑為∴OE＝.【點睛】能夠綜合運用垂徑定理和圓周角定理的推論得到有關(guān)的角相等．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．8．如圖，是的直徑，是上一點，，（2）若 ，，求的長.【答案】（1）詳見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接OC，由AB是直徑可得∠ACB=90°，由OA=OC可得∠BAC=OCA，根據(jù)∠ACD=∠B，∠B+∠BAC=90°，通過等量代換可得∠OCD=90°，即可得答案；根據(jù)∠ACD=∠B，∠BAC=∠ADC=90°，可證明△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出 AC的長.【詳解】∴∴∴是的切線；【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，點D是劣弧AB的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB，CA的延長線于E，F(xiàn)兩點．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接OD交AB于點G，依據(jù)垂徑定理的推論可以得出 OD⊥AB，結(jié)合題意易得AB∥EF，進(jìn)而不難得到OD⊥EF，即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理求出CF的長，由（1）知OD∥CE，然后利用平行線分線段成比例列式求解即可求出⊙O的半徑.【詳解】（1）證明：連結(jié)OD，∵D是的中點，∴OD⊥AB.又∵AC為⊙O的直徑，

∴BC⊥AB，∴OD∥CE.又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即EF是⊙O的切線．.證明一.證明一條直線是圓的切線常用的方法有：①若圖形中已給出直線與圓的公共點，但未給出過點的半徑，則可先連結(jié)過此點的半徑，再證其與直線垂直；②若圖形中未給出直線與圓的公共點，則需先過圓心作該直線的垂線，再證垂足到圓心的距離等于半徑.AC，BC，10．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經(jīng)過點C的直線與AB的延長線交于點D，連接∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一點，弧CB＝弧CE，連接AE并延長與DC的延長線交于點F．（1）求證：DCAC，BC，（2）若⊙O的半徑為3，sin∠D＝，求線段AF的長．答案】（1）見解析；（2）.解析】分析】（1）連接OC，BC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OD=5，AD=8．根據(jù)弧CB＝弧CE得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（2）解：在Rt△OCD中，OC＝3，sinD＝∴OD＝5，AD＝8．∵弧CB＝弧CE，∴∠2＝∠4．∴∠1＝∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．=本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形，三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC.（1）求證：BC平分∠PBD；（2）求證：PC2＝PA·PB；（3）若PA＝2，PC＝2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）S陰影＝2－π.【解析】【分析】（1）連接OC，由PD切⊙O于點C，得到OC⊥PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠BCO，根據(jù)的預(yù)計實現(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OBC=∠CBD，于是得到即可；（2）連接AC，由AB是半圓O的直徑，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)果．【詳解】（1）連接OC，∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴BD∥OC，∴∠DBC＝∠BCO，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠PBD；（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，∴PB＝6，∴AB＝4，∴OC＝2，PO＝4，∴∠POC＝60°，∴S陰影＝S△POC－S扇形＝×2×2－ ＝2－π.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，扇形面積的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CE于點D，AC平分∠DAB．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，CD＝4，求BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)BC＝2或4．【解析】【分析】如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；(2)證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解即可 .【詳解】∴AD∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端，∴CD為⊙O的切線；【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.13．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AE是弦，OG⊥AE于點G，交⊙O于點D，連結(jié)BD交AE于點F，延長AE至點C，連結(jié)BC．（1）當(dāng)BC=FC時，證明：BC是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑（2）已知⊙O的半徑，當(dāng)tanA=，求GF的長．答案】（1）見解析；（2）1解析】分析】1）由OD⊥AE可知∠D+∠GFD=90°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BFC=∠FBC，∠OBD=∠D，從而可證∠OBC=90°；

△FGD∽△連接BE，在Rt△AOG中，可求出OG=3，AG=4，由垂徑定理得△FGD∽△FEB，可求出GF的長.【詳解】∵⊙O半徑 ，tanA=，∴sinA=,cosA=．∴在Rt△AOG中，OG=OAsinA=5×=3，AG=OAcosA=5×=4=GE．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)熟記切線的判定定理是解（1）的關(guān)鍵，證明△FGD∽△FEB是解（2）的關(guān)鍵.14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，弦PB與CD交于點F，且FC＝FB．（1）求證：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的長度．答案】（1）證明見解析；（2）CD＝24．解析】分析】1）欲證明PD∥BC，只要證明∠P＝∠CBF即可；2）由△ACE∽△CBE，可得 ，求出EC，再根據(jù)垂徑定理即可解決問題詳解】2）連接AC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．15．如圖⊙O的內(nèi)接△ABC中，外角∠ACF的角平分線與⊙O相交于D點，DP⊥AC，垂足為P，DH⊥BF，垂足為H.問：

（1）∠PDC與∠HDC是否相等，為什么？（2）圖中有哪幾組相等的線段？（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，△CPD∽△CBA，為什么？BD；(3)∠ABC＝90°且∠結(jié)合利用平角發(fā)現(xiàn)∠PCD答案】（1）相等，理由詳見解析；（2）PC＝HC，DPBD；(3)∠ABC＝90°且∠結(jié)合利用平角發(fā)現(xiàn)∠PCDACB＝60°時，△CPD∽△CBA.【解析】【分析】（1）根據(jù)“AAS”證明△CDH≌△CDP即可；（2）發(fā)現(xiàn)全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明出線段相等；（3）根據(jù)其中一個是直角三角形得到 AC必須是直徑．再根據(jù)另一對角對應(yīng)相等，＝∠DCF＝∠ACB=60°才可．【詳解】又∵CD=CD，∴△CDH≌△CDP，∴∠PDC＝∠HDC.(2)∵△CDH≌△CDP，∴PC＝HC，DP＝DH，∵∠DAP=∠DBH，∠APD=∠BHD=90°，∴△ADP≌△BDH，∴AP＝BH，AD＝BD.

綜上可得：PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.【點睛】本題考查了角平分線的定義，垂線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論等知識.掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)已知的三角形的形狀探索若相似應(yīng)滿足的條件是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O過BC的中點D,DE⊥AC.求證:△BDA∽△CED.【答案】證明見解析.【解析】【分析】AD不難看出△BDA和△CED都是直角三角形，證明△BDA∽△CED，只需要另外找一對角相等即可，由于是△ABC的中線，又可證AD⊥BC，即AD為BC邊的中垂線，從而得到∠B=∠C，即可證相似．【詳解】AD【點睛】本題重點考查了圓周角定理、直徑所對的圓周角為直角及相似三角形判定等知識的綜合運用．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD．過點D作DE⊥AC，垂足為點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）當(dāng)⊙O半徑為3，CE＝2時，求BD長．【答案】（1）證明見解析；（2）BD＝2．【解析】【分析】（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出 ，從而求得BD?CD=AB?CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB?CE，然后代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖，∵AB為⊙0的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切線；【點睛】本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)．18．如圖，為的直徑，，為上一點，且AC=BC，為BC上的一動點，延長至，使得，連接．

1）求證：直線是的切線；2）若點由點運動到點，則線段掃過的面積是 ．（結(jié)果保留）答案】（1）見解析；（2）解析】分析】1）做輔助線根據(jù) 證明 ,由相似三角形性質(zhì)即可解題 ,（2）作出圖像得S陰影=S△ABQ-S△AOC-S扇形BOC,即可解題.【詳解】（1）證明：連接 ．，即．是的直徑，

直線