帶電粒子在磁場中的運動磁聚焦

關(guān)于帶電粒子在磁場中的運動磁聚焦第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日當帶電粒子從同一邊界入射出射時速度與邊界夾角相同——對稱性帶電粒子在直邊界磁場中的運動第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyOv0例、在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標原點O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示．現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正向運動，試問符合該條件的磁場的最小面積為多大？（不考慮電子間的相互作用）第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點射入第Ⅰ象限做勻速圓周運動解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點均在以坐標(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場分布的最小面積應(yīng)是實線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點就是各電子離開磁場的出射點，均應(yīng)滿足方程x2+(r－y)2=r2。第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日解2:設(shè)P(x，y)為磁場下邊界上的一點，經(jīng)過該點的電子初速度與x軸夾角為，則由圖可知：x=rsin，

y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場區(qū)域的下邊界。磁場上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日圓形磁場的兩個特殊規(guī)律磁聚焦和磁發(fā)散現(xiàn)象當磁場圓半徑與軌跡圓半徑相等時,存在兩條特殊規(guī)律:1、從磁場邊界上以相同速度平行入射的相同粒子,又會聚焦于磁場邊界上的同一點。2、反之,從磁場邊界上某點向四周發(fā)射速率相同的粒子,其出射方向都平行于入射點的切線方向.第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日磁聚焦概括：平行會聚于一點

（磁聚焦）一點發(fā)散成平行

(磁發(fā)散）第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日例1、（2009年浙江卷）如圖，在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。（1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應(yīng)強度的大小與方向。（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。（3）若這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。xyRO/Ov帶點微粒發(fā)射裝置C第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日解析：(1)帶電微粒所受重力和電場力平衡。由Eq=mg，可得E=mg/q，方向沿y軸正方向。帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動。如圖（a),軌跡半徑為r=R，由Bqv=mv2/r得，B=mv/qR,方向垂直于紙面向外。xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ圖(a)圖(b)第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)這束帶電微粒都通過坐標原點。如圖（b)所示，從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，圓心位于其正下方的Q點，設(shè)微粒從M點離開磁場．可證明四邊形PO’

MQ是菱形，則M點就是坐標原點，故這束帶電微粒都通過坐標原點0．xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ圖(a)圖(b)M第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyRO/Ov帶點微粒發(fā)射裝置CPQr圖(c)(3)帶電微粒在y軸右方(X>O)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運動．靠近上端發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向X軸正方向的無窮遠處，靠近下端發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場．所以，這束帶電微粒與X軸相交的區(qū)域范圍是X>0．第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2、（2009·海南·T16）如圖，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場，電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的大小和方向；（2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。ABCDxyOv0第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日解：（1）設(shè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度的大小為B。令圓弧AEC是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ（2）自BC邊上其他點入射的電子運動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。設(shè)某射中A點的電子速度方向與BA的延長線夾角為θ的情形。該電子的運動軌跡qpA如圖所示。圖中圓弧Ap的圓心為O，pq垂直于BC邊，圓弧Ap的半徑仍為a，在D為原點、DC為x軸、DA為y軸的坐標系中，p點的坐標為(x，y)，則

x=asinθ，y=acosθ。因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域，是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周AEC和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍0≤θ≤π/2內(nèi)，p點處在以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周AFC上，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例3、如圖所示，在xOy平面上－H<y<H的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負半軸的遠外以相同的速率v0沿x

軸正向平行地向y軸射來，試設(shè)計一個磁場區(qū)域，使得：(1)所有電子都能在磁場力作用下通過原點O；(2)這一片電子最后擴展到－2H<y<2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率v0向遠處射出。已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，不考慮電子間的相互作用。xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0對稱思想第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日解析：本題考查磁聚焦和磁擴散的應(yīng)用．首先分析在第二象限的磁場情況，為使電子匯聚于O點，由磁聚焦原理可知，磁場圓應(yīng)與x軸相切于o點，建立以01為圓心，半徑為R的磁場區(qū)域，所有平行于X軸的電子以運動半徑R=mv/eB進入磁場區(qū)域，必匯聚于0點．為使電子不過Y軸，邊界H的電子從A點進入磁場，在0點并與Y軸相切出磁場，易得到R=H．不難得到第二象限最小的磁場區(qū)域如圖B2=mv/eH，面積為S2=(-2)H2/2同理可知在第一象限：BI=mv/2eH，方向垂直紙面向里，面積為SI=2(一2)H2．在第三象限：B3=mv/eH，方向垂直紙面向外，面積為S3=(-2)H2/2．在第四象限：B4=mv/2eH，方向垂直紙面向外，面積為Siv=2(一2)H2．第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日例、如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O(shè)′(R，0)為圓心，R為半徑的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場強度大小為E。在坐標原點O處有一放射源，可以在xOy平面內(nèi)向y軸右側(cè)（x>0）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在該磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為R，電子電量為e，質(zhì)量為m。不計重力及阻力的作用。（1）求電子射入磁場時的速度大小；（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的電子，求它到達y軸所需要的時間；（3）求電子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍。xyOEO′R第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日例、(2008·重慶高考)如圖為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以O(shè)為圓心，OH為對稱軸，夾角為2α的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強磁場。對稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點和收集點。CM垂直磁場左邊界于M，且OM=d?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為v0。若該離子束中比荷為q/m的離子都能會聚到D，試求：（1）磁感應(yīng)強度的大小和方向（提示：可考慮沿CM方向運動的離子為研究對象）；（2）離子沿與CM成θ角的直線

CN進入磁場，其軌道半徑和在磁場中的運動時間；（3）線段CM的長度。第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日解：（1）如圖所示，設(shè)沿CM方向運動的離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R，由R=d

，qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd，磁場方向垂直紙面向外。（2）設(shè)沿CN運動的離子速度大小為v，在磁場中的軌道半徑為R′，運動時間為t由vcosθ=v0，得v=v0/cosθ。R′=mv/qB=d/cosθ。設(shè)弧長為s，t=s/v，s=2(θ+α)R′離子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=2π

m/Bq，得：t=(3)

CM=MNcotθ由正弦定理得=R′=mv/qB=d/cosθ。以上3式聯(lián)立求解得CM=dcotα第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例、如圖，在直角坐標系xOy中，點M(0，1)處不斷向+y方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電量為–q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v0之間。已知這些粒子此后所經(jīng)磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，都沿－y的方向通過點N(3，0)。（1）通過計算，求出符合要求的磁場范圍的最小面積；（2）若其中速度為k1v0

和k2v0

的兩個粒子同時到達N點(1>k1>k2>0)，求二者發(fā)射的時間差。MOabcN123x(mv0/qB)y(mv0/qB)12v0第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例、（1975IPHO試題）質(zhì)量均為m的一簇粒子在P點以同一速度v向不同方向散開（如圖），垂直紙面的勻強磁場B將這些粒子聚焦于R點，距離PR=2a，離子的軌跡應(yīng)是軸對稱的。試確定磁場區(qū)域的邊界。x