數(shù)學(xué)八年級下冊二次根式的概念公開課課件

二次根式的概念二次根式的概念1復(fù)習(xí)引入問題1什么叫做平方根?

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.問題2什么叫做算術(shù)平方根?

如果x2=a(x≥0)，那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.問題3什么數(shù)有算術(shù)平方根?我們知道，負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.(a

≥0)復(fù)習(xí)引入問題1什么叫做平方根?一般地，2新知引入思考

用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(1)如圖的海報(bào)為正方形，若面積為2m2，則邊長為_____m；若面積為Sm2，則邊長為_____m．(2)如圖的海報(bào)為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．圖圖新知引入思考用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(13新知引入（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．新知引入（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t4新知講解問題1這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

二次根式的概念及有意義的條件①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).問題2這些式子有什么共同特征？新知講解問題1這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，5新知講解歸納總結(jié)注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.“”稱為二次根號.(a

≥0)新知講解歸納總結(jié)注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①6問題1什么叫做平方根?無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，“”稱為二次根號.上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．∵25的算術(shù)平方根為5，∴x+4y的平方根為±3.(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；問題2這些式子有什么共同特征？“”稱為二次根號.對于任意一個二次根式，我們知道：例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.(1)如圖的海報(bào)為正方形，若面積為2m2，則邊長為_____m；【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.總結(jié)：多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.(2)∵被開方數(shù)需大于或等于零，(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值新知應(yīng)用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：(m

≤0)問題1什么叫做平方根?新知應(yīng)用例1下列各式中，哪些7【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）C新知演練【變式2】下列式子中是二次根式的有（）B(1)、(3)、(5)是二次根式【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）C新8新知應(yīng)用例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-3≥0，得x≥3.當(dāng)x≥3時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥0且x≠2

新知應(yīng)用例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,9新知演練【變式1】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解:(1)由題意得x－2＞0，∴x＞2.(2)∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x≥－3且x≠2.總結(jié)：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.新知演練【變式1】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有10新知演練【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)∵無論x為何實(shí)數(shù)，∴當(dāng)x=1時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無論x為何實(shí)數(shù)，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴無論x為何實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無意義.總結(jié)：被開方數(shù)是多項(xiàng)式時，需要對組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.新知演練【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有11歸納總結(jié)(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個二次根式相加如有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.歸納總結(jié)(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥12新知講解二次根式的雙重非負(fù)性問題1

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.問題2

二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？

當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說，當(dāng)a≥0時，≥0.新知講解二次根式的雙重非負(fù)性問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，13∵y＜,（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；∵y＜,∴x+4y的平方根為±3.“”稱為二次根號.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）“”稱為二次根號.“”稱為二次根號.∵25的算術(shù)平方根為5，例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.問題2這些式子有什么共同特征？新知講解

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性∵y＜,14新知應(yīng)用例3若，求a－b+c的值.解：

由題意可知a－2=0，b－3=0，c－4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a－b+c=2－3+4=3.總結(jié)：多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.新知應(yīng)用例3若15若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.①外貌特征：含有“”【變式2】下列式子中是二次根式的有（）(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a≥0例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.問題2什么叫做算術(shù)平方根?例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.即(x+3)2+m－9≥0．【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?∵25的算術(shù)平方根為5，(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.“”稱為二次根號.問題2這些式子有什么共同特征？例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”問題3什么數(shù)有算術(shù)平方根?例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.(2)多個二次根式相加如有意義的∴x+4y=1+2×4=9，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x－2≠0，∴x≠2.解得a=2，b=3，c=4.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？解:(1)由題意得x－2＞0，∴x＞2.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?即(x+3)2+m－9≥0．問題2這些式子有什么共同特征？新知應(yīng)用例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y的算術(shù)平方根為5．若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為16新知演練若x，y是實(shí)數(shù)，且y＜，求的值.

解：根據(jù)題意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.【變式題1】新知演練若x，y是實(shí)數(shù)，且y＜17拓展提升1.無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍.解：由題意得x2

+6x+m≥0．即(x+3)

2

+m－9≥0．∵(x+3)

2

≥0∴m－9≥0，即m≥9.拓展提升1.無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式18拓展提升2.已知|3x－y－1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x－y－1=0且2x+y－4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.拓展提升2.已知|3x－y－1|和19課堂總結(jié)在有意義的條件下求字母的取值范圍定義二次根式帶有二次根號被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)抓住被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，從而建立不等式求出解集二次根式的雙重非負(fù)性二次根式中，a≥0且≥0課堂總結(jié)在有意義的條件下求字母的取值范圍定義二次根式帶有二次20二次根式的概念二次根式的概念21復(fù)習(xí)引入問題1什么叫做平方根?

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.問題2什么叫做算術(shù)平方根?

如果x2=a(x≥0)，那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.問題3什么數(shù)有算術(shù)平方根?我們知道，負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.(a

≥0)復(fù)習(xí)引入問題1什么叫做平方根?一般地，22新知引入思考

用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(1)如圖的海報(bào)為正方形，若面積為2m2，則邊長為_____m；若面積為Sm2，則邊長為_____m．(2)如圖的海報(bào)為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．圖圖新知引入思考用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(123新知引入（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．新知引入（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t24新知講解問題1這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

二次根式的概念及有意義的條件①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).問題2這些式子有什么共同特征？新知講解問題1這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，25新知講解歸納總結(jié)注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.“”稱為二次根號.(a

≥0)新知講解歸納總結(jié)注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①26問題1什么叫做平方根?無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，“”稱為二次根號.上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．∵25的算術(shù)平方根為5，∴x+4y的平方根為±3.(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；問題2這些式子有什么共同特征？“”稱為二次根號.對于任意一個二次根式，我們知道：例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.(1)如圖的海報(bào)為正方形，若面積為2m2，則邊長為_____m；【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.總結(jié)：多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.(2)∵被開方數(shù)需大于或等于零，(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值新知應(yīng)用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：(m

≤0)問題1什么叫做平方根?新知應(yīng)用例1下列各式中，哪些27【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）C新知演練【變式2】下列式子中是二次根式的有（）B(1)、(3)、(5)是二次根式【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）C新28新知應(yīng)用例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-3≥0，得x≥3.當(dāng)x≥3時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥0且x≠2

新知應(yīng)用例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,29新知演練【變式1】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解:(1)由題意得x－2＞0，∴x＞2.(2)∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－2≠0，∴x≠2.∴x≥－3且x≠2.總結(jié)：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.新知演練【變式1】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有30新知演練【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)∵無論x為何實(shí)數(shù)，∴當(dāng)x=1時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無論x為何實(shí)數(shù)，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴無論x為何實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無意義.總結(jié)：被開方數(shù)是多項(xiàng)式時，需要對組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.新知演練【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有31歸納總結(jié)(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個二次根式相加如有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.歸納總結(jié)(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥32新知講解二次根式的雙重非負(fù)性問題1

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.問題2

二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？

當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說，當(dāng)a≥0時，≥0.新知講解二次根式的雙重非負(fù)性問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，33∵y＜,（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；∵y＜,∴x+4y的平方根為±3.“”稱為二次根號.(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；【變式1】下列式子中，不屬于二次根式的是（）“”稱為二次根號.“”稱為二次根號.∵25的算術(shù)平方根為5，例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.問題2這些式子有什么共同特征？新知講解

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性∵y＜,34新知應(yīng)用例3若，求a－b+c的值.解：

由題意可知a－2=0，b－3=0，c－4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a－b+c=2－3+4=3.總結(jié)：多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.新知應(yīng)用例3若35若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.①外貌特征：含有“”【變式2】下列式子中是二次根式的有（）(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a≥0例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.問題2什么叫做算術(shù)平方根?例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．問題1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.即(x+3)2+m－9≥0．【變式2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例2(1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?∵25的算術(shù)平方根為5，(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A≥0且B≠0.“”稱為二次根號.問題2這些式子有什么共同特征？例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？①外貌特征：含有“”問題3什么數(shù)有算術(shù)平方根?例4已知y=，求3x+2y的算術(shù)平方根.(2)多個二次根式相加如