數(shù)學(xué)建構(gòu),從教師本身做起

數(shù)學(xué)建構(gòu)，從教師本身做起——平面幾何教學(xué)新議廣州七中 杜厚生建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識的獲得要經(jīng)過學(xué)習(xí)者在自己已有的知識系統(tǒng)上重新建構(gòu)的過程。相同的信息對不同的個體產(chǎn)生的作用是不一樣的，就像水滲不進(jìn)巖石，水能滲進(jìn)沙地，但沙水是分離的；水能滲進(jìn)泥土，結(jié)果是“一塌糊涂”；水滲進(jìn)植物后，被有機(jī)地、和諧地結(jié)合了。建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)方法，已被國際數(shù)學(xué)教育委員會所肯定和向世界各國推薦。國際數(shù)學(xué)教育委員會主席弗蘭登塔爾說：“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的第一原則?！?。在中國，教育部最近頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）》中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。”要讓學(xué)生學(xué)會建構(gòu)、完成建構(gòu)，首先要求教師本身的建構(gòu)。不能想象缺乏思考、沒有創(chuàng)新的老師能指導(dǎo)各類學(xué)生完成和完善建構(gòu)。數(shù)學(xué)具有兩重性，“一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)象是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗的科學(xué)（波利亞）”。與數(shù)學(xué)的兩重性對應(yīng)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有兩種方式，推理的方式和直覺猜測并動手實驗的方式，但我們的課堂上，多年來推崇證明，反對猜測，而正是猜測激發(fā)了學(xué)生最大的學(xué)習(xí)興趣，讓他們也體會創(chuàng)造的樂趣，享受成功的喜悅。猜測的應(yīng)用，使每一位學(xué)生都有了建構(gòu)的機(jī)會。在當(dāng)前教育改革的實踐中，每一位教師都應(yīng)該重新認(rèn)識自己，重新認(rèn)識學(xué)生，重新認(rèn)識自己任教的學(xué)科。平面幾何是數(shù)學(xué)中最為奇特的一門學(xué)科，它強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)，但從來沒有真正嚴(yán)謹(jǐn)過（20世紀(jì)以來，不斷有新的公理體系提出）；它重邏輯、重證明，卻又不給“量變引起質(zhì)變”規(guī)律一席之地（幾何定理不包含退化狀態(tài)）；它以千年不變的內(nèi)容顯示了它的權(quán)威地位，卻又對現(xiàn)代科學(xué)毫無建樹；它是世界公認(rèn)的難學(xué)而無用的科目，但它在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、靈活性、敏捷性方面的作用，任何學(xué)科難以替代。蘇步青、陳省身、楊振寧這些世界一流的科學(xué)家，都深情地感謝平面幾何在他們成長過程中的作用。清朝的康熙皇帝喜愛幾何，美國的加菲爾德總統(tǒng)在1876年巧妙地證明了勾股定理，他的證明至今還常常被引用，江澤民總書記給澳門中學(xué)生出題，求證五點共圓。許多國家在中學(xué)廢棄了平面幾何（美國的中學(xué)教師，已經(jīng)沒有多少人了解平面幾何），但近年來，世界各國又紛紛重開平面幾何。平面幾何大成于歐幾里德，中國引進(jìn)平面幾何不過三百多年，但近百年來，中國卻成了歐幾里德最忠實的追隨者，歷經(jīng)改朝換代，學(xué)科更迭，平面幾何的地位從未動搖過。中國有全世界最為嚴(yán)謹(jǐn)、難度最高的平面幾何教材，但同時也是最缺乏活力的教材，千年不變的內(nèi)容，百年不變的教法，今天是變革的時候了，每一位中學(xué)教師，都應(yīng)當(dāng)運(yùn)用新知識、新材料，重新建構(gòu)自己的知識體系，讓這門古老的學(xué)科煥發(fā)新的生命力，為21世紀(jì)的教育發(fā)揮新的作用。下面我們將從方方面面，從大變到小變地來看看重新建構(gòu)幾何知識體系的可能性。平面幾何體系的重新建構(gòu)——認(rèn)識機(jī)器證明今天教平面幾何，不可不了解機(jī)器證明，它可能帶來平面幾何教學(xué)翻天覆地的變化，將來的平面幾何教學(xué)再不是舊模樣，甚至連一點影子都難再尋。機(jī)器證明的榮譽(yù)屬于中國科學(xué)院院士吳文俊教授，1977年發(fā)表《初等幾何判定問題與機(jī)械化證明》，世稱“吳方法”，引起了世界性的震動。這個成就，使他在1978年獲全國科學(xué)大會重大科技成果獎，中國科學(xué)院科技成果一等獎；2001年，更榮獲國家科學(xué)技術(shù)一等獎，獎金500萬元（同獲殊榮的是水稻專家袁隆平教授）。但機(jī)器證明的完美實現(xiàn)，得力于中國科學(xué)院張景中院士，他在1992年訪問美國時，與周咸清和張小山合作，在WINDOWS系統(tǒng)下，成功完成了具有可讀性的幾何定理機(jī)器證明軟件，被譽(yù)為“使機(jī)器能像處理算術(shù)一樣處理幾何的必由之路上的一個里程碑?！睆埦爸性菏康某晒^對是里程碑式的，他提出的原理和方法都不復(fù)雜，中學(xué)教師看得懂，中學(xué)生也看得懂。他首先改造了幾何公理體系，提出了三組共11條公理（歐幾里德有5條公設(shè)和9條公理，希爾伯特公理體系是5組21條，中國現(xiàn)行幾何教材是9條公理），并用面積方法導(dǎo)出了共邊定理、共角定理、勾股差定理等多個定理，創(chuàng)造了20種消點算法，就完全能夠證明平面幾何的絕大部分命題（特別是幾何難題），還能推導(dǎo)出新的命題和定理。張景中方法獲得世界贊譽(yù)的首先是機(jī)器證明的可讀性，機(jī)器給出的證明和人的證明可以完全一致，機(jī)器還能生成圖形以及圖形的變化過程，能人所不能。而在我們中學(xué)教師看來，最高興的是他的方法可以在課堂講授，中學(xué)生完全可以接受。他通過共邊定理和共角定理這兩把利刃完美地體現(xiàn)了幾何的機(jī)智性、簡潔性與和諧性，給幾何證題提供了全新的思路，大大精簡了幾何定理體系，通過消點算法，讓幾何的證明不再困難，變得象解算術(shù)題一樣容易。著名計算機(jī)專家王浩教授說“要使每位中學(xué)教師都懂得吳方法。”張景中主持的平面幾何智能教育平臺已經(jīng)投放市場（同時還有立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)、高中代數(shù)機(jī)器證明軟件）。機(jī)器證明平面幾何的教學(xué)進(jìn)入中學(xué)課程已經(jīng)為時不遠(yuǎn)了（已經(jīng)有中學(xué)開設(shè)了機(jī)器證明幾何定理的實驗課），我們的每一位同行，你有了解的需要嗎？你有緊迫感嗎？二.平面幾何知識結(jié)構(gòu)和教學(xué)方法的重新建構(gòu)平面幾何的直觀性、多樣性、變化性在中學(xué)各學(xué)科中是最豐富的，但幾何語言的規(guī)范性、嚴(yán)格性和證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，又使許多學(xué)生陷入困境，在機(jī)器證明未能進(jìn)入中學(xué)課堂前，改革的途徑就是直觀化、實驗化、向量化。在一些教材中，如項武義的《中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教材》，便將簡易邏輯和實驗幾何引入了教材，而平面幾何的向量化，也在數(shù)學(xué)界提了多年，終于在今年高中教材中，編入了向量幾何。都說幾何難學(xué)，但大部分教師并不覺得難教。多年不變的內(nèi)容，因循沿襲的教學(xué)模式，使許多教師自我感覺良好，駕輕就熟，不必備課都胸有成竹，重點、難點、思路、套路、規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性張口就有，揮灑自如，但許多學(xué)生卻越學(xué)越?jīng)]有興趣，成績分化嚴(yán)重。對于傳統(tǒng)教學(xué)中重計算、重邏輯，認(rèn)為平面幾何的作用就是培養(yǎng)邏輯思維的觀點，許多學(xué)者是反對的，吳文俊在《幾何問題求解及其現(xiàn)實意義》一文中說：“古代中國人就像笛卡爾一樣不偏好幾何定理證明，強(qiáng)調(diào)的是幾何問題解答，且主要是面向應(yīng)用?！睌?shù)學(xué)教育家，華東師大的張奠宙教授說：“1.數(shù)學(xué)不等于邏輯，數(shù)學(xué)是生動的模型和思想；2.邏輯思維只是思維能力的一種，它到處有用，但范圍有限；3.數(shù)學(xué)創(chuàng)造主要不是靠邏輯。著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎獲得者小平邦彥甚至說，我認(rèn)為數(shù)學(xué)和邏輯沒有關(guān)系?！毙陆滩?、新內(nèi)容的出現(xiàn)，都是為了一個目的：把探索的樂趣、創(chuàng)造的喜悅還給學(xué)生，讓平面幾何從“培養(yǎng)邏輯思維能力”的層次提升到培養(yǎng)創(chuàng)造能力的層次。離開自己熟悉的路，我們必須重新建構(gòu)自己的知識體系。北京市22中學(xué)“傳奇教師”孫維剛就是一個極好的榜樣，他擔(dān)任北京市非重點中學(xué)22中一個實驗班的班主任和數(shù)學(xué)科任老師6年，將全班40人全部送入大學(xué)，39人上本科線，38人上重點線，22人考上了北大和清華，創(chuàng)造了中學(xué)教育的奇跡。在他的班上，一年半學(xué)完全部初中數(shù)學(xué)，初三時基本學(xué)完高中數(shù)學(xué)，他的學(xué)生在高中時，一人獲得國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌，兩年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，8人次獲一等獎，9人次獲二等獎，6人獲三等獎。他說：“在教學(xué)上發(fā)展智力素質(zhì)，我們的主要做法有：1.總是站在系統(tǒng)的高度教學(xué)知識，八方聯(lián)系，渾然一體，造成學(xué)生總是浮想聯(lián)翩思潮如涌的思維狀態(tài)；2.著重向哲理觀點的高度升華，高屋建瓴；3.課堂上，造成學(xué)生超前思維向老師挑戰(zhàn)的態(tài)勢，在思維活動中訓(xùn)練思維；4.題不在多而求精，一題多解，多解歸一，多題歸一；5.從初一開始即進(jìn)行問題研究，寫論文；6.各科都少留作業(yè)，數(shù)學(xué)不留硬性家庭作業(yè)，不收作業(yè)，保證學(xué)生每天睡眠9小時左右，6年如一?！弊鰧O老師的學(xué)生是幸福的，但做我們的學(xué)生也是幸福的嗎？三．平面幾何教學(xué)內(nèi)容的重新建構(gòu)比起前兩項，這是較低層次的建構(gòu)，但也是我們最容易達(dá)到的建構(gòu)。我們應(yīng)該對教學(xué)內(nèi)容不斷思考和鉆研，保持思維的敏銳性，讓思維隨時處于一觸即發(fā)的狀態(tài)，從舊內(nèi)容中發(fā)現(xiàn)新意，達(dá)到教學(xué)上的不斷創(chuàng)新。據(jù)說，法國學(xué)生請中國留學(xué)生吃飯，只有一盤蔬菜沙拉，法國學(xué)生驕傲地說：“這是我用18把刀做出來的?！敝袊魧W(xué)生回請法國學(xué)生，端出了八菜一湯，中國留學(xué)生謙虛地說：“這是我用一把刀做出來的?！痹谄矫鎺缀蔚慕虒W(xué)中，全等三角形就是這一把刀（還有一把同樣著名的刀是勾股定理），我們是否總是只用一把刀？相似三角形比全等三角形更簡便，適應(yīng)范圍更廣，但我們的教材和我們的教學(xué)中，總將一些用相似形來解簡潔得多的習(xí)題，放在了全等三角形單元和勾股定理單元中去做。而張景中共邊定理和共角定理則令人嘆為觀止，只要一個條件：共邊或共角，竟演化出了機(jī)器和人都可以應(yīng)用的解題方法，將平面幾何引進(jìn)了新的境界。 A ∠A逐漸變大，直到成為180°，∠B與∠C逐漸變?yōu)?°180°B(A)CB(A)C在平面幾何教學(xué)中，面積法和比例法，遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有引起足夠的注意，當(dāng)我們重新認(rèn)識它們時，創(chuàng)新往往就在其中。此外，每一頁書，每一個定理，每一個例題，我們都可以問自己：“課本為什么這樣安排？換一個角度又可以怎么看？怎么處理會更好？怎么才能使學(xué)生思維更活躍？”有時，一些不大的變革，效果卻很明顯。一位青年教師在講等腰三角形性質(zhì)一課時，先讓學(xué)生觀察猜想等腰三角形的性質(zhì)，然后拿出幾個剪好的等腰三角形問學(xué)生：“你能通過折紙的方法證明兩底角相等，對角線相等嗎？”馬上課堂上就像開了鍋，學(xué)生興致之高，令老師幾乎無法控制，在這里，各種輔助線的出現(xiàn)是一目了然的，而給出證明也就成了學(xué)生自覺的需求。另外，在證明三角形內(nèi)角和定理時，通常用撕紙、折紙來引入，這已經(jīng)是經(jīng)典模式了，但類比到四邊形、多邊形時，撕紙、折紙都用不上。我們還可以用一條橡皮筋來引入：將一條橡皮筋在B、C兩點用圖釘固定，將BC之間另一點A往上拉，形成三角形ABC，將A點慢慢放松時，∠A逐漸變大，∠B與∠C變小，恢復(fù)到原來位置時（A、B、C成一條直線，即退化的三角形），∠A變成180°， A ∠A逐漸變大，直到成為180°，∠B與∠C逐漸變?yōu)?°180°B(A)CB(A)C A D放松D點，四邊形變成三角形，但在（D）D點處有一個180°180°180°B(A)(D)CBADC這個模型同樣可以觀察外角的變化，將A點慢慢放松時，∠A的外角變?yōu)? A D放松D點，四邊形變成三角形，但在（D）D點處有一個180°180°180°B(A)(D)CBADCA2AA2A3A4OA1A5An則x＋y＝n×180°，圖中以O(shè)為頂點的所有角的和為+∵,∴x＝n×180°-2×180°=(n-2)×180°這就是先證外角和，再證明內(nèi)角和的方法。以O(shè)為頂點的所有的角的和，正是n邊形的外角和，即n邊形的外角和是360°。（本文寫完后，無意中看到一本書，是張景中寫的《數(shù)學(xué)家的眼光》，其中提到：1980年，陳省身教授在北大的一次講學(xué)中說：“人們常說三角形的內(nèi)角和是180°，這是不對的，應(yīng)當(dāng)說，三角形的外角和是360°?！币驗?，這是更一般的規(guī)律。早在1944年，陳省身教授就從這個更一般的規(guī)律出發(fā)，推導(dǎo)了繞平面上任意封閉圖形一圈，外角和即方向改變量的和總是360°，并進(jìn)一步推導(dǎo)出曲面上方向改變量的和的公式，被稱為高斯——比內(nèi)——陳公式，由此發(fā)展出的“陳氏類”理論被譽(yù)為劃時代的貢獻(xiàn)，在理論物理上有重要應(yīng)用。完全沒想到，也完全不知道，關(guān)于外角和定理竟有這么精彩的故事。從1944年到1980年，再到2002年，幾乎60年了，中國的數(shù)學(xué)教師和中學(xué)生竟然不知道這個故事！人教出版社的編輯們，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫者們?yōu)槭裁匆m著我們？）平面幾何蘊(yùn)藏著最豐富的變化，需要我們“跳出三界外，不在五行中”，站在哲理的高度去重新認(rèn)識它、發(fā)現(xiàn)它。張景中院士從兩個最平凡的定理出發(fā)，改造了整個平面幾何體系，我們當(dāng)然無法做到，但使幾何變得更有趣，教學(xué)過程更生動活潑，從證定理、背定理到重發(fā)現(xiàn)、重創(chuàng)造，卻是教師的義務(wù)，我們必須做到。四.新教學(xué)觀的建構(gòu)隨著世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人類科學(xué)技術(shù)的飛躍提高，教育改革受到了前所未有的高度重視。中國改革開放的巨大成就，帶來了對人才的渴求，對學(xué)校教育也提出了更高的要求，素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育成為了學(xué)校教育改革的核心。中央十五大報告中指出：“培養(yǎng)同現(xiàn)代化相適應(yīng)的數(shù)以億計高素質(zhì)的勞動者和數(shù)以千萬計的專門人才”，江澤民同志指出：“創(chuàng)新是不斷進(jìn)步的靈魂，如果不能創(chuàng)新，一個民族就難以發(fā)展起來，難以屹立于世界民族之林?！币哉J(rèn)知教育為主體的舊教育觀（包括在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的教育教學(xué)改革）必須改變：在學(xué)知識的同時，更重視學(xué)習(xí)認(rèn)知的過程和結(jié)構(gòu)；教師主導(dǎo)改為教師引導(dǎo)；學(xué)生記憶知識改為建構(gòu)知識，在觀念改變的同時，建構(gòu)起符合培養(yǎng)新世紀(jì)人才的新教學(xué)觀，做到《中國教育和改革發(fā)展綱要》提出的：“面向全體學(xué)生，全面提高學(xué)生的思想道德、文化科學(xué)、勞動技能和身體、心理素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生生動活潑地發(fā)展?！痹谛碌慕虒W(xué)觀中，突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)是生存的需要，發(fā)展的需要，學(xué)習(xí)是生命的一部分，學(xué)生應(yīng)當(dāng)享受學(xué)習(xí)。但在突出生本觀念的同時，也應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)“師本”觀念，課堂教學(xué)是教師生命的一部分，而且是最重要的一部分，不僅因為課堂教學(xué)是一個教師生命中最長的一個階段，更重要的是課堂教學(xué)體現(xiàn)了教師的生存價值，體現(xiàn)了教師的創(chuàng)造性，體現(xiàn)了教師的理想和追求。葉瀾在《讓課堂煥發(fā)出生命活力》一文中指出：“每一堂課都是教師生命活動的構(gòu)成。因此十分重要的是使每一個教師都要意識到這一點，課堂教學(xué)對他們而言，不只是為學(xué)生成長所做的付出，不只是別人交付任務(wù)的完成，他同時也是自己生命價值的體現(xiàn)和自身發(fā)展的組成?！?，所以，應(yīng)當(dāng)提倡教師“享受教學(xué)”。在新的教學(xué)觀中，首先應(yīng)當(dāng)承認(rèn)每一個學(xué)生都有自己的獨(dú)特性，是唯一的“這一個”，學(xué)生之間存在差異。在教育部制定的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）》中指出，數(shù)學(xué)教育的基本理念是：“——人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，——人人都能獲得必須的數(shù)學(xué)，——不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！标P(guān)注每一個學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得的進(jìn)步，使每一個學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中享受到創(chuàng)造的樂趣，給學(xué)生動手實踐、自主探索與合作交流的機(jī)會，并且貫徹在課堂教學(xué)的全過程中，學(xué)生的差異不再是包袱，而是學(xué)生與教師的共同財富。在新的教學(xué)觀中，應(yīng)當(dāng)重新審視教案。合理的教案應(yīng)當(dāng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，能啟發(fā)學(xué)生了解知識、方法和過程的結(jié)構(gòu)，具有預(yù)見性、靈活性、師生互動性，包容差異，包容質(zhì)疑。但即使準(zhǔn)備了合理的甚至是優(yōu)秀的教案，能否完成教案也不再是評價教學(xué)質(zhì)量的主要標(biāo)準(zhǔn)，因為課堂是活的，每一節(jié)課都是唯一的、不可重現(xiàn)的，沒有任何一份教案，可以在不同的時間、不同的班級獲得相同的結(jié)果。課堂教學(xué)并不是寫教案、背教案、引導(dǎo)學(xué)生完成教案的過程。德國教育家克拉夫斯基說：“衡量一個教學(xué)計劃是否具有教學(xué)論質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，不是看到實際進(jìn)行的教學(xué)是否能夠盡可能與計劃一致，而是看這個計劃是否能夠使教師在教學(xué)中采取教學(xué)論上可以論證的、靈活的行動，使學(xué)生創(chuàng)造性地進(jìn)行學(xué)習(xí)，借以為發(fā)展他們的自立能力做出貢獻(xiàn)——即使是有限的貢獻(xiàn)。”在新的教學(xué)觀中，教師是終生學(xué)習(xí)的專業(yè)人才，和每一個學(xué)生一樣，教師必須學(xué)會認(rèn)知（learningtoknow），學(xué)會做事（learningtodo），學(xué)會合作（learningtolivetotogether），學(xué)會發(fā)展（learningtobe）（聯(lián)合國教科文組織國際21世紀(jì)教育委員會的報告《教育——財富蘊(yùn)含其中》）。每一個教師應(yīng)當(dāng)是了解學(xué)生、教育學(xué)生的專家，是本學(xué)科知識的專家，是掌握和熟練使用最新科技成果和教學(xué)手段的專家。這就是我們應(yīng)當(dāng)構(gòu)建的新教學(xué)觀。一切學(xué)習(xí)過程都離不開建構(gòu)理論，不管你承認(rèn)不承認(rèn)建構(gòu)理論，或者意識不意識到建構(gòu)過程的存在和影響。新教學(xué)觀的確立也是一種學(xué)習(xí)，也離不開建構(gòu)理論，它是在對舊教學(xué)觀的批判中建構(gòu)起來的。只是我們應(yīng)該建構(gòu)得更快些、更主動些，你不淘汰舊的教學(xué)觀，你就將被新世紀(jì)的教育淘汰，這是確定無疑的。參考文獻(xiàn)：張奠宙：《數(shù)學(xué)的明天》（廣西教育出版社）孫熙椿：《平面幾何定理的機(jī)器證明》（廣西教育出版社）孫維剛：《孫維剛談全班55%怎樣考上北大，考上清華》（北方婦女兒童出版社）葉瀾：《新基礎(chǔ)教育探索性研究報告集》（上海三聯(lián)書店）2002.4.24附錄：共邊定理和共角定理1.共邊定理：兩個三角形中有一條公共邊，這兩個三角形叫做共邊三角形。共邊三角形是處處存在的，它比全等三角形、相似三角形更為廣泛。若直線PQ和直線AB相交于點M，則 。PPPPP