數(shù)學(xué)模型第02章第五版課件

研究對象的機(jī)理比較簡單

用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具來建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.

第二章初等模型研究對象的機(jī)理比較簡單用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建

第二章

初等模型2.1

雙層玻璃窗的功效2.2

劃艇比賽的成績2.3

實物交換

2.4

汽車剎車距離與道路通行能力2.5估計出租車的總數(shù)2.6評選舉重總冠軍2.7解讀CPI2.8

核軍備競賽2.9

揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.10節(jié)水洗衣機(jī)第二章2.1雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.1雙層玻璃窗的功效雙層單層2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實際上雙層窗的功效不會如此之大!hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=2.2劃艇比賽的成績賽艇2000m成績t(min)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)

槳手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系.試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l/b,w0/n

基本不變艇長l

艇寬bl/b

(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.02.2劃艇比賽的成績賽艇2000m成問題分析

前進(jìn)阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進(jìn)動力~槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動力和前進(jìn)阻力決定:劃槳功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動力前進(jìn)阻力槳手?jǐn)?shù)量艇重浸沒面積

對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定.

運(yùn)用合適的物理定律建立模型.問題分析前進(jìn)阻力~浸沒部分與水的摩擦力前進(jìn)動力~模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,槳手?jǐn)?shù)n,槳手功率

p,槳手體重

w,艇重W.艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比槳手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv,模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84線性最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗.與模型吻合！tn12487.216.886.325.84????O模型檢驗nt線性最小二乘法利用4次國際大賽劃艇比賽的成績

對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題.

利用物理基本知識分析問題.

模型假設(shè)比較粗糙.

利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對速度).

模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合(巧合！)劃艇比賽的成績對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題.利問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分.研究實物交換方案.yxp.用x,y分別表示甲,乙占有X,Y的數(shù)量.設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox0??2.3實物交換問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1,p2對甲是無差別的.MN將所有與p1,p2無差別的點(diǎn)連接起來,得到一條無差別曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線M1N1上,于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）.xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的無差別曲線分析p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y.甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）甲的無差別曲線p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）.

雙方的交換路徑xyy0Ox0f=c1O'x'y'g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x'O'y',且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P'

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!因為在AB外的任一點(diǎn)p',(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)AB

交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無差別曲線族X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CD.AB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)等價交換原則x0yy0O..xp.AB交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(2.4汽車剎車距離與道路通行能力提高道路通行能力是現(xiàn)代城市交通面臨的重要課題.背景和問題車輛速度越高、密度越大，道路通行能力越大.

介紹交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律；

討論汽車剎車距離與道路通行能力兩個模型.

車速高，剎車距離變大，車輛密度將受到制約.需要對影響通行能力的因素進(jìn)行綜合分析.2.4汽車剎車距離與道路通行能力提高道路通行能力是現(xiàn)代城交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律流量q~某時刻單位時間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)(輛/h)密度k~某時刻通過道路某斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)(輛/km)

速度v~某時刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h)

交通流~標(biāo)準(zhǔn)長度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號燈等的影響.借用物理學(xué)概念,將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體,用流量、速度、密度3個參數(shù)描述其基本特性.3個參數(shù)之間的基本關(guān)系交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律流量q~某時刻單位時間內(nèi)通過道路某速度v與密度k的關(guān)系

vf~暢行車速(k=0時)kj~阻塞密度(v=0時)數(shù)據(jù)分析、機(jī)理分析流量q與密度k的關(guān)系車速v=vf/2時流量q最大密度k變大，流量q增加；k=kj/2時q最大；k繼續(xù)變大，q減小.

車流密度加大司機(jī)被迫減速交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律線性模型拋物線流量q與速度v的關(guān)系速度v與密度k的關(guān)系vf~暢行車速(k=0時)kj~速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量時的密度vm=vf/2~最大流量時的速度交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密車速越快剎車距離越長.剎車距離~從司機(jī)決定剎車到車完全停止行駛的距離.汽車剎車距離模型二者是線性關(guān)系嗎？車速v(km/h)20406080100120140剎車距離d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5d與v不是線性關(guān)系！vd需對剎車過程作機(jī)理分析，建立d與v的數(shù)學(xué)模型.測試數(shù)據(jù)車速越快剎車距離越長.剎車距離~從司機(jī)決定剎車到車完全停止行問題分析最大制動力與車質(zhì)量成正比,使汽車作勻減速運(yùn)動常數(shù)剎車距離~反應(yīng)距離、制動距離常數(shù)反應(yīng)距離~司機(jī)決定剎車到制動器開始起作用.制動距離反應(yīng)距離反應(yīng)時間車速司機(jī)狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力車重、車速道路、氣候…制動距離~制動器開始起作用到汽車完全停止.問題分析最大制動力與車質(zhì)量成正比,使汽車作勻減速運(yùn)動常數(shù)剎車模型假設(shè)1.剎車距離d為反應(yīng)距離d1與制動距離d2之和.2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比,比例系數(shù)為反應(yīng)時間.3.剎車時使用最大制動力F：F作的功等于汽車動能的改變.F與車的質(zhì)量m成正比.模型假設(shè)1.剎車距離d為反應(yīng)距離d1與制動距離F=

mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2d=d1+d2制動距離為d2時，制動力F作的功為Fd2車速從v變成0，動能的變化為mv2/2d2=

c2v2,c2=m/2F

d=c1v+c2v2參數(shù)估計調(diào)查交通工程學(xué)的相關(guān)資料：根據(jù)測試數(shù)據(jù)對模型作擬合.司機(jī)反應(yīng)時間c1約為0.7~1s，系數(shù)c2約為0.01(mh2/km2)c2=

1/2a

F=mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2城市通行能力模型道路通行能力~單位時間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù).通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的負(fù)荷.飽和度~流量與通行能力的比值,表示道路的負(fù)荷程度.通行能力~在安全條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛時，單位時間內(nèi)通過道路某斷面的最大車輛數(shù)N(輛/h).v~車速

(km/h)，D~最小車頭間隔(m)N=1000v/D城市通行能力模型道路通行能力~單位時間內(nèi)通過某斷面的最大車輛城市干道的通行能力最小車頭間隔D主要由剎車距離d決定：d0~車身標(biāo)準(zhǔn)長度與兩車間安全距離之和，取固定值.

車速v一定時，道路通行能力N與c1，c2，d0（道路、車輛、司機(jī)等狀況）有關(guān).城市通行能力模型D=d+d0d=c1v+c2v2

N=1000v/D城市干道的通行能力最小車頭間隔D主要由剎車距離d決定：d0~

當(dāng)d0，c1，

c2變大時最大通行能力Nm減小.

城市通行能力模型

最大通行能力

當(dāng)d0，c1，c2變大時最大通行能力Nm減小.城市通行一些人喜歡記駛過身旁的汽車號碼.兩難境地的決策與朋友打賭的“骰子”共識：出現(xiàn)任何號碼汽車的機(jī)會相同.隨意記下駛過的10輛出租車牌號：0421,0128,0702,0410,0598,0674,0712,0529,0867,0312估計這座城市出租車的總數(shù).出租車牌號從某一個數(shù)字0101按順序發(fā)放.2.5估計出租車的總數(shù)一些人喜歡記駛過身旁的汽車號碼.兩難境地的決策與朋友打賭的“估計出租車的總數(shù)問題分析0x0

x1

x2

x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x10個號碼從小到大重新排列.[x0,x]區(qū)間內(nèi)全部整數(shù)值~總體x1,x2,…

,x10~總體的一個樣本根據(jù)樣本和x0對總體的x作出估計.起始號碼(已知)終止號碼(未知)出租車總數(shù)為

x-x0+1估計出租車的總數(shù)問題分析0x0x1起始號碼x0平移為0001模型建立總體~全部號碼{0001,0002,…

,x}樣本~總體中的n個號碼從小到大排列

x1,x2,…

,xn建立由x1,x2,…

,xn估計x的模型基本假定：每個xi取自總體中任一號碼的概率相等.x~出租車總數(shù)估計出租車的總數(shù)起始號碼x0平移為0001模型建立總體~全部號碼{000模型1平均值模型

模型建立

總數(shù)是樣本均值的2倍模型1平均值模型

模型建立

總數(shù)是樣模型2中位數(shù)模型x0=1x1

x2

x3……xn-1

xn

xx1-1x-xn假定：樣本的最小值與最大值在總體中對稱.

模型3兩端間隔對稱模型x1-1=x-xn

模型2中位數(shù)模型x0=1x1x2x模型4平均間隔模型把起始號碼和樣本排成數(shù)列：1,x1,x2,…

,xn,相鄰兩數(shù)有n個間隔：x11,x2x11,…

,xnxn-11

n個間隔的平均值

作為xn與x間隔的估計模型4平均間隔模型把起始號碼和樣本排成數(shù)列：1,模型5區(qū)間均分模型將總體區(qū)間[1,x]平均分成

n份.每個小區(qū)間長度

假定：樣本中每個xi都位于小區(qū)間的中點(diǎn).xxn應(yīng)是小區(qū)間長度的一半

模型5區(qū)間均分模型將總體區(qū)間[1,x]平均分成計算與分析第1樣本：0321,0028,0602,0310,0498,0574,0612,0429,0767,0212第2樣本：0249,0739,0344,0148,0524,0284,0351,0089,0206,0327設(shè)定x0=0001

模型1模型2模型3模型4模型5最大相差第1樣本870926794843807134第2樣本651610827812778217相差221316333129用5個模型估計出租車總數(shù)x不合理(x=651,610<739)6516100739不穩(wěn)定（相差大）計算與分析第1樣本：0321,0028,0602,1.平均值模型

2.中位數(shù)模型

3.兩端間隔對稱模型

4.平均間隔模型

5.區(qū)間均分模型

計算與分析用全部樣本，有統(tǒng)計依據(jù)

1.平均值模型

2.中位數(shù)模型

3.兩端間隔對稱模型

數(shù)值模擬樣本估計結(jié)果與總體對比,評價各個模型.用5個模型分別對每個樣本估計總體x.畫m個樣本估計的x的直方圖，分析x的分布.給定總體{1,2,…

,x}，x=1000從總體中取n=10個數(shù)為一個樣本，共m=200個樣本對每個模型計算m個樣本估計的x的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及平均值與真值x=1000間的誤差數(shù)值模擬樣本估計結(jié)果與總體對比,評價各個模型.用5個模型分

模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.41010.01005.6962.3平均值誤差23.237.410.05.6-37.7標(biāo)準(zhǔn)差170.1261.0126.390.987.0

模型1模型2模型3模型4模型5平均值986.5985.4980.8992.9950.1平均值誤差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9標(biāo)準(zhǔn)差181.4271.1107.986.682.8數(shù)值模擬第1次

模擬第2次

模擬總體x=1000,每個樣本n=10,m=200個樣本平均值誤差小標(biāo)準(zhǔn)差大標(biāo)準(zhǔn)差小平均值誤差大模型4(平均間隔模型)較優(yōu).5.690.9-7.186.6

模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.模型1模型2模型3模型4模型5數(shù)值模擬第1次模擬的直方圖左低右高的非對稱型左右對稱型模型1模型2模型3模型4模型5數(shù)值模擬第1次模擬的直方圖左低模型中起始號碼已知(平移至1),限制了應(yīng)用范圍.小結(jié)與評注5個模型中平均值和中位數(shù)模型用到一點(diǎn)統(tǒng)計，其他3個模型來自常識,后者竟然較前者更優(yōu).數(shù)值模擬是模型檢驗的重要方法:給定總體通過模擬產(chǎn)生樣本,根據(jù)模型得到總體參數(shù),進(jìn)行比較和評價.問題：哪些模型可以推廣到起始號碼未知的情況？模型中起始號碼已知(平移至1),限制了應(yīng)用范圍.小結(jié)與評注5與“估計出租車的總數(shù)”相關(guān)的歷史事實二戰(zhàn)中一支盟軍的指揮部急需掌握德軍坦克的數(shù)量.盟軍俘獲了若干輛德軍坦克，得到它們的序列號碼.情報人員獲知這支部隊的坦克號碼按順序編排.以俘獲的坦克號碼為樣本，估計出坦克總量.英美情報機(jī)構(gòu)通過捕獲德軍武器的序列編號，對軍用輪胎、槍支、裝甲車等眾多裝備的產(chǎn)量做出估計.戰(zhàn)后將估計值與從檔案中得到的實際產(chǎn)量進(jìn)行比較，多數(shù)估計的誤差在10%以內(nèi)！與“估計出租車的總數(shù)”相關(guān)的歷史事實二戰(zhàn)中一支盟軍的指揮部急舉重依靠運(yùn)動員全身力量完成的體育項目按照運(yùn)動員體重劃分級別進(jìn)行比賽.賽艇拳擊摔跤每個級別都有一個冠軍.能評選出一個“總冠軍”嗎？……2.6評選舉重總冠軍舉重依靠運(yùn)動員全身力量完成的體育項目按照運(yùn)動員體重劃分級別進(jìn)56kg,62kg,69kg,77k,85kg,94kg,105kg,105kg以上.

男子舉重比賽按運(yùn)動員體重(上限)分為8個級別：問題每個級別設(shè)3個項目：抓舉、挺舉、總成績.每個級別、每個項目都產(chǎn)生一個冠軍.同一項目(如抓舉)的8個冠軍中怎樣選出“總冠軍”？不同級別冠軍成績按體重“折合”到某個標(biāo)準(zhǔn)級別，比較折合成績，選出最高的作為總冠軍.評選舉重總冠軍56kg,62kg,69kg,77k,85kg,9問題分析比賽產(chǎn)生各級別冠軍成績的實際值建立體重與舉重成績的數(shù)學(xué)模型計算各級別冠軍舉重成績的理論值計算實際值與理論值的比值構(gòu)造一個簡單、合適的指標(biāo)作為折合成績各級別冠軍折合成績最高的為總冠軍評選舉重總冠軍問題分析比賽產(chǎn)生各級別冠軍成績的實際值建立體重與舉重成績的數(shù)數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.級別項目紀(jì)錄保持者日期62kg級抓舉153kg石智勇（中國）2002.6.28挺舉182kg樂茂盛（中國）2002.10.2總成績327kg金恩國（朝鮮）2012.7.3169kg級抓舉165kg馬爾科夫（保加利亞）2000.9.20挺舉198kg廖輝（中國）2013.10.23總成績358kg廖輝（中國）2013.10.23多年積累下來的世界記錄與某一次比賽成績相比，更能避免偶然性.不同級別成績的差別基本上由運(yùn)動員體重決定.數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.級別項目紀(jì)錄保持不掌握創(chuàng)造記錄的運(yùn)動員的實際體重.因為體重越大、舉得越重，比賽時運(yùn)動員體重都會調(diào)整到非常接近各級別的上限.105kg以上級未設(shè)上限，只在其余7個級別中選總冠軍.

數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.用每個級別的上限代表運(yùn)動員的實際體重.不掌握創(chuàng)造記錄的運(yùn)動員的實際體重.因為體重越大、舉得越重，比世界記錄與體重數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分析大致呈線性關(guān)系大級別成績的增加變慢線性關(guān)系有所改進(jìn)冪函數(shù)(冪次小于1)可能更合適世界記錄體重普通坐標(biāo)世界記錄體重對數(shù)坐標(biāo)世界記錄與體重數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分析大致呈線性關(guān)系大級別成績的建立舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的數(shù)學(xué)模型模型建立模型1線性模型

最小二乘法編程計算k=2.7039-60k430/160=2.69估算

線性模型

yw430160建立舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的數(shù)學(xué)模型模型建立模型1模型2冪函數(shù)模型運(yùn)動生理學(xué)確定冪函數(shù)的冪次舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的模型s~肌肉截面積l~身體尺寸最小二乘法編程計算

k=20.4711

冪函數(shù)模型

yw2/3模型2冪函數(shù)模型運(yùn)動生理學(xué)確定冪函數(shù)的冪次舉重總成模型3冪函數(shù)改進(jìn)模型舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的模型最小二乘法

舉重過程中力量的損失及身體尺寸的變化.50名頂尖運(yùn)動員成績的統(tǒng)計分析冪函數(shù)改進(jìn)模型

非肌肉部分模型3冪函數(shù)改進(jìn)模型舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的模舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的模型線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型級別總成績紀(jì)錄線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型56kg級305kg313.6486(-2.76%)299.6405(1.79%)298.2689(2.26%)62kg級327kg329.8718(-0.87%)320.6784(1.97%)324.3317(0.82%)69kg級358kg348.7988(2.64%)344.3827(3.95%)350.2363(2.22%)77kg級379kg370.4298(2.58%)370.5121(2.56%)375.7952(1.12%)兩個冪函數(shù)模型比線性模型改進(jìn)不大.1.71%2.32%1.47%總平均誤差舉重總成績y與運(yùn)動員體重w的模型線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改評選總冠軍wi(i=1,2,…,7)~從輕到重7個級別的體重(上限)

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型

各級別冠軍的理論成績yi

~一次比賽中各級別冠軍的實際成績

級別i冠軍在評選總冠軍中實力

以線性模型為例

評選總冠軍wi(i=1,2,…,7)~從輕到重7個評選總冠軍任取級別i=4(w4=77kg級)為標(biāo)準(zhǔn)使

z4=y4

與實力成正比的指標(biāo)按7個級別冠軍的折合成績排名，第一者為總冠軍.~將體重折合成77kg級后級別i冠軍的實際成績.

折合成績

模型中系數(shù)k隨世界紀(jì)錄的刷新而改變.評選總冠軍任取級別i=4(w4=77kg級)為標(biāo)準(zhǔn)使z4評選總冠軍折合成績

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型評選2008年北京奧運(yùn)會男子舉重比賽總冠軍

級別

冠軍獲得者總成績折合成績及名次線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型56kg級龍清泉（中）292kg344.8621（7）361.0644（5）367.8969（4）62kg級張湘祥（中）319kg358.2213（6）368.5729（3）369.6175（3）69kg級廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）77kg級史才秀（韓）366kg366.0000（3）366.0000（4）366.0000（6）85kg級陸永（中）394kg372.2621（1）368.8735（2）371.7543（2）94kg級伊利亞（哈）406kg361.1818（5）355.4413（6）362.5143（7）105kg級阿拉姆諾夫（白）436kg362.0121（4）354.5581（7）367.7366（5）69kg級廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）評選總冠軍折合成績

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型3個模型中都只有一個以因子形式出現(xiàn)的系數(shù)k,可以在構(gòu)造折合成績時消去,便于評選總冠軍.小結(jié)與評注舉重成績與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是評選總冠軍方法的基礎(chǔ).通過世界紀(jì)錄數(shù)據(jù)觀察和機(jī)理分析分別建立線性模型、冪函數(shù)模型和冪函數(shù)改進(jìn)模型.3個模型中都只有一個以因子形式出現(xiàn)的系數(shù)k,可以在構(gòu)造折合成CPI

(Consumer

Price

Index)~居民消費(fèi)價格指數(shù)每月9日左右國家統(tǒng)計局發(fā)布上月全國CPI數(shù)據(jù).反映購買消費(fèi)品和服務(wù)項目時價格變動趨勢的數(shù)字.觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo).從數(shù)學(xué)建模的思路，按照數(shù)據(jù)分析方法解讀CPI.2.7解讀CPICPI(Consumer

Price

Index)每月9按照時間順序解讀CPI環(huán)比價格指數(shù)以上月為基期進(jìn)行對比消除季節(jié)變化和節(jié)日對價格的影響同比價格指數(shù)反映當(dāng)前價格的波動以上年同月為基期進(jìn)行對比通常公布價格指數(shù)增長率(%),方便了解價格上漲幅度2011.3環(huán)比增長率-0.2%2011.2環(huán)比增長率1.2%基期指數(shù)1002011.3同比增長率5.4%環(huán)比指數(shù)101.2(2011.1為100)同比指數(shù)105.4(2010.3為100)環(huán)比指數(shù)99.8(2011.2為100)按照時間順序解讀CPI環(huán)比價格指數(shù)以上月為基期進(jìn)行對比消除季月份

k123456789101112環(huán)比(%)1.01.20.20.10.10.30.50.30.50.10.20.3全國2011年CPI各月份環(huán)比增長率環(huán)比價格指數(shù)pk~某年k月環(huán)比增長率(%)Pk~以上年12月為基期,本年k月的價格指數(shù)

pk為正Pk上升,pk為負(fù)Pk下降Pk漲幅回落Pk上升變緩2011CPI環(huán)比月份k123456789101112環(huán)比(%)1.01.月份k12345678910111220114.94.95.45.35.56.46.56.26.15.54.24.1

20124.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5qk~某年k月同比增長率(%)同比價格指數(shù)全國2011,2012年CPI各月份同比增長率2012年比2011年每月價格上漲的幅度明顯減少.月份k12345678910111220114.94.95.qk(j)~j年k月同比指數(shù)環(huán)比價格指數(shù)與同比價格指數(shù)的關(guān)系pk(j)~j年k月環(huán)比指數(shù)xk(j)~j年k月價格指數(shù)（以j-2年12月為基期）

qk(j)~j年k月同比指數(shù)環(huán)比價格指數(shù)與同比價格指數(shù)的從1月到k月以上年同一時期為基期進(jìn)行對比.累計價格指數(shù)月份k123456789101112同比(%)4.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5累計(%)4.53.93.83.73.53.33.12.92.82.72.72.6全國2012年CPI各月份同比增長率和累計增長率第k月的累計是1月至k月同比的平均值

（k=1,2，…，12）幾個月的價格指數(shù)以其各個月價格指數(shù)的平均值度量.從1月到k月以上年同一時期為基期進(jìn)行對比.累計價格指數(shù)月份k年價格指數(shù)每年1至12月同比的平均值年20032004200520062007200820092010201120122013

(%)

3.91.81.54.85.9-0.73.35.42.62.6CPI100103.9105.8107.4112.5119.1118.3122.2128.8132.2135.6全國2004年至2013年CPI的增長從2003年到2013年全國CPI增長35%每年與上年比較的增長率年價格指數(shù)每年1至12月同比的平均值年20032004200按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI與許多人對物價的親身感受有較大差距.近10年CPI平均年增長率不過3.5%.原因之一：CPI由國家統(tǒng)計局對全國居民家庭衣食住行各類消費(fèi)品和服務(wù)價格綜合加工得到.消費(fèi)品和服務(wù)項目分8大類,約700個代表品種.權(quán)重根據(jù)居民家庭用于各種消費(fèi)品和服務(wù)項目的開支占總消費(fèi)支出的比重確定.CPI由價格及其權(quán)重二者共同決定.按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI與許多人對物價的親身感受有較大差距.近大類中類權(quán)重(%)1食品糧食、油脂、肉禽及其制品、水產(chǎn)品、蛋、鮮菜、鮮果、液體乳及乳制品31.792煙酒及用品煙草、酒3.493衣著服裝、鞋8.524家庭設(shè)備及維修服務(wù)耐用消費(fèi)品、家庭服務(wù)及加工維修服務(wù)5.645醫(yī)療保健個人用品中藥材及中成藥、西藥、醫(yī)療保健服務(wù)9.646交通和通訊交通工具、車用燃料及零配件、通訊工具、通訊服務(wù)9.957娛樂教育文化用品及服務(wù)教育服務(wù)、文娛用耐用消費(fèi)品及服務(wù)、文化娛樂類、旅游13.758居住建房及裝修材料、住房租金、水、電、燃料17.22我國消費(fèi)品和服務(wù)項目的類別及權(quán)重(2011年)按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI

大類中類權(quán)重1食品糧食、油脂、肉禽及其制品、水產(chǎn)品、蛋、鮮居住次之上世紀(jì)80年代食品權(quán)重約60%,每次調(diào)整都下降.隨著人們生活水平的提高及消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化，權(quán)重每5年、10年會有較大的調(diào)整.居住中并不包含近年飛漲的購房支出，官方的解釋是購房屬于投資而非消費(fèi).按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI大類食品煙酒衣著家庭醫(yī)療交通教育居住權(quán)重(%)31.793.498.525.649.649.9513.7517.22食品權(quán)重最大教育、娛樂第三居住次之上世紀(jì)80年代食品權(quán)重約60%,每次調(diào)整都下降.隨vi~第i大類價格指數(shù)v~CPI總水平wi~第i大類權(quán)重

△v~v的增長率△vi

~vi的增長率

wi，vi，△vi

按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI每個月CPI總水平的環(huán)比、同比指數(shù)v及增長率△vvi~第i大類價格指數(shù)v~CPI總水平wi~第i權(quán)重對CPI總水平的大小有很大影響，引起對權(quán)重數(shù)值合理性的研究和討論.權(quán)重隨時調(diào)整的具體情況不能為民眾及時掌握.利用每個月公布的CPI數(shù)據(jù)校核權(quán)重是否變化、估算調(diào)整后的權(quán)重,成為關(guān)注者、研究者的課題.按照分類結(jié)構(gòu)解讀CPI對權(quán)重的關(guān)注和討論：權(quán)重對CPI總水平的大小有很大影響，引起對權(quán)重數(shù)值合理性的研幾種校核與估算權(quán)重的方法1.利用公布的△vi,wi計算△v,檢查與公布的△v是否相符月份食品△v1煙酒△v2衣著△v3家庭△v4醫(yī)療△v5交通△v6教育△v7居住△v8總水平△v總水平計算值12.91.42.51.51.8-0.30.52.92.01.980226.01.12.11.61.80.22.02.83.23.165532.71.02.31.61.7-0.31.72.92.12.046644.00.82.51.61.5-1.11.52.92.42.343553.20.52.51.61.5-1.21.33.02.12.058564.90.32.31.51.4-0.71.43.12.72.640475.00.22.21.41.2-0.11.32.82.72.629584.702.21.41.201.22.62.62.488996.1-0.22.31.41.1-0.21.92.63.13.0022106.5-0.22.41.51.0-0.62.52.63.23.1766115.9-0.22.01.31.0-0.52.82.63.02.9917124.1-0.42.11.40.9-0.12.92.82.52.50502013年CPI同比分類和總水平增長率幾種校核與估算權(quán)重的方法1.利用公布的△vi,wi計算△如果計算值與公布的△v相符，不能說明所有的wi沒有改變.如果稍有不符，無法確認(rèn)是否數(shù)字舍入誤差所致.幾種校核與估算權(quán)重的方法公布的指數(shù)只有2位有效數(shù)字，對計算結(jié)果影響很大.1.利用公布的△vi,wi計算△v,檢查與公布的△v是否相符如果計算值與公布的△v相符，不能說明所有的wi沒有改變.如果

2.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權(quán)重，檢查與原有的wi是否相符幾種校核與估算權(quán)重的方法

2013年1月食品同比上漲2.9%，影響總水平約0.95%月

123456789101112△v12.96.02.74.03.24.95.04.76.16.55.94.1△v0.951.980.881.331.051.591.611.541.982.111.921.33w10.3280.3300.3260.3360.3280.3250.3220.3280.3250.3250.3250.324

由2013.1~12公布的△v1和△v計算w1原有w1=0.31792.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權(quán)重，檢查與原有

2.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權(quán)重，檢查與原來的wi是否相符幾種校核與估算權(quán)重的方法如果數(shù)據(jù)完整，可以對各個權(quán)重wi分別計算、校核.由于公布數(shù)據(jù)的有效數(shù)字所限，舍入誤差對結(jié)果有不小影響.2.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權(quán)重，檢查與原來3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權(quán)重.△vik,△vk(i=1,…,8,k=1,…,n)

用MATLAB命令w=A\b可得Aw=b的最小二乘解.含8個未知數(shù)w1,

…,w8的n+1個方程.幾種校核與估算權(quán)重的方法

3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權(quán)重.△vi3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權(quán)重.幾種校核與估算權(quán)重的方法原始數(shù)據(jù)精度太低(1或2位有效數(shù)字)權(quán)重n=72（2011-2013）加非負(fù)約束原始w10.31420.31430.3179w2-0.003500.0349w30.09560.09530.0852w40.08340.08170.0564w50.13780.13370.0964w60.06930.06980.0995w70.14750.14870.1375w80.14260.14390.17222011~2013逐月環(huán)比和同比數(shù)據(jù)對權(quán)重加非負(fù)約束計算結(jié)果有較大差距，甚至出現(xiàn)負(fù)值對權(quán)重加非負(fù)約束后結(jié)果仍相差較大3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權(quán)重.幾種校按照地區(qū)差別解讀CPI不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和居民生活水平的差異較大，全國CPI環(huán)比、同比總水平與各地區(qū)情況不同.國家統(tǒng)計局還分“城市”和“農(nóng)村”公布CPI數(shù)據(jù).31個省、市、自治區(qū)統(tǒng)計局逐月公布當(dāng)?shù)谻PI數(shù)據(jù).可以用類似方法解讀當(dāng)?shù)氐腃PI數(shù)據(jù).按照地區(qū)差別解讀CPI不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和居民生活水平的差異從數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模角度看,資料較少且不夠完整,只能根據(jù)查到的有限數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀.小結(jié)與評注CPI是當(dāng)今社會的熱門詞匯,各種媒體特別是互聯(lián)網(wǎng)上有大量經(jīng)濟(jì)政策方面的報道和評論.權(quán)重的幾種校核與估算方法是編者的初步嘗試，尚待進(jìn)一步研究.從數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模角度看,資料較少且不夠完整,只能根據(jù)2.8核軍備競賽

冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全,實行“核威懾戰(zhàn)略”,核軍備競賽不斷升級.

隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束,雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議.

在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張,而存在暫時的平衡狀態(tài).

當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時,平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化.

估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個數(shù)量受哪些因素影響.背景與問題2.8核軍備競賽冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：

認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；

己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地.摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.模型假設(shè)以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同圖的模型y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線)x=g(y)~乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線)當(dāng)x=0時y=y0，y0~乙方的威懾值xyy0Oy0~甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線圖的模型y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安分析模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率.sx個基地未被摧毀，y–x個基地未被攻擊.x<y甲方以x枚導(dǎo)彈攻擊乙方y(tǒng)個基地中的x個,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個基地被攻擊2次,s2(x–y)個未被摧毀;y–(x–y)=2y–x個被攻擊1次,s(2y–x)個未被摧毀.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1–s)xy=y0/sy=y0/s2分析模型乙方殘存率s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)利用微積分知識可知y是一條上凸的曲線，且y0變大，曲線上移、變陡.s變大，y減小，曲線變平.xyOy0x<y,y=y0+(1–s)xx=yx=2yy<x<2y,x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=

甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值y0變大xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級.（其他因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點(diǎn)PP′甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值y

甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架.乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP′甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架.乙安全線y=f(x

雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x

,y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值x0,y0和殘存率s均減小.y0減小

y下移且變平xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s變小y增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.模型解釋乙安全線y=f(x)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x,核軍備競賽

對“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過程.

提出安全曲線概念，給出它的一般形式.

通過更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式.

利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.核軍備競賽對“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題AB

風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時的航向，帆以及帆的朝向.2.9揚(yáng)帆遠(yuǎn)航帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題模型分析

風(fēng)(通過帆)對船的推力w

風(fēng)對船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且

s1遠(yuǎn)大于

s2.f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力模型分析風(fēng)(通過帆)對船的推力w風(fēng)對船體部分的阻力p推力w1=wsin(–)f1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos模型假設(shè)

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略.

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos

航向速度v與力f=f1–p1成正比.v=k1(f1–p1)v1vw1=wsin(–)f1=w1sin=wsinsi2)令=/2,

v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當(dāng)固定時求使f1最大f1=w[cos(–2)–cos]/2=/2時f1=w(1–cos)/2最大=k1(f1–p1)cosf1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解2)令=/2,1)當(dāng)固定時求使f1最大f160o

<<75o

1<t<2v1最大備注

只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型.

航行過程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整和.

記t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(

k1w/2)[1–(1+2p/w)cos]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos<1/2模型求解v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]coss1>>

s260o<<75o1<t<2v1最大備注2.10節(jié)水洗衣機(jī)

我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)。洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水—漂洗—脫水—加水—漂洗—脫水…（稱“加水—漂洗—脫水”為一輪）。請為洗衣機(jī)設(shè)計一種程序（包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等），使在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。選自1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題2.10節(jié)水洗衣機(jī)我國淡水資源有限，節(jié)問題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過程將待洗衣物和洗滌劑放入缸內(nèi)，加水后啟動洗衣機(jī).漂洗中通過洗滌劑的物理化學(xué)作用，將附著在衣物上的污物溶于水中，再脫去含有污物的污水，構(gòu)成“加水—漂洗—脫水”一輪運(yùn)行過程.一輪后殘留在衣物上的污物有所減少，但若尚未達(dá)到洗凈的效果，就需要再來一輪，如此循環(huán).直到衣物上污物減少到相對清潔，可以接受.建模應(yīng)考慮：現(xiàn)實生活中洗衣機(jī)大多運(yùn)行2或3輪.問題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過程將待洗衣物和洗滌劑放入缸內(nèi)，加水

一次性加入的洗滌劑雖能幫助衣物上污物溶于水，但也不希望留在衣物上，因此將“污物”視為衣物上原有的污物與留在衣物上的洗滌劑的總和.

洗滌劑溶解污物的過程涉及物理化學(xué)的微觀機(jī)制，只需從宏觀層面上認(rèn)為，每一輪運(yùn)行中污物都已充分溶于水中，形成一定的濃度.通過一輪一輪地加水和脫水，使污物濃度不斷降低.

不討論通常洗衣機(jī)運(yùn)行的最后一步—甩干或烘干.問題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過程一次性加入的洗滌劑雖能幫助衣物上污物溶于水，但也不模型假設(shè)1.每輪漂洗后衣物上的污物全部均勻地溶于水中.2.與每輪的加水量相比，每輪脫水后衣物仍含

少量的水，每輪的含水量為常數(shù).3.每輪脫水前后污物在水中的濃度保持不變.最后一輪脫水后衣物的污物含量與初始含量

之比(污物比)，需不超過某個給定的數(shù)值.建模目標(biāo)：在滿足衣物污物比的條件下，

確定洗衣機(jī)運(yùn)行多少輪

(最多4輪)及每輪

的加水量，使總用水量最少.模型假設(shè)1.每輪漂洗后衣物上的污物全部均勻地溶于水中.2模型建立洗衣機(jī)共運(yùn)行n輪(n=2,3,4),x0~初始污物含量.c~每輪脫水后衣物含水量，ε~最終污物比(給定).

脫水前后污物濃度保持不變

污物濃度~單位容積水中的污物含量.uk~第k輪加水量，xk~第k輪脫水后污物含量.

……

模型建立洗衣機(jī)共運(yùn)行n輪(n=2,3,4),x0~初始污建模目標(biāo)要求

xn/x0≤ε

在條件

下確定洗衣機(jī)運(yùn)行輪數(shù)n(=2,3,4)和每輪加水量uk(k=1,2,…,n)，使總用水量

最少.模型建立建模目標(biāo)要求xn/x0≤ε

在條件模型簡化

幾何平均值算術(shù)平均值n個數(shù)的幾何平均值小于或等于算術(shù)平均值，當(dāng)且僅當(dāng)n個數(shù)相等時等號成立.uk

全相等，即每輪加水量是一個固定值u.c<<uk

模型簡化

幾何平均值算術(shù)平均值n個數(shù)的幾何平均值小于或模型簡化

uk

=u

問題化為在條件下求u和n(=2,3,4)使z=nu最小.

簡化:

u是第1輪加水量，此后各輪加水量應(yīng)減掉c（脫水后衣物的含水量）.模型簡化

uk=u

問題化為在條件模型求解

對于給定的c,ε,

依次固定n=2,3,4，比較總用水量z的大小，確定u和n的解.對于固定的c,數(shù)值??n和λn直接反映了每輪加水量和總用水量的大小.

模型求解

對于給定的c,ε,依次固定n=2,3,4，模型求解ε0.5%1%2%5%10%??214.210.07.14.53.2??35.84.63.72.72.2??43.83.22.72.11.8λ228.320.014.28.96.3λ317.513.911.18.16.5λ415.012.610.68.57.1

ε??ελ若衣物清潔程度要求較高(ε≤2%)，洗衣機(jī)運(yùn)行4輪的總用水量最少.清潔程度要求較低時(ε≥5%)，總用水量都差不多，運(yùn)行3輪更合適.模型求解ε0.5%1%2%5%10%??214.210.0模型討論每輪加水量u的上限和下限c~脫水后衣物含水量umin=bwa和b取決于衣物的質(zhì)地，其數(shù)值可通過實驗確定.缸體容積限制

u的上限umaxw~洗滌前衣物質(zhì)量(kg)a~每kg衣物脫水后含水量c=

awb~每kg衣物浸泡所需水量浸沒衣物需求u的下限uminumin

≤u≤umax

umin

≤uu

≤umax

通過控制w來滿足.模型討論每輪加水量u的上限和下限c~脫水后衣物含水量umi此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！

研究對象的機(jī)理比較簡單

用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具來建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.

第二章初等模型研究對象的機(jī)理比較簡單用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建

第二章

初等模型2.1

雙層玻璃窗的功效2.2

劃艇比賽的成績2.3

實物交換

2.4

汽車剎車距離與道路通行能力2.5估計出租車的總數(shù)2.6評選舉重總冠軍2.7解讀CPI2.8

核軍備競賽2.9

揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.10節(jié)水洗衣機(jī)第二章2.1雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.1雙層玻璃窗的功效雙層單層2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實際上雙層窗的功效不會如此之大!hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=2.2劃艇比賽的成績賽艇2000m成績t(min)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)

槳手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系.試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l/b,w0/n

基本不變艇長l

艇寬bl/b

(m)(m)7.930.29327.0