線性代數(shù)二次型與二次曲面4課件

第六章二次型與二次曲面§6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§6.2正定二次型§6.3曲面及其方程§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1曲面和曲線的一般方程

S1

F(x,y,z)F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程:曲線的一般方程:曲線的參數(shù)方程:第六章二次型與二次曲面

§6.3曲面及其方程G(x,y,z)CS2

曲面和曲線的一般方程S1F(x,y,z)F(x2(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2

第六章二次型與二次曲面

§6.3曲面及其方程球面及其方程柱面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面方程投影曲線方程H(x,y)

=0z

=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0曲線C:在xOy面的投影曲線x2

a2

+y2

b2

+z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)橢球面截痕法(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=3x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=0(a>0,b>0,c>0)Oxyzy2

b2

z2

c2

=0,x=0,x2

a2

z2

c2

=0,y=0,x2

a2

+y2

b2

=0

z=0,y=bz

c

x=az

c

第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面二次錐面z=h,x2

a2

+y2

b2

=

h2

c2

當(dāng)h0時(shí)，該交線是橢圓；當(dāng)h=0時(shí)，該交線是原點(diǎn)。所以，二次錐面也叫橢圓錐面。x2+y2z2=0(a>0,b>0,c>4Oxyzabx2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)y2

b2

z2

c2

=1x=0,x2

a2

z2

c2

=1y=0,x2

a2

+y2

b2

=1z=0,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面單葉雙曲面雙曲線橢圓z=h,x2

a2

+y2

b2

=1+h2

c2

Oxyzabx2+y2z2=1(5x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)Oxyzcy2

b2

z2

c2

=1x=0,x2

a2

z2

c2

=1y=0,x2

a2

+y2

b2

=0z

=|c|,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙葉雙曲面雙曲線z=h,x2

a2

+y2

b2

=

1h2

c2

橢圓|h|>c

時(shí),|h|越大,橢圓越大|h|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).x2+y2z2=1(a>0,b>0,c6x2

a2

+y2

b2

=z

(a>0,b>0)Oxyzy2

b2

z=x=0,y=0,x2

a2

+y2

b2

=0

z=0,x2

a2

z=第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面橢圓拋物面x2

a2

+y2

b2

=z拋物線z=h,x2

a2

+y2

b2

=h

h越大,橢圓曲線也越大h=0時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).

橢圓x2+y2=z(a>0,b>0)Oxy7Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)y2

b2

z=

x=0,h2

a2

y2

b2

z=x

=h,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面表示過原點(diǎn)，開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)8Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)y=0,y

=h,x2

a2

z=第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面表示過原點(diǎn)，開口朝z軸正方向的拋物線。開口朝z軸正方向的拋物線。x2

a2

h2

b2

z=Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)y9Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)(馬鞍面)x2

a2

y2

b2

=h

z=h,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面當(dāng)h>0時(shí)，是實(shí)軸是x軸的雙曲線當(dāng)h<0時(shí)，是實(shí)軸是y軸的雙曲線。當(dāng)h=0

時(shí)，是過原點(diǎn)的兩條直線Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)(10x2

a2

+y2

b2

+

z2

c2

=1橢球面第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面(a>0,b>0,c>0)x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=0二次錐面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1單葉雙曲面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1雙葉雙曲面截痕法x2

a2

+

y2

b2

=z橢圓拋物面x2

a2

y2

b2

=z(馬鞍面)雙曲拋物面x2+y2+z2=1橢球面第六章二次型與二次11若已知二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，則容易畫出它的圖形。橢球面二次錐面單葉雙曲面和雙葉雙曲面橢圓拋物面和雙面拋物面若二次曲面的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，要通過正交變換和平移變換把一般二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而知道其圖形。第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面二次曲面的判別方法若已知二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，則容易畫出它的圖形。第六章二次型12第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面一般三元二次方程的化簡a11

a12

a13

a12

a22

a23

a13

a23

a33xyz

B=

b1

b2

b3

(x,y,z)+(b1,b2,b3)

xyz+c

=0a11

a12

a13

a12

a22

a23

a13

a23

a33令A(yù)

=xyz

X

=XTAX++c=0BTX第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面一般三元二次方13第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面一般三元二次方程的化簡XTAX++c=0(1)BTXA是實(shí)對(duì)稱矩陣正交矩陣P，正交替換X=PY,Y=(x1,y1,z1)XTAX=YT(PTAP)Y=YTdiag(1,

2,3)Y

二次型標(biāo)準(zhǔn)形則方程(1)變成再令BTX=(d1,d2,d3),1x12

+2y12

+3z12

+d1x1

+d2y1

+d3z1

+c=0將此方程配平方，再做平移變換，得二次方程標(biāo)準(zhǔn)形。第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面一般三元二次方14第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面例4.1將二次曲面化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出曲面類型：第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面例4.1將15第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面16第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面17Oxyz第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面Oxyz第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲18f(x,y,z)=2x2+y2+z2+2xy+kyz=1例.求k的值使下面的方程表示一個(gè)橢球面.上述方程表示一個(gè)橢球面A正定,P2

=2111=1>0,而P1

=2>0,P3

=|A|=1k2/2.由此可得,<k<時(shí),原方程表示一22個(gè)橢球面.解:f(x,y,z)的矩陣A=21011k/2,0k/21第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面f(x,y,z)=2x2+y2+z2+219作業(yè)22P164:21作業(yè)22P164:2120本教材必做習(xí)題第一章2,4,6,7,8,10,11,12,14,18,21第二章1(3)~(6),3,4,6,9,12,13,20,14,15,16,21,22,23第三章1,3,4,8,9,10,11,12,16,18,20,22,25,27,28第四章1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,14(2)(3),15,16(2)(4),20,23第五章1(2)(4),2(2),3,9(2)(4),14(1)(3),15第六章3,4(1)(3),6,9,10,11,12,16,17,21本教材必做習(xí)題第一章2,4,6,7,8,10,121P26:12(4)P26:12(4)22P26:12(4)P26:12(4)23P26:12(4)P26:12(4)24P60：9P60：925P60：9P60：926P61：21P61：2127P111：5P111：528P111：5P111：529P111：9P111：930P111：9P111：931P111：11P111：1132P111：12P111：1233P138：15P138：1534P138：15P138：1535

考試和答疑安排考試時(shí)間19周星期三(1月8日)，9:00-11:00AM考場安排330202——1班(前40名同學(xué))330203——2班(49)，1班(第41-51號(hào)同學(xué))330204——3班(58)，其他非本專業(yè)同學(xué)(17)答疑安排19周星期二(1月7日)，3:00-5:00PM31號(hào)樓3樓教師休息室考試和答疑安排考試時(shí)間3637謝謝！37謝謝！第六章二次型與二次曲面§6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§6.2正定二次型§6.3曲面及其方程§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形38曲面和曲線的一般方程

S1

F(x,y,z)F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程:曲線的一般方程:曲線的參數(shù)方程:第六章二次型與二次曲面

§6.3曲面及其方程G(x,y,z)CS2

曲面和曲線的一般方程S1F(x,y,z)F(x39(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2

第六章二次型與二次曲面

§6.3曲面及其方程球面及其方程柱面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面方程投影曲線方程H(x,y)

=0z

=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0曲線C:在xOy面的投影曲線x2

a2

+y2

b2

+z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)橢球面截痕法(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=40x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=0(a>0,b>0,c>0)Oxyzy2

b2

z2

c2

=0,x=0,x2

a2

z2

c2

=0,y=0,x2

a2

+y2

b2

=0

z=0,y=bz

c

x=az

c

第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面二次錐面z=h,x2

a2

+y2

b2

=

h2

c2

當(dāng)h0時(shí)，該交線是橢圓；當(dāng)h=0時(shí)，該交線是原點(diǎn)。所以，二次錐面也叫橢圓錐面。x2+y2z2=0(a>0,b>0,c>41Oxyzabx2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)y2

b2

z2

c2

=1x=0,x2

a2

z2

c2

=1y=0,x2

a2

+y2

b2

=1z=0,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面單葉雙曲面雙曲線橢圓z=h,x2

a2

+y2

b2

=1+h2

c2

Oxyzabx2+y2z2=1(42x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)Oxyzcy2

b2

z2

c2

=1x=0,x2

a2

z2

c2

=1y=0,x2

a2

+y2

b2

=0z

=|c|,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙葉雙曲面雙曲線z=h,x2

a2

+y2

b2

=

1h2

c2

橢圓|h|>c

時(shí),|h|越大,橢圓越大|h|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).x2+y2z2=1(a>0,b>0,c43x2

a2

+y2

b2

=z

(a>0,b>0)Oxyzy2

b2

z=x=0,y=0,x2

a2

+y2

b2

=0

z=0,x2

a2

z=第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面橢圓拋物面x2

a2

+y2

b2

=z拋物線z=h,x2

a2

+y2

b2

=h

h越大,橢圓曲線也越大h=0時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).

橢圓x2+y2=z(a>0,b>0)Oxy44Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)y2

b2

z=

x=0,h2

a2

y2

b2

z=x

=h,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面表示過原點(diǎn)，開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)45Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)y=0,y

=h,x2

a2

z=第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面表示過原點(diǎn)，開口朝z軸正方向的拋物線。開口朝z軸正方向的拋物線。x2

a2

h2

b2

z=Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)y46Oxyzx2

a2

y2

b2

=z(a>0,b>0)(馬鞍面)x2

a2

y2

b2

=h

z=h,第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面雙曲拋物面當(dāng)h>0時(shí)，是實(shí)軸是x軸的雙曲線當(dāng)h<0時(shí)，是實(shí)軸是y軸的雙曲線。當(dāng)h=0

時(shí)，是過原點(diǎn)的兩條直線Oxyzx2y2=z(a>0,b>0)(47x2

a2

+y2

b2

+

z2

c2

=1橢球面第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面(a>0,b>0,c>0)x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=0二次錐面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1單葉雙曲面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1雙葉雙曲面截痕法x2

a2

+

y2

b2

=z橢圓拋物面x2

a2

y2

b2

=z(馬鞍面)雙曲拋物面x2+y2+z2=1橢球面第六章二次型與二次48若已知二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，則容易畫出它的圖形。橢球面二次錐面單葉雙曲面和雙葉雙曲面橢圓拋物面和雙面拋物面若二次曲面的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，要通過正交變換和平移變換把一般二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而知道其圖形。第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面二次曲面的判別方法若已知二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，則容易畫出它的圖形。第六章二次型49第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面一般三元二次方程的化簡a11

a12

a13

a12

a22

a23

a13

a23

a33xyz

B=

b1

b2

b3

(x,y,z)+(b1,b2,b3)

xyz+c

=0a11

a12

a13

a12

a22

a23

a13

a23

a33令A(yù)

=xyz

X

=XTAX++c=0BTX第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面一般三元二次方50第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面一般三元二次方程的化簡XTAX++c=0(1)BTXA是實(shí)對(duì)稱矩陣正交矩陣P，正交替換X=PY,Y=(x1,y1,z1)XTAX=YT(PTAP)Y=YTdiag(1,

2,3)Y

二次型標(biāo)準(zhǔn)形則方程(1)變成再令BTX=(d1,d2,d3),1x12

+2y12

+3z12

+d1x1

+d2y1

+d3z1

+c=0將此方程配平方，再做平移變換，得二次方程標(biāo)準(zhǔn)形。第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面一般三元二次方51第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面例4.1將二次曲面化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出曲面類型：第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面例4.1將52第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面53第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲面54Oxyz第六章二次型與二次曲面

§6.4二次曲面Oxyz第六章二次型與二次曲面§6.4二次曲55f(x,y,z)=2x2+y2+z2+2xy+kyz=1例.求k的值使下面的方程表示一個(gè)橢球面