數(shù)值分析實驗報告-插值、逼近

實驗報告：函數(shù)逼近&插值多項式補充問題1:對于給函數(shù)/(x)=——1一^,取點q=cos"+I兀,k取0,1,…，n。n取10l+25x" 2”+2或20。試畫出擬合曲線并打印出方程，與第二章計算實習(xí)題2的結(jié)果進行比較。問題2：對于給函數(shù)/(x)=一在區(qū)間［-1,1］上取xF-l+0.2i(i=0.1,2,-,10),試l+25x2求3次曲線擬合，試畫出擬合曲線并打印出方程，與第二章計算實習(xí)題2的結(jié)果進行比較。實驗?zāi)康模和ㄟ^編程實現(xiàn)牛頓插值方法和函數(shù)逼近，加深對多項式插值的理解。應(yīng)用所編程序解決實際算例。實驗要求：認真分析問題，深刻理解相關(guān)理論知識并能熟練應(yīng)用；編寫相關(guān)程序并進行實驗；調(diào)試程序，得到最終結(jié)果；分析解釋實驗結(jié)果；按照要求完成實驗報告。實驗原理：詳見《數(shù)值分析第5版》第二章、第三章相關(guān)容。實驗容：(1)問題1:這里我們可以沿用實驗報告一的代碼，對其進行少量修改即可。當n=10時，代碼為：clearal1clck=0：10；n=length(k)；x1=cos((2*k+1)/2/n*pi)；yl=l./(l+25.f=yl(：);forj=2:nFori=n：-l：jf(i)=(f(i)-f(i-l))/(xl(i)-xl(i-M))；endendsymsFxp；F(l)=l；p(l)=yl(1)；fori=2：nF(i)=F(i-l)*(x-xl(i-l))；p(i)=f(i)*F(i)；endsymsPP=sum(p)；P10=vpa(expand(P),5):xO=-l：O.001：1；yO=subs(P.x,xO)；y2=subs(1/(1+25*x'2),xtx0)；plot(x0,y0,x0,y2)gridonxlabel(rx*)ylabel(*y*)由此我們可以得到Pw(x)=-46.633*x^l0+3.0962e-14*x^9+130.ll*x^8-7.2714e-14疔7-133.44權(quán)飛+7.1777e-14*x^5+6L443*x^4-l.5805e-14*x"3-12?477*x*2-l.6214e-16*x+l.0并可以得到牛頓插值多項式在［-1?1］上的圖形，并和原函數(shù)進行對比，得Fig.UFig.1牛頓插值多項式(n=10)函數(shù)和原函數(shù)圖形當n=20,將上述代碼中的"k=0：10；”改為"k=0：20；”即可。由此我們可以得到PMx)二6466.6*x“20+8.0207e-13*x^19-34208.0*x^l8-3.5038e-12*x“17+77754.0*x^16-99300.0*x"14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-39333.0*x*10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2537.3林飛+306.63*x^4-21.762*x"2+l.0并可以得到牛頓插值多項式在［-1,1］上的圖形，并和原函數(shù)進行對比，得Fig.2。

Fig.2牛頓插值多項式(n=20)函數(shù)和原函數(shù)圖形回顧一下實驗一的結(jié)果(見Fig.3),我們不難發(fā)現(xiàn)，僅僅是改變了x的取值，結(jié)果發(fā)生了很大的變化。實驗一中，插值多項式與原函數(shù)產(chǎn)生了很大的偏差，并且隨著分的段數(shù)的增加，其誤差不斷變大，但是在本次實驗中，我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然多項式依舊存在震蕩現(xiàn)象，但是誤差小了很多，而且隨著分的段數(shù)的增加，插值多項式曲線與原函數(shù)曲線已經(jīng)十分接近了。Fig.3實驗一結(jié)果這個例子說明：采用切比雪夫節(jié)點替代等距節(jié)點可以消除龍格現(xiàn)象。(2)問題2：分析問題，發(fā)現(xiàn)在這個問題中，我們已經(jīng)知道了原函數(shù)，同時它也告訴我們所需取的11個點的值，所以這里可以用兩種方法進行函數(shù)逼近得到擬合曲線。首先采用最小二乘法來考慮這個問題，編寫代碼如下(這里沒有直接調(diào)用polyfit函數(shù))：clearal1clcn=3；xl=-l：0.2：1；yl=l./(l+25.*xl."2)；symsSGdax；fori=l：n+l；foi'j二l：n+1；G(itj)=sum(xl."(i+j-2));endendfori=l：n+l；d(i)=sum(xL"(iT).*yl)；enda=G^-l*d*；fori=l：n+LX(i)=x"(i-1)；endS=vpa(X*at5)x0=-l：0.001：1；yO=subs(S,x,xO)；y2=subs(l/(l+25*x"2).x.xO)；plot(x0,y0tx0.y2)gridonxlabel('x')ylabel(ry*)我們可以得到一個三次多項式：Ss=L1665e-16*x^3-0.57518*x*2-9.4553e-17*x+0.48412。同時我們也可以得到它與原函數(shù)的圖形,如圖Fig.4。

/――X/■ ?03 彳6-04 ￡2020< Q>0、3 1Fig.4最小二乘法n=3的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果和原函數(shù)產(chǎn)生了巨大的誤差。首先觀察得到的多項式，我們發(fā)現(xiàn)它的3次項系數(shù)非常小，原因是原函數(shù)是一個偶函數(shù)，這將導(dǎo)致奇次項系數(shù)基本為0。這里我們調(diào)整n,對結(jié)果進行觀察,取n=4,6,8,10,20。我們可以得到Fig.5-Fig.9。Si=l.4852*X“4+1?3703e-16*x^3-2.0604*x^2-L1769e-16*x+0?655220=-4?633林飛+4.0789e-14*x°5+8.4769*x^4-5.28e-14*x^3-4.5969*x"2+l?3229e-14*x+0.78461Se20.466録“8-3?8972e-12*x^7-43.601枚飛+6.9014e-12杓T5+30.817*x^4-3.4363e-12*x^3-8.5318杓T2+4.2796e-13*x+0.88802S,o=-22O.94V10-5.1978e-9*x“9+494.91*x*8+l.0649e-8*x^7-381.43權(quán)飛-6.9693e-9*x°5+123.36*x^4+1.6139e-9*x^3-16.855*x^2-9.6021e-ll*x+l.0S2o=-318.82杓T20+74.132*x"9+43?205*x^18-83.871*x^17+91.867*x^16-68.562*x"15+29.364*x^14-56.393*x"13+260.42*x^l2-32.957*xA11+79.822水x"10+1.8279*x°9-139.85朱x“8+49?564*x^7-121.95杯飛-23.918*x^5+90.922*x°4+3?1437*x^3-15.933*x^2-0.090653*x+l.07.?/\、//->zZ-X?一?41B 46 Q4 -G2 Q 02 0.4 Q6 08Fig.5最小二乘法n二4的結(jié)果

1?f ?*/>?\廠\\/???.\%、\X\、08 宀 -D.4 Q2 02 0.4 Q6 08Fig.6最小二乘法n=6的結(jié)果/、XZ—■■//_—\-?\/\ Z\1恥 處 -0.4 02 02 0.4 Q6 08Fig.7最小二乘法n二8的結(jié)果Fig.8最小二乘法n=10的結(jié)果?/11I111??t■1 48 X36 -0.4 42 0 02 0.4 Q6 08 1XFig.9最小二乘法n==20的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，擬合結(jié)果并不理想，當n=8時與原函數(shù)較為接近，而當n取其他值時，都有著比較大的誤差，說明采用最小二乘法考慮這個問題并不是一個十分好的方法，對yi進行適當變形可能可以得到更好的結(jié)果。同時，由于知道f(X),這道題我們也可以采用最佳平方逼近的方法，編寫代碼如下:clearal1clcsymsSUadx；n=3；fori=l：n+Ld(i)=int(x*(iT)/(l+25*x"2),x.T,1);endfori=l：n+lforj=l：n+1H(itj)=int(x"(i+j-2),x.T.1);endenda=ir-l*d*；fori=l：n+1X(i)=x'(i-1)；endS=vpa(X*at5)x0=-l：0.001：I；yO=subs(S,x,xO)；y2=subs(1/(1+25*x*2)txtx0)；gridonxlabel(r)ylabel(ryr)由此我們可以得到一個三次多項式，(事實上這是一個二次多項式)：

S3=0.50923-0.70366*x"2,同時我們也可以得到該多項式與原函數(shù)的圖像，見Fig.10oFig.10聶佳平方逼近n二3的結(jié)果不然發(fā)現(xiàn)采用這種方法有著和最小二乘法相同的問題，同樣我們這里也對n取不同的值進行觀察，取n=4,6,8,10,20o我們可以得到Fig.11-Fig.15。Si=l.8689*x^4-2.3055水xt+0.669420=-4?9969*x"6+8?6828*x^4-4.5768*x“2+0?77758Ss=13?392*x^8-29.995杯飛+23?105*x^4-7.199杓T2+0.85042S10=-35.931V10+98.491*x^8-100.08*x^6+46.465*x^4-9.8945*x^2+0.89942S20=5023.5*x“20-26343?0*x"8+59469.0*x*16-75642.Ox「4+59603.0*x^l2-30157.0*x‘10+9844.2*x^8-2038.8*x"6+259?82*x^4-19.945*x"2+0.9862/.k?l4/?/\、\\-/恥 ：W 04 -02 02 0.4 Q6 08Fig.11最佳平方逼近n=4的結(jié)果

f/Z\//Q2l I I I I I I I I I?1 48 刀坊 0.4 42 02 0.4 Q6 08Fig.12量佳平方逼近n二6的結(jié)果X/;、f、\