幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點(diǎn)和復(fù)

幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點(diǎn)和復(fù)習(xí)策略初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上分為幾何和代數(shù)（以下簡(jiǎn)稱“幾代”）兩部分，于是幾、代的有機(jī)結(jié)合也就成為初中數(shù)學(xué)的一個(gè)落腳點(diǎn)，因此幾代相結(jié)合的綜合題型也就理所當(dāng)然成為中考的重點(diǎn)、難點(diǎn)與焦點(diǎn)。幾代相結(jié)合的綜合題常以“起點(diǎn)低、入口寬、步步高”的特點(diǎn)呈現(xiàn)，并以“思想方法立意”和“能力立意”為創(chuàng)新點(diǎn)。從某一角度上講可分為“幾何背景代數(shù)解法”和“代數(shù)背景幾何解法”兩大類。下面就談?wù)剮状嘟Y(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點(diǎn)和復(fù)習(xí)策略：一、幾代綜合題的復(fù)習(xí)要點(diǎn)1、基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)仍是幾代綜合題復(fù)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，否則幾代綜合題的復(fù)習(xí)就成為無(wú)本之木，無(wú)源之水幾代綜合題是基于幾何、代數(shù)基本知識(shí)之上，它的解法其實(shí)就是對(duì)各基礎(chǔ)知識(shí)的綜合、靈活的運(yùn)用，因此全面復(fù)習(xí)好幾何與代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于幾代綜合題的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。其包含的基礎(chǔ)知識(shí)主要有：代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)的運(yùn)算、式的變形、方程、不等式的解法、函數(shù)的圖象與性質(zhì)。幾何基礎(chǔ)知識(shí)：幾何變換、平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定（含全等三角形）、勾股定理與三角函數(shù)、圓中的位置關(guān)系及其判定。【例1】已知,在RfOAB中,zOAB=90°,zBOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將RfOAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處.（1）直接寫(xiě)出A的坐標(biāo)；（2）若拋物線y二ax2€bx（a,0）經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（3）若（2）中拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M?問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)析：（1）利用特殊三角形的性質(zhì)直接寫(xiě)出A的坐標(biāo)是解直角三角形的最基本的知識(shí)。（2）通過(guò)解直角三角形求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并利用待定系數(shù)法求解析式是確定解析式的基本方法。（3）在作好圖形的基礎(chǔ)上，探索要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CM=DP，從而轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題并求解，這也是對(duì)于等腰梯形判定的最低要求。由此可見(jiàn)，基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)是解題的基礎(chǔ)，實(shí)不可忽視。2、數(shù)學(xué)思想方法及其靈活運(yùn)用永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是幾代綜合題解法的關(guān)鍵所在對(duì)于初中階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想、方法應(yīng)熟練地掌握，并靈活地運(yùn)用。如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、運(yùn)動(dòng)變化方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想；待定系數(shù)法、面積法、配方法、圖象法、公式法、反證法等數(shù)學(xué)方法。28【例2】如圖2—①，已知直線l:y=x+與直線l:y=-2x+16相交于點(diǎn)C，/、/分別交x軸于A、133212B兩點(diǎn)?矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線l、/上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且點(diǎn)G與點(diǎn)B重合.12（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0<t<⑵秒，矩形DEFG與

△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍.簡(jiǎn)析：（1）（2）略（3）解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化思想，通過(guò)分類討論、把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為①當(dāng)0Wt?3時(shí)，（如圖2—②）②當(dāng)3…t?8時(shí)，（如圖2—③）③當(dāng)8…t…12時(shí)，（如圖2—④）等三種情況并加于解決，其中還用到了方程思想、圖象法等數(shù)學(xué)思想方法。

yt所以數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，也是幾代綜合題解題的靈魂。rJZZA~、-一*I?v― 一》“弋?dāng)?shù)'yt所以數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，也是幾代綜合題解題的靈魂。rJZZA~、-一*I?v― 一》“弋?dāng)?shù)'常見(jiàn)的方程和函數(shù)應(yīng)該做到圖象及其性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題3、應(yīng)體現(xiàn)列對(duì)于初中階段握、靈活運(yùn)用函數(shù)【例3】如圖EAB的長(zhǎng)為x米."⑴請(qǐng)求出底邊BC的長(zhǎng)(用含x的代數(shù)式表示)；(2)若zBAD=60°,該花圃的面積為S米2.求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量x的取值范圍),S=93Q時(shí)x的值；如果墻長(zhǎng)為24米，試問(wèn)S有最大值還是最小值？這個(gè)值是(1)布列代數(shù)式：BC=40-AB-CD=(40-2x)是基礎(chǔ)，方程是yi數(shù)是紐帶，:隹確、迅速利用通法和卩底邊AD靠(圖2—③)1必必要的技巧(特法)解各類方程，熟練掌Rr40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰多少？簡(jiǎn)析：S=1(40-2x+40-x)?3x=l!x(80-3x)二—'山+20、3(0vxv20),同時(shí)轉(zhuǎn)化為方程2 2 4 4-3x2+2^/3，9^3并求解。4②在利用不等式求取值范圍的前提下，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值。所以，復(fù)習(xí)時(shí)要特別注意弋?dāng)?shù)的各部分知識(shí)間的相互聯(lián)系，互相補(bǔ)充，形成系統(tǒng)，才能更好的解決幾代綜合題。4、應(yīng)熟練掌握幾何計(jì)算的方法與途徑幾何的計(jì)算從廣義上講大都可以轉(zhuǎn)化為線段的計(jì)算，因此幾何計(jì)算是順利解決幾弋綜合題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，應(yīng)充分關(guān)注：利用勾股定理布列方程計(jì)算、利用三角函數(shù)布列方程計(jì)算、利用相似三角形的方程計(jì)算、利用坐標(biāo)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算、利用面積法進(jìn)行計(jì)算等重要而常見(jiàn)的幾何計(jì)算方法與途徑，從而為幾弋綜合題的解題提供保障?！纠?】如圖4—①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1:y，2x+b與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)B.(1)填空：b= ；(2)已知點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,3為半徑作OP.若PA=PB，試判斷OP與直線1的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.當(dāng)OP與直線1相切時(shí)，求點(diǎn)P與原點(diǎn)O間的距離.簡(jiǎn)析：b，8；在RfAOP中，利用勾股定理布列方程并求出圓心到直線的距離與r的關(guān)系判定OP與x軸相切.分“當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí)”和"和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時(shí)”,兩種②):既可由△BMP-△BOA得，Bp-,也可在RtNOAB和RtAMPB1 OAAB 1tan?ABO=帶=S列方程，并解得bpi=遙，并求得0p，同理1由此可見(jiàn)，幾何計(jì)算在幾弋綜合題中占著重要的地位和作用。5、應(yīng)關(guān)注幾何變換在解題中的應(yīng)用

新課程把“幾何變換”的問(wèn)題作為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容來(lái)研究，凸顯了它的意義和作用。平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是生活中常見(jiàn)的活動(dòng)，而平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)又是幾何的重要組成部分，因?yàn)槠揭啤?duì)稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換既能充分體現(xiàn)合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，又能與代數(shù)充分結(jié)合在一起，因而以幾何變換為背景的幾代綜合題也成了綜合題的一個(gè)亮點(diǎn)?！纠?】如圖5—①，在6x12的方格紙MNEF中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1。RfABC的頂點(diǎn)C與N重合，兩直角邊AC、BC分別在MN、NE上,且AC=3，BC=2?，F(xiàn)RfABC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)至點(diǎn)E時(shí)，RfABC停止移動(dòng)。請(qǐng)?jiān)趫D5—②中，畫(huà)出RfABC向右平移4秒時(shí)所在的圖形；如圖5—②，在RfABC向右平移的過(guò)程中，△ABF能否成為直角三角形？如果能，請(qǐng)求出相應(yīng)的時(shí)間t；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(3)如圖5—②，在RfABC向右平移的過(guò)程中(不包括平移的開(kāi)始與結(jié)束時(shí)刻)，其外接圓與直線(3)如圖5—②，在RfABC向右平移的過(guò)程中(不包括平移的開(kāi)始與結(jié)束時(shí)刻)，其外接圓與直線AF、直線BF分別有哪幾種位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這幾種位置關(guān)系及所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t的范圍(不必說(shuō)理)。簡(jiǎn)析：略打能。如圖p所示：移t秒下，得到:二二bFs三(i)當(dāng)AB2+由勾股定F可,畫(huà)好圖形,在設(shè)RMABC向右平XBF為Rf。E幅①①)2€32眉12—用并解得t=(ii)當(dāng)AB2+AF2=BF2時(shí)，由勾股定理的逆定理得，zBAF=90°,即MBF為Rfo即:(\/13)2+32+(12—t)2=(10—t)2+62,解彳得t=7.5(3)關(guān)注幾何變換，動(dòng)靜結(jié)合，把握臨界位置，顯然有：當(dāng)t=7.5時(shí)道線AF與RfABC的外接圓相切；框上下滑動(dòng)且框上下滑動(dòng)且表示成關(guān)于x個(gè)最大值；若當(dāng)0<t<7.5或7.5<t<10時(shí)，直線AF與RfABC的外接圓相交。當(dāng)t=1時(shí)，直線BF與RfABC的外接圓相切；當(dāng)0<t<1或1<t<10時(shí)道線BF與RfABC的外接圓相交。所以，在解以幾何變換為背景的幾代綜合題時(shí)要本著“動(dòng)中有靜”，“靜中有動(dòng)”的思想，特別關(guān)注幾何變換前后的位置變化和“變與不變量”，在畫(huà)好圖形的基礎(chǔ)上解決問(wèn)題。6、關(guān)注幾代綜合題與生活實(shí)際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活而又應(yīng)用于生活的新課程理念幾何與代數(shù)都是來(lái)源于生活，幾代結(jié)合也必更有利于生活中實(shí)際問(wèn)題的解決。在幾代綜合題的復(fù)習(xí)時(shí)，要更加關(guān)注生活背景，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，從生活到數(shù)學(xué)，再通過(guò)問(wèn)題解決使數(shù)學(xué)回歸生活?！纠?】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖6—①所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施?該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米,BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).N是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊始終保持和AB平行的伸縮橫桿.當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí)aEMN的面積;設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將aEMN的面積S(平方米)的函數(shù)；(3)請(qǐng)你探究△EMN的面積S(平方米)有無(wú)最大值,若有,請(qǐng)求出這沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．簡(jiǎn)析：1)從生活中抽象出幾何圖形，并計(jì)算出面積。.求得：(3)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問(wèn)題并求解。(2)在分類討論的基礎(chǔ)上,抽象出圖6—②(0<x<1)和圖6—③(1<X<1+爲(wèi))兩個(gè)圖形并利用幾何知識(shí)求得：(3)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問(wèn)題并求解。數(shù)學(xué)建模是生活走向數(shù)學(xué)的必由之路，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也必將促使生活問(wèn)題的解決。從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。幾代結(jié)合是解決生活問(wèn)題的重要方法之一，在總復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)充分關(guān)注。7、應(yīng)關(guān)注問(wèn)題解決的全過(guò)程與綜合解題能力的提升新課程要求重視學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究過(guò)程，并在過(guò)程中獲取知識(shí)，提升能力。幾代綜合題的復(fù)習(xí)更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的解題全過(guò)程和學(xué)生綜合能力的提升。包括：獲取信息、分析信息的能力、實(shí)踐操作能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決能力等等。【例刀如圖(7),四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(6，0),(0，2),點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)D作直線y=-1x+m交折線OAB于點(diǎn)E.?yCBOE、、A^2(1)若直線y=-1x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；2(2)記'ODE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖分的面積是否會(huì)隨著E點(diǎn)位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.形為四邊形OABC，試探究四邊形OABC與矩形分的面積是否會(huì)隨著E點(diǎn)位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.簡(jiǎn)析：m，3;學(xué)生必需充分獲取信息、在系統(tǒng)整理、有效分析信息的基礎(chǔ)上，進(jìn)行把問(wèn)題分為：“點(diǎn)E在OA上時(shí)，2?m<3(如圖7—①)”和"點(diǎn)E在BA上時(shí)，3<m<5(如圖7—②)”兩種情況加于解決。學(xué)生應(yīng)具有所必需的作圖、識(shí)圖能力，其中作好圖形是關(guān)鍵，然后將探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的計(jì)算問(wèn)題。所以要培養(yǎng)學(xué)生最基本的獲取信息的方法、識(shí)圖、作圖能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這是幾代綜合題復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也達(dá)到學(xué)生綜合解題能力的提升的目的。8、應(yīng)熟練掌握常見(jiàn)題型的基本解法，達(dá)到知己知彼對(duì)于常見(jiàn)題型要做到心中有底，腦中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面積與周長(zhǎng)的處理方法、圓的各種關(guān)系的判定方法，存在性問(wèn)題，操作探索型問(wèn)題等等?！纠?】如圖8,已知拋物線y，ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,D為OC的中點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)E(2,6),且MBE與MBC的面積之比為3:2.(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；連結(jié)BD,試判斷BD與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；連結(jié)BC交直線AD于點(diǎn)M，在直線AD上，是否存在這樣的點(diǎn)N(不與點(diǎn)M重合)，使得以A、B、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.簡(jiǎn)析：對(duì)于本題的解決必需對(duì)于常見(jiàn)題型：存在性問(wèn)題、位置關(guān)系判定等了然于胸,才能水到渠成二、幾代綜合題的復(fù)習(xí)策略1、 樹(shù)立信心、迎難而上，不要望而生畏，自我放棄。2、 要注重規(guī)范解題，步步為營(yíng)，穩(wěn)扎穩(wěn)打。如先看清題意，再畫(huà)好圖形，進(jìn)而尋求突破途徑。3、 注重閱讀理解等獲取信息的方法，在信息的獲取中尋求解題的突破口。要十分關(guān)注“加括號(hào)的說(shuō)明”和“加著重號(hào)的標(biāo)注”，它們往往就是解題的突破口。4、 幾何綜合題的復(fù)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷“做一聽(tīng)一改一反思一頓悟”幾個(gè)環(huán)節(jié)。做題要求精、求透、不求多、求全，要求以點(diǎn)帶面，不求面面俱到，要嚴(yán)禁“題題都做(全而不對(duì))、題題都未做完(對(duì)而不全)”、“只聽(tīng)不做”、“只做不聽(tīng)”、“只做不改”等不良現(xiàn)象的出現(xiàn)，以提升復(fù)習(xí)實(shí)效。5、應(yīng)力求在運(yùn)算的熟練程度、思想方法的應(yīng)用和綜合能力的提升上有所突破，這三者都是解幾代綜合題的關(guān)鍵。6、注重在系統(tǒng)的高度上復(fù)習(xí)