對(duì)固定效應(yīng)變面板變系數(shù)的直接半?yún)⒐烙?jì)

對(duì)固定效應(yīng)變面板變系數(shù)的直接半?yún)⒐烙?jì)摘要在這篇論文中，我們介紹了一個(gè)用于面板模型中個(gè)體效應(yīng)與解釋變量之間存在著未知形式相關(guān)性情況下變系數(shù)估計(jì)的新方法。這個(gè)回歸方法使用一個(gè)基于一階差分后的局部回歸對(duì)未知系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。為了避免無(wú)法忽視的漸近有偏性，我們需要引入一個(gè)更高維度的內(nèi)核權(quán)重。這是我們能夠以擴(kuò)大變量規(guī)模，導(dǎo)致一個(gè)較低的收斂概率為代價(jià)去除有偏性。為了克服這個(gè)問(wèn)題，我們采用了單步更新算法，這能夠使得回歸結(jié)果能夠達(dá)到一個(gè)較高的收斂概率，同時(shí)也體現(xiàn)了所謂的oracle效率特征。我們還得到了漸近分布。由于回歸過(guò)程是建立在對(duì)于窗寬矩陣（指除一定寬度對(duì)角線以外的元素全為0的矩陣？具體查閱非參估計(jì)）的選擇上，我們還提供了一個(gè)計(jì)算計(jì)算這個(gè)矩陣的實(shí)證方法。蒙特卡洛模擬結(jié)果顯示這個(gè)回歸方法在有限樣本情況下十分有效。一、緒論本篇論文關(guān)注于對(duì)面板模型變系數(shù)的估計(jì)。這種回歸方法由一個(gè)線性回歸模型組成，并基于理論，回歸系數(shù)受到外生變量影響，從而被假定為變系數(shù)。例如，在所謂的教育回報(bào)問(wèn)題中，針對(duì)教育水平對(duì)工資水平的影響彈性的估計(jì)問(wèn)題，通過(guò)理論研究指出教育的邊際回報(bào)可能會(huì)隨著工作經(jīng)驗(yàn)的不同而改變，詳情可參閱Schultz（2003）。因此，在一定的教育水平條件下，工資-教育彈性可能就會(huì)隨著工作經(jīng)驗(yàn)的不同而發(fā)生變化。在本文的實(shí)證研究中，針對(duì)可能存在的變系數(shù)函數(shù)形式誤設(shè)問(wèn)題，我們采用了非參數(shù)估計(jì)技術(shù)加以解決。但在大多數(shù)情況下，對(duì)于系數(shù)方程形式的估計(jì)是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化手段得到的，例如樣條平滑、序列估計(jì)或者局部多項(xiàng)式回歸估計(jì)，詳情可參閱SuandUllah（2011）。盡管在絕大多數(shù)情況中，直接運(yùn)用一個(gè)已有的技術(shù)就能夠得到一個(gè)正確的推斷結(jié)果，然而沒(méi)有多少注意力被放在這些估計(jì)過(guò)程在非標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定下的漸近特征也是事實(shí)。不幸的是，這些設(shè)定與面板數(shù)據(jù)模型的實(shí)證分析息息相關(guān)。這里有一個(gè)非常清晰的例子，在一個(gè)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型中，存在著一些無(wú)法觀測(cè)的解釋變量，這些變量雖然不隨著時(shí)間變化，但是能夠在統(tǒng)計(jì)角度上與模型中一些其他的解釋變量存在著相關(guān)性（固定效應(yīng)）。固定效應(yīng)模型中存在的與一些解釋變量相關(guān)的未知形式的組間異質(zhì)性不是一個(gè)能夠簡(jiǎn)單解決的問(wèn)題。實(shí)際上，在這樣的異質(zhì)性問(wèn)題下進(jìn)行估計(jì)的計(jì)量方法都面臨著所謂的附帶參數(shù)問(wèn)題（固定效應(yīng)的可變截距項(xiàng)就是附帶參數(shù)，會(huì)造成最大似然估計(jì)結(jié)果非一致性），詳情可參閱NeymanandScott（1948）。為了能夠得到這類模型中系數(shù)的一致估計(jì)量，一個(gè)可行的解決方法就是講模型轉(zhuǎn)換成一個(gè)不含有未知形式異質(zhì)性的模型。具體而言，可以通過(guò)構(gòu)建一個(gè)異質(zhì)性變量μit與d維解釋變量Xit、q維解釋變量Zit的協(xié)同變量有關(guān)（與其中之一或者兩個(gè)變量同時(shí)相關(guān)）的線性面板模型來(lái)解決這一問(wèn)題。Y其中，函數(shù)mz未知且需要估計(jì)，vit為隨機(jī)干擾項(xiàng)。顯然，任何試圖使用標(biāo)準(zhǔn)非參數(shù)估計(jì)方法對(duì)m?進(jìn)行直接估計(jì)都會(huì)得到基準(zhǔn)曲線的非一致性估計(jì)量。造成這一結(jié)果的原因在于EμiXit=x,Zit=z≠0。解決這類問(wèn)題有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的方法，就是將μi通過(guò)一系列轉(zhuǎn)換從式（1.1）中?到目前為止，對(duì)于m?的直接非參估計(jì)都比較麻煩，具體可參閱SuandUllah（2011）。其原因在于，對(duì)于每一組別（i），式（1.2）的條件期望值E?YitXit,Xit-1在一些特殊的情況下，本文也給出了相關(guān)問(wèn)題的一致性估計(jì)方法。對(duì)于無(wú)約束模型形式XitTmZit=mXit?這對(duì)這種情形，Hendersonetal.（2008）基于輪廓似然逼近方法提出了一個(gè)迭代過(guò)程算法，Mammen等（2009）提出了通過(guò)一個(gè)平滑的后向擬合（Backfitting）算法以得到包含了時(shí)間與個(gè)體效應(yīng)的可加面板模型非參數(shù)一致估計(jì)。更進(jìn)一步，若Xit'mZit≡gZit+Xit?QianandWang（2012）對(duì)可加部分采用了基于一階差分的邊際積分非參估計(jì)，即GZ本文中我們所介紹的估計(jì)方法主要是將現(xiàn)有的估計(jì)結(jié)果推廣至更為廣義的變系數(shù)模型，在如式（1.1）所示的N→∞但T保持不變的O型框架下進(jìn)行研究。我們的方法是基于對(duì)可加函數(shù)Xit'mZit-Xit-1'mZit-1的局部近似實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)思想由Yang（為了能夠在這種情況下保持標(biāo)準(zhǔn)的收斂率（即在不影響對(duì)有偏性約束的情況下降低估計(jì)方差），我們使用FanandZhang（1999）所提出的方法。其核心思想在于通過(guò)進(jìn)一步的平滑處理降低方差，而且偏差余項(xiàng)不會(huì)因?yàn)槿魏纹交幚矶档汀⑦@種思想運(yùn)用到我們的估計(jì)問(wèn)題中，提出一個(gè)單步后向擬合算法。由于采用可加模型，那么我們的方法能夠得到一個(gè)有效估計(jì)結(jié)果。這意味著，任意一組的估計(jì)結(jié)果的協(xié)方差矩陣是漸近一致的，也就是說(shuō)我們能夠推斷出其他組別的協(xié)方差矩陣。最后，我們還介紹了一個(gè)用來(lái)選擇窗寬系數(shù)（bandwidthparameter非參估計(jì)內(nèi)容，需補(bǔ)課）的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法。如前文所述，可以使用一些變換過(guò)程來(lái)去除面板模型中的異質(zhì)性。據(jù)我們所知，對(duì)于模型（1.1），Sun等（2009）已經(jīng)提出了一個(gè)通過(guò)所謂的虛擬變量最小二乘逼近方法得到m?的估計(jì)量。他們通過(guò)如式（1.3）的替代形式對(duì)mY其中，當(dāng)i=j時(shí)dij=1，否則為0?；谶@個(gè)模型，他們推導(dǎo)出一個(gè)包含了局部線性回歸逼近的最小二乘方法，得到關(guān)于未知系數(shù)平滑曲線的一致估計(jì)量。與我們的方法相比，這個(gè)方法存在這一個(gè)極大的偏差余項(xiàng)。實(shí)際上，這個(gè)方法的有偏性來(lái)自于兩處。其一，對(duì)m?的局部近似，這種處理方式也存在于我們所講要介紹的方法中；其二，未知的固定效應(yīng)只能等于0，因?yàn)樗麄兪┘恿艘粋€(gè)可加性強(qiáng)約束——iμi本文結(jié)構(gòu)如下：第二章，我們建立計(jì)量模型并介紹估計(jì)過(guò)程；第三章，研究其漸近特征并基于此介紹一個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程，通過(guò)這個(gè)過(guò)程能夠得到一個(gè)具有最優(yōu)收斂率的有效估計(jì)量；第四章，介紹如何從實(shí)證角度估計(jì)帶寬矩陣；第五章，給出了一些模擬結(jié)果；最后，第六章為結(jié)論。二、統(tǒng)計(jì)模型及估計(jì)方法為了更好的說(shuō)明我們的估計(jì)方法，先從單變量模型開(kāi)始，然后將估計(jì)結(jié)果擴(kuò)展到多變量模型。那么，根據(jù)式（1.2）建立d=q=1的單變量模型。在這種情況下，對(duì)于任意z∈A，其中A為R內(nèi)部一個(gè)非空閉集，將（1.2）泰勒展開(kāi)：X++?+≡這個(gè)式子表明將通過(guò)XitZit-zλ-Xit-1Zi=1（2.1）這里，K為一個(gè)二元內(nèi)核（kernel？），則有Ku,v=KuKh為一個(gè)窗寬。我們用β0和β1表示使式（2.1）最小化的系數(shù)的值。上述過(guò)程給出了m?和m‘?的估計(jì)量，特別的是，在不斷的局部逼近的情況下（p=0;即Naradaya-Watson內(nèi)核回歸估計(jì)量），mzβ在局部線性回歸的情況下（p=1），則有：β（其中Zit為一個(gè)2Z可以看到，在（2.1）中我們給出了一個(gè)包含了Zit-1的二元內(nèi)核，而不是一個(gè)僅考慮了Zit的內(nèi)核。其原因在于，如果我們只考慮在Zit附近的內(nèi)核，那么變換后的回歸方程（1.2）將會(huì)被局限于Zit附近，而沒(méi)有充分考慮其他取值。那么就會(huì)導(dǎo)致Zis（當(dāng)s≠t）與z之間的距離無(wú)法由固定的窗寬變量控制致使變換后的偏差余項(xiàng)無(wú)法忽略。最終，可能會(huì)導(dǎo)致局部線性估計(jì)量存在一個(gè)無(wú)法消除的偏差?；谶@個(gè)邏輯，我們基于相鄰樣本組成的區(qū)間Zit,Zit-1的局部近似的方法消除這一偏差。在定理3.1中，可以看到，具有二元內(nèi)核的局部線性估計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)局部線性平滑估計(jì)量（即在為了將收斂速度保持在NTh，我們?cè)谶@里對(duì)回歸方程進(jìn)行變換，采用單步后向擬合算法進(jìn)行估計(jì)。用?Yit1?將式（1.2）帶入（2.5），得：?從式（2.6）中可以看出，對(duì)于m?的估計(jì)是一維回歸問(wèn)題。因此我們可以再次使用一元內(nèi)核權(quán)重的局部線性最小二乘估計(jì)方法。然而，仍存在著一些問(wèn)題，由于式（2.5）中mZi?其中，v這樣，就能夠使用如式（2.8）式所示的加權(quán)局部線性回歸估計(jì)m?i=1計(jì)算得到使式（2.8）最小化的γ0和γ1。這樣，就得到了m?和m'?現(xiàn)在，將我們的估計(jì)方法由單變量情況擴(kuò)展到多變量，也就是說(shuō)式（1.1）中d≠q≠1。在這種情況下，我們將著力于使用多元局部加權(quán)線性回歸的方法估計(jì)相關(guān)問(wèn)題。i=1其中，Z為一個(gè)d1+q維行向量。在這里，K為一個(gè)qK其中，H是一個(gè)q維正定對(duì)稱的窗寬矩陣。通過(guò)式（2.9）的最小化得到一個(gè)d1+q維列向量β=β0',β1''。同樣的，得到mz和Dmz=?mz?z的估計(jì)量，分別為m很容易就能夠?qū)⑹剑?.9）最小化的解寫成我們熟知的矩陣形式：β其中，W?Z那么，mz的局部線性加權(quán)最小二乘估計(jì)量就如式（2.11m其中e1=Id?Odq×d為一個(gè)d1+q×d維的選擇矩陣，Id是一個(gè)d階單位矩陣，Odq×d是一個(gè)dq×d最后，對(duì)選擇局部線性最小二乘估計(jì)方法做出幾點(diǎn)說(shuō)明。首先，從式（2.11）的表達(dá)形式上可以看出，我們是通過(guò)加權(quán)最小二乘找到數(shù)據(jù)擬合平面的方式得到估計(jì)結(jié)果的，而權(quán)重的選擇是基于內(nèi)核及窗寬矩陣H得到的。正如Ruppert和Wand（1994）所討論的，如果選擇一個(gè)可能具有緊支撐支撐集在數(shù)學(xué)中，一個(gè)定義在集合X上的實(shí)值函數(shù)f的支撐集，或簡(jiǎn)稱支集，是指X的一個(gè)子集，滿足f恰好在這個(gè)子集上非0。最常見(jiàn)的情形是，X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，比如實(shí)數(shù)軸等等，而函數(shù)f在此拓?fù)湎逻B續(xù)。此時(shí)，f的支撐集被定義為這樣一個(gè)閉集C：f在XbackslashC中為0，且不存在C的真閉子集也滿足這個(gè)條件，即，C是所有這樣的子集中最小的一個(gè)。拓?fù)湟饬x上的支撐集是點(diǎn)集意義下支撐集的閉包。特別地，在概率論中，一個(gè)概率分布是隨機(jī)變量的所有可能值組成的集合的閉包。緊集是拓?fù)淇臻g內(nèi)的一類特殊點(diǎn)集，它們的任何開(kāi)覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上，緊集類似于有限集。一個(gè)函數(shù)被稱為是緊支撐于空間支撐集在數(shù)學(xué)中，一個(gè)定義在集合X上的實(shí)值函數(shù)f的支撐集，或簡(jiǎn)稱支集，是指X的一個(gè)子集，滿足f恰好在這個(gè)子集上非0。最常見(jiàn)的情形是，X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，比如實(shí)數(shù)軸等等，而函數(shù)f在此拓?fù)湎逻B續(xù)。此時(shí)，f的支撐集被定義為這樣一個(gè)閉集C：f在XbackslashC中為0，且不存在C的真閉子集也滿足這個(gè)條件，即，C是所有這樣的子集中最小的一個(gè)。拓?fù)湟饬x上的支撐集是點(diǎn)集意義下支撐集的閉包。特別地，在概率論中，一個(gè)概率分布是隨機(jī)變量的所有可能值組成的集合的閉包。緊集是拓?fù)淇臻g內(nèi)的一類特殊點(diǎn)集，它們的任何開(kāi)覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上，緊集類似于有限集。一個(gè)函數(shù)被稱為是緊支撐于空間X的，如果這個(gè)函數(shù)的支撐集是X中的一個(gè)緊集。例如，若X是實(shí)數(shù)軸，那么所有在無(wú)窮遠(yuǎn)處消失的函數(shù)都是緊支撐的。事實(shí)上，這是函數(shù)必須在有界集外為0的一個(gè)特例。在好的情形下，緊支撐的函數(shù)所構(gòu)成的集合，在所有在無(wú)窮遠(yuǎn)處消失的函數(shù)構(gòu)成的集合中，是稠密集的，當(dāng)然在給定的具體問(wèn)題中，這一點(diǎn)可能需要相當(dāng)?shù)墓ぷ鞑拍茯?yàn)證。例如對(duì)于任何給定的epsilon>0，一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸X上的函數(shù)f在無(wú)窮遠(yuǎn)處消失，可以粗略通過(guò)通過(guò)選取一個(gè)緊子集C來(lái)描述：|f(x)-1_C(x)f(x)|<epsilon其中1_C(x)表示C的指示函數(shù)。注意，任何定義在緊空間上的函數(shù)都是緊支撐的。當(dāng)然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布（英語(yǔ)：distribution(mathematics)），比如狄拉克函數(shù)：定義在直線上的delta(x)。此時(shí)，我們考慮一個(gè)測(cè)試函數(shù)F，并且F是光滑的，其支撐集不包括0。由于delta(F)（即delta作用于F）為0，所以我們說(shuō)delta的支撐集為{0}。注意實(shí)數(shù)軸上的測(cè)度（包括概率測(cè)度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個(gè)測(cè)度支撐集。其次，使用局部線性最小二乘內(nèi)核估計(jì)的另一個(gè)重要優(yōu)勢(shì)在于其漸近偏差及方差的表達(dá)式比Naradaya-Watson或者其他的非參估計(jì)量的偏差與方差表達(dá)形式更為優(yōu)越。特別是Fan（1993）指出的，局部線性最小二乘估計(jì)量具有非常重要的漸近大中取小性質(zhì)。另外，與Naradaya-Watson或者其他非參估計(jì)量不同，（2.11）估計(jì)結(jié)果在Z的密度函數(shù)邊界處的偏差與方差和在密度函數(shù)內(nèi)部的具有相同的量級(jí)。這是一個(gè)非常有用的性質(zhì)，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，處于邊界地帶的樣本數(shù)據(jù)可能占總樣本數(shù)的較大比例。三、漸近性質(zhì)及有效估計(jì)量這一章將對(duì)前文所介紹的估計(jì)結(jié)果的一些初步漸近性質(zhì)進(jìn)行分析。為此，設(shè)定如下假設(shè)：假設(shè)3.1：設(shè)Yit,Xit,Ziti=1,…,N;t=1,…,T為一組Rd+q+1隨機(jī)變量，對(duì)每一個(gè)固定的t，服從獨(dú)立同分布；對(duì)于每一個(gè)i，具有嚴(yán)格的平穩(wěn)性同期組間滿足獨(dú)立同分布；同組序列平穩(wěn)。。另，分別設(shè)fZ同期組間滿足獨(dú)立同分布；同組序列平穩(wěn)。假設(shè)3.2：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)vit服從零均值同方差的獨(dú)立同分布，且σv2<∞。干擾項(xiàng)與任意i和t的Xit和Z假設(shè)3.3：設(shè)μi與Xit和假設(shè)3.4：設(shè)A=trA'A，那么EX若定義在實(shí)數(shù)區(qū)間A（注意區(qū)間A可以是閉區(qū)間，亦可以是開(kāi)區(qū)間甚至是無(wú)窮區(qū)間）上的任意函數(shù)f(x)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0，總存在一個(gè)與x無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)ζ>0，使得當(dāng)區(qū)間A上的任意兩點(diǎn)x1，x2，滿足|x1-x2|<ζ時(shí)，總有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱f(x)在區(qū)間A上是一致連續(xù)的。X同樣的，這些矩陣函數(shù)EEEE在其支撐集上是有界且一致連續(xù)的。假設(shè)3.5：函數(shù)E?Xit?Xit'假設(shè)3.6：對(duì)于某些δ>0，這些函數(shù)EEE在其支撐集上是有界且一致連續(xù)的。假設(shè)3.7：設(shè)z為fZ1t支撐集內(nèi)一點(diǎn)。假設(shè)3.8：內(nèi)核函數(shù)K具有緊支撐集，有界的內(nèi)核滿足u其中μ2K≠0、RK≠0為標(biāo)量，I為一個(gè)q×q階單位矩陣。另外，K假設(shè)3.9：窗寬矩陣H為對(duì)稱矩陣且嚴(yán)格正定。另外，當(dāng)N隨路徑以路徑NH→∞趨近無(wú)窮時(shí)，所有矩陣元都趨于可以看出，這些假設(shè)與面板模型的非參估計(jì)回歸分析中的假設(shè)大致相同。假設(shè)3.1建立了樣本和數(shù)據(jù)生成的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程：組間相互獨(dú)立，但對(duì)于組內(nèi)數(shù)據(jù)允許存在著隨時(shí)間推移的相關(guān)性。當(dāng)然，其他的可能的時(shí)間序列結(jié)構(gòu)也是可以考慮的，例如強(qiáng)混合序列（參見(jiàn)CaiandLi，2008），或者非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)（參見(jiàn)Cai等，2009）?；旌闲蛄蟹椒ㄒ话阌脕?lái)加快估計(jì)量協(xié)方差歸零的速度。在我們的例子中，由于是在固定T下的漸近分析，所以不需要采用混合序列的方式來(lái)處理。另一方面，我們確信非平穩(wěn)時(shí)間序列已經(jīng)超出了這篇論文的研究范圍。另外值得注意的是，邊際概率是具有上下界的，這一假設(shè)可以放松，但會(huì)加大證明過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜程度。假設(shè)3.2也是一個(gè)一階微分估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)，可以參考Wooldridge（2002）對(duì)于全參情況的討論。另外，假設(shè)干擾項(xiàng)vit與變量Xit以及/或者變量Zit相互獨(dú)立并不失一般性。我們可以基于二階矩施加相關(guān)性從而放松相互獨(dú)立的假設(shè)。例如，方差協(xié)方差矩陣可以具有未知形式的異質(zhì)性。在我們的假設(shè)前提下，可以將You等（2010）所采用的轉(zhuǎn)換估計(jì)量進(jìn)一步延伸。這種假設(shè)同時(shí)還排除了解釋變量?jī)?nèi)生性存在的可能性，并施加了一些外生約束條件。否則，就需要引入工具變量方法，例如CaiandLi（2008）或者CaiandXiong（2012）。假設(shè)3.3規(guī)定了所謂的固定效應(yīng)。可以看出，這個(gè)假設(shè)條件比Sun等（2009）所施加的假設(shè)條件要弱很多，所以他們所使用的虛擬變量的最小二乘估計(jì)方法是可行的。從根本上來(lái)說(shuō)，他們所使用的方法都試圖引入異質(zhì)性與解釋變量之間的平滑關(guān)系，而且為了避免可加的偏差余項(xiàng)假設(shè)3.4和3.5是關(guān)于矩函數(shù)的平滑條件。假設(shè)3.6相當(dāng)于識(shí)別這類模型的秩條件。假設(shè)3.7-3.9為局部線性回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)（參照RuppertandWand，1994）。最后，所有的結(jié)論都基于隨機(jī)系數(shù)設(shè)定?；谌缟系募僭O(shè)條件，給出局部線性最小二乘估計(jì)量的條件均值與條件方差的結(jié)論。定理3.1：若假設(shè)3.1-3.9成立，那么，對(duì)于任意固定的T及N→∞，偏差余項(xiàng)為E=×其中對(duì)于任意r=1,…,d，Hmrz為m?第r個(gè)部分的X另外，如果μ2KuE其方差為Var其中，BBB這里對(duì)于r=1,…,d，矩陣diagrtrHmrzH為了更好地描述估計(jì)量的漸近過(guò)程，我們給出了d=q=1且H=h推論3.1：若假設(shè)3.1-3.8成立，則對(duì)于任意常數(shù)T，若當(dāng)N趨近無(wú)窮大時(shí)，h→0且Nh2→∞，E其中，c另外，如果假設(shè)μ2KuE其方差為：Var值得注意的是，在標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)下μ2Ku=μ2正如在其他的論文中已經(jīng)支出的，偏差余項(xiàng)及其方差表達(dá)式中的第一項(xiàng)與樣本無(wú)關(guān)，那么可以認(rèn)為這一項(xiàng)代表了無(wú)約束下的有偏性及其方差。同時(shí)，對(duì)H施加的約束條件足以表明其他項(xiàng)服從op1，所以關(guān)于定理3.2：若假設(shè)3.1-3.9成立，則對(duì)于任意常數(shù)T以及N→∞，有NT其中，bv可以看出，估計(jì)結(jié)果的收斂速率為NTH。在命題所施加的約束下，估計(jì)量既具有一致性又服從漸進(jìn)正態(tài)分布，然而，其收斂速率只是次優(yōu)速率，因?yàn)檫@種估計(jì)量具有較低的收斂速度，為NTH12。正如已經(jīng)在第二部分說(shuō)明的，為了能夠得到最優(yōu)的收斂率，使用式（?其中，v在式（3.1）中，mZit-1;H為式（2.11）中的單步局部線性估計(jì)量。在這里，我們提出一個(gè)i=1其中，H為一個(gè)q×q維正定對(duì)稱的窗寬矩陣。如果定義Zit1'=Xit'Xi=1其中我們用γ=γ0'γ1''代表使式（3.3）最小化m其中?WZ為了描述這個(gè)估計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì)，需要對(duì)窗寬矩陣H以及其與H的關(guān)系事假如下假設(shè)：假設(shè)3.10：窗寬矩陣H為一個(gè)嚴(yán)格正定的對(duì)稱矩陣，且當(dāng)N趨近于無(wú)窮時(shí)，所有矩陣的元都依路徑NH→∞趨近于假設(shè)3.11：當(dāng)N趨近于無(wú)窮時(shí)，窗寬矩陣H和H滿足如下條件：NHH/一般的，都要求內(nèi)核函數(shù)、矩條件以及密度函數(shù)服從假設(shè)3.1-3.8所規(guī)定的平滑性和有界性。這就需要像Masry（1996）所建立的一致收斂的結(jié)果。這樣就能夠得到如下的結(jié)果。定理3.3：若假設(shè)3.1-3.8及3.10-3.11成立，那么對(duì)于任意常數(shù)T及N→0，偏差余項(xiàng)為：E=以及其方差為：Var其中diagrtrHmrzH代表對(duì)角線元素為trHm最后，根據(jù)定理3.2和3.2中偏差余項(xiàng)方差表達(dá)式中相關(guān)的項(xiàng)以及RuppertandWand（1994），需要強(qiáng)調(diào)的是Hmz的元都是函數(shù)m?在取值z(mì)處特定方向的曲率。那么，從直覺(jué)上來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為偏差會(huì)隨著由偏差余項(xiàng)首項(xiàng)所描繪的曲率和平滑性的增加而擴(kuò)大。同時(shí)，就方差而言，可以由更大的在Z=z處Y的條件方差以及z四、窗寬的選擇正如在前面章節(jié)所介紹的，窗寬矩陣H在未知量m?的估計(jì)中起到關(guān)鍵性作用。從漸進(jìn)性質(zhì)的表達(dá)式中就可以看出，窗寬H的選擇實(shí)際上是在偏離余項(xiàng)與估計(jì)結(jié)果方差之間進(jìn)行權(quán)衡。考慮最簡(jiǎn)單的情況，H=h2I，如果選擇一個(gè)非常小的值h，那么根據(jù)推論3.1，偏離余項(xiàng)會(huì)變?。ㄒ粤考?jí)h2），但是以增加估計(jì)方差（以量級(jí)1NTh2）為代價(jià)。這就需要通過(guò)選擇一個(gè)使均方誤（MSE）最小化的窗寬矩陣H，即最小化偏離余項(xiàng)平方和及方差。而對(duì)于估計(jì)量m?;H與函數(shù)m?;MSE在如上的MSE表達(dá)式中，期望值由Z1,…,Zq;X1H若Z1,…,Zq;X1MSE其中bVΩ從如上的表達(dá)式中可以看出，這里將最小化均方誤定義為選擇窗寬矩陣H的標(biāo)準(zhǔn)，且這里的均方誤的測(cè)度為偏離余項(xiàng)條件期望平方和與估計(jì)量方差的和。所以，可以看出這里對(duì)于偏差的測(cè)度方法就決定了對(duì)全局窗寬的選擇。換而言之，這里是在不變的局部點(diǎn)處選擇的窗寬矩陣。當(dāng)然，若基于局部點(diǎn)的窗寬選擇方式，考慮變化的局部點(diǎn)就可以得到窗寬矩陣函數(shù)Hz。在這種情況下，局部MSEMSE這是期望值就由X決定。MullerandStadtmuller（1987）對(duì)利用隨局部點(diǎn)變化的窗寬矩陣進(jìn)行卷積型回歸估計(jì)的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了討論。另外，F(xiàn)anandGijbels（1992）提出了一個(gè)基于變窗寬矩陣的對(duì)局部多項(xiàng)式的回歸估計(jì)量。在本文討論的情況下，采用全局窗寬矩陣，其原因有兩點(diǎn)。首先，模型中的所有部分都假設(shè)具有相同的平滑度；其次，除非函數(shù)曲線表明存在這非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)（全局窗寬矩陣無(wú)法很好的描述和擬合所有局部特征）情況下，使用局部窗寬矩陣并不能顯著增加最終結(jié)果的優(yōu)度，反而會(huì)大大增加計(jì)算量。這可能是由于局部適應(yīng)性性質(zhì)已經(jīng)被包含在了局部線性回歸平滑因子中了。然而到此為止，Hopt的選擇并沒(méi)有解決窗寬矩陣選擇的所有問(wèn)題。事實(shí)上，可以看出，MSE與一些未知的量有關(guān)，因此這里的最優(yōu)窗寬矩陣無(wú)法通過(guò)數(shù)據(jù)估計(jì)得到。對(duì)于MSE中未知量的近似替代有如下幾種方法：一種是將式（4.1）中的偏離余項(xiàng)及其方差中的項(xiàng)用在定理3.1中提到的各自的一階漸近表達(dá)式代替，這就是所謂的插值方法，具體細(xì)節(jié)可以參考Ruppert等（1995）；另一種可行的方法是將式（4.1）中的偏離余項(xiàng)及其方差用其確切的表達(dá)式替代，這種方法由FanandGijbels（1995aE[Var其中，根據(jù)定理3.1，顯然有：EVar這里τ為一個(gè)N(T-1)維向量，且對(duì)于i=1,…,N,t=2,…,τV為一個(gè)N(T-1)×N(T-1)維包含矩陣VijV為了估計(jì)偏離余項(xiàng)和方差，就需要計(jì)算τ和V。對(duì)于τ的處理，將mZit和mZit-1在z處五階泰勒展開(kāi)，這樣一個(gè)五階局部多項(xiàng)式回歸就能夠確保前文所提出的窗寬矩陣選擇過(guò)程對(duì)于局部線性擬合而言是N階一致的？。具體參考Hall等（1991）。然而，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，采用三次多項(xiàng)式回歸的方法能夠得到接近N階一致性的選擇結(jié)果，而且能夠打打降低計(jì)算量。在本文的例子中（即d=q=1），向量τ包含了?對(duì)于V的估計(jì)問(wèn)題，由假設(shè)3.2可以看出，這與估計(jì)σv2σ這樣就可以看出無(wú)論是τ還是σv2都依賴于窗寬矩陣H，而這個(gè)窗寬矩陣則由樣本數(shù)據(jù)決定?？梢杂糜谶@些計(jì)算的合適的引導(dǎo)窗寬矩陣H*能夠通過(guò)由FanandGijbels（1995a）所提出的全局殘差平方標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程得到。在這里，我們用m-iZit;H表示mZit的留一交叉估計(jì)量。所謂留一交叉估計(jì)就是在用式（2.11）估計(jì)mZit時(shí)，使用除第i組之外的全部數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。可以看出，一旦得到bVΩ根據(jù)式（4.1），MSE(H)的相關(guān)估計(jì)量為：MSE定義Hopt的估計(jì)量HH在這里我們并沒(méi)有給出窗寬矩陣的理論特性，ZhangandLee（2000）對(duì)局部MSE做了詳細(xì)的研究，我們認(rèn)為在我們所介紹的模型框架下可以將其直接用來(lái)分析分析全局MSE。最后，使用與估計(jì)窗寬矩陣H相同的方式來(lái)估計(jì)有效估計(jì)量。五、蒙特卡洛模擬這一章將給出蒙特卡洛模擬的結(jié)果來(lái)檢驗(yàn)固定效應(yīng)模型的有限樣本下前文所介紹的估計(jì)方法的估計(jì)效果。這里采用如下的變系數(shù)非參模型：Y其中Xdit和Zqit為隨機(jī)純變量，vit為獨(dú)立同分布服從N0,1的隨機(jī)變量，m?為預(yù)先制定的待估計(jì)函數(shù)。觀察值是由服從Zqit=wqit+w在這采用本文研究中三個(gè)不同的情況：1.Y2.Y3.Y在模擬中所選用的函數(shù)形式為m1Z1it=sinZ(a)μ1i與Zμ引入模型。(b)μ2i與Z1it和μ引入模型。在這兩種情形中，ui都是獨(dú)立同分布且服從N0,1的隨機(jī)變量，在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)行了1000次的蒙特卡洛重復(fù)模擬（次數(shù)用Q表示）。時(shí)期（T）固定為3，截面數(shù)據(jù)組數(shù)（N）從50、100、200中抽取。另外，與Henderson等（2008）一樣，在模擬中采用了高斯內(nèi)核進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，而且窗寬矩陣選定為H=σzNT-1-15，其中這里列出了前文所介紹估計(jì)量的結(jié)