北京市航空航天大學(xué)附屬中學(xué)2022年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答?？荚嚱Y(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 24函數(shù)ytan x24

的部分圖象如圖所示，則OAOBAB（ ）A．6 B．5 C．4 D．3《易·之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六5的概率為1 6 8 2A．5 B．25 C．25 D．5P2ABCDABCD的內(nèi)切球OMBC

的中點(diǎn)，若滿足DPBM，11 1 1 1 1則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）5

2 5

4 5

8 5ABCABCAB8.BBCC1 1 1 1 1上的點(diǎn)，且BEBE，CF1CC，則異面直線AE與AF 所成角的余弦值為（ ）1 1 4 1 1 10131310f(x)Asin(x)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓Cf(x)MN兩點(diǎn)，且My軸上，則下列說法中正確的是f(x)的最小正周期是f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),0成中心對(duì)稱3 3 f(x)在(2單調(diào)遞增3 65f(x)

后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱設(shè)aln3，則blg3，則（ ）A．a(chǎn)bababB．a(chǎn)bababC．a(chǎn)bababD．a(chǎn)bababx2已知雙曲線a2

y2b2

1

3xy5

垂直，則雙曲線C

的離心率等于( )A．2? B．103

C．10? D．2 2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S（ ）A．2 B．3

C．2 D．13 2已知函數(shù)fxax12x2ax1（aR）的最小值為0，則a（ ）1A．2雙曲線x±2y=01的漸近線方程是（B．2x±y=0

C． D．12C．4x±y=0 D．x±4y=05，高為2P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是（ ）2 53

4 53

3 D．4公元前51000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他10010010個(gè)101米按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）1051A． 米9001049C． 米900

1059米901041D． 米90二、填空題：本題共4小題，每小題520分。，若冪函數(shù)f(x) xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

2 1 ，則其單調(diào)遞減區(qū)間．2xOya2

y2b2

0,b0)2cx軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為c2，則雙曲線的離心率.在ABC中為定長(zhǎng)，AB2AC3BC若ABC的面積的最大值為2則邊BC的長(zhǎng)為 ．1已知數(shù)列{a的前n項(xiàng)和為Sa（﹣b（Sn+若a⊥b{nan三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

前2020項(xiàng)和為 17（12分）已知函數(shù)f(x)(axe

ax1，其中eaR．yf(x在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2xy10平行，求a的值；若a

1，問函數(shù)f(x)有無極值點(diǎn)？若有，請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若沒有，請(qǐng)說明理由．218（12分）已知三棱柱ABCAB

AB

2DBCBBA60BDAB.1 1 1 1 1 1ABAC；ACCABD與平面

AD所成角的正弦值.11 1 119（12分）已知數(shù)列an

}滿足：對(duì)任意u,vNauv

a au

2.若a2

aaa3 6

2，求a18

的值；若}是等比數(shù)列，求}的通項(xiàng)公式；n n設(shè)kNk3，求證：若ak1

,ak2

,ak

,成等差數(shù)列，則a,a1 2

,,ak

也成等差數(shù)列.20（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P⊥平面ABC，且PA，F(xiàn)分別是棱A，PC的中點(diǎn)求證：EFPCEPCD．21（12分）已知

是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前nn

，滿足an 3

12， ．是否存在正整數(shù)k，Sk

若存在，求k的最小值；若不存在，說明理由．從①q 2，②q1，③q2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．222（10分）某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷，定價(jià)為5元瓶銷售數(shù)據(jù)按照.1從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于35瓶的概率；2試銷結(jié)束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發(fā)：大箱每箱50瓶，批發(fā)成本75元；小箱每箱30瓶，批發(fā)成本60元.由于酸奶保質(zhì)期短，當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發(fā)一箱（計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表，比如銷量為45,55時(shí)看作銷量為50瓶）.①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X，批發(fā)一小箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y，求X和Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；②以利潤(rùn)作為決策依據(jù)，該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價(jià)；利潤(rùn)=銷售額－批發(fā)成本.參考答案125601．A【解析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】

由圖象得令ytan x4

=0,22

x k，kZ4 2k=0

令ytan x4

=1,即 x 2 4 22

，解得x=3，4∴A(2,0),B(3,1)，∴OA,OBAB∴ AB516∴ 【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.2．A【解析】陽數(shù)：1,3,5,7,92,4,6,8,105.【詳解】因?yàn)殛枖?shù)：1,3,5,7,92,4,6,8,10，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：5525個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5,3,8,5,10,7,2,9,4共5P

1.A.【點(diǎn)睛】

25 5P3．C

目標(biāo)事件的個(gè)數(shù).基本本事件的總個(gè)數(shù)【解析】BBHBMDCH，這樣可以1確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】BBHCHDHCHBMDCMBDC,CH平面CDH，DC1

CHC，BMDCHPDCHABCDABC

的內(nèi)切球O的交線.正方體11 1 1ABCDABC

的棱長(zhǎng)為O的半徑為R1D為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：1 1 1 1因此有H(2,2,1)DCH的法向量為m(x,yz，所以有mDCmDH

mDC0mDH

2y022x2yz

m

，因此O

到平面

DCH

的距離為：mODd m

5 2 5 4 5 ，所以截面圓的半徑為：r R2d2 ，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2 r 5 5 5故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4．B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出異面直線AE與AF所成角的余弦值.1【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)AB的中點(diǎn)為O，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以A2,8EA0,2,0F1

，所以

AE0,4,4,AF2 3,2,6.所以異面直線1所以異面直線

AE與1AF

AEAF1

824 26.AEAF1

4 2213 13故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.5．B【解析】fxAsin2x，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．3 3 【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3

1 ，所以T ( ) ，解得T，2 3 6 2fx的最小正周期TA00，由周期T，所以2，又f0，所以

，所以f

x x 6 3 3 2x

kkZx

k

kZ，當(dāng)k3x

4

x的一個(gè)對(duì)稱中心為4,0，3 2 6 3 3 fx的圖象關(guān)于點(diǎn)4,0成中心對(duì)稱．故選3 3 3【點(diǎn)睛】力，屬于基礎(chǔ)題．6．A【解析】根據(jù)換底公式可得b【詳解】

ln3，再化簡(jiǎn)ababab，比較ln3,ln101,ln101的大小，即得答案.ln10blg3blg3

3ln3，10 ln10abln3

ln3

ln3ln101,abln3

ln3

ln3ln101，ab

ln3lnln10

ln10 ln10 ln10 ln10.ln30,ln100abab.3eln10,即ln31ln10,ln3ln101，ln3ln3 ln3ln101 ln10 ln10

，即abab.abababA.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.7．B【解析】k3所以一條漸近線的斜率為k1b

1，所以e

B.1(b)21(b)2a108．B【解析】運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有i1S3，S

1 1，i2，13 2S 1 2第二次循環(huán)后 11 3，i3，2第三次循環(huán)后

S 113

3，i4，第四次循環(huán)后S 1

1，i5，13 2所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)i2019S3i202020202019，循環(huán)結(jié)束，輸出S3，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識(shí)，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.9．C【解析】gxhxax1設(shè)gxhx2x2ax1，計(jì)算可得f

2gx,gxhxx2hx,gxhxx【詳解】gxhxax1

gxx2ax設(shè)gxhx2x2ax1，則hx1x2 ， 2hx,gxhx則fxgxhxgxhx2hx,gxhx則fx0gxhx的大致圖像，結(jié)合圖像，1x20xa.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.10．A【解析】試題分析：漸近線方程是解：雙曲線

﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．其漸近線方程是

﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．11．C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解P的位置，推出結(jié)果即可.詳解圓錐底面半徑為5高為是一條母線點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)在底面的射影為O 543，OASOSA的軸截面如圖：ASQ90，過Q作QTSA于T，則QTQSP，使得PSA的距離3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．12．D【解析】根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)a1再求和.

100,q

1,a10

，由an

100

1n10 10

，解得

n4，【詳解】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)a

100,q

1,a

0.1，1 10 n所以an

1n10.10.110010 解得n4，

141001 a1q4所以

10 1041.S 1

4故選：D

1q

1 1 9010【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.452013(0,)【解析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)f(x)的解析式，再求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：冪函數(shù)f(x)則( 2)a1，2a；

1xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)( 2, )，2所以f(x)x2，其中x,00,；f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,(0,．【點(diǎn)睛】2本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．14．2【解析】利用SAOB【詳解】

1|FO||AB|c2即可建立關(guān)于a,b,c的方程.2 2FxB兩點(diǎn)，2bc bc 1 bc則A(c, )，B(c, )，由已知，S |FO||ABc2，即 cc2，a aab，離心率e

AOB 2 2 a1(1(b)2a22故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立a,b,c的方程或不等式，是一道容易題.15．2【解析】BCaBBCxBCAxyy0，AB2AC3x,3y

2a2

a2

y0進(jìn)一步求出a的值即為所求.

，利用求向量模的公式可得 3

，根據(jù)三角形面積公式【詳解】BCaBBCxBCAxyy0，2a3x29y2AB2AC2a3x29y2

3a， 2a2

y03即x 3

y2 a2 ，由S ABC

BCy，可得 ya212a21

a22.2BCa22.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.404016．

2021【解析】由已知可得ab4Sn﹣n（n+3）＝0Sn

n

，n＝1時(shí)，a

＝S1＝1.n≥2

＝Sn﹣Sn

.可得：4 11 2（1 1 ）.1

n ﹣1na n

n1

n n1【詳解】∵a⊥b，∴a?b4Sn﹣n（n+3）＝0，nn3∴Sn ，n＝1時(shí)，a＝S＝1.4 1 1n≥2時(shí)，a＝S﹣S

nn3

n1n2

n1.n n

4 4 2n1，滿足上式，an

n1.21 ∴ 2（1 1 ）.1 na n

n1

n n11∴數(shù)列{nan

}前2020項(xiàng)和為120202（111112020

1 ）＝2（1

1 ）

4040.2 2 34040故答案為： .2021

2021 2021 2021【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）a【解析】

3（2）沒有，理由見解析2求導(dǎo)，研究函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，等于切線斜率，即得解；g(0)0g(xex(x1)1g(0)0

，得到f(x) 0，即得解【詳解】f(x)aex

(ax1)exa，yf(x在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2xy10平行，3∴切線的斜率為f(0)a1a2，解得a ．2當(dāng)a

1 1 時(shí)，f(x) 2x 1ex

1x1，22 1 1 1 1f(x)

2ex2x1ex2

[ex(x1)1]，2 g(x)ex(x1)1g(x)ex(x1)exxex，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，g(0)0又函數(shù)gg(0)0故f(x) 0恒成立，∴函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．【點(diǎn)睛】2 55本題考查了導(dǎo)數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題2 5518（）證明見解析（）【解析】AB的中點(diǎn)O，連接ODOB1

AB平面ODB1

得出ABOD，再得出ABAC；建立空間坐標(biāo)系，求出平面C1

AD的法向量n，計(jì)算cosnBD即可得出答案．1【詳解】AB的中點(diǎn)O，連接ODOB，1BBA160，BB2，OB1AB1BBA11 241241221cos6031OB2OB2BB2ABOB，1 1 1又ABBD，OB BDB，OB,BD平面ODB，1 1 1 1 1 1 1AB平面ODB，1ABOD，ODABBC的中點(diǎn)，OD//AC，ABAC．解四邊形ACCA11

是正方形，ACAA，1，ACABABAC

AAA，AB,AA1 A，

平面ABBA，1 11 1ABBA1 1

ABAEAABACAE為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，A(0，00)D(1，10)C(1，2，3)B(1，0，3)，1 1AD0)，AC1

(1，2，3)，BD(0，1， 3)，1CAD

y ·AD

xy0設(shè)平面

的法向量為n(x，

，z)，則 ，即 ，1x1n(11，3)，

n·AC01

x2y 3z0cosn，BD1

nBD1|n||BD|1

2 ．2 55 52 5直線BD與平面CAD所成角的正弦值為|cosn，BD2 5．1 1 1 5【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．19（）（）an

2（）見解析.【解析】（1）依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系，有a18

aa2

2，a18

aa3

2，兩式相加，即可求出a18

（）依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知，求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式auv

aau

2，列出方程，可以解出首項(xiàng)和公比（）利用等差數(shù)列的定義，即可證出?！驹斀狻恳?yàn)閷?duì)任意u,vN，都有auv

aau

2，所以a18

aa2

2，a18

aa3

2，兩式相加，2a a18

aa3

a4246a9

=3；設(shè)等比數(shù)列

}的首項(xiàng)為a

，公比為q，因?yàn)閷?duì)任意u,vNa

a

2，所以有a2

aa1

n2，解得a1

12a6

aa1

2=a2

uv u va2， a1

a=a6

a，化簡(jiǎn)得，1q53

q2q3，即q21 q31=0，q1或q1，因?yàn)閍 aa2，化簡(jiǎn)得q32q10，所以q14 2 2故a 2。n因?yàn)閷?duì)任意u,vN，都有auv

aau

2，所以有a aa 2ak

k1 22(k1)

a a2 ka aa

2 ，a ,a

a ,成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，3k） 3

k

k1

k2

k3ak(k

aa 2k kaa2

a2(k

ak

(k，aa3 2

a3(k

a2(k

(k， ，akakak(k1)a(k1)(k1)(k，由等差數(shù)列的定義知，a,a1

,,ak

也成等差數(shù)列?！军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，綜合運(yùn)用數(shù)列知識(shí)的能力。20（）（）見解析【解析】PD的中點(diǎn)GAEFGEF//AGEF//PAD；EFPCDPCDPCE．【詳解】（）如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，E是棱AB的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，AE//CDAE

1CD，2又FGPCPD的中點(diǎn)，F(xiàn)G//CDFG

1AC，2AE//FG，且AEFG，四邊形AEFG為平行四邊形，EF//AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，EF//PAD；（2）PAAD，點(diǎn)G是棱PD的中點(diǎn)，AGPD，又EF//AG，EFPD，PAABCD，CDABCD，PACD，ABCDADCD，ADA，PAABCDADADA，CD PAD，又AG平面PAD，CDAG，F(xiàn)E//AG，CDEF，PDD，又CDPCDPDPDD，EF平面PCD，又EF平面PCE，平面PCD平面PCE．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題．21．見解析【解析】選擇①或②或③，求出a1的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于k的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解k，在有解的情況下，解出不等式，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】選擇①：因?yàn)閍3

12，所以

33，所以aSq2 aS

312n 1

32n11 1 S2kk

3，29

S3

的正整數(shù)k的最小值為10；4811