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文檔簡介
PAGEPAGE9北京理工大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末試題及參考答案(A卷)班級
學(xué)號
姓名 (本試卷共6頁,九個(gè)大題)題號題號一二三四五六七八九總分得分簽名一.(4分,28分)1.已知,則ABC的面積S= ,ABC= 。x2y 2z =已知圓的方程x2y2z2=10zx2y 2z =55f(xyf(x
0,又在(x
處
=1,且f= ,0 0 0
dx 2 y則f= 曲線f(x,y)=0在(x,yx 0
)處指向x增大方向的單位法向量n= 。1x3與ln(x關(guān)于x1泰勒級數(shù)展開式分別為:1 = ln(x 。x2yx2y2z22設(shè)zz(xyxyz
= (z0)所確定的隱函數(shù),則= ,= .6.設(shè)f(x,y)=xy,則f= ,1x3x2dx= 。y 0 lnx7.a0+(asnx+
sinnx)是f(x)=x+1 0x
在[,上的傅里葉級數(shù)2 n n=1
x1 <x<0Sx)a2
= 3
= (5 。23二.(9分)設(shè)L:y=lnx( x 15)的線密度為常數(shù),求L關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3三.(9分)設(shè)區(qū)域V|x|+|y|+|z1I=(x2+2y2+3z2+x2y2nz3)dV。V四.(9分)求函數(shù)zx22y2y5 在區(qū)域D:x2y21上的最大值和最小值。五(9分)已知當(dāng)xy0
3yx
dx
y3x
dy 是二元函數(shù)u(x,y的全微分,(xy) (xy)求的值,并求u(x,y) 的函數(shù)表達(dá)式。六.(9分)求冪級數(shù)n1
1x2n( 3 )n1的收斂域及和函數(shù)。七(9分)曲面z4x2y2將球體x2y2z24z八.(9分)設(shè)I=S
x3cos+y3cosz3cos)dSSz
(1z0),x2+y2且s0(1)I(2)x2+y2九. (9 分) 設(shè)函數(shù)f(x) 滿足條件af(x)b,且對x,y[a,b],有|fxfyk|xy|,其中k是常數(shù),且0k1。取x0
[ab,令u1
=f(x),0un+1
=f(un
),n=,, 。證明1)級數(shù)n=1
(un+1
u)2)mun n
存在。參考答案11一.1.11
, arccos56
(2分,2分)2. (1,2,7), 4 (2分2分)53. 2, 5
,215515
} (2分2分)4. n0
(1) (x1)n 4n+1
n4+n1
n4n
(x1)n
(2分,2分)5. dx 2dy, 2}4
(2分,2分)6. xylnx, ln3
(2分,2分)7. 0,4+,0,+12
(1分,1分,1分,1分)二. Iy
x2Lx2 1+(x2 1+(1)2dxx315
…….(2分)……(6分)56315315
x1+x2dx3
……(9分)三. 設(shè)V在第一卦限部分為V1I6x2dV48x2dVV 481x2dxxdyxydz
……………(3分)……………..(6分)0 0 0481x2dxx1xy)
………………..(7分)0 0241x21x2)0
…(8分)45 …(9分)四. 令 z=2x=0 x解得x=0, y=1,4
z=4y1=0y得駐點(diǎn)(01,4
………………(2分)………………..(3分)由x2y21,得x21y2,代入目標(biāo)函數(shù)得z=y2y6 (1y………………..(4分)dz令 =2y1=0,得y
1,此時(shí)x=3,得兩點(diǎn)(31………..(6分)dy 2 2 2 2當(dāng)y=1時(shí),x=0,得兩點(diǎn)………………..(7分)1z(0, )1
39,z(3
23,z(0,1)=8,=6, ), )z =8max
2 2 4z =39min 8
……………..(9分)五.由題意, 有 Y=X
……….(1分)x y3(xy)(y3x)(xy)1=(xy)2
3(xy)(3y3)(xy)1(xy)2
…….(3分)即 3x3yxy=0,=3
…….(4分)u(x,y)=(x,y
3y
dx
y3xdy
…….(6分)(1,1)
(xy)3
(xy)3 1=x1
3x(xy)3
dxy y3x1(xy)3
dyC1
……(8分)= xy C(xy)2
……(10分)注:沒有加C不扣分。六. 設(shè)
1tn1n
(1)aaaan1n
lim
1,
得(1)的收斂半徑R1 ……………(1分)n
nn1t1時(shí),級數(shù)
1t1時(shí),級數(shù)()n
收斂,nn1
nn1故級數(shù)(1)的收斂域?yàn)閠……………..(3分)1
x21,3
5x
………………..(4分)設(shè)St)1tnn1
,St)n1
tn1
11t
…(6分)S(tt) …(8分)1 x ( )n1
x2
x2)
……..(9分)nn1
3 3 3z4x2y2七.由
,消去z得x
y23
…(1)x2y2z22zV [(4x1x2y23
y2)(2
4x
y2)]dxdy (2xx2y23
y2)
4x
y2)dxdy
…(3)2d442
3(22
…(5)20376
3(23442
…(7)V23
23V1
6
…(8)V 272V 371
…(9)八. (1)I=x3dydz+y3dzdx+z3dxdyS(2)設(shè)曲面S:z1x2+y211
………………..(1分)I=x3dydz+y3dzdx+z3dxdy
………………..(1分)+SS+ S+1 1x3dydz+y3dzdx+z3dxdy+SS++1=3x2+3y2+3z2)dVV=2d1d32+3z2)dz0 0 =34930x3dydz+y3dzdx+z3dxdyS1
……………..(4分)……………..(6分)….………….(7分)=z3dxdyS+1
()3dxdy=x2+y21I=9=1
……………..(9分)10 10九.(1)|u u f(u)f(u )k|u u |n+1 n n n1 n n1k2|u u | kn1|u u|n1 n2 2 1=kn1|f(f(x))f(x)|kn1|ba|0 0
……………..(4分由于0<k<1,n=1
kn1ba)收斂,故n=1
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