北京理工大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末試題及參考答案(A卷)

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學(xué)號

姓名 (本試卷共6頁,九個(gè)大題)題號題號一二三四五六七八九總分得分簽名一.(4分,28分)1.已知，則ABC的面積S= ，ABC= 。x2y 2z =已知圓的方程x2y2z2=10zx2y 2z =55f(xyf(x

0，又在(x

處

=1，且f= ，0 0 0

dx 2 y則f= 曲線f(x,y)=0在(x,yx 0

)處指向x增大方向的單位法向量n= 。1x3與ln(x關(guān)于x1泰勒級數(shù)展開式分別為：1 = ln(x 。x2yx2y2z22設(shè)zz(xyxyz

= （z0）所確定的隱函數(shù)，則= ，= .6.設(shè)f(x,y)=xy，則f= ，1x3x2dx= 。y 0 lnx7.a0+(asnx+

sinnx)是f(x)=x+1 0x

在[,上的傅里葉級數(shù)2 n n=1

x1 <x<0Sx)a2

= 3

= (5 。23二.(9分)設(shè)L：y=lnx（ x 15）的線密度為常數(shù)，求L關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3三.(9分)設(shè)區(qū)域V|x|+|y|+|z1I=(x2+2y2+3z2+x2y2nz3)dV。V四.(9分)求函數(shù)zx22y2y5 在區(qū)域D：x2y21上的最大值和最小值。五(9分)已知當(dāng)xy0

3yx

dx

y3x

dy 是二元函數(shù)u(x,y的全微分，(xy) (xy)求的值，并求u(x,y) 的函數(shù)表達(dá)式。六.(9分)求冪級數(shù)n1

1x2n( 3 )n1的收斂域及和函數(shù)。七(9分)曲面z4x2y2將球體x2y2z24z八.(9分)設(shè)I=S

x3cos+y3cosz3cos)dSSz

(1z0)，x2+y2且s0（1）I（2）x2+y2九. (9 分) 設(shè)函數(shù)f(x) 滿足條件af(x)b，且對x,y[a,b]，有|fxfyk|xy|，其中k是常數(shù)，且0k1。取x0

[ab，令u1

=f(x)，0un+1

=f(un

)，n=,, 。證明1）級數(shù)n=1

(un+1

u)2）mun n

存在。參考答案11一.1.11

, arccos56

(2分,2分)2. (1,2,7), 4 (2分2分)53. 2, 5

,215515

} (2分2分)4. n0

(1) (x1)n 4n+1

n4+n1

n4n

(x1)n

(2分,2分)5. dx 2dy, 2}4

(2分,2分)6. xylnx, ln3

(2分,2分)7. 0，4+，0，+12

(1分，1分，1分，1分)二. Iy

x2Lx2 1+(x2 1+(1)2dxx315

…….(2分)……(6分)56315315

x1+x2dx3

……(9分)三. 設(shè)V在第一卦限部分為V1I6x2dV48x2dVV 481x2dxxdyxydz

……………(3分)……………..(6分)0 0 0481x2dxx1xy)

………………..(7分)0 0241x21x2)0

…(8分)45 …(9分)四. 令 z=2x=0 x解得x=0, y=1,4

z=4y1=0y得駐點(diǎn)(01,4

………………(2分)………………..(3分)由x2y21，得x21y2，代入目標(biāo)函數(shù)得z=y2y6 (1y………………..(4分)dz令 =2y1=0，得y

1，此時(shí)x=3，得兩點(diǎn)(31………..(6分)dy 2 2 2 2當(dāng)y=1時(shí)，x=0，得兩點(diǎn)………………..(7分)1z(0, )1

39，z(3

23，z(0,1)=8，=6, ), )z =8max

2 2 4z =39min 8

……………..(9分)五．由題意, 有 Y=X

……….(1分)x y3(xy)(y3x)(xy)1=(xy)2

3(xy)(3y3)(xy)1(xy)2

…….(3分)即 3x3yxy=0，=3

…….(4分)u(x,y)=(x,y

3y

dx

y3xdy

…….(6分)(1,1)

(xy)3

(xy)3 1=x1

3x(xy)3

dxy y3x1(xy)3

dyC1

……(8分)= xy C(xy)2

……(10分)注：沒有加C不扣分。六. 設(shè)

1tn1n

(1)aaaan1n

lim

1,

得(1)的收斂半徑R1 ……………(1分)n

nn1t1時(shí)，級數(shù)

1t1時(shí)，級數(shù)()n

收斂，nn1

nn1故級數(shù)(1)的收斂域?yàn)閠……………..(3分)1

x21,3

5x

………………..(4分)設(shè)St)1tnn1

，St)n1

tn1

11t

…(6分)S(tt) …(8分)1 x ( )n1

x2

x2)

……..(9分)nn1

3 3 3z4x2y2七．由

，消去z得x

y23

…（1）x2y2z22zV [(4x1x2y23

y2)(2

4x

y2)]dxdy (2xx2y23

y2)

4x

y2)dxdy

…（3）2d442

3(22

…（5）20376

3(23442

…（7）V23

23V1

6

…（8）V 272V 371

…（9）八. （1）I=x3dydz+y3dzdx+z3dxdyS（2）設(shè)曲面S:z1x2+y211

………………..(1分)I=x3dydz+y3dzdx+z3dxdy

………………..(1分)+SS+ S+1 1x3dydz+y3dzdx+z3dxdy+SS++1=3x2+3y2+3z2)dVV=2d1d32+3z2)dz0 0 =34930x3dydz+y3dzdx+z3dxdyS1

……………..(4分)……………..(6分)….………….(7分)=z3dxdyS+1

()3dxdy=x2+y21I=9=1

……………..(9分)10 10九.（1）|u u f(u)f(u )k|u u |n+1 n n n1 n n1k2|u u | kn1|u u|n1 n2 2 1=kn1|f(f(x))f(x)|kn1|ba|0 0

……………..(4分由于0<k<1，n=1

kn1ba)收斂，故n=1