課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題理

課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題理課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題理PAGEPAGE32課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2020高考數(shù)學(xué)專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題理專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程挖命題【真題典例】【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1。極坐標(biāo)方程能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,能通過極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化研究曲線的性質(zhì)2017課標(biāo)Ⅱ，22,10分極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化軌跡問題、三角函數(shù)求面積最值★★★2016課標(biāo)Ⅰ,23,10分極坐標(biāo)方程求參數(shù)2015課標(biāo)Ⅱ,23,10分極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化三角函數(shù)求最值2。參數(shù)方程了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能借助于參數(shù)方程與普通方程的互化進(jìn)一步研究曲線的性質(zhì)2018課標(biāo)Ⅱ，22,10分參數(shù)方程與普通方程互化直線的斜率★★★2014課標(biāo)Ⅰ，23,10分參數(shù)方程三角函數(shù)求最值分析解讀從近5年的高考情況來看，本專題內(nèi)容一直是高考命題的熱點(diǎn)，以解答題的形式出現(xiàn),分值為10分。主要考查極坐標(biāo)(方程)與直角坐標(biāo)(方程)的互化,參數(shù)方程與普通方程的互化以及參數(shù)方程的應(yīng)用,尤其是利用橢圓、圓的參數(shù)方程求最值及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求值是高考考查的重點(diǎn).解題時(shí),應(yīng)熟記互化公式和互化方法，巧妙設(shè)取參數(shù),充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用。破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1。(2018四川德陽模擬，22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是x=（1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程,將直線l的參數(shù)方程化成普通方程；（2）當(dāng)m=0時(shí),直線l與曲線C異于原點(diǎn)O的交點(diǎn)為A，直線θ=-π3解析(1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ.轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x.直線l的參數(shù)方程為x=轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為y=x-m。(2）當(dāng)m=0時(shí)，A22,π所以S△AOB=12×2×22sinπ3+2。(2018福建福州四校期末聯(lián)考，22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+cosα,y=2+sin(1）求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程;（2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),求1|OA|解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程為x=2+cosα,y=2+sinα(α為參數(shù)）得曲線C則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2—4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直線C2過原點(diǎn),且傾斜角為π3，故其極坐標(biāo)方程為θ=π(2)由ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,θ=π3得ρ2-(23∴1|OA|+1|OB|=考點(diǎn)二參數(shù)方程1。(2018四川達(dá)州模擬,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線l：x=22（1)求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知M（0，-1),求|MA｜·｜MB|的值.解析（1）直線l的參數(shù)方程為x=轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x—y—1=0.曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2—6ρcosθ+1=0,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2—6x+1=0.(2)把直線l的參數(shù)方程x=22t,y=-1+22t（t為參數(shù)）代入x則｜MA｜·|MB|=｜t1·t2|=2.2.（2017河北衡水中學(xué)期末，22)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cosθ+2sinθ=0，ρ2=4co（1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程;（2)若點(diǎn)Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值。解析(1）cosθ+2sinθ=0?ρcosθ+2ρsinθ=0?x+2y=0。ρ2=4cos2θ+4sin2θ?ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4?x2所以直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程分別為x+2y=0,x24+y(2）因?yàn)闄E圓C：x24+y2=1的參數(shù)方程為因此點(diǎn)Q到直線l:x+2y=0的距離d=|2cosθ+2sin所以當(dāng)θ+π4=kπ+π即θ=kπ+π4（k∈Z）時(shí),d取最大值2煉技法【方法集訓(xùn)】方法1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法（2018河南濮陽一模,22）在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=（1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)過原點(diǎn)O的直線l1，l2分別與曲線C交于除原點(diǎn)外的A,B兩點(diǎn),若∠AOB=π3解析（1）曲線C的普通方程為(x—3）2+（y-1）2=4,即x2+y2-23x—2y=0，所以，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2—23ρcosθ—2ρsinθ=0，即ρ=4sinθ+(2)不妨設(shè)A(ρ1，θ),Bρ2,θ+則ρ1=4sinθ+π3,ρ2△AOB的面積S=12｜OA｜·｜OB｜sin=12ρ1ρ2sinπ3=43sinθ=23cos2θ+3≤33.所以,當(dāng)θ=0時(shí),△AOB的面積取最大值33。方法2參數(shù)方程與普通方程的互化方法(2018河北五個(gè)一名校第二次聯(lián)考，22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點(diǎn)P(a，1)，其參數(shù)方程為x=a+2t(1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線C1與曲線C2交于A,B兩點(diǎn),且｜PA｜=2|PB|,求實(shí)數(shù)a的值.解析（1)∵曲線C1的參數(shù)方程為x=a+∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ—ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，又ρcosθ=x，ρ2=x2+y2，∴x2+4x-x2—y2=0，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x。（2)設(shè)A,B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由y2=4x,x=則Δ=（-22)2—4(2-8a)>0，即a>0，∴t根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知｜PA|=｜t1｜,｜PB｜=｜t2｜,∴由|PA|=2｜PB｜得t1=2t2或t1=—2t2,∴當(dāng)t1=2t2時(shí),有t解得a=136〉0，符合題意;當(dāng)t1=—2t2時(shí),有解得a=94>0,符合題意。綜上所述，a=136或a=過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1。(2017課標(biāo)Ⅱ，22，10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4。(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上,且滿足｜OM｜·|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2,π3解析本題考查極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用。(1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（ρ,θ）(ρ>0）,M的極坐標(biāo)為（ρ1,θ)(ρ1>0）。由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM｜=ρ1=4cos由｜OM｜·｜OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ>0)。因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0）.（2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（ρB,α）(ρB>0）.由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα，于是△OAB面積S=12｜OA|·ρB=4cosα·sinα-π3=2當(dāng)α=-π12時(shí),S取得最大值2+3.所以△OAB面積的最大值為2+32.(2018課標(biāo)Ⅰ，22，10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k｜x｜+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0。（1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2）若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.解析（1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.（2)由(1）知C2是圓心為A（-1,0)，半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2）且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2，所以|-k+2|k2+1=2，故k=—43或k=0，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k=—43時(shí)，l當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2，故k=0或k=43.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí),l1與C2綜上,所求C1的方程為y=-43方法總結(jié)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化技巧（1）巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ或同時(shí)平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcosθ,ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程.（2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化成ρsin（θ+α)或ρcos（θ+α)的形式，進(jìn)而利用互化公式得到直角坐標(biāo)方程。（3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcosθ，將y轉(zhuǎn)化為ρsinθ,即可得到極坐標(biāo)方程.考點(diǎn)二參數(shù)方程1.（2018課標(biāo)Ⅱ,22，10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,(1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,求l的斜率.解析（1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+當(dāng)cosα≠0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2—tanα,當(dāng)cosα=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1。(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0.①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)（1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2,則t1+t2=0。又由①得t1+t2=-4(故2cosα+sinα=0，于是直線l的斜率k=tanα=—2。注：因?yàn)樵诮滩闹?，參?shù)方程與普通方程對(duì)應(yīng),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)，所以本題中的“直角坐標(biāo)方程”更改為“普通方程"更合適.方法總結(jié)以角θ為參數(shù)的參數(shù)方程，一般利用三角函數(shù)的平方關(guān)系:sin2θ+cos2θ=1將參數(shù)方程化為普通方程；而弦的中點(diǎn)問題常用根與系數(shù)的關(guān)系或點(diǎn)差法進(jìn)行整體運(yùn)算求解.2。(2018課標(biāo)Ⅲ，22，10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為x=cosθ,(1）求α的取值范圍；(2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程。解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系。（1)☉O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)α=π2時(shí)，l與☉O交于兩點(diǎn)。當(dāng)α≠π2時(shí),記tanα=k,則l的方程為y=kx—2.l與☉O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)21+k2〈1，解得k<—1或k>1，即α∈π(2）l的參數(shù)方程為x=設(shè)A,B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB,tP,則tP=tA+tB2,且tA，tB滿足t2—22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα，tP=2易錯(cuò)警示容易忽略直線斜率不存在的情形。B組自主命題·省(區(qū)、市）卷題組考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1。（2018北京,10，5分)在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a（a〉0)與圓ρ=2cosθ相切,則a=。

答案1+22.（2014湖南，11，5分）在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為π4的直線l與曲線C：x=2+cosα答案2ρcosθ+考點(diǎn)二參數(shù)方程1.（2016江蘇，21C，10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=1+12解析橢圓C的普通方程為x2+y2將直線l的參數(shù)方程x=1+12t,1+12t2+32t24=1,即7t所以AB=|t1-t2|=167評(píng)析本題主要考查直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.2.(2017江蘇,21C,10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+解析直線l的普通方程為x-2y+8=0。因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2,22s）,從而點(diǎn)P到直線l的距離d=|2s2當(dāng)s=2時(shí)，dmin=45因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4)時(shí)，曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值45C組教師專用題組考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1.（2017北京,11，5分)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2—2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）,則|AP|的最小值為.

答案12。(2017天津，11,5分)在極坐標(biāo)系中，直線4ρcosθ-π6答案23.(2016北京,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-3ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜=。

答案24.（2015廣東,14，5分)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ-π4=2,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A2答案55。（2014重慶，15，5分)已知直線l的參數(shù)方程為x=2+t,y=3+答案56。(2014廣東,14,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1。以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。

答案（1，1)7.(2018江蘇,21C,10分）在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsinπ6解析本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力。因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,所以曲線C是圓心為（2,0）,直徑為4的圓,因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsinπ6-θ設(shè)A(4，0）,則A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則∠OAB=π6連接OB，因?yàn)镺A為直徑，所以∠OBA=π2所以AB=4cosπ6=23因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為23。一題多解把直線和曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得到l:x-3y-4=0,C:x2+y2-4x=0，則C：（x—2）2+y2=4，半徑R=2，圓心C(2,0)到l的距離d=22=1,因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2R2-8。(2017課標(biāo)Ⅲ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt（t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為（1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ（cosθ+sinθ)—2=0，M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程.（1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x—2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y=1k設(shè)P(x，y），由題設(shè)得y消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ-sin2θ）=4(0〈θ〈2π，θ≠π）.聯(lián)立ρ2故tanθ=-13，從而cos2θ=910,sin2θ=代入ρ2（cos2θ-sin2θ）=4得ρ2=5，所以交點(diǎn)M的極徑為5。思路分析（1)由參數(shù)方程直接消去參數(shù)t、m、k，即得C的普通方程。（2）將C的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,與直線l3的參數(shù)方程聯(lián)立,從而求得點(diǎn)M的極徑。方法總結(jié)極坐標(biāo)問題既可以化為直角坐標(biāo)處理,也可以直接用極坐標(biāo)求解。但要注意極徑、極角的取值范圍,避免漏根或增根。9。（2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，23，10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25。(1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcos解析(1）由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2+12ρcosθ+11=0。(3分)(2）在(1）中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R)。(4分)設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+11=0。于是ρ1+ρ2=—12cosα，ρ1ρ2=11。（6分)｜AB｜=|ρ1—ρ2｜=(ρ1+由|AB|=10得cos2α=38，tanα=±15所以l的斜率為153或—15方法總結(jié)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法及整體運(yùn)算的技巧極大地提高了解題效率。評(píng)析本題考查直線和圓的極坐標(biāo)方程;極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用；利用方程的思想方法是求解的關(guān)鍵。10。（2015課標(biāo)Ⅰ,23,10分,0.825)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1:x=-2，圓C2:(x-1）2+(y-2）2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程；(2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π4（ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N,求△C2解析（1)因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ—4ρsinθ+4=0.（5分)(2）將θ=π4代入ρ2—2ρcosθ—4ρsinθ+4=0，得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2,故ρ1—ρ2=2，即｜MN｜=2由于C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為12思路分析（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ求解;(2）將直線C3的極坐標(biāo)方程代入圓C2的極坐標(biāo)方程，通過解方程求出｜MN｜的值,再結(jié)合圓C2的半徑求△C2MN的面積.方法總結(jié)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化方法:直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程11.（2015課標(biāo)Ⅱ，23，10分）在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1：x=tcosα,y=（1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值。解析（1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-23x=0.聯(lián)立x2+y2所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和32(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R，ρ≠0),其中0≤α〈π.因此A的極坐標(biāo)為（2sinα，α）,B的極坐標(biāo)為(23cosα，α）。所以｜AB|=｜2sinα—23cosα|=4sinα當(dāng)α=5π6思路分析(1）由互化公式把曲線C2,C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)求出C1的極坐標(biāo)方程,進(jìn)而得點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為(2sinα，α)，（23cosα，α),從而得出|AB｜=｜2sinα-23cosα｜,利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可求其最大值。解題關(guān)鍵將|AB｜表示成關(guān)于α的函數(shù)是解第(2）問的關(guān)鍵。12。（2015江蘇，21C，10分)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+22ρsinθ-解析以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy。圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+22ρ22化簡(jiǎn),得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+（y+1)2=6，所以圓C的半徑為6。評(píng)析本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.13.（2014遼寧，23，10分）將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1）寫出C的參數(shù)方程;(2）設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解析(1)設(shè)(x1,y1）為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x，y)，依題意，得x由x12+y12=1得x2+y2故C的參數(shù)方程為x=cos(2）由x2+y2不妨設(shè)P1(1，0），P2(0，2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,1，所求直線斜率為k=1即ρ=34sin考點(diǎn)二參數(shù)方程1。（2014安徽,4,5分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。已知直線l的參數(shù)方程是x=A.14B.214C。2D。22答案D2.(2018天津,12,5分）已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C，直線x=-1+答案13.（2015湖北,16,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0,曲線C的參數(shù)方程為x=t-答案254。（2014湖北,16，5分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程是x=t,y=3t3(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C答案（3,1）5。（2015湖南，16（2），6分)已知直線l:x=5+(1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2）設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（5,3）,直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B，求|MA|·|MB｜的值。解析（1）ρ=2cosθ等價(jià)于ρ2=2ρcosθ。①將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2x=0.②(2）將x=5+32t,y=3+12t代入②,得t6。（2016課標(biāo)Ⅲ,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解析（1）C1的普通方程為x23+yC2的直角坐標(biāo)方程為x+y—4=0。（5分）(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3cosα,sinα）.因?yàn)镃2是直線，所以｜PQ｜的最小值即為P到C2的距離d（α）的最小值,d（α）=|3cosα當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6（k∈Z)時(shí)，d(α）取得最小值,最小值為2，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為3思路分析（1)對(duì)于C1的參數(shù)方程，利用sin2α+cos2α=1消去參數(shù)α可得C1的普通方程,對(duì)于C2的極坐標(biāo)方程，由兩角和的正弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得C2的直角坐標(biāo)方程；（2)由C1的參數(shù)方程設(shè)出P點(diǎn)的直角坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。方法總結(jié)求與曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值時(shí)，常利用曲線的參數(shù)方程表示出曲線上的動(dòng)點(diǎn),從而利用三角函數(shù)的知識(shí)求最值，這樣可以極大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。評(píng)析本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化關(guān)系以及參數(shù)方程的應(yīng)用.考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的應(yīng)用能力。正確利用曲線的參數(shù)方程是求解第（2)問的關(guān)鍵.7.(2015陜西,23,10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=3+12（1)寫出☉C的直角坐標(biāo)方程；（2）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo).解析（1)由ρ=23sinθ，得ρ2=23ρsinθ，從而有x2+y2=23y，所以x2+(y-3）2=3。（2）設(shè)P3+12t則|PC｜=3+12t28.(2014課標(biāo)Ⅱ，23,10分，0.462)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈0,（1)求C的參數(shù)方程；（2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l:y=3x+2垂直，根據(jù)(1）中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo)。解析（1）C的普通方程為（x-1)2+y2=1(0≤y≤1）?？傻肅的參數(shù)方程為x=1+cos(2）設(shè)D（1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓.因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同.tant=3，t=π3故D的直角坐標(biāo)為1+cosπ3思路分析(1）先把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再求其參數(shù)方程。（2)利用曲線C的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)D的直角坐標(biāo),由切線的性質(zhì)求解。9。(2014江蘇，21C，10分）選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為x=1-2解析將直線l的參數(shù)方程x=1-22t,y=2+22t代入拋物線方程y2所以AB=|t1—t2｜=82。10。（2014福建，21(2)，7分)已知直線l的參數(shù)方程為x=a-(1)求直線l和圓C的普通方程；（2）若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析(1)直線l的普通方程為2x—y—2a=0，圓C的普通方程為x2+y2=16。（2）因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn),故圓C的圓心到直線l的距離d=|-2解得-25≤a≤25。11。（2014課標(biāo)Ⅰ,23，10分）已知曲線C：x24+y2(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cos直線l的普通方程為2x+y-6=0。(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d=55則｜PA｜=dsin30°=其中α為銳角，且tanα=43當(dāng)sin（θ+α)=—1時(shí)，｜PA|取得最大值，最大值為225當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|PA｜取得最小值,最小值為25思路分析(1）利用三角換元的方法求曲線C的參數(shù)方程,消去參數(shù)t得直線l的普通方程;（2）利于曲線C的參數(shù)方程表示出P的直角坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式及解直角三角形建立｜PA|關(guān)于θ的函數(shù),利用三角函數(shù)的知識(shí)求最值.【三年模擬】解答題(共80分)1。(2019屆廣東佛山順德第二次質(zhì)檢，22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=1+2cosφ,y=(1）求C與l1的極坐標(biāo)方程；（2)當(dāng)-π6<α〈π3時(shí)，直線l1與C相交于O,A兩點(diǎn).過點(diǎn)O作l1的垂線l2，l解析（1)因?yàn)榍€C:x=1+2cos所以曲線C的普通方程為(x—1）2+（y—3）2=4,由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ—23ρsinθ=0.化簡(jiǎn)得ρ=2cosθ+23sinθ。因?yàn)橹本€l1:x=所以直線l1的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R）(漏寫ρ∈R不扣分)。（2)解法一：設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(ρA，α）,-π6〈α<π則ρA=｜2cosα+23sinα|=4sinα+點(diǎn)B的極坐標(biāo)為ρB則ρB=4sinα+π2∴｜OA|+｜OB|=ρA+ρB=4sinα+π=42sinα+所以當(dāng)α=π12時(shí)，(｜OA|+｜OB|）max=42解法二:由已知得∠AOB=90°,∴AB為☉C的直徑，故有｜OA｜2+|OB｜2=｜AB｜2=42=16,∴|OA|+即｜OA｜+｜OB｜≤28=42，當(dāng)且僅當(dāng)|OA｜=｜OB｜=22時(shí),｜OA|+|OB｜取得最大值42.2。(2019屆廣西南寧、玉林、貴港摸底考試,22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosφ,（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α(0〈α〈π，ρ∈R),點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A,B均異于原點(diǎn)O,且｜AB｜=42,求α的值.解析(1）由x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ為參數(shù)）消去參數(shù)φ可得C∵ρ=4sinθ,∴ρ2=4ρsinθ,由x=ρcosθ,y=（2)由(1）得曲線C1的方程為(x—2）2+y2=4,其極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,由題意設(shè)A（ρ1，α），B(ρ2，α）,則｜AB｜=｜ρ1-ρ2|=4｜sinα—cosα｜=42sinα-π4∴α—π4=π2+kπ(k∈Z）。∵0〈α<π,∴α=3。（2019屆河北衡水中學(xué)9月月考，22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+2acosθ（a>0)。直線l的參數(shù)方程為x=(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π），|PM|+｜PN|=52，求a的值。解析（1）由ρ=2sinθ+2acosθ（a>0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a〉0），所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y+2ax（a〉0）,即（x—a）2+（y-1）2=a2+1（a〉0）.直線l的普通方程為y=x+2.（2）將直線l的參數(shù)方程x=-2+22t,y=22t代入x2+y2=2y+2ax并化簡(jiǎn)、整理得t2—(32+2a）t+4a+4=0，因?yàn)橹本€l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).所以Δ=［—（32+2a）］2-4（4a+4)>0，解得a≠1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t所以|PM|+|PN|=｜t1+t2|=32+2a=52,解得a=2,此時(shí)滿足a〉0,且a≠1.故a=2.4.(2019屆湖北、山東重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考，22)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1、C2的參數(shù)方程分別為C1:x=2cosθ,y=(1)求曲線C1、C2的普通方程；(2）已知點(diǎn)P(1,0），若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的取值范圍.解析(1）曲線C1的普通方程為x24+當(dāng)θ≠π2+kπ，k∈Z時(shí),曲線C2當(dāng)θ=π2+kπ，k∈Z時(shí)，曲線C2的普通方程為x=1。（或曲線C2（2)將C2:x=1+tcosθ,y=tsinθ(t為參數(shù)）代入C1:x2設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t1+t2=-6cosθsin2θ+3，t∴|PA|+｜PB|=|t1|+|t2｜=｜t1-t2|=(t1+∵sin2θ∈[0，1］,∴|PA｜+|PB｜∈[