工程力學12-彎曲變形課件

工程力學彎曲變形第十二章問題1、近似撓曲線微分方程表達？如何求解？2、撓度是否發(fā)生在彎矩最大的位置？3、剛度條件？4、靜定基，變形比較法。工程背景（一）建筑結構浦江兩岸工程背景（一）建筑結構金茂大廈樓高420.5m

共88層工程背景（一）建筑結構金茂大廈榮獲2001年“美國建筑師學會室內(nèi)建筑獎”工程背景（二）大型橋梁工程背景（二）大型橋梁橋面結構工程與工程力學高層建筑與大型橋梁工程背景（三）航天航空我國的長征火箭家族工程背景（三）航天航空太陽能電池帆板梁在載荷作用下，要有足夠的強度，它必須滿足強度條件，但是，是否梁滿足了強度條件之后，它就能夠正常地工作呢？往往并非如此。橋式起重機的大梁齒輪傳動軸

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴重影響機床的加工精度?！?2-1引言彎曲變形的描述梁對稱面梁軸線變形變形特點：變形前為直線的梁軸線，變形后為曲線。這根曲線稱為撓曲線。q一、撓度及轉角的概念1．梁的撓曲線軸線變形后形成的光滑連續(xù)曲線1)轉角：2．梁變形的度量梁橫截面繞中性軸轉動的角度，符號：q，正負：逆時針轉動為正，反之為負；2)撓度：梁橫截面形心的豎向位移，符號：w，正負：向上為正，反之為負。撓度隨軸線變化的關系3)撓曲線方程：——

；4)轉角方程：轉角與撓度的關系：vxBAqwxB1§12-2撓曲線近似微分方程1.撓曲線近似微分方程的推導高等數(shù)學：對曲線v=f(x)其曲率為§12-2撓曲線近似微分方程1．力學關系：2．數(shù)學關系：3．撓曲線近似微分方程：在圖示坐標下：vxBAwxB1qq小變形，撓曲線很平坦。與1相比可略去EIz為常數(shù)，撓曲線近似微分方程為§12-3計算梁位移的積分法C、D為積分常數(shù)，可由梁上某些點的位移的已知條件來確定。——轉角方程——撓曲線方程邊界條件在約束處的轉角或撓度可以確定中間鉸支座A中間鉸A繪制撓曲線的方法：1.繪制M圖2.由M圖的正負、零點或零值區(qū)，確定撓曲線的凹凸或拐點或直線區(qū)，3.由位移邊界條件確定撓曲線的位置。例4-5如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉角和撓度。

（1）按照圖示坐標系建立彎矩方程

請同學們自己做一下（時間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程（6）求B點的撓度和轉角在自由端，x=l例4-6如圖所示，簡支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B端轉角和跨中撓度。（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應對AC和CB分別計算FAFB（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應對AC和CB分別計算AC段CB段FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側轉角和撓度應相等。即代入上面的式子FAFB得到轉角方程和撓度方程AC段CB段（5）求指定截面處的撓度和轉角若積分法求梁的變形關鍵點：分段列彎距方程尋找邊界條件分段AB、BC、CD三段，六個積分常數(shù)邊界條件PDABC邊界條件：分段原則：集中力作用點，集中力偶作用點，分布力的起、終點為分段點。邊界條件：支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個邊界條件。ABC§12-4計算梁位移的疊加法積分法優(yōu)點：得到撓度方程w(x)和轉角方程(x)。因而可求出任意截面的撓度和轉角。積分法缺點：繁、荷載復雜時分段多，因而積分常數(shù)多。依據(jù)積分法的結果發(fā)展的疊加法效率更高。一、疊加法和疊力原理BAPPBAMBAMM單獨作用時的撓度與轉角P單獨作用時的撓度與轉角==某梁對應某種荷載情況的撓度為w1該梁對應另一種荷載情況的撓度為w2當這兩種荷載同時作用在梁上時撓度為w則同樣地，=1+2彎曲變形很小材料服從胡克定律彎矩與載荷呈線性關系撓曲線的微分方程而且在工程實際中，我們往往關心的是一些指定點的撓度和一些指定截面的轉角。若干類荷載所引起的變形(撓度或轉角)

各單一類荷載引起的變形(查表)之和當梁上同時作用幾個載荷時，可分別求出每個載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加(代數(shù)和)即為這些載荷共同作用時的變形。---疊加法疊加法依據(jù)力作用的獨立性原則,分為：載荷疊加法和幾何疊加法,其中載荷疊加法較常用載荷疊加法:將結構上共同作用的不同載荷分解為各種簡單載荷單獨作用的情況,然后利用預先計算好的簡單載荷作用下的結果(位移、應力等）進行疊加后得到載荷共同作用的結果。位移疊加法:將結構上的位移理解為結構各部分累積的結果，為求某點位移，許找到結構各部分變形與所求點位移間的關系。然后將各部分對該點的位求和，得到計算結果。位移疊加法通常需要將結構的一部分在想象中理解為剛體，即剛化過程。疊加法成立前提，線彈性、小變形例4-7求圖中所示梁跨中點的撓度及A點的轉角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。=+例4-8

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B端的撓度和轉角。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。考慮其變形:

由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關系可知：由于在小變形的假設前提下查表:代入上面的計算式在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。類似于外伸梁和其它一些較為復雜結構的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進行疊加來處理（逐段剛化法）。例4-9求圖11-4所示外伸梁的C截面的撓度轉角EI為常數(shù)。怎樣應用表4-2中已有的結果？

對梁進行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理

首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究，

再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座，得到一個力和一個力偶

力F直接作用于支座，對梁的變形沒有影響，力偶M引起簡支梁AB的變形，同樣，段上的均布載荷也將引起AB段變形，

例3圖示懸臂梁EIz為常數(shù)，荷載情況如圖所示，試求B截面的撓度和轉角。解：先將作用在梁上的荷載分為分布荷載q和集中力P單獨作用這兩種情況。(圖1、2)ABLqPABLqLAPB(2)(1)然后由附錄IV查得均布荷載單獨作用時集中力單獨作用時應用疊加法LAPBABLqAPB撓度：3、8、48、584轉角：2、6、16、24ABqPL/2L/2CL/2L/2C例4

求圖示梁截面B的撓度解：為了利用表中的結果，可將原荷載視為圖(1)和圖(2)兩種情況的疊加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)ABCaLqEIzABcLq(1)圖(2)CB段M=0，所以CB為直線ABcLqa2cf2c(2)B由疊加原理解法2dxaABxLqABxp=qdx距離A端為x的dx梁段上的荷載可視為集中力P對于懸臂梁和簡支梁任何荷載都可用此法處理。其引起的撓度查附錄IV為ABxp=qdx梁上同一點，同種變形，才能加。如何畫撓曲線的大致形狀（1）根據(jù)彎矩圖中各段M的正負號，來確定相應各段撓曲線的凹凸性；彎矩圖中M出現(xiàn)正負號變化的點（0點）為撓曲線的拐點；若彎矩圖中有一段M=0，則此段撓曲線為直線。（2）然后，根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件，就可以將撓曲線的大致形狀畫出來。DBqa0.125qa2+_M舉例ABCP1C′分析圖示梁各截面的撓度和轉角P1P2ABCDABCP2C′Q=P2BCAC′C′BP2CM例5

求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCP為了求AB梁某點的變形可考慮將外力P向B點簡化,圖a和圖b,AB梁段中任一截面的彎矩均相同,即彎矩方程不變,A點、B點的支承條件也相同,因此,圖a和圖b在梁段AB上任一點的撓度和轉角均相同。解：我們分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCPLaABCP(a)(b)而圖b即為簡支梁在B端受載，可查表圖(a)中BC梁段與圖C的區(qū)別在于圖(a)中BC段的B截面有轉動,而圖C中B截面無轉動.我們可先視B截疊加,即可得到圖(a)中C面無轉動,求出C截面的撓度轉動對C點撓度的影響與,然后求出B截面的截面的撓度。LaABCPBCP(a)(c)LaABCPBCPBaB(b)(c)§6-5簡單超靜定梁的解法一、超靜定梁的概念和解法1．多余約束：相對于平衡而言，不需要的約束。2．靜定基：超靜定結構除去多余約束，代以相應約束反力所得到的靜定結構。3．變形協(xié)調條件：為與原超靜定結構等效，靜定基在除去多余約束處應滿足的變形條件。4．超靜定梁的解法：過程：判斷超靜定次數(shù)，除去多余約束，代以約束反力形成靜定基，利用變形協(xié)調條件求解約束反力。比較變形法二、例題例求下圖所示超靜定梁的支座反力。lABqABqFByMAFAyABqMA解：1)判斷超靜定次數(shù)：2)取靜定基：1次除去B點垂直位移約束(可動鉸支座)，代以約束反力FBy3)變形協(xié)調條件4)利用平衡條件求其余反力5)靜定基的選取不是唯一的變形協(xié)調條件：例6求圖示梁的約束反力。ABCqll解：三個反力二個平衡方程所以為超靜定問題ACqRB§12-6梁的剛度條件與合理剛度設計1.剛度條件對于梁的撓度，其容許值通常用許用的撓度與梁跨長的比值作為標準。對于轉角，一般用容許轉角[]作為標準。即梁的剛度條件可寫為例已知:q=10kN/m，L=3m，試設計截面。ABLqhb解：(1)按強度條件設計最大彎矩發(fā)生在A截面，A截面為