初一數(shù)學(xué)資料培優(yōu)匯總精華

.z第一講數(shù)系擴(kuò)--有理數(shù)〔一〕一、【問題引入與歸納】1、正負(fù)數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。2、有理數(shù)的兩種分類：3、有理數(shù)的本質(zhì)定義，能表成〔互質(zhì)〕。4、性質(zhì)：①順序性〔可比擬大小〕；②四則運(yùn)算的封閉性〔0不作除數(shù)〕；③稠密性：任意兩個(gè)有理數(shù)間都存在無數(shù)個(gè)有理數(shù)。5、絕對值的意義與性質(zhì)：①②非負(fù)性③非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：i〕非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)。ii〕幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則他們都為0。二、【典型例題解析】：1、假設(shè)的值等于多少.2．如果是大于1的有理數(shù)，則一定小于它的〔〕A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對值D.平方3、兩數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是2，求的值。4、如果在數(shù)軸上表示、兩上實(shí)數(shù)點(diǎn)的位置，如以下圖所示，則化簡的結(jié)果等于〔A.B.C.0D.5、，求的值是〔〕A.2B.3C6、有3個(gè)有理數(shù)a,b,c，兩兩不等，則中有幾個(gè)負(fù)數(shù).7、設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，的形式式，又可表示為0，，的形式，求。8、三個(gè)有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且則的值是多少.9、假設(shè)為整數(shù)，且，試求的值。三、課堂備用練習(xí)題。1、計(jì)算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、計(jì)算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、計(jì)算：4、為非負(fù)整數(shù)，且滿足，求的所有可能值。5、假設(shè)三個(gè)有理數(shù)滿足，求的值。第二講數(shù)系擴(kuò)--有理數(shù)〔二〕一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、絕對值的幾何意義①表示數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。②表示數(shù)、對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。2、利用絕對值的代數(shù)、幾何意義化簡絕對值。二、【典型例題解析】：1、〔1〕假設(shè)，化簡〔2〕假設(shè)，化簡2、設(shè)，且，試化簡3、、是有理數(shù)，以下各式對嗎.假設(shè)不對，應(yīng)附加什么條件.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕假設(shè)則〔5〕假設(shè)，則〔6〕假設(shè)，則4、假設(shè)，求的取值圍。5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，如果，則B點(diǎn)在A、C的什么位置.6、設(shè)，求的最小值。7、是一個(gè)五位數(shù)，，求的最大值。8、設(shè)都是有理數(shù)，令,,試比擬M、N的大小。三、【課堂備用練習(xí)題】：1、求的最小值。2、假設(shè)與互為相反數(shù)，求的值。3、如果，求的值。4、是什么樣的有理數(shù)時(shí)，以下等式成立.〔1〕〔2〕5、化簡下式：第三講數(shù)系擴(kuò)--有理數(shù)〔三〕一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、運(yùn)算的分級與運(yùn)算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。〔1〕加法法則：同號相加取同號，并把絕對值相加；異號相加取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大絕對值減較小絕對值；一個(gè)數(shù)同零相加得原數(shù)?！?〕減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)?！?〕乘法法則：幾個(gè)有理數(shù)相乘，奇負(fù)得負(fù)，偶負(fù)得正，并把絕對值相乘?！?〕除法法則：除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。3、準(zhǔn)確運(yùn)用各種法則及運(yùn)算順序解題，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣及解題習(xí)慣。二、【典型例題解析】：1、計(jì)算：2、計(jì)算：〔1〕、〔2〕、〔-18.75〕+〔+6.25〕+〔-3.25〕+18.25〔3〕、〔-4〕+3、計(jì)算：①②4、化簡：計(jì)算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕-4.035×12＋7.535×12-36×〔〕5、計(jì)算：〔1〕〔2〕〔3〕6、計(jì)算：7、計(jì)算：：第四講數(shù)系擴(kuò)--有理數(shù)〔四〕一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、運(yùn)算的分級與運(yùn)算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。3、巧算的一般性技巧：①湊整〔湊0〕；②巧用分配律③去、添括號法則；④裂項(xiàng)法4、綜合運(yùn)用有理數(shù)的知識解有關(guān)問題。二、【典型例題解析】：1、計(jì)算：2、3、計(jì)算：①②4、化簡：并求當(dāng)時(shí)的值。5、計(jì)算：6、比擬與2的大小。7、計(jì)算：8、、是有理數(shù)，且，含，，，請將按從小到大的順序排列。三、【備用練習(xí)題】：1、計(jì)算〔1〕〔2〕2、計(jì)算：3、計(jì)算：4、如果，求代數(shù)式的值。5、假設(shè)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為2，求的值。第五講代數(shù)式〔一〕一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：〔1〕列代數(shù)式；〔2〕代數(shù)式的意義；〔3〕代數(shù)式的求值〔整體代入法〕二、【典型例題解析】：1、用代數(shù)式表示：〔1〕比的和的平方小的數(shù)?！?〕比的積的2倍大5的數(shù)?！?〕甲乙兩數(shù)平方的和〔差〕。〔4〕甲數(shù)與乙數(shù)的差的平方?！?〕甲、乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)平方和的商?！?〕甲、乙兩數(shù)和的2倍與甲乙兩數(shù)積的一半的差?！?〕比的平方的2倍小1的數(shù)?！?〕任意一個(gè)偶數(shù)〔奇數(shù)〕〔9〕能被5整除的數(shù)?！?0〕任意一個(gè)三位數(shù)。2、代數(shù)式的求值：〔1〕，求代數(shù)式的值?！?〕的值是7，求代數(shù)式的值?！?〕；，求的值〔4〕，求的值?！?〕：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為2007，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值?！?〕等式對一切都成立，求A、B的值?！?〕，求的值?！?〕當(dāng)多項(xiàng)式時(shí)，求多項(xiàng)式的值。3、找規(guī)律：Ⅰ.〔1〕；〔2〕〔3〕〔4〕第N個(gè)式子呢.Ⅱ.；；；假設(shè)〔、為正整數(shù)〕，求Ⅲ.猜測：三、【備用練習(xí)題】：1、假設(shè)個(gè)人完成一項(xiàng)工程需要天，則個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少天.2、代數(shù)式的值為8，求代數(shù)式的值。3、*同學(xué)到集貿(mào)市場買蘋果，買每千克3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而余下的錢都買了每千克2元的蘋果，則該同學(xué)所買的蘋果的平均價(jià)格是每千克多少元.4、求當(dāng)時(shí)，第六講代數(shù)式〔二〕一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：〔1〕同類項(xiàng)的合并法則；〔2〕代數(shù)式的整體代入求值。二、【典型例題解析】：1、多項(xiàng)式經(jīng)合并后，不含有的項(xiàng)，求的值。2、當(dāng)?shù)竭_(dá)最大值時(shí)，求的值。3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式N的2倍之和是，求N.4、假設(shè)互異，且，求的值。5、，求的值。6、，求的值。7、均為正整數(shù)，且，求的值。8、求證等于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積。9、，求的值。10、一堆蘋果，假設(shè)干個(gè)人分，每人分4個(gè)，剩下9個(gè)，假設(shè)每人分6個(gè)，最后一個(gè)人分到的少于3個(gè)，問多少人分蘋果.三、【備用練習(xí)題】：1、，比擬M、N的大小。，。2、，求的值。3、，求K的值。4、，比擬的大小。5、，求的值。第七講發(fā)現(xiàn)規(guī)律一、【問題引入與歸納】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過："先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來，再從理論上來證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認(rèn)識客觀法則的方法之一〞。這種以退為進(jìn)，尋找規(guī)律的方法，對我們解*些數(shù)學(xué)問題有重要指導(dǎo)作用，下面舉例說明。能力訓(xùn)練點(diǎn)：觀察、分析、猜測、歸納、抽象、驗(yàn)證的思維能力。二、【典型例題解析】1、觀察算式：按規(guī)律填空：1+3+5+…+99=.，1+3+5+7+…+.2、如圖是*同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第個(gè)小房子用了多少塊石子.3、用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚〔如下圖〕的規(guī)律，拼成假設(shè)干個(gè)圖案：〔1〕第3個(gè)圖案中有白色地面磚多少塊.〔2〕第個(gè)圖案中有白色地面磚多少塊.4、觀察以下一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得第10個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為多少.第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為多少.5、觀察右圖，答復(fù)以下問題：〔1〕圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，則第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有多少個(gè)點(diǎn)，第四層有多少個(gè)點(diǎn).〔2〕如果要你繼續(xù)畫下去，那第五層應(yīng)該畫多少個(gè)點(diǎn)，第n層有多少個(gè)點(diǎn).〔3〕*一層上有77個(gè)點(diǎn)，這是第幾層.〔4〕第一層與第二層的和是多少.前三層的和呢.前4層的和呢.你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律.根據(jù)你的推測，前12層的和是多少.6、讀一讀：式子"1+2+3+4+5+…+100”表示從1開場的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比擬長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將"1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里"〞是求和符號，例如"1+3+5+7+9+…+99”〔即從1開場的100以的連續(xù)奇數(shù)的和〕可表示為又如"〞可表示為，同學(xué)們，通過以上材料的閱讀，請解答以下問題：〔1〕2+4+6+8+10+…+100〔即從2開場的100以的連續(xù)偶數(shù)的和〕用求和符號可表示為；〔2〕計(jì)算：=〔填寫最后的計(jì)算結(jié)果〕。7、觀察以下各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律.3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……將你猜測的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來。8、請你從右表歸納出計(jì)算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟蹤訓(xùn)練題】11、有一列數(shù)其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…則第個(gè)數(shù)=，當(dāng)=2001時(shí)，=。2、將正偶數(shù)按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根據(jù)上面的規(guī)律，則2006應(yīng)在行列。3、一個(gè)數(shù)列2，5，9，14，20，，35…則的值應(yīng)為：〔〕4、在以下兩個(gè)數(shù)串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有〔〕個(gè)。A.333B.334C.335D.3365、學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2方桌拼成一行能坐6人〔如右圖所示〕按照這種規(guī)定填寫下表的空格：拼成一行的桌子數(shù)123…n人數(shù)46…6、給出以下算式：觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律：7、通過計(jì)算探索規(guī)律：152=225可寫成100×1×〔1+1〕+25252=625可寫成100×2×〔2+1〕+25352=1225可寫成100×3×〔3+1〕+25452=2025可寫成100×4×〔4+1〕+25…………752=5625可寫成歸納、猜測得：〔10n+5〕2=根據(jù)猜測計(jì)算：19952=8、，計(jì)算：112+122+132+…+192=；9、從古到今，所有數(shù)學(xué)家總希望找到一個(gè)能表示所有質(zhì)數(shù)的公式，有位學(xué)者提出：當(dāng)n是自然數(shù)時(shí)，代數(shù)式n2+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請驗(yàn)證一下，當(dāng)n=40時(shí)，n2+n+41的值是什么.這位學(xué)者結(jié)論正確嗎.第八講綜合練習(xí)〔一〕1、假設(shè)，求的值。2、與互為相反數(shù)，求。3、，求的圍。4、判斷代數(shù)式的正負(fù)。5、假設(shè)，求的值。6、假設(shè)，求7、，化簡8、互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對值等于2，P是數(shù)軸上的表示原點(diǎn)的數(shù)，求的值。9、問□中應(yīng)填入什么數(shù)時(shí)，才能使10、在數(shù)軸上的位置如下圖，化簡：11、假設(shè)，求使成立的的取值圍。12、計(jì)算：13、，，，求。14、，求、的大小關(guān)系。15、有理數(shù)均不為0，且。設(shè)，求代數(shù)式的值。第九講一元一次方程〔一〕一、知識點(diǎn)歸納：1、等式的性質(zhì)。2、一元一次方程的定義及求解步驟。3、一元一次方程的解的理解與應(yīng)用。4、一元一次方程解的情況討論。二、典型例題解析：1、解以下方程：〔1〕〔2〕；〔3〕2、能否從；得到，為什么.反之，能否從得到，為什么.3、假設(shè)關(guān)于的方程，無論K為何值時(shí)，它的解總是，求、的值。4、假設(shè)。求的值。5、是方程的解，求代數(shù)式的值。6、關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。7、假設(shè)方程與方程同解，求的值。8、關(guān)于的一元一次方程求代數(shù)式的值。9、解方程10、方程的解為，求方程的解。11、當(dāng)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程，①有一解；②有無數(shù)解；③無解。第十講一元一次方程〔2〕一、能力訓(xùn)練點(diǎn)：1、列方程應(yīng)用題的一般步驟。2、利用一元一次方程解決社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題〔如經(jīng)濟(jì)問題、利潤問題、增長率問題〕二、典型例題解析。1、要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問這兩種硫酸分別應(yīng)各取多少千克.2、一項(xiàng)工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時(shí)做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項(xiàng)工程共花了幾天.3、*市場雞蛋買賣按個(gè)數(shù)計(jì)價(jià)，一商販以每個(gè)0.24元購進(jìn)一批雞蛋，但在販運(yùn)途中不慎碰壞了12個(gè)，剩下的蛋以每個(gè)0.28元售出，結(jié)果仍獲利11.2元，問該商販當(dāng)初買進(jìn)多少個(gè)雞蛋.：4、*商店將彩電按原價(jià)提高40%，然后在廣告上寫"大酬賓，八折優(yōu)惠〞，結(jié)果每臺彩電仍可獲利270元，則每臺彩電原價(jià)是多少.5、一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)大4，個(gè)位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2，假設(shè)將此三位數(shù)的個(gè)位與百位對調(diào)，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4，求原來的三位數(shù).6、初一年級三個(gè)班，完成甲、乙兩項(xiàng)任務(wù)，〔一〕班有45人，〔二〕班有50人，〔三〕班有43人，現(xiàn)因任務(wù)的需要，需將〔三〕班人數(shù)分配至〔一〕、〔二〕兩個(gè)班，且使得分配后〔二〕班的總?cè)藬?shù)是〔一〕班的總?cè)藬?shù)的2倍少36人，問：應(yīng)將〔三〕班各分配多少名學(xué)生到〔一〕、〔二〕兩班.7、一個(gè)容器盛滿酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加滿，第二次倒出它的后用水加滿，這時(shí)容器中的酒精濃度為25%，求原來酒精溶液的濃度。8、*中學(xué)組織初一同學(xué)春游，如果租用45座的客車，則有15個(gè)人沒有座位；如果租用同數(shù)量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算.租幾輛車.9、1994年底，先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838，問到2006年底先生多大.10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，用24部A型抽水機(jī)，6天可抽干池水，假設(shè)用21部A型抽水機(jī)13天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機(jī)單位時(shí)間的抽水量一樣，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機(jī)抽水.11、狗跑5步的時(shí)間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑出55米，馬開場追它，問狗再跑多遠(yuǎn)馬可以追到它.12、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未被發(fā)現(xiàn)，1小時(shí)快艇和輪船得悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從得悉到追及小孩各需多少時(shí)間.數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸一、閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要表達(dá)在以下幾個(gè)方面：1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3、利用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大?。?、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。二、知識點(diǎn)反應(yīng)1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；例1：有理數(shù)在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)在原點(diǎn)的左方，則〔〕A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、如圖為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有〔〕〔"祖沖之杯〞邀請賽試題〕A．1B．2C．3D．43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2：如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，則A、B兩點(diǎn)的距離為。拓廣訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則2、數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，則所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于。〔市"迎春杯〞競賽題〕3、利用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大??；例3：且，則有理數(shù)的大小關(guān)系是?！灿?〞號連接〕〔市"迎春杯〞競賽題〕拓廣訓(xùn)練：假設(shè)且，比擬的大小，并用"〞號連接。例4：比擬與4的大小拓廣訓(xùn)練：1、，試討論與3的大小2、兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例5：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖，式子化簡結(jié)果為〔〕A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖，則化簡的結(jié)果為。2、，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如下圖，則成立的是。①②③④3、有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如以下圖：則化簡后的結(jié)果是〔〕〔省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題〕A．B．C．D．三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是有理數(shù)，且，那以的值是〔〕A．B．C．或D．或10A2B5C2、〔07〕如圖，數(shù)軸上一動點(diǎn)向左移動2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)，再向右移動5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為1，則點(diǎn)10A2B5CＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出假設(shè)干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，則數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是〔〕A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)4、數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如下圖，則與的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．D．不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，假設(shè)，則點(diǎn)B〔〕A．在A、C點(diǎn)右邊B．在A、C點(diǎn)左邊C．在A、C點(diǎn)之間D．以上均有可能6、設(shè)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕〔全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〕A．沒有最小值B．只一個(gè)使取最小值C．有限個(gè)〔不止一個(gè)〕使取最小值D．有無窮多個(gè)使取最小值7、在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示和，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是。8、假設(shè)，則使成立的的取值圍是。9、是有理數(shù)，則的最小值是。10、為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如下圖：且求的值。11、〔市中考題〕(1)閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊；②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊。綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離?！?〕答復(fù)以下問題：①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果，則為；③當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值圍是；④求的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個(gè)根本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時(shí)，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點(diǎn)。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離。3、靈活運(yùn)用絕對值的根本性質(zhì)①②③④⑤⑥二、知識點(diǎn)反應(yīng)1、去絕對值符號法則例1：且則。拓廣訓(xùn)練：1、且，則?！彩?迎春杯〞競賽題〕2、假設(shè)，且，則的值是〔〕A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義例2：的最小值是〔〕A．2B．0C．1D．-1解法1、分類討論當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。比擬可知，的最小值是2，應(yīng)選A。解法2、由絕對值的幾何意義知表示數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；表示數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；的最小值是指點(diǎn)到1與-1兩點(diǎn)距離和的最小值。如圖易知當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是2應(yīng)選A。拓廣訓(xùn)練：的最小值是，的最大值為，求的值。三、培優(yōu)訓(xùn)練1、如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖：則在中，負(fù)數(shù)共有〔〕〔省荊州市競賽題〕A．3個(gè)B．1個(gè)C．4個(gè)D．2個(gè)2、假設(shè)是有理數(shù)，則一定是〔〕A．零B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)3、如果，則的取值圍是〔〕A．B．C．D．4、是有理數(shù)，如果，則對于結(jié)論〔1〕一定不是負(fù)數(shù)；〔2〕可能是負(fù)數(shù)，其中〔〕〔第15屆省競賽題〕A．只有〔1〕正確B．只有〔2〕正確C．〔1〕〔2〕都正確D．〔1〕〔2〕都不正確5、，則化簡所得的結(jié)果為〔〕A．B．C．D．6、，則的最大值等于〔〕A．1B．5C．8D．97、都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有〔〕A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值8、滿足成立的條件是〔〕〔省黃岡市競賽題〕A．B．C．D．9、假設(shè)，則代數(shù)式的值為。10、假設(shè)，則的值等于。11、是非零有理數(shù)，且，求的值。12、是有理數(shù)，，且，求的值。13、閱讀以下材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得〔稱分別為與的零點(diǎn)值〕。在有理數(shù)圍，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：〔1〕當(dāng)時(shí)，原式=;〔2〕當(dāng)時(shí)，原式=；〔3〕當(dāng)時(shí)，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：分別求出和的零點(diǎn)值；〔2〕化簡代數(shù)式14、〔1〕當(dāng)取何值時(shí)，有最小值.這個(gè)最小值是多少.〔2〕當(dāng)取何值時(shí)，有最大值.這個(gè)最大值是多少.〔3〕求的最小值?！?〕求的最小值。15、*公共汽車運(yùn)營線路AB段上有A、D、C、B四個(gè)汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個(gè)加油站M，為了使加油站選址合理，要求A，B，C，D四個(gè)汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好.16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的臺機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供給站P，使這臺機(jī)床到供給站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問題，先"退〞到比擬簡單的情形：①②如圖①，如果直線上有2臺機(jī)床〔甲、乙〕時(shí),很明顯P設(shè)在和之間的任何地方都行,因?yàn)榧缀鸵曳謩e到P的距離之和等于到的距離.如圖②,如果直線上有3臺機(jī)床(甲、乙、丙)時(shí)，不難判斷，P設(shè)在中間一臺機(jī)床處最適宜，因?yàn)槿绻鸓放在處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為到的距離；而如果P放在別處，例如D處，則甲和丙分別到P的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D近段距離，這是多出來的，因此P放在處是最正確選擇。不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。問題〔1〕：有機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處.問題〔2〕根據(jù)問題〔1〕的結(jié)論，求的最小值。有理數(shù)的運(yùn)算一、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會根據(jù)四則運(yùn)算法則對整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)展計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是"字母代數(shù)〞，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說的符號演算。數(shù)學(xué)競賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的構(gòu)造特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速成度，有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1、利用運(yùn)算律；2、以符代數(shù)；3、裂項(xiàng)相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識點(diǎn)反應(yīng)1、利用運(yùn)算律：加法運(yùn)算律乘法運(yùn)算律例1：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算〔1〕〔2〕例2：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：計(jì)算：2、裂項(xiàng)相消〔1〕；〔2〕；〔3〕〔4〕例3、計(jì)算解：原式===拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：3、以符代數(shù)例4：計(jì)算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：4、分解相約例5：計(jì)算：解：原式===三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是最大的負(fù)整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則=。2、計(jì)算：〔1〕=；〔2〕=。3、假設(shè)與互為相反數(shù)，則=。4、計(jì)算：=。5、計(jì)算：=。6、這四個(gè)數(shù)由小到大的排列順序是。7、〔2007"五羊杯〞〕計(jì)算：=〔〕A．3140B．628C．1000D．12008、〔2005"希望杯〞〕等于〔〕A．B．C．D．9、〔2006"五羊杯〞〕計(jì)算：=〔〕A．B．C．D．10、〔2021中考〕為了求的值，可令S＝，則2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理計(jì)算出的值是〔〕A、B、C、D、11、都是正數(shù)，如果，，則的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．D．不確定12、設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為的形式，又可表示為的形式，求的值〔"希望杯〞邀請賽試題〕13、計(jì)算〔1〕〔2021年第二十屆"五羊杯〞競賽題〕〔2〕〔市"迎春杯〞競賽題〕14、互為相反數(shù)，互為負(fù)倒數(shù)，的絕對值等于，求的值15、，求的值〔2006，競賽〕16、〔2007，中考〕圖1是由假設(shè)干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為．第第2層第1層……第n層圖１圖2圖3圖4如果圖1中的圓圈共有12層，〔1〕我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是；〔2〕我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，，，，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和．第一講和絕對值有關(guān)的問題知識構(gòu)造框圖：數(shù)絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對值是它的本身；②負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③零的絕對值是零。也可以寫成：說明：〔Ⅰ〕|a|≥0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；〔Ⅱ〕|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。典型例題例1．〔數(shù)形結(jié)合思想〕a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于〔A〕A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時(shí)，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對值的符號時(shí)，必須先確定絕對值符號各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2．：，，且，則的值〔C〕A．是正數(shù)B．是負(fù)數(shù)C．是零D．不能確定符號解：由題意，*、y、z在數(shù)軸上的位置如下圖：所以分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了*、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3．〔分類討論的思想〕甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；假設(shè)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢.分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，"數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)〞意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。則終究誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為*，乙數(shù)為y由題意得：，〔1〕數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：假設(shè)*在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即*<0，y>0，則4y=8，所以y=2,*=-6假設(shè)*在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即*>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2,*=6〔2〕數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：假設(shè)*、y在原點(diǎn)左側(cè)，即*<0，y<0，則-2y=8，所以y=-4,*=-12假設(shè)*、y在原點(diǎn)右側(cè)，即*>0，y>0，則2y=8，所以y=4,*=12例4．〔整體的思想〕方程的解的個(gè)數(shù)是〔D〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無窮多個(gè)分析：這道題我們用整體的思想解決。將*-2021看成一個(gè)整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即此題的答案為D。例5．〔非負(fù)性〕|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，試求下式的值．分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果．同學(xué)們可以再深入思考，如果題目變成求值，你有方法求解嗎.有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6．〔距離問題〕觀察以下每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離4與，3與5，與，與3.并答復(fù)以下各題：〔1〕你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎.答：____相等.〔2〕假設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為*，點(diǎn)B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為．分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為―1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。則點(diǎn)A呢.因?yàn)?可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置。則，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢.結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)展討論。當(dāng)*<-1時(shí)，距離為-*-1,當(dāng)-1<*<0時(shí)，距離為*+1，當(dāng)*>0，距離為*+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為〔3〕結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為5，取得最小值時(shí)*的取值圍為-3≤*_≤2______.分析：即*與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上*與2之間的距離。即*與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上*與-3之間的距離。如圖，*在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1圖2圖3圖2符合題意〔4〕滿足的的取值圍為*<-4或*>-1分析：同理表示數(shù)軸上*與-1之間的距離，表示數(shù)軸上*與-4之間的距離。此題即求，當(dāng)*是什么數(shù)時(shí)*與-1之間的距離加上*與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：*<-4或*>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決*些問題時(shí)可以帶來方便。事實(shí)上，表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了〔3〕、〔4〕這兩道難題。小結(jié)1．理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2．體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識1．"代數(shù)式〞是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的容之一。2．用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3．求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下根底。二、典型例題例1．假設(shè)多項(xiàng)式的值與*無關(guān)，求的值.分析：多項(xiàng)式的值與*無關(guān)，即含*的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)樗詍=4將m=4代人，利用"整體思想〞求代數(shù)式的值例2．*=-2時(shí)，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)*=2時(shí)，代數(shù)式的值。分析：因?yàn)楫?dāng)*=-2時(shí)，得到，所以當(dāng)*=2時(shí)，=例3．當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由得，利用方程同解原理，得整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點(diǎn)問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4．，求的值.分析：解法一〔整體代人〕：由得所以：解法二〔降次〕：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以：解法三〔降次、消元〕：〔消元、、減項(xiàng)〕例5．〔實(shí)際應(yīng)用〕A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件根本一樣，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利.分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入〔元〕第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1〕；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例6．三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則的值是_______。解：因?yàn)閍bc<0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)，或三個(gè)都是負(fù)數(shù)又因?yàn)閍+b+c>0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以*=-1+1+1-1-1+1=0將*=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b<0，c<0時(shí)，*=0。另：觀察代數(shù)式，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問題：1728394105116172839410511612〔1〕"17”在射線____"2008”在射線___________上〔2〕假設(shè)n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為__________________________．分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19，…觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6，歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3×6-1，所以17在射線OE上。因?yàn)?021=334×6+4=335×6-2，所以2021在射線OD上例8．將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3，11，19，27，規(guī)律為8n-5因?yàn)?007=250×8+7=251×8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開場從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9．〔2006年市〕定義一種對正整數(shù)n的"F〞運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為〔其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)〕，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)展．例如，取n＝26，則：2626134411第一次F②第二次F①第三次F②…假設(shè)n＝449，則第449次"F運(yùn)算〞的結(jié)果是__________．分析：問題的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解"F〞的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為〔其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)〕，要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能完畢。449奇數(shù)，經(jīng)過"F①〞變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過"F②〞變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過"F①〞變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過"F②〞變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過"F①〞變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過"F②〞變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過屢次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8，偶數(shù)次運(yùn)算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對數(shù)認(rèn)識的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會一些簡單的數(shù)學(xué)模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回憶一元一次方程是我們認(rèn)識的第一種方程，使我們學(xué)會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要容，它既是對前面所學(xué)知識——有理數(shù)局部的穩(wěn)固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等容打下堅(jiān)實(shí)的根底。典型例題：二、典型例題例1．假設(shè)關(guān)于*的一元一次方程=1的解是*=-1，則k的值是〔〕A．B．1C．-D．0分析：此題考察根本概念"方程的解〞因?yàn)?=-1是關(guān)于*的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2．假設(shè)方程3*-5=4和方程的解一樣，則a的值為多少.分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)*，所以可以解這個(gè)方程求得*的值；第二個(gè)方程中有a與*兩個(gè)未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有方法求得a與*的值，因此必須分析清楚題中的條件。因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解一樣，所以可以把第一個(gè)方程中解得*代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3*-5=4，3*=9，*=3因?yàn)?*-5=4與方程的解一樣所以把*=3代人中即得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.〔方程與代數(shù)式聯(lián)系〕a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算.〔1〕則的值為；〔2〕當(dāng)時(shí)，=.分析：〔1〕即a=1，b=2，c=-1，d=2，因?yàn)?，所?2-〔-2〕=4〔2〕由得：10-4〔1-*〕=18所以10-4+4*=18，解得*=3例4．〔方程的思想〕如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶的墨水的體積約占玻璃瓶容積的〔〕不考慮瓶子的厚度.不考慮瓶子的厚度.A．B．C．D．分析：左右兩個(gè)圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個(gè)等積變換問題，我們可以用方程的思想解決問題解：設(shè)墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa設(shè)墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb于是，Sa=V-Sb，V=S(a+b)由題意，瓶的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5．小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在A窗口隊(duì)伍的里面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。此時(shí)，假設(shè)小迅速從A窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊(duì)，將比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)提前30秒買到飯，求開場時(shí)，有多少人排隊(duì)。分析："B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人〞相當(dāng)于B窗口前的隊(duì)伍每分鐘減少1人，題中的等量關(guān)系為：小在A窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊(duì)所需時(shí)間+解：設(shè)開場時(shí)，每隊(duì)有*人在排隊(duì)，2分鐘后，B窗口排隊(duì)的人數(shù)為：*-6×2+5×2=*-2根據(jù)題意，可列方程：去分母得3*=24+2(*-2)+6去括號得3*=24+2*-4+6移項(xiàng)得3*-2*=26解得*=26所以，開場時(shí)，有26人排隊(duì)。課外知識拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：是什么方程.在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6．解方程解：〔分類討論〕當(dāng)a≠0時(shí)，當(dāng)a=0，b=0時(shí)，即0*=0，方程有任意解當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，即0*=b，方程無解即方程的解有三種情況。例7．問當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2*+5-a=1-b*：〔1〕有唯一解；〔2〕有無數(shù)解；〔3〕無解。分析：先解關(guān)于*的方程，把*用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)展討論。解：將原方程移項(xiàng)得2*+b*=1+a-5，合并同類項(xiàng)得：(2+b)*=a-4當(dāng)2+b0，即b-2時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)2+b=0且a-4=0時(shí)，即b=-2且a=4時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解，當(dāng)2+b=0且a-4≠0時(shí)，即b=-2且a≠4時(shí)，方程無解，例8．解方程分析：根據(jù)題意，ab≠0，所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得b(*-1)-a(1-*)=a+b去括號，得b*-b-a+a*=a+b移項(xiàng)，并項(xiàng)得(a+b)*=2a+2b當(dāng)a+b≠0時(shí)，=2當(dāng)a+b=0時(shí)，方程有任意解說明：此題中沒有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b≠0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法例9．解以下方程解法1：〔分類討論〕當(dāng)5*-2>0時(shí)，即*>，5*-2=3，5*=5，*=1因?yàn)?=1符合大前提*>，所以此時(shí)方程的解是*=1當(dāng)5*-2=0時(shí)，即*=，得到矛盾等式0=3，所以此時(shí)方程無解當(dāng)5*-2<0時(shí)，即*<，5*-2=-3，*=因?yàn)?=符合大前提*<，所以此時(shí)方程的解是*=綜上，方程的解為*=1或*=注：求出*的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)*是否符合條件解法2：〔整體思想〕聯(lián)想：時(shí)，a=±3類比：，則5*-2=3或5*-2=-3解兩個(gè)一元一次方程，方程的解為*=1或*=例10．解方程解：去分母2|*-1|-5=3移項(xiàng)2|*-1|=8|*-1|=4所以*-1=4或*-1=-4解得*=5或*=-3例11．解方程分析：此題適合用解法2當(dāng)*-1>0時(shí)，即*>1，*-1=-2*+1，3*=2，*=因?yàn)?=不符合大前提*>1，所以此時(shí)方程無解當(dāng)*-1=0時(shí)，即*=1，0=-2+1，0=-1，此時(shí)方程無解當(dāng)*-1<0時(shí)，即*<1，1-*=-2*+1，*=0因?yàn)?=0符合大前提*<1，所以此時(shí)方程的解為*=0綜上，方程的解為*=0三、小結(jié)1、體會方程思想在實(shí)際中的應(yīng)用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識一、相關(guān)知識：1．認(rèn)識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法〔1〕畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖〔從正面看〕、左視圖〔從左面看〕、俯視圖〔從上面看〕得到的三個(gè)平面圖形?！?〕立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體〔共十一種〕二、典型問題：〔一〕正方體的側(cè)面展開圖〔共十一種〕分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種。第四類，兩排各三個(gè)，只有一種。根本要求：1.在右面的圖形中是正方體的展開圖的有〔C〕〔A〕3種〔B〕4種〔C〕5種〔D〕6種2．以下圖中,是正方體的展開圖是(B)ABCD3．如圖四個(gè)圖形都是由6個(gè)大小一樣的正方形組成，其中是正方體展開圖的是〔D〕A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④121236454．以下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是(A)A．7B．8C．9D．105．一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示，每一個(gè)面上都寫有一個(gè)自然數(shù)并且相對兩個(gè)面所寫的兩個(gè)數(shù)之和相等，則a+b-2c=〔B〕A．40B.38C.36D.34分析：由題意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．將如下圖的正方體沿*些棱展開后，能得到的圖形是〔C〕A．B．C．D．7．以下圖是*一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是〔D〕A．B．A．B．C．D．復(fù)原正方體，正確識別正方體的相對面?！捕吵Ｒ娏Ⅲw圖形的平面展開圖8．以下圖形是四棱錐的展開圖的是〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9．下面是四個(gè)立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是(A)A．正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C．正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10．以下幾何體中是棱錐的是〔B〕A.B.C.D.11．如圖是一個(gè)長方體的外表展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母，請根據(jù)要求答復(fù)以下問題：〔1〕如果A面在長方體的底部，則哪一個(gè)面會在上面.〔2〕假設(shè)F面在前面，B面在左面，則哪一個(gè)面會在上面.〔字母朝外〕〔3〕假設(shè)C面在右面，D面在后面，則哪一個(gè)面會在上面.〔字母朝外〕答案：〔1〕F；〔2〕C，A〔三〕立體圖形的三視圖12．如圖，從正面看可看到△的是(C)13．對右面物體的視圖描繪錯誤的選項(xiàng)是〔C〕14．如圖的幾何體，左視圖是〔B〕15．如圖，是由幾個(gè)一樣的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個(gè)俯視圖左視圖主視圖俯視圖左視圖主視圖A．3B．4C．5D．6〔四〕新穎題型16.正方體每一面不同的顏色對應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長方體，則長方體的下底面數(shù)字和為.分析：正面—黃，右面—紅，上面—藍(lán)，后面—紫，下面—白，左面—綠所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為：4+6+2+5=1717．觀察以下由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖⑴所示共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見，0個(gè)看不見；如圖⑵所示：共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見，1個(gè)看不見；如圖⑶所示：共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見，8個(gè)看不見……〔1〕寫出第⑹個(gè)圖中看不見的小立方體有125個(gè)；〔2〕猜測并寫出第(n)個(gè)圖形中看不見的小立方體的個(gè)數(shù)為____(n-1)3______個(gè).分析：11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角一、知識構(gòu)造圖二、典型問題：〔一〕數(shù)線段——數(shù)角——數(shù)三角形問題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段.分析：點(diǎn)線段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=問題2．如圖，在∠AOB部從O點(diǎn)引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有〔D〕個(gè)(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB部從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè).射線角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=類比：從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè).射線角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形.〔二〕與線段中點(diǎn)有關(guān)的問題線段的中點(diǎn)定義：文字語言：假設(shè)一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩局部，則這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)圖形語言：幾何語言：∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)∴，典型例題：1．由以下條件一定能得到"P是線段AB的中點(diǎn)〞的是〔D〕〔A〕AP=AB〔B〕AB＝2PB〔C〕AP＝PB〔D〕AP＝PB=AB2．假設(shè)點(diǎn)B在直線AC上，以下表達(dá)式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有〔A〕A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)3.如果點(diǎn)C在線段AB上,以下表達(dá)式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中點(diǎn)的有(C)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4．線段MN，P是MN的中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ的中點(diǎn)，則MR=______MN．分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)QN=*，則PQ=*，MP=2*，MQ=3*，所以，MR=*，則5．如下圖，B、C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，假設(shè)MN=a，BC=b，則線段AD的長是〔〕A2〔a-b〕B2a-bCa+bDa-b分析：不妨設(shè)=ND=*，AM=MB=y因?yàn)镸N=MB+BC+所以a=*+y+b因?yàn)锳D=AM+MN+ND所以AD=y+a+*=a-b+a=2a-b〔三〕與角有關(guān)的問題1．：一條射線OA，假設(shè)從點(diǎn)O再引兩條射線OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，則∠AOC=____80°或40°________度〔分類討論〕2．A、O、B共線，OM、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線，猜測∠MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論．猜測：_90°______證明：因?yàn)镺M、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線所以∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB因?yàn)椤螹ON=∠MOC+∠CON所以∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°3．如圖，直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，，求的度數(shù)．分析：因?yàn)槭侵苯牵?，所以∠EOF=56°因?yàn)槠椒炙浴螦OF=56°因?yàn)椤螦OF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22°因?yàn)橹本€和相交于點(diǎn)所以=∠AOC=22°4．如圖，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，〔1〕假設(shè)∠A=60°，求∠O；〔2〕假設(shè)∠A=100°，∠O是多少.假設(shè)∠A=120°，∠O又是多少.〔3〕由〔1〕、〔2〕你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律.當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎.〔提示：三角形的角和等于180°〕答案：〔1〕120°；〔2〕140°、150°〔3〕∠O=90°+∠A5．如圖，O是直線AB上一點(diǎn),OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補(bǔ)的角共有〔B〕對(A)2(B)3(C)4(D)56．互為余角的兩個(gè)角〔B〕〔A〕只和位置有關(guān)〔B〕只和數(shù)量有關(guān)〔C〕和位置、數(shù)量都有關(guān)〔D〕和位置、數(shù)量都無關(guān)7．∠1、∠2互為補(bǔ)角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是〔C〕A.〔∠1＋∠2〕B.∠1C.〔∠1－∠2〕D.∠2分析：因?yàn)椤?＋∠2=180°，所以〔∠1＋∠2〕=90°90°-∠2=〔∠1＋∠2〕-∠2=〔∠1－∠2〕第六講：相交線與平行線一、知識框架二、典型例題1.以下說確的有(B)①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③假設(shè)兩個(gè)角不相等,則這兩個(gè)角一定不是對頂角;④假設(shè)兩個(gè)角不是對頂角,則這兩個(gè)角不相等.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.如下圖,以下說法不正確的選項(xiàng)是(D)A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB;B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段;D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段3.以下說確的有(C)①在平面,過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于直線;②在平面,過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于直線;③在平面,過一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于直線;④在平面,有且只有一條直線垂直于直線.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4．一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向一樣，這兩次拐彎的角度可能是〔A〕A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如圖，假設(shè)AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，則以下結(jié)論必定成立的是〔C〕A.CD>ADB.AC<BCC.BC>BDD.CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、根本圖形——"雙垂直〞圖形6．如圖,AB∥CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,假設(shè)∠1=72°,則∠2=____54°___.7．如圖,AB∥EF∥CD,EG∥BD,則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有(C)A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)8．如圖，直線l1、l2、l3交于O點(diǎn)，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，假設(shè)n條直線相交呢.答案：3對，n(n+1)9.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_________．1123答案：∠1=∠2>∠310.如下圖,L1,L2,L3交于點(diǎn)O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度數(shù).(方程思想)答案：36°11．如下圖,AB∥CD,分別探索以下四個(gè)圖形中∠P與∠A,∠C的關(guān)系,請你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明.(1)(2)(3)(4)〔1〕分析：過點(diǎn)P作PE//AB∠APE+∠A+∠C=360°〔2〕∠P=∠A+∠C〔3〕∠P=∠C-∠A,〔4〕∠P=∠A-∠C12．如圖，假設(shè)AB//EF，∠C=90°，求*+y-z度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：*+y-z=90°13．：如圖，求證：分析：法一法二：由AB//CD證明PAB=APC，所以EAP=APF所以AE//FP所以第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識要點(diǎn)：1、特殊位置的點(diǎn)的特征〔1〕各個(gè)象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號〔2〕坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,即縱坐標(biāo)為0;軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)、、兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)軸對稱，且。3、距離〔1〕點(diǎn)A到軸的距離：點(diǎn)A到軸的距離為||；點(diǎn)A到軸的距離為||；〔2〕同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔*，y〕，如果*y<0,則點(diǎn)M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2．點(diǎn)P〔m，1〕在第二象限，則點(diǎn)Q〔-m，0〕在〔〕A．*軸正半軸上B．*軸負(fù)半軸上C．y軸正半軸上D．y軸負(fù)半軸上3．點(diǎn)A〔a，b〕在第四象限，則點(diǎn)B〔b，a〕在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．點(diǎn)P〔1，-2〕關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是〔〕A．〔-1，-2〕B．〔1，2〕C．〔-1，2〕D．〔-2，1〕5．如果點(diǎn)M〔1-*，1-y〕在第二象限，則點(diǎn)N〔1-*，y-1〕在第象限，點(diǎn)Q〔*-1，1-y〕在第象限。6．如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，則炮的位置應(yīng)表示為A．(8，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(8，8)7．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為〔0，0〕，〔5，0〕，〔2，3〕則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔〕A．〔3，7〕B．〔5，3〕C．〔7，3〕D．〔8，2〕8．點(diǎn)P〔*,〕，則點(diǎn)P一定〔〕A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在*軸上方D．不在*軸下方9．長方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥*軸，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔－2，4〕，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為___(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)______。10．三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A〔-4，-1〕，B〔1，1〕，C〔-1，4〕，將三角形ABC向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是〔C〕A．〔2，2〕，〔3，4〕，〔1，7〕B．〔-2，2〕，〔4，3〕，〔1，7〕C．〔-2，2〕，〔3，4〕，〔1，7〕D．〔2，-2〕，〔3，3〕，〔1，7〕11．"假設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是〔*1，y1〕、〔*2，y2〕，則線段PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，〕．〞點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為〔-5，0〕、〔3，0〕、〔1，4〕，利用上述結(jié)論求線段AC、BC的中點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，并判斷DE與AB的位置關(guān)系．解：由"中點(diǎn)公式〞得D〔-2，2〕，E〔2，2〕，DE∥AB．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．分析：13．如圖，三角形AOB中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔-4，-6〕，〔-6，-3〕，求三角形AOB的面積解：做輔助線如圖．S△AOB=S梯形BCDO-〔S△ABC+S△OAD〕=×〔3+6〕×6-〔×2×3+×4×6〕=27-〔3+12〕=12．14．如圖，四邊形ABCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔–2，8〕，〔–11，6〕，〔–14，0〕，〔0，0〕?！?〕確定這個(gè)四邊形的面積，你是怎么做的"〔2〕如果把原來ABCD各個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)增加2，所得的四邊形面積又是多少.分析：〔2〕面積不變15．如圖，A1(1,0)、A2〔1，1〕、A3〔-1，1〕、A4〔-1，-1〕、A5〔2，-1〕，…，則點(diǎn)A2007的坐標(biāo)為______________________.答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點(diǎn)1．三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b〔兩點(diǎn)之間線段最短〕由上式可變形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的兩邊之差小于第三邊高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中線角平分線三角形一個(gè)角的角平分線與這個(gè)角對邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題〔一〕三邊關(guān)系1．三角形三邊分別為2,a-1,4,則a的取值圍是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62．小穎要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法.可以是多少.分析：設(shè)第三根木棒的長度為*，則3<*<13所以*=4,5,6,7,8,9,10,11,123：：△ABC中，AD是BC邊上的中線求證：AD+BD>〔AB+AC〕分析：因?yàn)锽D+AD>AB、CD+AD>AC所以BD+AD+CD+AD>AB+AC因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BD=CD所以AD+BD>〔AB+AC〕〔二〕三角形的高、中線與角平分線問題：〔1〕觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線.〔2〕圖中存在哪些相等角.注意根本圖形：雙垂直圖形4．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C〔∠C除外〕相等的角的個(gè)數(shù)是〔〕A．5B．4C．3D．2分析：5．如圖，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度數(shù)。分析：∠CED=40°+34°=74°所以∠CDF=74°6．一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)展比照試驗(yàn)，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請你設(shè)計(jì)出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。分析：7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O?！?〕假設(shè)∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC=?！?〕假設(shè)∠ABC+∠ACB=116°，則∠BOC=。〔3〕假設(shè)∠A=76°，則∠BOC=?！?〕假設(shè)∠BOC=120°，則∠A=?！?〕你能找出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎.8．:BE,CE分別為△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分線,求:∠E與∠A的關(guān)系分析：∠E=90°-∠A9．:BF為∠ABC的角平分線,CF為外角∠ACG的角平分線,求:∠F與∠A的關(guān)系分析：∠F=∠A思考題：如圖：∠ABC與∠ACG的平分線交于F1；∠F1BC與∠F1CG的平分線交于F2；如此下去,∠F2BC與∠F2CG的平分線交于F3；…探究∠Fn與∠A的關(guān)系〔n為自然數(shù)〕第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理〔一〕三角形角和定理：三角形的角和為180°〔二〕三角形的外角性質(zhì)定理：三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)角和三角形的任意一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的角〔三〕多邊形角和定理：n邊形的角和為多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360°二、典型例題問題1：如何證明三角形的角和為180°.1．如圖,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度數(shù).分析：∠CDE=∠ADC-∠2∠1=∠B+40°-∠2∠1=∠B+40°-〔∠1+∠C〕2∠1=40°∠1=20°2．如圖：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC求證：∠EAD＝〔∠C－∠B〕3．：CE是△ABC外角∠ACD的角平分線，CE交BA于E求證：∠BAC>∠B分析：問題2：如何證明n邊形的角和為4．多邊形角和與*一個(gè)外角的度數(shù)總和是1350°，求多邊形的邊數(shù)。5．科技館為*機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照圖4中的步驟行走，則該機(jī)器人所走的總路程為〔〕A.6米 B.8米C.12米D.不能確定第十講：二元一次方程組一、相關(guān)知識點(diǎn)二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)都不為0，這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式：一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對和的值，叫做這個(gè)方程