必修二第一章空間幾何體專題

PAGEPAGE15必修二第一章空間幾何體一、知識(shí)梳理1．簡(jiǎn)單幾何體2．幾種常用的多面體：(1)棱柱：一般地，有兩個(gè)在面互相平行，其余各面都有是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫棱柱；棱柱中互相平行的面叫棱柱的______;簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱的______,相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的_______,側(cè)面與底面的公共點(diǎn)稱為棱柱的______按底面多邊形邊數(shù)棱柱可分為，，，六棱柱等。按側(cè)棱與底成是否垂直可分為和。斜棱柱：；直棱柱：；正棱柱：；底面是的四棱柱叫平行六面體；的平行六面體叫直平行六面體；底面是的直平行六面體叫長(zhǎng)方體；底面是的長(zhǎng)方體叫正四棱柱；的長(zhǎng)方體叫正方體；(2)棱錐：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做_______,這個(gè)多邊形面叫做______；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫_____;各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫________;相鄰側(cè)面的公共邊叫做_________。正棱錐的兩個(gè)本質(zhì)特征：①；②。正棱錐的性質(zhì)：①，，。②；。(3)棱臺(tái)可由 的平面截棱錐得到，棱臺(tái)上下底面的兩個(gè)多邊形 ，各側(cè)棱延長(zhǎng)線。3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(請(qǐng)結(jié)合右圖分析)(1)圓柱可以由矩形繞其_______旋轉(zhuǎn)得到(2)圓錐可以由直角三角形繞其____旋轉(zhuǎn)得到(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由_______的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其______旋轉(zhuǎn)得到．4、空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開關(guān)和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。(1)三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的 、 、 看到的物體 的 圍成的平面圖形．(2)一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在 的下面，長(zhǎng)度與 一樣，左視圖放在 的右面，高度與 的高度一樣，寬度與 的寬度一樣，即“ 、 、 ”，或說(shuō)“ 、 、 ”，注意虛、實(shí)線的區(qū)別．5、空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用 畫法來(lái)畫，基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于O′，且使∠x′O′y′＝ (2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于 ．6、中心投影與平行投影(1)平行投影的投影線 ，而中心投影的投影線 ．(2)從投影的角度看，三視圖和用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖都是在 投影下畫出來(lái)的圖形．注：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個(gè)不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形。7、側(cè)面積公式：直棱柱的側(cè)面積：，斜棱柱的側(cè)面積：。圓柱的側(cè)面積：，圓錐的側(cè)面積：，正棱錐的側(cè)面積：，正棱臺(tái)的側(cè)面積：，圓臺(tái)的側(cè)面積：，球的表面積：，8、體積公式：柱體的體積：，錐體的體積：，臺(tái)體的體積：，球體的體積：，二、典例精析考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①充要條件②思路解析：利用類比推理中“線面”再驗(yàn)證一下所給出的條件是否正確即可。解答：平行六面體實(shí)質(zhì)是把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質(zhì)上的“相似性”。平行四邊形平行六面體兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)邊平行且相等對(duì)角線互相平分兩組相對(duì)側(cè)面分別平行一組相對(duì)側(cè)面平行且全等對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平分答案：兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個(gè)即可）。2、一正方體表面沿著幾條棱裁開放平得到如圖的展開圖，則在原正方體中（）AAB∥CDBAB∥EFCCD∥GHDAB∥GH解答：選C。折回原正方體如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見CD∥GH3、．下列命題中，不正確的是______．①棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體是正方體②有兩個(gè)相鄰側(cè)面為矩形的棱柱為直棱柱③有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱④底面為平行四邊形的四棱柱叫平行六面體解析：由平行六面體、正方體的定義知①④正確；對(duì)于②，相鄰兩側(cè)面垂直于底面，則側(cè)棱垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，因而②正確；對(duì)于③，若兩側(cè)面平行且垂直于底面，則不一定是直棱柱．答案：③4．下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．其中，真命題的編號(hào)是______．(寫出所有真命題的編號(hào))解析：對(duì)于①，設(shè)四面體為D－ABC，過棱錐頂點(diǎn)D作底面的垂線DE，過E分別作AB，BC，CA邊的垂線，其垂足依次為F，G，H，連結(jié)DF，DG，DH，則∠DFE，∠DGE，∠DHE分別為各側(cè)面與底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E為△ABC的內(nèi)心，又因△ABC為等邊三角形，所以F，G，H為各邊的中點(diǎn)，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱錐為正三棱錐．所以為真命題．對(duì)于②，側(cè)面為等腰三角形，不一定就是側(cè)棱為兩腰，所以為假命題．對(duì)于③，面積相等，不一定側(cè)棱就相等，只要滿足斜高相等即可，所以為假命題．對(duì)于④，由側(cè)棱與底面所成的角相等，可以得出側(cè)棱相等，又結(jié)合①知底面應(yīng)為正三角形，所以為真命題．綜上，①④為真命題．答案：①④5、關(guān)于如圖所示幾何體的正確說(shuō)法為________．①這是一個(gè)六面體②這是一個(gè)四棱臺(tái)③這是一個(gè)四棱柱④這是一個(gè)四棱柱和三棱柱的組合體⑤這是一個(gè)被截去一個(gè)三棱柱的四棱柱答案：①②③④⑤6、(2009年高考安徽卷)對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是________．(寫出所有正確命題的編號(hào))．①相對(duì)棱AB與CD所在的直線是異面直線；②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；④任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積；⑤分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)．解析：②中的四面體如果對(duì)棱垂直，則垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)；③中如果AB與CD垂直，則兩條高的垂足重合．答案：①④⑤7、下面命題正確的有________個(gè)．①長(zhǎng)方形繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓柱②過圓錐側(cè)面上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條母線③三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面④圓錐的軸截面(過軸所作的截面)是等腰三角形解析：①②錯(cuò)，③④正確．①錯(cuò)在繞一條直線，應(yīng)該是繞長(zhǎng)方形的一條邊所在的直線；②兩點(diǎn)確定一條直線，圓錐的母線必過圓錐的頂點(diǎn)，因此過圓錐側(cè)面上一點(diǎn)只有一條母線．答案：28、給出以下命題：①底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體；②直角三角形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐；③四棱錐的四個(gè)側(cè)面可以都是直角三角形．其中說(shuō)法正確的是__________．解析：命題①不是真命題，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，若?cè)棱不垂直于底面，這時(shí)四棱柱是斜四棱柱；命題②不是真命題，直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐，如果繞著它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體則是兩個(gè)具有共同底面的圓錐；命題③是真命題，如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則可以得到四個(gè)側(cè)面都是直角三角形．故填③.9、下列結(jié)論正確的是①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：①錯(cuò)誤．如圖(1)所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．②錯(cuò)誤．如圖(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．③錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．④正確．答案：④10、如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個(gè)命題中，假命題是________．①等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等②等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)③等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓④等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上解析：①如圖，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱錐腰與底面所成的角相等，正確；②等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角相等或互補(bǔ)不一定成立；③如圖，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱錐的底面四邊形存在外接圓，正確；④等腰四棱錐各頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，正確．故選②.答案：②考點(diǎn)二、空間幾何體的三視圖1將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）EEFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEA．BEB．BEC．BED．解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。2、由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是．俯視圖俯視圖主視圖左視圖主視圖左視圖解：以俯視圖為主，因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)。點(diǎn)評(píng)：3、如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）.在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖。思路解析：根據(jù)正視圖和側(cè)視圖可確定出點(diǎn)G、F的位置，從而可以畫出俯視圖。解答：如圖：考點(diǎn)三、空間幾何體的直觀圖1、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖。2、已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么ΔABC的平面直觀圖Δ的面積為思路解析：（1）三視圖確定幾何體結(jié)構(gòu)畫直觀圖（2）根據(jù)規(guī)則求出Δ的高即可。解答：（1）由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，它的下部是一個(gè)不在此列四棱臺(tái)，上部是一個(gè)正四棱錐。畫法：①畫軸。如圖①，畫x軸、y軸、z軸,使∠xOy=450,∠xOz=900.②畫底面。利用斜二測(cè)畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取使等于三視圖中相應(yīng)高度，過作的平行線，Oy的平行線，利用與畫出底面；③畫正四棱錐頂點(diǎn)。在Oz上截取點(diǎn)P，使P等于三視圖中相應(yīng)的高度；④成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖②所示（2）如圖③、④所示的實(shí)際圖形和直觀圖。由圖可知，在圖④中作∴答案：考點(diǎn)四截面問題1、棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積。思路解析：截面過正四面體的兩頂點(diǎn)及球心，則必過對(duì)棱的中點(diǎn)。解答：如圖，ΔABE為題中的三角形，由已知得AB=2，BE=，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面積為注：解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系。與球有關(guān)的截面問題為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫一個(gè)截面圓起襯托作用。2、過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是________．解析：設(shè)截面的圓心為O′，由題意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π.答案：π3、．(2009年高考遼寧卷改編)如果把地球看成一個(gè)球體，求地球上北緯60°緯線長(zhǎng)和赤道線長(zhǎng)的比值．解：設(shè)地球的半徑為R，那么對(duì)應(yīng)的赤道線的大圓的半徑為R，而對(duì)應(yīng)的北緯60°緯線所在的小圓的半徑為eq\f(1,2)R，那么它們對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度之比為eq\f(1,2)R∶R＝eq\f(1,2).即所求比值為eq\f(1,2).4、下列三個(gè)命題，其中正確的有________個(gè)．①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．解析：①中的平面不一定與底面平行，②③可用反例圖去驗(yàn)證．答案：05、(2008年高考江西卷)如圖(1)，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P(圖(2))有下列四個(gè)命題：A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)PC．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)PD．若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿．其中真命題的代號(hào)是：______(寫出所有真命題的代號(hào))．解析：設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為b，高為h1，正四棱錐高為h2，則原題圖(1)中水的體積為b2h2－eq\f(1,3)b2h2＝eq\f(2,3)b2h2，圖(2)中水的體積為b2h1－b2h2＝b2(h1－h(huán)2)，所以eq\f(2,3)b2h2＝b2(h1－h(huán)2)，所以h1＝eq\f(5,3)h2，故A錯(cuò)誤，D正確．對(duì)于B，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故B正確．對(duì)于C，假設(shè)C正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，經(jīng)計(jì)算得水的體積為eq\f(25,36)b2h2>eq\f(2,3)b2h2，矛盾，故C不正確．答案：BD考點(diǎn)五幾何體的展開與折疊幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得的。利用了空間問題平面化的思想。把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是高考的一個(gè)熱點(diǎn)；（1）多面體的展開圖：①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；③正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形。（2）旋轉(zhuǎn)體的展開圖：①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的母線長(zhǎng)；②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)；③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)。注：圓錐中母線長(zhǎng)與底面半徑r和展開圖扇形中半徑和弧長(zhǎng)間的關(guān)系及符號(hào)容易混淆。1、如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4cm,3cm,5cm，一只螞蟻從A到C1點(diǎn)沿著表面爬行的最短距離是多少？解：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的表面可如下圖三種方法展開后，A、C1兩點(diǎn)間的距離分別為：eq\r((5＋4)2＋32)＝3eq\r(10)，eq\r((5＋3)2＋42)＝4eq\r(5)，eq\r((3＋4)2＋52)＝eq\r(74)，三者比較得eq\r(74)是從點(diǎn)A沿表面到C1的最短距離，∴最短距離是eq\r(74)cm.2．(2009年高考全國(guó)卷Ⅱ改編)紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是________．解析：將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為△，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“△”的方位為北．答案：北3、、有一根長(zhǎng)為3πcm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？思路解析：把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離。解答：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖），由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度。AC=5πcm，故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5πcm。4、如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積..5、如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值是.答案56.如圖所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，D、E、F分別為各邊中點(diǎn)，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.（1）∠MNP等于多少度？60°（2）擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？考點(diǎn)六幾何體的面積和體積1、幾何體的面積：①高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決；②多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；③組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理。2、幾何體的體積：求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算即可。常用方法為：割補(bǔ)法和等積變換法：①割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積；②等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面。①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”。1、如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.答案：R2，R3.2、一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm,高是cm,（1）求三棱臺(tái)的斜高；（2）求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.答案：三棱臺(tái)斜高為cm,側(cè)面積為cm2，表面積為cm2.3、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是思路解析：三視圖直觀圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解解答：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，∴幾何體的表面積為S=4π+8π=12π。答案：12π4、一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1，h2，h3，求h1∶h2∶h3的值．解：選依題意，四棱錐為正四棱錐，三棱錐為正三棱錐，且棱長(zhǎng)均相等，設(shè)為a，h2＝h3，h1＝eq\r(a2－(\f(\r(2),2)a)2)＝eq\f(\r(2),2)a，h2＝eq\r(a2－(\f(\r(3),3)a)2)＝eq\f(\r(6),3)a，故h1∶h2∶h3＝eq\r(3)∶2∶2.5、．一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，求該三角形的斜邊長(zhǎng)．解：如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為2，△DEF為等腰直角三角形，DF為斜邊，設(shè)DF長(zhǎng)為x，則DE＝EF＝eq\f(\r(2),2)x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，則EG＝eq\r(DE2－DG2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，F(xiàn)I＝eq\r(EF2－EI2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，F(xiàn)H＝FI＋HI＝FI＋EG＝2eq\r(\f(x2,2)－4)，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋(2eq\r(\f(x2,2)－4)))2，解得x＝2eq\r(3).即該三角形的斜邊長(zhǎng)為2eq\r(3).6、（10全國(guó)卷1）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為（）（A）(B)(C)(D)答案】B7、（10北京）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：【答案】C（A）與x，y都有關(guān)；（B）與x，y都無(wú)關(guān)；（C）與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)；（D）與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)；8、、一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐的體積。思路解析：本題為求棱錐的體積問題。已知底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積。解答：如圖所示，正三棱錐S-ABC。設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AH⊥BC?！擀BC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，∴AE=，AH=AE=2。在ΔABC中，9、、(2008年高考湖北卷)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為________．解析：截面圓的半徑為1，又球心到截面距離等于1，所以球的半徑R＝eq\r(2)，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8,3)eq\r(2)π.答案：eq\f(8\r(2)π,3)10、在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則該三棱錐的體積為________．解析：eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(\r(6),2)，∴AB＝eq\r(2)，AC＝1，AD＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·1·eq\r(2)·eq\r(3)＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)11、(2010年福建廈門檢測(cè))已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是eq\f(32π,3)，則這個(gè)三棱柱的體積是________．解析：由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，得R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2.∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)(4eq\r(3))2·4＝48eq\r(3).答案：48eq\r(3)14、(2009年高考陜西卷改編)若正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為________．解析：所求八面體體積是兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為1，高為eq\f(\r(2),2)的四棱錐的體積和，一個(gè)四棱錐體積V1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故八面體體積V＝2V1＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)12、(2009年高考全國(guó)卷Ⅰ)已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于__________．解析：由題意得圓M的半徑r＝eq\r(3)，又球心到圓M的距離為eq\f(R,2)，由勾股定理得R2＝r2＋(eq\f(R,2))2，∴R＝2，則球的表面積為4π×22＝16π.答案：16π13、(2009年高考江西卷)體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于________．解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，∴a＝2.∵S正方體＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝eq\r(\f(6,π)).V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(\f(6,π)))3＝eq\f(8\r(6π),π).答案：eq\f(8\r(6π),π)14、若長(zhǎng)方體的三個(gè)共頂點(diǎn)的面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則長(zhǎng)方體的體積是__．解析：可設(shè)長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，列出方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,bc＝\r(3)，,ac＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1，,c＝\r(3).))所以長(zhǎng)方體的體積V＝1×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).15、在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為________解析：利用一個(gè)錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，而這個(gè)截面面積與底面面積之比等于相似比的平方．答案：1∶3eq\r(3)16、(2010年南通調(diào)研)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，則四面體A－B1CD1的外接球的體積為________．解析：四面體A－B1CD1的外接球即為正方體的外接球，所以2r＝eq\r(3×(2\r(3))2).∴r＝3，V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×27＝36π.答案：36π17、(2009年高考寧夏、海南卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P－ABC的體積．解：(1)證明：因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC，垂足為E，連結(jié)AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因?yàn)镽t△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面積S＝2.因?yàn)镻C⊥平面AEB，所以三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)×S×PC＝eq\f(8,3).18、如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF⊥平面CDE；(2)求證：AF∥平面BCE；(3)求四棱錐C－ABED的體積．解：(