概率論模擬卷1~6及答案

[模擬試卷1]一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。二、（12分）設(shè)隨機變量X的分布列為.求：（1）參數(shù)；（2）；（3）的分布列。三、（10分）設(shè)二維隨機變量在矩形上服從均勻分布，（1）求的聯(lián)合概率密度（2）求關(guān)于、的邊緣概率密度（3）判斷與的獨立性。四、（12分）設(shè),，且與相互獨立，試求和的相關(guān)系數(shù)（其中a、b是不全為零的常數(shù)）。五、（12分）設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。六、（12分）設(shè)總體的概率密度為是取自總體的簡單隨機樣本。求：（1）的矩估計量；（2）的方差。七、（12分）設(shè)服從，是來自總體的樣本，＋。試求常數(shù)，使得服從分布。八、（15分）從一批木材中抽取100根，測量其小頭直徑，得到樣本平均數(shù)為，已知這批木材小頭直徑的標準差，問該批木材的平均小頭直徑能否認為是在以上？（取顯著性水平＝0.05）附表一：,,,,[模擬試卷2]一、(14分)已知50只鉚釘中有3只是次品，將這50只鉚釘隨機地用在10個部件上。若每個部件用3只鉚釘，問3只次品鉚釘恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知隨機變量的概率密度為，求：（1）參數(shù)；（2）；（3）。三、（14分）設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機變量的方差。四、(12分）已知的概率密度函數(shù)為．（1）求與的相關(guān)系數(shù)；（2）試判斷與的獨立性。五、（10分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。已知每戶每天用電量（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布?，F(xiàn)要以0.99的概率滿足該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需求，問供電站每天至少需向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？六、（8分）在總體，從中隨機抽取容量為6的樣本.求樣本均值與總體均值之差的決對值大于2的概率。七、（14分）設(shè)總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計量。八、（14分）已知在正常生產(chǎn)的情況下某種汽車零件的重量（克）服從正態(tài)分布，在某日生產(chǎn)的零件中抽取10件，測得重量如下：55.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果標準差不變，該日生產(chǎn)的零件的平均重量是否有顯著差異（?。?？附表一：,,,,,,，.一、填空（16分）[模擬試卷3]1、設(shè)A、B為隨機事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，=0.85，則___________.P（）=___________.2、袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是___________.3、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為用Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件{X}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2}___________.4、設(shè)X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互獨立，則U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.5、設(shè)…是來自正態(tài)分布N（）的樣本，且已知，是樣本均值，總體均值的置信度為的置信區(qū)間是___________.二、（12分）設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有m只白球，n只紅球，乙袋中裝有M只白球,N只紅球。今從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，問該球為白球的概率是多少？三、（12分）某信息服務(wù)臺在一分鐘內(nèi)接到的問訊次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，已知任一分鐘內(nèi)無問訊的概率為，求在指定的一分鐘內(nèi)至少有2次問訊的概率。四、（12分）設(shè)（X、Y）具有概率密度1）求常數(shù)c；2）求P{Y2X}；3）求F（0.5，0.5）五、（12分）設(shè)隨機變量（X，Y）具有密度函數(shù)求E（X），E（Y），COV（X、Y）。六、（12）一個復(fù)雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件所組成。在運行期間，每個部件損壞的概率為0.1，而為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必需有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。七、（12分）設(shè)總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計量。八、（12分）某工廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力測試（斤）服從正態(tài)分布N（576，64），某日抽取10根銅絲進行折斷力試驗，測得結(jié)果如下：578572570568572570572596584570是否可以認為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標準差是8斤（）[模擬試卷4]一、（12分）（1）已知,證明：（2）證明：若則二、（14分）設(shè)X~N（），。求（1）（2）Y=1-2X的概率密度三、（12分）設(shè)X與Y是具有相同分布的隨機變量，X的概率密度為已知事件和相互獨立，且求（1）常數(shù)a（2）四、（14分）設(shè)（X、Y的概率密度為求：（1）相關(guān)系數(shù)（2）五、（12分）設(shè)供電站供應(yīng)某電去1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立，已知每戶日用電（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布，現(xiàn)要以0.99的概率保證該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需要，問供電站每天至少向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？六、（12分）設(shè)總體X~N（），，假設(shè)我們要以0.997的概率保證偏差，試問在時，樣本容量n應(yīng)為多少？七、（12分）設(shè)為來自總體概率密度為的一個樣本，求的矩估計量。八、（12分）電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取10根測得其熔化時間（min）為42，65，75，78，59，57，68，54，55，71。問是否可以認為整批保險絲的平均熔化時間為70（min）？（，熔化時間為正態(tài)變量）[模擬試卷5]一、（12分）從5雙尺碼不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中沒有兩只成對；（2）所取的4只中只有兩只成對（3）所取的4只都成對二、（12分）甲袋中有兩個白球四個黑球，已袋中有四個白球兩個黑球?，F(xiàn)在擲一枚均勻的硬幣，若得到正面就從甲袋中連續(xù)摸球n次（有返回），若得反面就從乙袋中連續(xù)摸球n次（有返回）。若已知摸到的n個球均為白球，求這些球是從甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量（件）服從參數(shù)為7的泊松分布，求一個月內(nèi)至少售出2件的概率（2）設(shè)隨機變量X的分布函數(shù) 求常數(shù)A及X的數(shù)學(xué)期望和方差四、（14分）某種電池的壽命X服從正態(tài)分布，a=300（小時），=35（小時），（1）求電池壽命在250小時以上的概率（2）求x，使壽命在a-x與a+x之間的概率不小于0.9（3）任取1000個這種電池，求其中最多有50個壽命在250小時以下的概率。五、（12分）設(shè)隨機變量（X，Y）具有密度函數(shù)（1）求X與Y的相關(guān)系數(shù)（2）問X與Y是否不相關(guān)（3）X與Y是否獨立，為什么？六（12分）（1）在總體N（52，）中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到54.8之間的概率。（2）設(shè)總體，假如我們要以0.997的概率保證偏差，則樣本容量n應(yīng)為多少？七、（12分）設(shè)總體X服從指數(shù)分布，它的密度函數(shù)為（1）求參數(shù)的最大似然估計（2）驗證所得的估計量的無偏性八、（14分）化肥廠用自動打包機裝化肥，某日測得8包化肥的重量（斤）如下：98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5已知各包重量服從正態(tài)分布N（）（1）是否可以認為每包平均重量為100斤（?。?？（2）求參數(shù)的90%置信區(qū)間。[模擬試卷6]一、(12分)一袋中有十個質(zhì)地、形狀相同且編號分別為1、2、…、10的球。今從此袋中任意取出三個球并記錄球上的號碼，求（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率；（3）一個號碼為5，另外兩個號碼一個大于5，一個小于5的概率。12分)設(shè)隨機變量,求的分布函數(shù)與概率密度。10分)設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X與孵化為成蟲數(shù)Y的聯(lián)合分布律。(14分)設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為,確定常數(shù)的值;是否相互獨立?為什么?是否不相關(guān)?為什么?(10分)一批種子中良種占1/6，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的比例與1/6相差多少？這時相應(yīng)的良種粒數(shù)落在哪個范圍？(12分)設(shè)總體服從二項分布，它的概率分布為,,，求未知參數(shù)的極大似然估計.(12分)某種儀器間接測量硬度，重復(fù)測量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，而用別的精確方法測量硬度為179（可看作硬度的真值），設(shè)測量硬度服從正態(tài)分布，問此種儀器測量的硬度是否顯著降低（）？(10分)已知隨機過程的均值，協(xié)方差函數(shù)，試求的均值和協(xié)方差函數(shù).(8分)設(shè)是平穩(wěn)過程，且=0，，（|τ|≤1），Y=，求和.附：,,,[模擬試卷1答案]一、解：設(shè)事件表示“顧客買下該箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。則，，，，，。由全概率公式得；由貝葉斯公式。二、解：(1)由，得=1；（2）；（3）。三、解：（1）區(qū)域G的面積為（X、Y）的聯(lián)合概率密度為（2）X的邊緣概率密度為=Y的邊緣概率密度為=（3）顯然，所以X與Y不獨立。四、解：，，則解：設(shè)這批種子發(fā)芽數(shù)為，則，由中心極限定理得所求概率為 。六、解：（1）。 從而，則用代替得的矩估計量為。（2）由于 則。七、解：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)知，，則，，從而，，又由于，相互獨立及分布的可加性知＋，則當時，服從分布。解：檢驗假設(shè)，檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為。由于顯著性水平＝0.05，查表得＝1.645。因為>1.645則拒絕原假設(shè)，即在顯著性水平＝0.05下，認為該批木材的平均小頭直徑在12以上。[模擬試卷2答案]一、解：假設(shè)每個鉚釘都已編號，則樣本空間S中的樣本點總數(shù)[S]=…。設(shè)Ai=“3個次品鉚釘恰好用在第i個部件上”，i=1，2，…，10A=“3個次品鉚釘恰好用于同一部件”Ai中的樣本點個數(shù)[Ai]=…，P(Ai)=[Ai]/[S]=1/19600。P(A)==1/1960。解：(1)由歸一性，得三、解：由題意，的聯(lián)合密度函數(shù)為 則 得則 同理，。 則。 則。四、解：（1） 故（2） X與Y不獨立。五、解：設(shè)第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設(shè)供應(yīng)站需供應(yīng)L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、解：設(shè)總體由題意：，則，所求概率為 ＝＝=七、解：設(shè)是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 八、解：按題意，要檢驗的假設(shè)是 ，檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為。由，查正態(tài)表得臨界值，由樣本值算得 因為，故接受假設(shè)，即在時，即可以認為該日生產(chǎn)的零件的平均重量與正常生產(chǎn)時無顯著差異。[模擬試卷3答案]一、（每空2分）0.829；0.9882、2/53、9/64；-3；34725、二、解：設(shè)事件A=“從甲袋中取出一白球”，事件B=“從乙袋中取出一白球”。解：，且即≈0.9826四、解：1）由歸一性2）3）五、解：，解：系統(tǒng)中能夠正常工作的部件數(shù)X服從二項分布：X~B(100,0.9)。于是≈七、解：設(shè)是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 解：需要檢驗的假設(shè)檢驗統(tǒng)計量為，拒絕域為:計算可得=575.2，s=，從而=10.65對，自由度=9，查表得因為，所以接受假設(shè)，即可以認為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標準差是8斤。[模擬試卷4答案]證明（1）（2）二、（1）所以≈進而X~N（72，）所以Y~N（-143，）三、（1）因為X與Y同分布，所以P（A）=P（B），又A與B獨立所以，（舍去）又所以=進而（2）四、因為，所以所以所以，，所以，=五、解：設(shè)第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設(shè)供應(yīng)站需供應(yīng)L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、~，所以進而七、所以故需要檢驗的假設(shè)檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為計算得：=62.4s=11.04所以所以故接受原假設(shè)[模擬試卷5答案]一、（1）（2）1-（3）二、設(shè)事件A表示擲得正面，事件B表示所摸到的球為n個白球，由題意AB表示從甲袋中摸到n個白球，所以，表示從甲袋中摸到n個白球，所以=三、（1）設(shè)商店每月銷售某種商品的數(shù)量為，則（2），所以A=1，四、（1），所以（2），x=57.58（3）設(shè)任一此種電池壽命在250小時以下的概率為p，則則1000個電池中，壽命在250小時以下的電池數(shù)X服從二項分布五、（1）解：，，所以（2）不相關(guān)（3）不獨立，因為（X、Y）不是二維正態(tài)分布。六、（1）解：，（2）~，所以進而七、解：設(shè)是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 ，所以（2）所以是的無偏估計。八、需要檢驗的假設(shè)檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為計算可得：，故接受原假設(shè)。（2），n=8查表得，故置信區(qū)間為[模擬試卷6答案]一、解：以三個球相應(yīng)號碼的組合為樣本