三年 (2020-2022 ) 高考真題匯編 專(zhuān)題13不等式、推理與證明

專(zhuān)題13不等式、推理與證明【2022年全國(guó)乙卷】1．若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線(xiàn)，可得當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)截距最小，z最大，所以.故選：C.【2021年乙卷文科】2．若滿(mǎn)足約束條件則的最小值為（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點(diǎn),轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最小值，此時(shí).故選：C.【2021年乙卷文科】3．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【2020年新課標(biāo)3卷文科】4．已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對(duì)稱(chēng)性判斷C,D.【詳解】可以為負(fù)，所以A錯(cuò)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；故B錯(cuò)；關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)，D對(duì)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.【2022年新高考2卷】5．若x，y滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．【2020年新高考1卷（山東卷）】6．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【2020年新課標(biāo)1卷理科】7．若x，y滿(mǎn)足約束條件則z=x+7y的最大值為_(kāi)_____________.【答案】1【解析】【分析】首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線(xiàn)方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．【點(diǎn)睛】求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.【2020年新課標(biāo)2卷文科】8．若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線(xiàn)，在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得直線(xiàn)在縱軸上的截距最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在縱軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【2020年新課標(biāo)3卷理科】9．若x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_(kāi)________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因?yàn)?，所以，易知截距越大，則越大，平移直線(xiàn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，，所以.故答案為：7.【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.【2020年新課標(biāo)3卷理科】10．關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．③f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對(duì)稱(chēng)性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以，函