判別式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

PAGEPAGE21判別式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要本文主要研究了判別式在代數(shù)和幾何上的應(yīng)用.代數(shù)方面主要介紹了判別式判別一元二次方程根的情況、證明等式與不等式、判斷二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否能進(jìn)行因式分解和求函數(shù)的值域與最值等方面的應(yīng)用；幾何方面介紹了判別三角形的形狀、作圖和在解析幾何方面的應(yīng)用.另外，還討論了三角判別式在代數(shù)、方程、三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)和解析幾何中的應(yīng)用，不過它的運(yùn)用更加廣泛，更具有技巧性，但它們的共同之處都是構(gòu)造一元二次方程或一元二次函數(shù)，再根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行解題.本文主要通過例題來闡述其用法，進(jìn)而歸納總結(jié)出判別式法解題的思路和步驟.關(guān)鍵詞：判別式；方程；幾何；應(yīng)用DiscriminantinMiddleSchoolMathematicsProblemSolvingAbstract：Thisthesismainlyfocusedonresearchingtheapplyinginalgebraandgeometry.Inaspectofalgebra,itwillmainlyintroducetotheapplyintherootsituationsofdiscriminant,intheequationandinequationproving,insolvingtheproblemabouttherangeofvaluesaswellasthemostvalueincludingmaximaandminima.Inaspectofgeometry,itwillmainlyanalyzetheapplyinginprovingtheshapeoftriangle,constructionandinthefieldofanalyticgeometry.Besides,italsodiscussedthetrianglediscriminanttheapplyinginalgebra,equation,triangle,series,complexnumberandanalyticgeometry.Butitsapplyisbroaderandmoretechnical,meanwhile,theyhavesomethingincommon,thatis,theyareconstructedonebyonebyaquadraticequationorquadraticfunctions,basedonthediscriminantofaquadraticequationtosolveproblems.Inthisarticle,itmainlyemployedexamplestoillustrateitsusage,andobtainthethoughtandstepsfordiscriminantproblemsolving.Keyword：discriminant；equation；geometry；apply目錄1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 12.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 22.3提出問題 23.預(yù)備知識(shí) 23.1一元二次方程判別式 23.2三角判別式 34一元二次方程判別式的應(yīng)用 34.1判別式在方程中的應(yīng)用 34.2判斷二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否能進(jìn)行因式分解 64.3判別式在函數(shù)中的應(yīng)用 74.4證明不等式和等式 84.5判別式在幾何中的應(yīng)用 105三角判別式的應(yīng)用 145.1三角判別式在代數(shù)中的應(yīng)用 145.2三角判別式在方程中的應(yīng)用 155.3三角判別式在三角中的應(yīng)用 155.4三角判別式在數(shù)列中的應(yīng)用 155.5三角判別式在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用 165.6三角判別式在解析幾何中的應(yīng)用 176結(jié)論 176.1主要發(fā)現(xiàn) 176.2啟示 186.3局限性 186.4努力方向 18參考文獻(xiàn) 201引言大約在公元前480年，古巴比倫人、中國(guó)古人就會(huì)使用配方法求得一元二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法；公元前300年左右，歐幾里德提出一種更抽象的幾何方法求解二次方程；7世紀(jì)印度的仕伽羅是第一位懂得使用代數(shù)方程，同時(shí)容許正負(fù)根的數(shù)學(xué)家；阿拉伯的花拉子獨(dú)立地發(fā)展了一套公式以求方程的正數(shù)解，第一次提出二次方程的求根公式，判別式也就隨之被廣泛運(yùn)用在解一元二次方程上.實(shí)系數(shù)一元二次方程=0（，且）根的判別式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于它與方程的系數(shù)和根都有密切的聯(lián)系，因此涉及方程的根和系數(shù)的問題或能夠轉(zhuǎn)化成方程的根和系數(shù)的問題，都可以嘗試用判別式法打開解題思路.這種用一元二次方程根的判別式解答數(shù)學(xué)問題的方法稱為“判別式法”.判別式法是數(shù)學(xué)解題中的一種常用方法，判別式通常是利用一元二次方程=0（），它不僅能直接用于判定一元二次方程的根的情況，而且還可以根據(jù)一元二次方程根的情況確定方程中字母的取值范圍或字母間的關(guān)系以及應(yīng)用判別式證明方程根的情況，而且在二次三項(xiàng)式、幾何等發(fā)面有著重要的應(yīng)用.另外，判別式法作為一種數(shù)學(xué)解題方法，在解題過程中若能正確巧妙的運(yùn)用，就能給人們一種簡(jiǎn)單明快、耳目一新的感覺.但是，若不能把握好使用判別式法解題的條件和本質(zhì)特征，就會(huì)造成錯(cuò)誤解法或優(yōu)美解法在你眼皮底下悄悄溜走，因此熟練掌握它的各種方法，也可以提高解題能力和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.2.文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀近幾年來許多人對(duì)判別式進(jìn)行了研究。在查閱到的文獻(xiàn)中，肖云瑞在文[1]中用集合和映射的方法對(duì)判別式在求值域方面進(jìn)行了研究，得到了圓滿的結(jié)果；唐覃在文[2]中歸納總結(jié)出判別式在求值范圍、解方程、解方程組、證明等式與不等式、求極值上的運(yùn)用；冉光華在文[3]中從判別式自身表現(xiàn)的不同特征探究其用方法，提出了直接法、極端用法、構(gòu)造法、逆用法等；之后還有楊允泰、廖國(guó)卿、曾祥紅、夏雨良、許連生、范長(zhǎng)如、鄧子良、李慶獨(dú)等都對(duì)此問題進(jìn)行了研究.2.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)在查到的文獻(xiàn)中，不同作者從不同的方面對(duì)判別式的應(yīng)用進(jìn)行了研究，綜合起來，不同作者在判別式的應(yīng)用方面也提出了自己不同的見解，如肖云瑞用集合和映射的方法對(duì)判別式在求值域方面進(jìn)行了研究等.雖然他們也得到了一定的研究成果，但在研究得到的結(jié)果涉及的方面過于狹窄，大多都只局限于判別式在方程的根的判別、代數(shù)、幾何等方面的研究，沒能把它的應(yīng)用價(jià)值擴(kuò)展到更為廣泛的領(lǐng)域.這方面還需進(jìn)一步完善.2.3提出問題本文借助前人的思想和方法著重研究了判別式在代數(shù)和幾何上的應(yīng)用.代數(shù)方面主要介紹了判別式在一元二次方程根的判別、證明等式與不等式和求函數(shù)的值域與最值等發(fā)面的應(yīng)用.幾何方面是判別三角形的形狀、作圖和在解析幾何方面的應(yīng)用；另外還討論了三角判別式的應(yīng)用.本文主要通過例題來闡述其用法，進(jìn)而歸納總結(jié)出判別式法解題的思路和步驟.3.預(yù)備知識(shí)3.1一元二次方程判別式定義1任意一個(gè)一元二次方程=0（）均可配成,因?yàn)?，由平方根的意義可知，的符號(hào)可決定一元二次方程根的情況,其中叫做一元二次方程=0（）的根的判別式，則（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.另外，一元二次方程=0（），當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，方程有兩實(shí)數(shù)根.判別式法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛應(yīng)用，但學(xué)生往往忽視它成立的三個(gè)條件，否則將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤：條件一：；條件二：二次項(xiàng)系數(shù)；條件三：系數(shù)a、b、c為實(shí)數(shù).3.2三角判別式定義2三角方程(a、b不同時(shí)為零)有解的條件是，即.若記，并稱其為“三角判別式”.定理1對(duì)于三角方程(，a、b不同時(shí)為零)，則①時(shí)，方程有兩個(gè)不同解；②時(shí)，方程有唯一解；③時(shí)，方程無解.4一元二次方程判別式的應(yīng)用根的判別式在一元二次方程的解題中具有極其重要的地位，其主要用途有兩個(gè)方面：一是不用解方程，根據(jù)判別式的值判斷方程的實(shí)數(shù)根的情況；二是根據(jù)判別式的值證明方程根的情況；三是根據(jù)方程有無實(shí)數(shù)根的情況（通常涉及到根與系數(shù)的關(guān)系）確定方程中某一待定系數(shù)的取值范圍，如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母時(shí)，要特別注意加上二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一限制條件.4.1判別式在方程中的應(yīng)用（1）不解方程判別一元二次方程根的情況思考方法：先算出的值，然后按下列三個(gè)結(jié)論作出判斷，若有字母系數(shù)，則應(yīng)該適當(dāng)對(duì)字母系數(shù)的取值分類討論：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.例1不解方程，判斷下列方程根的情況：（1）；（2）解：（1）∵∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，常數(shù)項(xiàng)為零∵且無論n取任何實(shí)數(shù)，均為非負(fù)數(shù)（）∴，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.②當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，此時(shí)若時(shí)，則方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解；若時(shí)，則方程有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解.例2已知關(guān)于二的方程了沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于的方程的根的情況.解：∵方程沒有實(shí)數(shù)根∴，即，當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式，故此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.注：（1）根的判別式是指；（2）是用判別式之前一定要先把方程變?yōu)橐话阈问?，以便正確找到的值；（3）如果說方程有實(shí)根，即應(yīng)當(dāng)包括有兩個(gè)不等實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根兩種情況，此時(shí)，切勿丟到等號(hào)；（4）跟的判別式的使用條件是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，有時(shí)要注意隱含條件.（2）證明方程根的情況例3已知，，是的三邊長(zhǎng)，求證關(guān)于x的一元二次方程的根的情況.證明：∵又，，是的三邊長(zhǎng),∴，，，∴∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.注：若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則判別式；沒有實(shí)數(shù)根，則判別式.反之亦然.這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的基礎(chǔ)知識(shí)，我們必須牢固掌握.（3）確定方程中參數(shù)的取值范圍或參數(shù)的關(guān)系例4若關(guān)于x的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解：方程可變?yōu)?，則①．令，則，原方程變形為②．原方程①有實(shí)根，方程有正實(shí)根.由及根與系數(shù)關(guān)系得之，解不等式得.分析：方程①有實(shí)根，即方程②有正實(shí)根，也即方程②有一個(gè)正實(shí)根或兩個(gè)正實(shí)根，并不要求方程②一定要有兩個(gè)正實(shí)根.當(dāng)時(shí)，方程②變?yōu)椋匠挞谟姓龑?shí)根，方程①有實(shí)根.因此以上解法是錯(cuò)誤的，還應(yīng)考慮有一個(gè)正實(shí)根的情況，即方程②有一正一負(fù)兩根，或一正根，另一根為0，此時(shí)，即，所以正確結(jié)果應(yīng)為或，即.本題還可采用分離參數(shù)的方法求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法如下：將方程變形為，令，則，故∵，∴（當(dāng)時(shí)，取到“=”號(hào)）,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4.2判斷二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否能進(jìn)行因式分解我們知道,若關(guān)于x的一元二次方程=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、時(shí)，則二次三項(xiàng)式=0（）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能進(jìn)行因式分解，且有反之，若關(guān)于x的一元二次方程=0沒有實(shí)數(shù)根，則二次三項(xiàng)式=0（）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因?yàn)榉纸?因此，要判斷二次三項(xiàng)式=0（）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否進(jìn)行因式分解，只需看相應(yīng)的一元二次方程=0的根的判別式的符號(hào)即可.具體如下：(1)二次三項(xiàng)式=0（）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為兩個(gè)一次因式的積；(2)可按完全平方公式分解得（為相應(yīng)方程的兩個(gè)等根中的一個(gè)）；(3)二次三項(xiàng)式=0（）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式.例5下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否進(jìn)行因式分解？若能，請(qǐng)將其分解因式;若不能，請(qǐng)說明理由：(1)；(2)解：(1)∵∴原式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，即(2)∵∴原式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解又方程的兩個(gè)根是：，,∴.4.3判別式在函數(shù)中的應(yīng)用（1）求函數(shù)的值域a．求分式函數(shù)的值域判別式法是求函數(shù)值域的主要方法之一，是方程思想在函數(shù)問題上的應(yīng)用.它的理論依據(jù)是：函數(shù)的定義域是非空數(shù)集，將原函數(shù)看作是以y為參數(shù)的關(guān)于x的二次方程，若方程有實(shí)數(shù)解,必須判別式，從而求得函數(shù)的值域.例6求函數(shù)的值域.解：原式變形為(*)（1）當(dāng)時(shí)，方程(*)無解；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?解得,由（1）、（2）得,此函數(shù)的值域?yàn)?注:要注意判別式存在的前提條件，即需對(duì)方程的二次項(xiàng)系數(shù)加以討論.b.注意函數(shù)式變形中y的取值范圍例7求函數(shù)y=的值域.分析:方程①中隱含著條件，雖定義域沒發(fā)生變化，但y的允許取值范圍擴(kuò)大了.事實(shí)上，y受條件約束,原函數(shù)等價(jià)于，即y值屬于值域的充要條件是方程①有根(設(shè)由y值所確定的兩根為、)，且y至少大于或等于、中的一個(gè).解：由,得,①由求根公式得，所以,即,解得,②綜合①、②得函數(shù)值域?yàn)?（2）求最值例8已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)根，那么的最小值是.分析：∵m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)根，∴，解得根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，,∴,當(dāng)時(shí)，有最小值21.注：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的前提條件是有實(shí)根，即判別式非負(fù).4.4證明不等式和等式（1）證明不等式例9已知的面積是S，作一條直線且與，分別相交于D與E，設(shè)的面積是.求證：.證明：∵∴設(shè)（）∵∴又∵∴∴有等式即（）注意到此方程有實(shí)根，故∵∴.（2）證明等式例10如果，，，都是實(shí)數(shù)，且.求證：.證明：把整式整理成關(guān)于的二次方程：∵是實(shí)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，即,但,即.（2）時(shí)，由，有顯然成立.由此可見，判別式法的應(yīng)用非常廣泛.在解題過程中若能正確、巧妙的運(yùn)用，會(huì)給人以簡(jiǎn)單明快的感覺，但若不能把握好判別式法解題的條件和本質(zhì)特征，則會(huì)造成錯(cuò)誤的解法或掉入“美麗”的陷阱，因此必須引起高度的重視.4.5判別式在幾何中的應(yīng)用（1）判別三角形的形狀已知關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的代數(shù)式的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根要求判定該三角形的形狀，此類問題運(yùn)用一元二次方程判別式進(jìn)行判定時(shí)，可使題目化繁為簡(jiǎn).利用列出關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的等式，從中求出三角形各邊的關(guān)系，進(jìn)而判定三角形的形狀.例11已知三角形三邊的長(zhǎng)為，，，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷三角形的形狀.解：由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得,即,所以或,于是或,又二次項(xiàng)系數(shù)，得,所以或,所以三角形為等腰三角形，而且不可能是等邊三角形.注：根據(jù)方程根的情況判定三角形的形狀，一般從邊的角度進(jìn)行判定.（2）用于幾何作圖例12已知上、下底邊長(zhǎng)分別為，，高的等腰梯形.①在梯形的對(duì)稱軸上求作點(diǎn)，使上；②在什么樣的情況下，點(diǎn)的作圖可以實(shí)現(xiàn)?解：①如圖1，以為直徑作半圓交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求,②設(shè)點(diǎn)到的距離，則,又,所以,整理,求作點(diǎn)的作圖是否可以實(shí)現(xiàn)，顯然取決于判別式,若，，則可以作出兩點(diǎn)；若，，則可以作出一點(diǎn)；若，，則作圖不能實(shí)現(xiàn).注：綜上所述，解題的關(guān)鍵是充分利用已知條件構(gòu)造相應(yīng)的一元二次方程，然后用根的判別式解決問題.（3）用于探究某些幾何存在性問題給定幾何圖形，探究滿足某種條件的幾何元素是否存在，此類問題應(yīng)先假設(shè)滿足某種條件的幾何元素存在，再根據(jù)條件列出一元二次方程，如果方程有實(shí)數(shù)根就存在；否則就不存在.這樣，此類幾何問題就轉(zhuǎn)化在了一元二次方程根的判別問題上，從而應(yīng)用判別式就可輕松解決.例13如圖所示，在矩形中，，，在上找一點(diǎn)，使點(diǎn)與，的連線將此矩形分成的是三個(gè)三角形相似.設(shè)，則這樣的點(diǎn)是否存在？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由.解：要使，，彼此相似，點(diǎn)必須滿足，為此，可假設(shè)在上存在滿足條件的點(diǎn)，使得，于是而，于是，所以，整理得,因?yàn)?，而，所以，?dāng)，即時(shí)，，方程沒有實(shí)數(shù)根，此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)符合條件的點(diǎn)存在，并且只有一個(gè)；當(dāng)，即時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)符合條件的點(diǎn)存在，并且有兩個(gè).綜上所述，當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有一個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).注：用判別式法探究幾何存在性問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型，然后通過討論方程的根的個(gè)數(shù)來確定符合條件的幾何元素是否存在及存在的個(gè)數(shù).（4）在圓錐曲線中的應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于1點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.這3種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:設(shè)直線：，圓錐曲線：，則由，消去(或消去)得：=0(*)(1)當(dāng)時(shí),則，此時(shí)相交；相切；相離；(2)當(dāng)時(shí),方程(*)是一次方程，若有解，則相交.例14已知直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.解：由，得①（1）當(dāng)，即時(shí)，方程①化為：，此時(shí)適合條件；（2）當(dāng)時(shí),由，得或，綜合（1）（2）知時(shí)，直線和曲線只有1交點(diǎn).注：直線與拋物線、雙曲線有1個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件.此外，如果已知所求的圓錐曲線到其對(duì)稱軸上某定點(diǎn)的最近（遠(yuǎn)）距離，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以考慮判別式來求解.例15設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率是.已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)所求橢圓方程為，由，得，∴（1）又以為圓心、以為半徑的圓的方程為（2）由題意可知，當(dāng)橢圓①內(nèi)切圓②時(shí)切點(diǎn),到點(diǎn)的距離就是橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離，由①、②可得（3）∵切點(diǎn),關(guān)于軸對(duì)稱∴,的縱坐標(biāo)相等，這相當(dāng)于方程（3）有重根，由得∴所求橢圓方程為，由（2）、（3）和可得,的坐標(biāo)為.5三角判別式的應(yīng)用5.1三角判別式在代數(shù)中的應(yīng)用例16如果實(shí)數(shù)x、y滿足,那么的最大值是().（A）(B)(C)(D)解：由已，可設(shè)，，令，則，由方程有解，則，解得，故選（D）.5.2三角判別式在方程中的應(yīng)用例17若關(guān)于x的方程恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：原方程可化為由關(guān)于x的方程恒有解，則解得，或.5.3三角判別式在三角中的應(yīng)用例18求函數(shù)的最大值.解：∵∴又關(guān)于x的方程有解,則，解得，∴.5.4三角判別式在數(shù)列中的應(yīng)用例19給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對(duì)于滿足條件的所有等差數(shù)列，，，…，求的最大值.解：設(shè)，，（，），則,即有：,又關(guān)于的方程有解，則,即，所以S的最大值是.5.5三角判別式在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例20復(fù)平面上點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，的輻角主值為，當(dāng)P在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的上半圓周(不含兩個(gè)端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值.解：設(shè)()，則，①又，故，②故有，由方程有解，得，解得，由①、②知，故，∴，即.5.6三角判別式在解析幾何中的應(yīng)用例21設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3∶1.在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線：的距離最小的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為，由①得；由②得，消去得，故可令，，又設(shè)圓心（a，b）到直線的距離為，則令，則，因?yàn)榉匠逃薪猓瑒t，解得，故，此時(shí)，由，解得或，從而，故所求圓的方程為或.6結(jié)論6.1主要發(fā)現(xiàn)本文主要介紹了判別式法在幾何和代數(shù)方面的運(yùn)用，通過大量的例題具體闡述了判別式在解題中的運(yùn)用，利用判別式法解題不僅能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果，更能起到簡(jiǎn)便解法的良好作用.其中點(diǎn)明了注意事項(xiàng)、關(guān)鍵步驟以及使用的條件.一元二次方程判別式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基礎(chǔ)知識(shí)，它不僅能直接判斷一元二次方程根的情況，而且還在其他方面，如函數(shù)值域、取值范圍、不等式證明的方面有著重要的應(yīng)用.還有判別式對(duì)于判定解析幾何中位置關(guān)系、求極值、最值的應(yīng)用也特別重要，熟練掌握這些應(yīng)用，可以提高解題能力和對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.除此之外，就是三角判別式的運(yùn)用，這與一元二次方程的運(yùn)用類似，不過它的運(yùn)用更加廣泛，更具有技巧性，但是他們共同之處都是構(gòu)造一元二次方程或一元二次函數(shù)，再根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行解題.其宗旨就是兩個(gè)字：構(gòu)造，這既是關(guān)鍵又是難點(diǎn).因此在遇到此類問題時(shí)應(yīng)該特別注意看、思及做三位一體，看就是觀察題目的特點(diǎn)，思就是思考問題的突破點(diǎn)，做就是著手解題.6.2啟示本文主要用例題列舉的方法探討了判別式的應(yīng)用，從以上所舉的例子中我們可以看到，有關(guān)“二次”問題，一方面要防止漏用、誤用“判別式”，另一方面又要善于活用、巧用“判別式”，只要真正理解和熟悉“判別式”，才能正確、合理有效的應(yīng)用判別式，由題目特征敏銳的發(fā)現(xiàn)兩根之和和兩根之積是構(gòu)造一元二次方程的關(guān)鍵，通過判別式形式上的點(diǎn)構(gòu)造一元二次函數(shù)和一元二次方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的交叉與遷移，以及三個(gè)“二次”之間珠聯(lián)璧合的聯(lián)袂，使得判別式法的應(yīng)用靈活而自如.因此，在遇到此類問題時(shí)應(yīng)該特別注意看、思及做三位一體，看就是觀察題目的特點(diǎn)，思就是思考問題的突破點(diǎn)，做就是著手解題.6.3局限性本文舉例探討了一元二次方程判別式在方程、函數(shù)、代數(shù)和幾何等方面的應(yīng)用，并對(duì)解題過程進(jìn)行了分析說明，指出了應(yīng)用判別式解題時(shí)應(yīng)注意的一些問題.其中，能否合理構(gòu)造一元二次方程和二次函數(shù)是本文的核心.本文的不足之處是對(duì)一元二次方程判別式的應(yīng)用還不夠系統(tǒng)、全面，而且本文中出現(xiàn)的方法僅僅是判別式解題中的一部分，它并不能代表所有的判別式的應(yīng)用，真正要想熟練地利用判別式解決各類問題，還必須綜合判別式各種性質(zhì)和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)自己分析問題和解決問題的能力.6.4努力方向綜上所述，一元二次方程判別式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基礎(chǔ)知識(shí)，它不僅能直接判斷一元二次方程根的情況，而且還在其他方面，如函數(shù)值域、取值范圍、不等式證明的方面有著重要的應(yīng)用.除此之外，判別式在解析幾何中位置關(guān)系、求極值、最值的應(yīng)用也特別重要，熟練掌握這些應(yīng)用，可以提高解題能力和對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.從這種意義上講，本文僅僅提供了用判別式法解題的一點(diǎn)粗淺的體會(huì)，對(duì)判別式在解題中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止本文列舉這些，若巧妙構(gòu)思，揭發(fā)則簡(jiǎn)，所以當(dāng)我們解完某題后，不要隨便就結(jié)束，而應(yīng)探求是否有更好的方法.利用判別式解題達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果，有些問題用其他方法很難解決，但用判別式法來解就輕而易舉了，當(dāng)然判別式在中學(xué)的重要性眾所周知，這值得大家予以足夠的重視并進(jìn)行深入的探討.本文中出現(xiàn)的方法僅僅是判別式解題中的一部分，它并不能代表所有的判別式的應(yīng)用，真正要想熟練地利用判別式解決各類問題，還必須綜合判別式各種性質(zhì)和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)自己分