數(shù)據(jù)處理與軟件補(bǔ)充線性-多元統(tǒng)計(jì)分析等

第一篇線性規(guī)第一章線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模一、線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模20世紀(jì)30年代末就有人從等問題開始研究它。它在運(yùn)籌學(xué)中是研究較早、發(fā)展較快、（一）問nn人去做，每人做一件工作，而各人對(duì)做各種工作的效率不同，問應(yīng)如（一）問例1A1A2，其產(chǎn)量分別為23萬塊和27,,價(jià)如表1-1。問應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，才使總運(yùn)費(fèi)最低1-（萬塊磚）解（i=1，2；j=1，2，3，例x11A1B1磚的數(shù)量等等?，F(xiàn)列表如下（1-2）1-AiB1B2B3AiBjA1A2磚的Bj的需求量。于是有x11x12x13xx

x11x21約束條件

x13x23xx

0(i

jx11x12x13x21x22x23s50x1160x1270x1360x21110x22元/噸）1-3所示。問應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，才使總運(yùn)費(fèi)最少？1-…產(chǎn)量（噸…………銷量（噸…表中：aiAi的產(chǎn)量（i=1，2，…，mbjBj的銷量（j=1，2，…，n（i=，，…，；j=1，2，…，n 解假定產(chǎn)銷平衡（即aibjxijAiBj的物資數(shù) jj=1，2，…，n；x11x12x1n xm1xm2xmn x x 0i1, ,m;j1,,s=c11x11+c12x12+…+cmnxmn（Σ,, xijai(i1,j (產(chǎn)地Ai發(fā)到各銷地的發(fā)量總和等于Ai的產(chǎn)量,xijbj(j, (各產(chǎn)地發(fā)到銷地Bj的發(fā)量總和等于Bj的銷量,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

如果沒有產(chǎn)銷平衡這一限制，當(dāng)產(chǎn)大于銷時(shí)（即aibi ；,, xijai(i1,j (產(chǎn)地Ai發(fā)到各銷地的發(fā)量總和不超過Ai的產(chǎn)量,xijbj(j, (各產(chǎn)地發(fā)到銷地Bj的發(fā)量總和等于Bj的銷量,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

nB1，B2，…，BnmA1，A2，…，Am。各塊土地畝數(shù)、各種作物計(jì)劃播種面積及各種作物在各塊地上的凈產(chǎn)值（單位：元）1-4所示，問應(yīng)如 何合理安排種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)量最多（這里假定即aibi,土地面積1-

………………（i=1，2，…，mbjBj的畝數(shù)（j=1，2，…，n（i=，，…，；j，，…，解j=1，2，…，n；,,j

(在各地塊上種植作物Ai的總畝數(shù)等于Ai的計(jì)劃播種數(shù),xij,

(j1, (在土地Bj上種植各種作物的總畝數(shù)等于Bj的面積,,m;j1, ,xij0i1,

scijj1

（i=1，2，…，n aikbi fi噸（i=1，2，…，n。從Ai運(yùn)原料或產(chǎn)Aj（i，j=1，2，…，n）每噸為cij元，問應(yīng)解（i，j=1，2，…，n（i，j=1，2，…，n（i=1，2，…，n1-5所示?！?xijai(i,j (從Ai運(yùn)往各地原料總數(shù)以及Ai的留用數(shù)等于Ai的原料產(chǎn)量,,

(j1,

(從各地運(yùn)往Aj的原料總數(shù)以及Aj的留用數(shù)等于在Aj設(shè)廠所需原料數(shù),yijzi(i,j (由Ai運(yùn)往各地的成品總數(shù)以及Ai的留用數(shù)等于Ai的產(chǎn)品數(shù),yijbj(j, , ,fiziei(i1, (在Ai生產(chǎn)的成品數(shù)必須在fi至ei之間x0,y0,z scij(xijyijdizi的值最?。ㄉa(chǎn)總費(fèi)用最少

j

設(shè)有n件工作B1，B2，…，Bn分派給n人A1，A2，…，An去做，每人只做一件工作，且每件工作只分派一個(gè)去做。設(shè)Ai完成Bj的工時(shí)為cij(i,j=1,2,…,n)。問應(yīng)如何分派才使完成解xijBj分派給Ai的情況Bj分派給Aixij=1不分派給Aixij=0(i,j=1,2,…,n)。xij(i,j=1,2,…,n)的值，使它滿足約束條件,, xij (j1, ,xij ,j ,xij0或 (i,j, scijxiji1j設(shè)某車間用機(jī)床A1，A2，…，Am生產(chǎn)由B1，B2，…，Bn這n個(gè)不同零件構(gòu)成的機(jī)器。如果每架機(jī)器需要各種零件的數(shù)目成比例λ1λ2:…:λnAiBj的效率（每日生產(chǎn)零件數(shù)）cij。問應(yīng)如何分配機(jī)床負(fù)荷，才使生產(chǎn)的機(jī)器最多。（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,, j (機(jī)床Ai生產(chǎn)各種零件時(shí)間總和應(yīng)等::cinxin1:2m: ci1xi1:ci2xi2約束條件

cincini1mn

ci1 ci2xi

(各機(jī)床一天生產(chǎn)各種零件總數(shù)，應(yīng)成已定比例,m;j1, ,m;j1, m (生產(chǎn)零件時(shí)間不能為負(fù)數(shù)mci1并且使目標(biāo)函數(shù)s 特別地，當(dāng)λ1:λ2::λn=1:1:1（即每架機(jī)器需要各種零件數(shù)目相同）時(shí)，它求一組變量xij(i=1,2,…,m；j=1,2,…，n)的值，使它滿足約束條j

i1

ci2xi

cin,m;j,m;j1, ,x0(i1,mmsci1xi11-6所示。1-產(chǎn)品………………解xjBj（j=1,2,…，n）的計(jì)劃數(shù)。這一問題的數(shù)學(xué)模型為：xj(j=1,2,…,n)的值，使它滿足約束條件 xjj（只考慮單位成品,cijxjai(i,j ,,xj0(j1,n nsbjxj的值最大（總利潤最多j和加工每個(gè)零件的成本（單位：元/個(gè)）1-71-8所示。問在這個(gè)生產(chǎn)周期，怎樣安1-零件………………1-加 每 ……………解（i1,2,…，；j=1,2,…，nxi

,, cijxijai(i1,j (機(jī)床Ai加工各零件總機(jī)時(shí)過Ai能工作機(jī)時(shí),xijbj(j, (各機(jī)床加工零件Bj的總數(shù)不能少于Bj需要數(shù),,m;j1, ,xij0整數(shù)(i1 sdijxij的值最?。庸た偝杀咀钌賘1有B1，B2，…Bn種不同的下料方式，每種下料方式可得各種毛坯個(gè)數(shù)及每種零件需要量如1-……………解Bjxj,cijxjai(i,j約束條件 (所下的Ai零件總數(shù)不能少于ai,x 0整數(shù)j,xn nsxj的值最?。ㄋ迷牧狭可賘設(shè)用n種原料B1，B2，…Bn制成具有m種成分A1，A2，…Am的產(chǎn)品，其所含各成分需a1a2…am1-10所示。1- 解（j=1,2,…,nxj(j=1,2,…,n)的值，使它滿足c

,a(i,j

ij ,x 0(j,x nn

sbjxjj1

x1,x2,xn x

xax

bb11ax

12 1nxa

bbb21

22

2n ax x xb或bbm1

m2

mn

(j1,2,,sc1x1c2x2cnxn達(dá)到最?。ɑ蜃畲?。如果約束條件中第k

ak1x1ak2x2aknxnbkxnk0，使之成為ak1x1ak2x2aknxnxnkbk如果約束條件中第r個(gè)式子為

ar1x1ar2x2arnxnbr，則人為地添加變量xnr0，使之成為ar1x1ar2x2arnxnxnrbr通過這種方法，使所有的約束條件都變成等式。xnk,xnr為松弛變量如果問題是使目標(biāo)函數(shù)sc1x1c2x2cnxn達(dá)到最大，則化為使目標(biāo)函數(shù)ssc1x1c2x2cn

xjxj0,xj0xjxjxjminsc1x1c2x2cna11x1a12x2a1nxnaa

a22

a2n

a am1

am2

(j1,2,,

a1n

x1

a1ja

b

x

a記A

2n

，b2

，x2

，P

2j

b

x a

mn

m

n

minsAxx

Pj(1jn)Ajxj（1如果x0x0 x0滿足約束條件，即有Ax0b,x00，則稱0為可 A、B60噸、100噸。它們擔(dān)負(fù)供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)用煤任務(wù)45噸、75噸、40噸。A10公里、5公里、6公里，B4公里、8公里、15公里。問這兩煤廠如何分配供用機(jī)床A1，A2，A3加工零件B1和B2分別為50個(gè)和70個(gè)；各機(jī)床必須加工出零件數(shù)：A140個(gè)，A235個(gè)，A345個(gè)；各種機(jī)床加工各種零件加工費(fèi)（單位：元/個(gè)）如1-11所示。問如何分配這三臺(tái)機(jī)床加工這兩種零件的任務(wù)，才使總加工費(fèi)最少。1- 零41A1307A22613A324萬噸，不需成品。A1A2萬噸，在A2為0.4萬元/萬噸，在A3為0.3萬元/萬噸。因條件限制，在A2設(shè)廠規(guī)模過5萬噸，A1A3可以不限制。問應(yīng)在何地設(shè)廠，生產(chǎn)多少成品，才能使生產(chǎn)費(fèi)用610元。木器廠在現(xiàn)有木料條1-13所示。問應(yīng)如何組織生產(chǎn)，使總產(chǎn)量最大。1-3020某鋼廠兩個(gè)煉鋼爐同時(shí)各用法煉鋼。第一種煉法每爐用a小時(shí)；第二種用b小時(shí)（包括清爐時(shí)間。假定這兩種煉法每爐出鋼都是k公斤，而煉1公斤鋼的平均費(fèi)第一法為m元，第二法為n元。若要求在c小時(shí)內(nèi)煉鋼公斤數(shù)不少于d，問應(yīng)怎樣分配兩種50098789810000根，782000017—125002001-14所示。月設(shè)有n種飼料，各含m種營養(yǎng)成分。每只雞每天需要各營養(yǎng)成分的數(shù)量、各種飼料1-料飼………………在n塊土地上種植n種作物。每塊土地只種一種作物且每種作物只在一塊土地上種1-16所示。問應(yīng)如何制訂種植計(jì)劃，才使總產(chǎn)值最多。1-……………第二章對(duì)偶線性規(guī)劃問一、對(duì)偶線性規(guī)劃問題及基本性)mina11x1a12x2a1nxnaa

a22

a2n

a am1

am2

mnxn

(j1,2,,Ⅱmaxa11y1a21y2am1ymaa12

a22

am2

ay y 1n

2n

mn yi

(i1,2,,yy1,y2,,ym)，則可將上述對(duì)偶規(guī)劃問題寫成如下矩陣形式：mnAxxmaxyAy

1如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第k個(gè)約束條件是等式，那么它的對(duì)偶規(guī)劃(Ⅱ)中的kyk無非負(fù)限制。反之亦然，即若線性規(guī)劃問題(Ⅱ)的第l么它的對(duì)偶規(guī)劃(Ⅰ)中的第lxl證明如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第kak1x1ak2x2aknxn

ak1x1ak2x2aknxn如果線性規(guī)劃問題(Ⅰ)的第kak1x1ak2x2aknxnminsmaxsmaxgmin(g)1mins2x13x22x14x2x33x7x5x

9x

解（1）保持目標(biāo)函數(shù)極小化不變，視為與規(guī)劃問題(Ⅰ)”約束，得到mins2x13x22x14x2x3 3x7x5x 5x6x

y2x1無非負(fù)限制，對(duì)偶問題中第一maxg5y18y272y13y25y3 7y6y

yy 3 9yyy 3y,y30；y2max(s)2x13x22x14x2x33x7x5x

9x3y2x1無非負(fù)限制，對(duì)偶問題中第一ming5y18y272y13y25y34747

6

y1y29y3y,y30；y2或

g)5y18y272y13y25y3 7y6y

yy 3 9yyy 3y,y30；y2對(duì)比(5)式與(6)式看出式中y1和y3的系數(shù)對(duì)應(yīng)相y2的系數(shù)均相差一個(gè)符號(hào)。y2的取值互為相反數(shù)。2x,y分別為互為對(duì)偶線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)的可行解,那么它們對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值間的關(guān)系是sg，即(Ⅰ)的最小的目標(biāo)函數(shù)值也不小于(Ⅱ)的最大的目標(biāo)函數(shù)證 由規(guī)劃問題(3)

Ax

，由規(guī)劃問題(4)

c

，于是scxyA)xyAx)ybg，即sg定理3x*,y*分別為互為對(duì)偶線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)的可行解,并且cx*y*bx*,y*分別為(Ⅰ)和(Ⅱ)證明2,對(duì)于(Ⅰ)x，則cxy*bcx*x*為問題(Ⅰ)的最y*為問題(Ⅱ)的最優(yōu)解。定理4若互為對(duì)偶線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)中任意一個(gè)有可行解但無最優(yōu)解,則另一證明用反證法。設(shè)(Ⅰ)x0,但無最優(yōu)解，即cx0如果(Ⅱ)存在可行解y0，那么由定理2必有cx0y0b，這與cx0無下界。所以(Ⅰ)有可行解但無最優(yōu)解,則(Ⅱ)無可行解同理可證,若(Ⅱ)有可行解但無最優(yōu)解,則(Ⅰ)無可行解5若互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)都有可行解,證明用反證法。設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都有可行解。如果(Ⅰ)（或(Ⅱ)）沒有最優(yōu)解,則由定理4必得(Ⅱ)（或(Ⅰ)）無可行解,與假設(shè)。所以若(Ⅰ)、(Ⅱ)都有可行解,則都有最優(yōu)定理6若互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)中任意一個(gè)有最優(yōu)解,則另一個(gè)也有最證明二、對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)意義——價(jià)的最優(yōu)解為y*(y*,y*,y*)，則稱y*為原問題(Ⅰ)的第k個(gè)約束條件的價(jià)格； 果對(duì)偶問題(Ⅰ)x*(x*,x*,x*x*為原問題(Ⅱ)的第l

根據(jù)定理6,互為對(duì)偶問題(Ⅰ)、(Ⅱ)的最優(yōu)值s*cx*g*當(dāng)原問題(Ⅰ)的第一個(gè)約束條件右端常數(shù)b1增加一個(gè)單位，即b1變成b11時(shí)，原問題的最1b1(y*,y*,y*) m 即最優(yōu)解增加了y*個(gè)單位。其他y*也有類似的含意 y*（1km）表示原問題(Ⅰ)的第k個(gè)約束條件右端常數(shù)b 附錄習(xí)題一（）5648銷量

x11x12x13xx

x11x21 x13x23

xijx

(i

jmins10x115x126x134x218x22本題看似一個(gè)生產(chǎn)組織問題，實(shí)際應(yīng)化為問題處理。1,2；jx11x12xx

x31x32

x12x22x32

xxs x11

ijx12

(ix21

jx22

xij為Ai運(yùn)原料到Aj的數(shù)量（萬噸）（i j,；jAj的原料總數(shù)（Aj自產(chǎn)）AjAi運(yùn)往各地的產(chǎn)品總數(shù)（Ai自留）AiAj的產(chǎn)品總數(shù)（Aj自產(chǎn)）Aj的產(chǎn)品需yjizi

(jy11y21y31yy

y13y23y33z2x0,y0,z

(i mins0310x120.55z1x1x2，則約束條件為：0.18x10.09x20.08x10.28x2x0,x maxs6x1位：日（i ，x12x22x13x2330x15x18x

x

(i j

maxs30x1115x12 maxs20x2140x22x11x12x13x21x22x23x11x12x13xx

或maxs30x1220x22

maxs20x11maxs25x13x21,分別為第二鋼爐使用第一、二種方法煉鋼的時(shí)間（小時(shí)時(shí)間不大于c小時(shí)和總煉鋼量不小于dx11x12 k( x)k( x) xx

(i,jminsmk( x)nk(x x 毛坯98厘米毛坯A154321078厘米毛坯A2012356xj5x14x23x32x4

x2x3x5x

x (jx66minsxx1x2公斤谷類飼料混合一天的飼料。約束條件為x1x24xx x x77

x10,x2這是一個(gè)庫存管理問題。設(shè)x7～x12分別表示7～12月份的進(jìn)貨量y7～y12分別表7～12500。例如：7月初的進(jìn)貨量6500，即有200x7500；778500，即200x7y7x8500x7(xiyi)xi1

(kxi,yi0(i進(jìn)貨價(jià)為a元∕件。目標(biāo)函數(shù)為maxs29y724y826y928y1022y1125(200a28x724x825x927x1023x1123x12maxs29y724y826y928y1022y1125(28x724x825x927x1023x1123x12n種飼料各投入多少單位進(jìn)行配xjBj飼料進(jìn)行配合（j1,2,n。約束條件來自各營養(yǎng)成份滿 cijxj

(i1,2,,xx

j

(j1,2,,nnminsbjxAiBj上。在變量設(shè)置上，通常用一個(gè)變量的兩個(gè)xij

作物Ai不種在地塊Bj上作物Ai種植在地塊Bj xij1（j1,2,,xij1（i1,2,,xx

0或1（i,j1,2, maxsciji1第二篇模糊數(shù)學(xué)基第一章模糊數(shù)學(xué)基本知控制專家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次。近年來，模糊數(shù)學(xué)方法在自然科學(xué)和社會(huì)一、模糊子集及其運(yùn)(一)模糊子集及其表示方xAxxAA都有IA(x，其定義如下： I(x)

當(dāng)x當(dāng)x

糊數(shù)學(xué)是將二值邏輯｛0，1｝拓廣到可取[01把特征函數(shù)作適當(dāng)?shù)耐貜V，得到隸屬函數(shù)(x)，它滿足0≤(x)≤ UU1Ax[01U到[01xU，都有唯一的A(x01與之對(duì)應(yīng)，則稱該映射給定了論域U上的一個(gè)模糊子集AAA的隸屬函數(shù)A(x)x對(duì)A的隸屬度。AxU，隸屬度A(xx如果論域U是有限集，可以用向量來表示模糊子集A。一般地，若論域?yàn)閁x1,x2,xnA,nA[1,,n在(3)i[01(i=1，2，…，n)ixi對(duì)AUA

A12 n

x2

xn i10時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可以省略。UAAxUA(x)/

~A{(x,A(x))x~~

1231x,x123

x,

44x1x3受歡迎的程度為

x2受歡迎的程度為x4受歡迎的程度為0.90,根據(jù)上述分?jǐn)?shù),可以認(rèn)為在論域Ux1x2x3x4了模糊集A~，U中每個(gè)元素隸屬~的程度分1(x)0.851

(x)0.5022

(x)0.2533

(x)0.9044例2 為論域U=[0,100],Zadeh給出“年輕”模糊集Y~的隸屬函

,0x,25x 以及“年老”模糊集O~的隸屬

,0x

50x 25歲以下

Y(x)=1這就是說在25歲以下的人,百分之百屬于年輕；當(dāng)~~~Y(x=0.1,4010%.同樣,對(duì)于“年老”這一模糊集,~~O(x=0.97。顯然,80601-1y~ 1-13設(shè)論域U=[0,500]的模糊集,它的隸屬函數(shù)定義

~A(x)=

(xa) )

x[0,其中ab為兩個(gè)參數(shù)。若取a=300，b=100x360時(shí),360mm0.679。(二)模糊子集的運(yùn)算及其性

(360=0.697UAB（1）ABA(x)B

x（2）AA(x)

xABA(x)BAA(x)1

x BAB(x)max{A(x),B(x)}A(x)B BAB(x)min{A(x),B(x)}A(x)B

冪等律：AA=AAA=交換律：ABBA，ABB結(jié)合律：AB)C=A∪BC)(ABC=ABC)吸收率：A∪(AB)=A∩(A∪B)=A∪BC)=(AB)(ACA∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C復(fù)原(對(duì)合)A對(duì)偶率（DeMorgan原理）： B B， B UU， UA，這里將論域U看作是一個(gè)模糊子集，U(x~

(xU)2AUAA(xxA的隸屬度。對(duì)于任一[01]，稱集合A的強(qiáng)-截集；稱集

A=｛x|A(x) A=｛x|A(x) A的弱-截集。通常，將強(qiáng)-截集與弱-截集統(tǒng)稱為-截集中，通常使用弱-對(duì)于有限論域Ux1,x2,xnss

A(xi)~(x)

t t

A(xi)~(x)~ ~A的強(qiáng)-A

,sn]A[s1,sn]A的弱-AAA[t1,t2 ,tn]例如U={x1,x2,…,x5},A 0.7],A的強(qiáng)0.5-截集分別表示為A0.5={x3,x4,x5}，A0.5 二、模糊關(guān)系與模糊(一)模糊3UV是兩個(gè)普通集合，UV RUV（UV之間的一個(gè)模糊關(guān)系RF(UV。特別當(dāng)UVRU上的模糊關(guān)系。Rxy之間某種關(guān)系（或特征）的體現(xiàn)。若(xyUV(xy對(duì)R的隸屬度R(x,yR(x,y)xy具有這種關(guān)系的程度。當(dāng)U和V為有限集合時(shí)，記U{u1,u2, ,un}，V{v1,v2, ,vm}，U與V之間的模糊關(guān)系R則可以用矩陣表示為Rrij

rr2mrnrnm其中，rijR(xiyjxiyjR的程度，rij[02，…，m。矩陣(10)UV間的模糊關(guān)系矩陣，簡(jiǎn)稱模糊矩陣。當(dāng)UV時(shí)，有Rrij

rr2nrrnnUIIIx,yU

都有I(xy

當(dāng)x當(dāng)x零關(guān)系O

OO(x,y)

E

EE(x,y)

RT

R RT (x,y)(y,R

x,y4U，V，WR1UVR2VWR1R2R1R2的合成UWxUzW

R

(x,z)R(x,y)

(y,

1 yV ~是論域UkR0I，R2RR，RkRRk1（n2 ~I

~

~5設(shè)U，V，W均有限論域

Rrij ，Qqjk

SSRQ(sik~對(duì)Q~對(duì)Q s j1

,

,

k1, ,l 乘法“×”改為“∧”(當(dāng)然也可以據(jù)實(shí)際需要采用其他模糊算子)。例4Uu,u,u,Vvvvv,

0，Q

授”（課程）QF(VW表示（課程）“RQ

00 0

解RQ

0

00

這說明教師u1與學(xué)生w1、教師u2與學(xué)生w2之間有師生關(guān)系，教師u3與三位學(xué)生均①①結(jié)合律(R1R2)R3R1(R2R3②IRRI③③ORROR1R2RR1R⑤ R)TR RT⑥R R2)(RR1 (RR2) R2)R(R1 (R2⑦R R2)(RR1 (RR2) R2)R(R1 (R2⑧ R)T 1R2⑨ R)T 1R2⑩(RT)T6RUxU,R(xx)1；x,yU,R(x,y)Ryx；RU中的模糊相似關(guān)系R還滿足傳遞性：對(duì)xyzUR(xzR(zy)R(xyRR2RU中的模糊等價(jià)關(guān)系7如果(11)RR

riiRT

rr R(二)模糊

(

k8Rrrr2mrnrnm(A ,bmA,n,nkkk

(ar k k

為模糊變換。顯然，在(12)0≤bj≤1(j=1，2，…，m)第二章模糊聚類分析方類分析方在地理區(qū)與地事物分研究中到廣泛地應(yīng)用本節(jié)主介紹(

rij

(1i,jn)

(rikrkj)(1i,jn)k,unUu1,un1R是UR對(duì)應(yīng)著U的一個(gè)劃分,即將U分成若干個(gè)類，2Rrij

是模糊等價(jià)矩陣的充分必要條件是對(duì)任意的01因此對(duì)于有限論域U{u1,u2 ,un}若R是U上的模糊等價(jià)關(guān)系則用水平截時(shí)，得到的R是UU中元素的一個(gè)劃分。當(dāng)由分類對(duì)象UR的建立，是模糊聚類分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為建立分類對(duì)象集合U數(shù)，從而得到UR，進(jìn)而合成模糊等價(jià)關(guān)系。設(shè)Uu1,u2 ,un為待分類對(duì)象的全體，稱ui（1in）為樣品；每一樣品m項(xiàng)分類特征指標(biāo)（簡(jiǎn)稱指標(biāo)），若樣品uimx2mnxnmX

xxikxk

k kxik表示第i個(gè)樣品的第kxkmaxkxkmin表示第kxx1m2mxxnxnmxik表示第i樣品的第k0xik1m建立ui與uj離法等。這里僅介紹產(chǎn)生模糊相似矩陣Rrij

r1

i

xx

iM

k Mmaxxikxjk，M

i,jk mmxik

xjkxm m x 2m2 k k

mxikxjkm rk

xikxjkkmxikxjkmm 1 rm 1

xjk2kmxikxjkmxikxrxikx

k1

mm|xikxjkek

rij

當(dāng)i當(dāng)i

1c

xik k其中c是一個(gè)可以適當(dāng)選取的正數(shù)，使0rij1R2R2RR，R4R2R2RR2kRkRk于是得到模糊等價(jià)關(guān)系e(RRk3R是模糊相似矩陣，則對(duì)于任意的knRke(R3知，至多需要作(log2n1給定不同置信水平，利用e(R的截集便可對(duì)U1環(huán)境單元分類。每個(gè)環(huán)境單元包括空氣、水份、土壤、作物四個(gè)要素。環(huán)境單元的污染狀況由污染物在四要素中含量的超限度來描述。現(xiàn)有五個(gè)環(huán)境單元，記為Uu1u2u3u4u5 x=（1，5，3，1），x=（2，4，5，1）。試對(duì) 解首先，按方法⑦建立模糊相似關(guān)系，取c0.1 R 111111 11111 1R4111111 1所以R4R的等價(jià)閉包，也就是所求的模糊等當(dāng)00.4時(shí),U分為一類:{當(dāng)0.40.5時(shí),U分為二類:{I，III，IV，V}，{II}；當(dāng)0.50.6時(shí),U分為三類:{I，III}，{IV，V}，{II}；當(dāng)0.60.8時(shí),U分為四類:{I，III}，{II}，{IV}，{V}；當(dāng)0.81時(shí),U分為五類:{I}，{II}，{III}，{IV}，{V}聚類圖如圖2-1所示。 第三章模糊綜合評(píng)一、模糊綜合評(píng)價(jià)模(一)單層次模糊綜合評(píng)價(jià)模 其中，U代表所有的評(píng)價(jià)因素所組成的集合，稱為因素集，V代表所有的評(píng)語等級(jí)所組成的RR 2rrR2nmrrmnm個(gè)評(píng)價(jià)因素的評(píng)價(jià)決策矩陣UV如果各評(píng)價(jià)因素的權(quán)重為A[a1,a2 ,am]（顯然，A是U上的模糊子集），一般mm求0ai1ai1VBBAR[b1,b2 大的bi(1in)所對(duì)應(yīng)的評(píng)語。(二)多層次模糊綜合評(píng)價(jià)模 U1,U2, ,UmmUimUi Uj

i其中Ui{ui1,ui2 ,uin}含有ni個(gè)評(píng)價(jià)因素（i1, ,m）。于i,UmU/c=｛U1,,Um

仍設(shè)評(píng)語集為V=｛v1，v2，…，vn｝。對(duì)于每一個(gè)子集Ui中的ni個(gè)評(píng)價(jià)因素層次模糊綜合評(píng)價(jià)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，以r(i表示因素u獲得評(píng)語vkj rr(ir(ir(i)1nRr(ir(ir(i)inir(ir(inir(ini如果Ui中諸因素的權(quán)重為Ai[ai1, ,ain]，則得到第i個(gè)子集Ui的綜合評(píng)價(jià)結(jié)i

BiAiRi[bi1,bi2BiAiRi[bi1,bi2 ,bin

B bR

2

2n

B bm mn如果U/c中m個(gè)因素子集U1,U2 ,Um的權(quán)重向量AA[a1,a2 ,amBBAR[b1,b2 按最大隸屬原則，該系統(tǒng)應(yīng)獲得最大的bi(1in

二、模糊綜合評(píng)價(jià)實(shí)(一)評(píng)價(jià)要素指標(biāo)體系的設(shè)農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能，是一種綜合性功能，它主要由經(jīng)濟(jì)效益U1、生態(tài)效益U2會(huì)效益U3三個(gè)方面來反映。所以，對(duì)農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)功能的及評(píng)價(jià)，必須立足于這U=｛U1,U2,U3(二)評(píng)語集合的確V=｛v1，v2，v3，v4，v5｝=｛好，較好，一般，較差，差(三)評(píng)價(jià)要素權(quán)重子集的確各子集Ui(i=1，2，3)中諸要素的權(quán)重(二級(jí)權(quán)重)分別為A3[a31,a32,a33,a34,a35(四)評(píng)價(jià)的實(shí)的評(píng)語為“較好(v2)”，5名專家的評(píng)語為“一般(v3)”,即獲得評(píng)語v29/20＝0.45，獲得評(píng)語v5/20＝0.25，因此令r(2)0.45r(2)0.25。 ss(i名專家給因素u的評(píng)語為vk k kr(i)s(ik k

表示因素uik獲得評(píng)語vj的程度。由此得到各子集Ui(i=1，2，3)

r(1)

r(2)

r(2)

15

r(2)

r(2)

25 r(1)，Rr(2) r(2) 35 (

r(1)

r(2)

r(2)

r(1)

r(2)

r(2)

55 r(3) 15 25R r(3) 35 r r(3) 55Bi

BiU R b 25 BAR

(五)評(píng)價(jià)實(shí)例計(jì) R1 0.10，R2 R3

AA1A2A3B1R1B2R2B3R3RR2

BAR

B 第三篇多元統(tǒng)計(jì)分樣本與常用統(tǒng)pX(x1,xp)來刻畫。例如，檢查人的健康情況時(shí)，需要查體溫、血壓、p1GX是同一含義。x21X

x1px2p

xx

xnpX的均值向量、協(xié)方差矩陣、相關(guān)矩陣分別為E(x1) E(x) E(X) 2 VD(X)(v , cov(x,xR(rij)p

p p

ijp i jviirvii

cov(xi,xjD(cov(xi,xjD(xi)D(xj,

1 nxi1 ,xp)',xp)'X1nX(x

xi2n

n

1 xip

S1n

(X

X)(X

X)'1n

XiX'iXX

)p

?

siissiis

i,j1,,矩陣，它們是多元統(tǒng)計(jì)分析中常用的統(tǒng)計(jì)量。易驗(yàn)證（留作練習(xí)）i,j=1,…,p，有x1n njn

k1nk

xi

xj

(xkixi)(xkjxj

k (x(xx)2n k(xx)2n k 例 設(shè)對(duì)總體X=(x1,x2,x3)′做了5次觀測(cè)，數(shù)據(jù)如下123459265886434021X，S解（3

iX15i5

(6,8,5S15

XX'XX

1.2

21.2集的各種礦石標(biāo)本（p維數(shù)量指標(biāo)來刻畫1XiXjdij=d(Xi，Xj)滿足2）dij=dji3）對(duì)于樣品Xi，Xj，Xk，有dij≤dik+dkj

(xp(xp k(XiXj)'(XiXj d(1XiXj之間的歐氏距離。易驗(yàn)證d(111）~3） /mm3x2表示體溫（℃，今有三個(gè)樣品X1(6000,37)'

X2(5000,37.1)'

X3(6500,從醫(yī)學(xué)知，X2與X1靠近；X3是高燒，與X1相差甚遠(yuǎn)。但易知d(1)d(1)，即歐氏距

(XX)'V1(X(XX)'V1(XX

d(3)d(X,G)(X)'V1(

(XiXj(XiXj)'B(XiXjd(4)XiXjB-注BI（單位矩陣）時(shí)，d(4)BV1時(shí)，d(4) sB 00

0s1spp對(duì)于樣品Xi、Xj，定

1q

xikk

(q

d(5XiXj注q=2q=1pd(6)xp

kd(6q→+∞d(7)maxx

稱d(7)為切比距離

1k

0

1例 設(shè)總體X服從二維正態(tài)分布N2

，求樣品X1,X2 0 1

解

0,V

0.90 1 則V1

1 0.90.19 1 (X1(X1)'(X122

，d(1) 2 1 d1 ，d2 即有d(1)d(1

d(3)d(3X f(x1,x2)

22f(X1)f(1,1)0.2157，f(X2) f(X1)f(X2X1靠近總體，X2第二章主成分分X(x1,xp)'nX1,…,Xn，得到數(shù)據(jù)如（1）n×p個(gè)數(shù)據(jù)，如何從這些數(shù)據(jù)中抓住p個(gè)指標(biāo)是相互獨(dú)立的，則可以把問題化為p個(gè)單指標(biāo)來處理，這是簡(jiǎn)單而罕見的情況。一般p個(gè)指標(biāo)即p個(gè)隨量x1,…,xp之k個(gè)“綜合指標(biāo)”p個(gè)變量幾乎k個(gè)“綜合指標(biāo)”ppn次觀測(cè)組成k個(gè)“綜合指標(biāo)”n次觀測(cè)數(shù)據(jù)。p個(gè)指標(biāo)中構(gòu)造出很少幾個(gè)互不相關(guān)的所謂“綜合指標(biāo)”，）14個(gè)指標(biāo)，且這些指標(biāo)之間又具有相關(guān)性。如何從這些指標(biāo)中綜pnp維歐nn個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系。在在較低中表示出來，無疑對(duì)各種研究都有好處。如何y1a11x1a12x2y2a21x1a22

圖 Xx1x2nX1(xi1xi2，i=1,…，n。在直角坐橢圓內(nèi)，見圖1。坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至（y1,y2）位置，使y1指向橢圓長(zhǎng)軸方向，y1指向短軸分布情況。于是我就可以選y1為一個(gè)綜合指標(biāo)，當(dāng)然y2也可以選作綜合指標(biāo)，即后面所稱呼y1為第一個(gè)主成分，y2為第二個(gè)主成分。主成分求y1，y2x1，x2p個(gè)變量的情形，將考慮它們的基于以上考慮和直觀分析，對(duì)于總體X(x1,xp)'，我們給出X的綜合指標(biāo)y1,yk(kp的確定原yiXyiLiX，Lip×1維待定的常數(shù)向量，i=1D(yi)yiX的變化情況，iy1，…，ykcov(yiyj)=0，i≠jy1，…，yk之間盡可能不含X的主成分的方法如下：XV12k0,k1p0其中krank(VV的秩求i對(duì)應(yīng)的單位特征向量i i=1,…,k，且要求正交i

i ,

例 設(shè)隨機(jī)向量X(x1,x2,x3)'的協(xié)方差矩陣

V 2,EV0,(EV)x

25210

xX

3解V的特征根分別為1142330k=rank(V2X的二個(gè)

2,331,133

3 141 3又因?yàn)?2，故120XyX 1(2x

3x

yX1(x

x

隨機(jī)向量X ,xp)的主成分是X的分量的特殊線性組合。如果各個(gè)分量的單y，其含義就難以解釋。將發(fā)生改變，最后導(dǎo)致主成分改變。為了克服這一不足，通常是求標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)向量X*（注：此時(shí)是在i0，=1p的條件下）,x*),x*)xpv1,x pv1其中E(X) ,

p),VD(X)(vij)p

，并注意到X*的協(xié)方差矩陣準(zhǔn)正交特征向量，而后得*記其中vii0,i1,p

0 W 1vppvpp X*W(X RR的特征根為t1t2

tk

tk1 tp0，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為

ekek ep，則由(14) zeX*eW(X

X的標(biāo)準(zhǔn)化變量*i個(gè)主成分，i=1,k4（從協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩陣算出的主成分）Xx1x2)的協(xié)方差矩陣和相關(guān)矩 4 V

,R 1V2R

1(0.040,2(0.999,t1t2

e2(0.707,V:y10.040x1y0.999x 與R:z0.707x*0.707

z0.707x* x*x1,x*x10，故（16） R z10.707(x11)0.707(x22z0.707(x)0.707(x 比例為1/(12)0.992。 Rx1x20.7070.0707V上述例子說明，從V和R分別算出的主成分有很大的不同，這意味著，變量的標(biāo)準(zhǔn)化并x1x2表示凈收入與總資產(chǎn)之比，取值僅在0.01至0.60之間，若從V算主成分，那末第一主成分幾乎主要由x1所決定，這顯然不合理。然而，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化后算出的主成分，x1x2x2將樣本主成在實(shí)際問題中，所研究的總體X的均值μ，協(xié)方差矩陣V和相關(guān)矩陣R大都是未知的，這時(shí)由對(duì)X觀測(cè)得到的樣本數(shù)據(jù)矩陣（1）式。分別用S取代VR?取代RX取代μ，Skkk p Xi個(gè)樣本主成分，i=1,…,k。R?的特征根為

?

(?* ? 1 sppsppXXsiiSi個(gè)對(duì)角元，i=1,…,p

Xi個(gè)樣本主成分，i=1,k。XnX1,…,Xn，若記,n,i ,,n,i ,

X

jX1,Xn得到相應(yīng)的主成分的樣本?？梢宰C明(略)1 n(yjiyinj

1n(yjiyi)(yjlyl)n2j2

1nj

(zjizi

i1in(zjizi)(zjlzl)nj

1 1nnyi yjinnj

zi zji,j1

i

i,l ,i（19i貢獻(xiàn)率和主成分的實(shí)際主成分分析的目的是用盡可能少的綜合指標(biāo)——主成分y1，…，yk(k≤p)來代替原p個(gè)相關(guān)的指標(biāo)x1，…，xp，且能描述指標(biāo)X=(x1，…，xp)′的統(tǒng)計(jì)特性，并對(duì)y1，…，yk的實(shí)際意設(shè)總體X=(x1，…，xp)′的協(xié)方差V(vij)pp,rank(V) i,j ,, i,j ,,D(y) i

D(yk)1 kk1 ptr(Vv11 vppD(x1) D(xp這說明X的“總方差”即各分量的方差之和D(x1)+…+D(xp)可表成k個(gè)不相關(guān)的隨量y1，…，ykD(y1)+…+D(yk)=λ1+…+λky1λ1，y2次之且有方λiyiX的能力大小，λiyiX的能力越強(qiáng)（這也是稱yiXi個(gè)主成分之緣由。k k

trV j1

jj1中常略去那些貢獻(xiàn)率小的主成分經(jīng)驗(yàn)一般只要前m個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率超過90%my1,…,ymXp個(gè)相關(guān)分量例5對(duì)某中學(xué)初中12歲的進(jìn)行體檢，測(cè)量四個(gè)變量：身高x1，體重x2，x3V的極大似然估計(jì)為

S 解S21?50.46,21

3434由此可知，只要求出前兩個(gè)主成分就夠了。對(duì)于?

y?10.42x10.66x20.57x3y?20.78x10.23x20.47x3其每個(gè)變量前的系數(shù)都是正數(shù)，則變量x1、x2、x3和x4中有一個(gè)或幾個(gè)增大時(shí)，y?1也增大，生的四個(gè)值x1、x2、x3和x4代入y?2中計(jì)算，其數(shù)值較大時(shí)，則表明x1、x4大，而x2、x3要相關(guān)，故當(dāng)y?1的值一樣時(shí)，或者差不多相等時(shí)，我們就可以用y?2值區(qū)別人的體型例 研究紐約市場(chǎng)上五種（AlliedChemical,DuPont,UnionCarbide,（上星期五市場(chǎng)收盤價(jià)。從年月到年月，對(duì)這五種作了100組獨(dú)立觀x1，x2，…，x5AlliedChemical，DuPont，UnionCarbide，Exxon

X

X=(x1，x2，…x5)′的標(biāo)準(zhǔn)變化 x1x1,,x5x5 2

都是石油公司，在z?2中系數(shù)都是負(fù)的）的一個(gè)對(duì)照，稱之為工業(yè)主成分。這說第三章典型相關(guān)分實(shí)際背（一）要原料的主要質(zhì)量指標(biāo)X=(x1,…xp)′與所生產(chǎn)的產(chǎn)品的主要質(zhì)量指標(biāo)Y=(y1,…yq)′的相關(guān)y1，y2Xx1，x2)′Yy1，y2)′之間的相關(guān)性程度。若隨機(jī)向量（x1，x2，y1，y2）R為

0.1 R Rr13=－0.564，它表明牛肉漲價(jià)，則牛肉消費(fèi)量下降；r24=－0.757，表明漲價(jià)時(shí)，消費(fèi)量下降；r23=0.355表示價(jià)格與牛肉消費(fèi)量之間“價(jià)格向量”X的線性函數(shù)aXa1x1a2x2（稱為“格指數(shù)”）及“消費(fèi)向量”Yzb'Yb1y1b2y2（稱為“消費(fèi)指數(shù)”）wwzXYX=(x1，…，xp)′、Y=(y1，…，yq)′p維、q維隨機(jī)向量，我們要研XY之間的相關(guān)關(guān)系。X顯然，從 Y錯(cuò)綜復(fù)雜，以致反映不出事情的本質(zhì)。那么，如何來度量X與Y之間的相關(guān)程度呢？從上面XY的線性函數(shù)，使這兩個(gè)線性函數(shù)具有最大的相關(guān)性。稱這種相關(guān)為典型相關(guān)，稱形成的兩個(gè)線性函數(shù)即兩個(gè)新的變量為典型變量XY的第XY之間的相關(guān)性被提取完畢為止。這就是典型相關(guān)分w1z1…；wk，zk（kk≤p，q）XYwi,zi(i=1,…,k)的確定,w1,…,wkX的線性函數(shù)，z1，…，zkY,wiliX

zimiY

ili，mip維、qw要求 wiw

wz wkwkDwiDziwDwiDziwi

i,,要求wwzzwz i i,,,i i i典型變量的求X設(shè)X，Y同上，已知 的協(xié)方差矩陣YX

DX

covX,Y

V12D(Y)covY,X DY

且V11＞0，V22＞0

221

zm'Y

D(w)=lD(X)l=lV11 D(z)=mD(Y)m=mV22 cov(w,z)=lcov(X,Y)m=lV12

covw,z

DwDzDwDzlV12mDawDbzDawDbz

2常取限制（ρwz=lV12m而簡(jiǎn)單化： lV11l=1，mV22 l，mlV12mρwz=lV12m，約束條件為（31）Lagrange乘l'Vml'Vl1

m 令

VmVl

VlVm

V21lV

l'V11ll，m應(yīng)滿足（32）式。下面解上方程組。lV12m=λlV11 mV21l=μmV22又由lV12m=(lV12m)=mV21l，故λ=lV12V21lV

12用VV1左乘（34121222 VV1VlVm1222 即VVVVVV111222

l

故2是矩

AVAVVV11122221用VV1左乘（3421VV1Vm2V2111 即因此2也是矩

VVVVVV

mBVBVVV222111可以從（34）m，得到m1V1V

設(shè)rankV12ABk

kp,222 記AV1VV1V的屬于2 111222

l

m

1V1Vl

,,

21,,

定理 1）D(wi)=1，D(zi)=1，i=1,…,且

wiiwi

i ,wwww1 2

wkw,2）wzwwzz i i,j,i i i（38）對(duì)應(yīng)的j為j個(gè)典型相關(guān)系數(shù)，j=1,…,k。kXY之間的相關(guān)性。λjwj，zjXYλj≈0j-1XY的相關(guān)性。λj＞0.3，則相關(guān)關(guān)系顯著。X，YX，YX*

R12DY* RX

R12為 量Y的相關(guān)矩陣，于是要求X與Y的典型變量，只要用矩陣 R取代

VV

V22

wlX z mYz

j ,

wjzj l，m，λR11R12R R

R22樣本典型1 X

1nX

nXi

i

Y ni1Yi

1

Yin S

1nX

XX

XS

12

i

i SV

S22

ni1YiS1SS

YYi

Y

111222 S1SS

111222

11

1S1S

21,jl?,

,j, ??X

X1

Xn對(duì)于Y的樣本Y ,Y，若 1 n, j ,, j , i

i?ji?1n1

??

2,2

j ,k

n1n

z

z

nn1n

j?

?j

?

?

a n

a,j ,k

1n

?j ?1 ?1

n

wji,z

n

zji1（43）（44）例 X體重y1和y2作為第二組變量，記X=(x1,x2)′，Y=(y1,y2)′，由

Y

S12

6.384.69SS

S

22

XY解

SSS11SSS

S1SS

1212的屬于?2的特征向量?，再由(40)式得111222

l?0.0860,?0.2296

0.2086

?l?'X0.0860x z??'Y0.2296y對(duì)應(yīng)的樣本典型相關(guān)系數(shù)為

10.6674，這表明身高與坐高之和與體重與之差有較1例 X

XX與Y的樣本典型變量的相關(guān)性。由 的樣本數(shù)據(jù)矩陣（略）得 的樣本相關(guān)矩Y Y 12?21?22R?11R?22R?21分別見表2、表3和表4，類似于公式（40）式，

1R1R i?i ii

?1

,i,i其中?2是矩陣

j,,

111222

?'Y*

j ?表

j ,＞250μma125-250lina62.5-125顆粒Hydrobia＜62.5CorophiumNereis Ca PNephthyshom N11表 1111--1---1--1--1--1-1**0.01水平顯 *0.05水平顯表 ?22yy--1111--1-----1**0.01水平顯 *0.05水平顯表 --------------------------**0.05水平顯 *0.10水平顯56。j表 環(huán)境典型變量?jl?'Xjj123-------X*，Y*X，Y.?11.158x17.120x26.828x36.347x40.261x50.094x60.689x7z?10.855y10.042y20.033y30.359y40.098y50.022y60.132j表 jj?1--------------?1與z?1的樣本典型相關(guān)系0.6930，也就是說環(huán)境第一個(gè)典型變量（綜合環(huán)境因子）?1第一綜合物種z?1的影響較大，而第一個(gè)綜合環(huán)境因子中起主要作用的是x2，x3，x4三個(gè)因素即中細(xì)質(zhì)地的土壤；第一個(gè)綜合物種中起主要作用的物種是y1（ balhic，到第一個(gè)結(jié)論是中細(xì)質(zhì)地土壤對(duì)物種y1有較大的影響。?24.673x123.4z?20.249y1?2marinay4y6有中等程度的影響。0.3292典型相關(guān)的檢X 的協(xié)方差矩YV

V0, V

22VVVVVV111222

λj≤0.3jXY之間的相關(guān)性的作用很小，j-1XY的相關(guān)性程度。???j式，用?j作為j的估計(jì)。由于樣本具有隨機(jī)性誤差，故?j具有隨機(jī)波動(dòng)。自然要用統(tǒng)計(jì)巴特萊特（Bartlett）2檢驗(yàn)法。其基本原理是：1）SS1）SSS111222

（或SSS（或SSS

其中krankSrankS1SS1S=rankS1SS

。 111222 2221111?2k 1?2k

Qn11pq1

1Q2p1

Qn21pq1ln

Q2p1qa2a2

Qnj1pq1

Hj為真時(shí)，Qj2pj1)(qj1（n很大時(shí)HjQj

Q2pj1qj

時(shí)，則Hj；否則，接受假設(shè)Hj，即認(rèn)為λj=…=λk=0，這時(shí)總體X與Y只有j-1個(gè)典型相例9 分析例8的數(shù)據(jù)，判斷該海灣地區(qū)物種和環(huán)境變量之間有幾個(gè)不為零的典型相關(guān)解2~4

111222 （48最后根據(jù)各Qj值的自由度（p-j+1（q-j+1）查出2值。本例中取α=0.1，相應(yīng)的數(shù)值絕法則（50）XYλ1，λ2，λ30。因此我們?nèi)∏叭龑?duì)（樣本）XY8的解釋是一致的。jj表 特征根?2和樣本典型相關(guān)系數(shù)jjj1234567表 檢查典型相關(guān)系數(shù)顯著性計(jì)算表（取21234567Bartlett2nn較大時(shí)，例如本例n200，此檢驗(yàn)才有實(shí)際意義。一般2分布表上沒有列出很大自由度的2值，可以用下述方法近似求值：自m2m近似等于mF(mFm 2m值，例如本例中Q1的近似分布臨界值

(8×7)α=0.1F0.1(56, 0256561.2570.00第四章判別引在生產(chǎn)科研日常生中經(jīng)常到需要?jiǎng)e的問。例，一部有陰，大夫要判斷是肺結(jié)核部良性瘤還肺癌這肺結(jié)核部良性瘤及肺癌組三個(gè)總體來源這三總體之一我們的目是通過的指（影大……即判斷他生的是什么病；又如根據(jù)已有氣象資料（氣溫、氣壓等）來判斷明天是晴天還是陰1.3小節(jié)中所述，總體是通過指標(biāo)（或多個(gè)指標(biāo)）來描述的，指標(biāo)在一定范圍內(nèi)的判別分析的模型可以這樣來描述：有k個(gè)總體G1，…，Gk，它們的分布函數(shù)分別是xp)′，要判斷它來自哪個(gè)總體（注：XRpRpRp中的一個(gè)點(diǎn)。下面將會(huì)看到，判別分析的目的是將Rp“合理”地剖分為k個(gè)區(qū)域Bayes判別法、Fisher判別法、逐步判別法等。這里僅討論前兩種判別法。距離判1.4小節(jié)中引入了得較多的乃是（8）和（9）d(Xi，Xj)d(Xi，G)，即d2Xi,XjXiXjV1XiXjd2Xi,GXiV1XiGμ，VV＞0；Xi，XjG的樣品。下面以馬氏記為Gi0X來自總體Gi0設(shè)p維總體G1，G2的均值分別為μ1，μ2，協(xié)方差矩陣分別為V1＞0，V2＞0，對(duì)于給定X=（x1,…,xp）′G1，G2兩個(gè)總體之一，要判斷它來自哪個(gè)XG 當(dāng)d2XGd2XG

XG 當(dāng)d2XGd2XG 注d2(X,G1)=d2(X,G2)時(shí)，由規(guī)則（51）X的歸屬是無效的（請(qǐng)讀者思考，為什d2X,Gd2X,G X

V1XXV1X

'V1X'V1X2X'V1'V 2X'V1'V1 2X 2V1 記1

aV1 WXXV112X

XG1XG

當(dāng)WX當(dāng)WX

W(X)≥0XG1XG2（53）RpW(X)=0D1D2D2：W（X）＜02p=2XD1X2，VW(X)中，然后由規(guī)則（53）進(jìn)行,Xn12設(shè)總體G1的樣本為 G2的樣本為Y1,,Y,Xn12X

1Xi,1

Y

22S1

1nn11n

(XiX)(

X

S2

21n21n2

Y

n

nSnn

1 2

22

S

S11

2212X1XnY112

信息確定他（她）的。但是，現(xiàn)在人已死了多年，我們丟失了重要信息。又如，在醫(yī)學(xué)標(biāo)并沒有截然界限。我們可能把來自G1的誤判到G2，同樣也可能把來自G2的誤判G14.3小節(jié)討論。＞0，i=1,…,kD{X|d2X,Gmind2X,G,XRp}，i=1,…, d2X,GXV1X j ,

XGiXDi內(nèi)，i=1XDiXGi。k個(gè)數(shù)的大小，若d2X,Gimind2X,Gj iX來自總體Gi0當(dāng)μi，Vi(i=1,…,k)ii，誤判概P（2|1N(μ2,σ2)1

。對(duì)于樣品X，線性判別函數(shù)（52）式化WXX1

XXG

當(dāng)X當(dāng)X 設(shè)G1，G2兩總體的分布分別是N(μ1,V), （52 XG21W(X)(52)12V1121）X~N(μ,V)，則WX~N,2 2 2）X~N(μ,V)，則WX~N, 證明X~N(μ1,V)W(X)XW(X) EWX 2V1 DWXDXV1D

V1X V1covX,XV1 V1 ,V，則2 2 定理 在引理1的假設(shè)和記號(hào)下， P2|1P1|2 2

證明由（55）11）WX

0

2 P1|21

22 22 這個(gè)定理說明，當(dāng)μ1μ2之間的距離越大，亦即兩個(gè)總體間的距離越大，（1|2n次，用誤判樣品的比例作為誤判概率的估計(jì)。到目前為止，可以說判別分析是研究如何建立判別規(guī)則或如何對(duì)樣品的取值空間Rp貝葉斯距離判別法是利用所給樣品到各個(gè)總體的距離的遠(yuǎn)近來判斷其歸屬。這種方法計(jì)算簡(jiǎn)能性（例11 設(shè)根據(jù)歷史上若干次發(fā)生和無震時(shí)的p項(xiàng)觀測(cè)結(jié)果（如水中氡的含量、地磁強(qiáng)度、井下水位高度……）已經(jīng)估計(jì)出有震總體G1與無震總體G2的有關(guān)參數(shù)?，F(xiàn)在要根據(jù)當(dāng)前觀測(cè)到的p項(xiàng)指標(biāo)來判斷所獲得的樣品是屬于G1還是G2，即是預(yù)報(bào)“明天有震”或“明天無震”。若簡(jiǎn)單地用樣品到G1和G2的距離來預(yù)報(bào)就不夠妥當(dāng)了。首先，在全年的365學(xué)派提出了另一種判別方法——（習(xí)慣上稱為）Bayes判別法。設(shè)有k個(gè)總體G1,…,Gk，分布密度分別為f1(X),…,fk(X)是互不相同的，并假設(shè)已知這k,…,kkqi

qi

,i,GiGjC(j|i)(C(j|i)≥0，i，j=1,…,kC(i|i)=0，i=1,…,k由于一個(gè)判別規(guī)則其實(shí)質(zhì)就是對(duì)Rp空間作一個(gè)劃分：D1,…,Dk（意即D1,…,Dk之并集構(gòu)成Rp空間，且除邊界以外是互不相交的）若樣品落入Di中，則判該樣品屬于總體Gi。故可GiGj的誤判率為jDfiXjjPj|i,DDfiXdX,i,j ,k,ij如果這種誤判帶來的損失為C(j|i)，則在判別規(guī)則D=（D1,…,Dk）一，對(duì)總體Gi而言所造成DGi的樣品誤判為其它總體的平均損失為kri,DCj|iPj|i,kj

Giqii=1,…,kD來進(jìn)行判別的總平kgDqiri,k

qiCj|iPj|i, 注意到，對(duì)于給定的先驗(yàn)概率qi，損失函數(shù)C(j|i)及各個(gè)總體的密度函數(shù)fi(X)，由（60）式定的總平均損失g(D)是劃分D的函數(shù)。若存在Rp空間的一個(gè)D*D*,D*

gD*minDiD*Bayes判別規(guī)則（Bayes解XD*XGii如何去求這樣的劃分D*呢？我們先從兩個(gè)總體的情形開始討論D=(D1，D2)，則2P2|1,D21P1|2,D1

f2XC（1|2，由gDq1C2|1P2|1,Dq2C1|2P1|2,21C2|1q1Df1XdXC1|2q2Df2X21DC2|1q1f1XdXDC1|2q2f2X DC2|1q1f1XdXDC1|2q2f2X

DC1|2q2f2XdXDD1|2q2f2X 2DC2|1q1f1XC1|2q2f2X2

C1|2

f

X2D*{X:C2|12

fXC1|2

fXD*{D*{X:C2|1

1 2fXC1|2fXfXC1|2fX

1 2D*D*,D*就是要Bayes判別規(guī)則。事實(shí)上，若D*中包含了使被積函 C2|1