《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第二章隨機(jī)變量及其分布

.PAGE@;35-第二章隨機(jī)變量及其分布 -1-第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù) -2-一隨機(jī)變量概念 -2-二隨機(jī)變量的分布函數(shù) -3-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.1 -7-第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布 -7-一離散型隨機(jī)變量及其概率分布 -7-二常見(jiàn)的幾種離散型隨機(jī)變量及其分布 -11-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.2 -17-第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布 -17-一連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布的概念與性質(zhì) -18-二常見(jiàn)的幾種連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 -21-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.3 -28-第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 -28-一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 -29-二連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 -30-基礎(chǔ)訓(xùn)練2.4 -35-綜合訓(xùn)練二 -35-內(nèi)容小結(jié)及題型分析二 -35-拓展提高二 -35-閱讀材料二 -35-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二 -35-第二章隨機(jī)變量及其分布【本章導(dǎo)讀】本章主要講述隨機(jī)變量與分布函數(shù)，一維離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，常見(jiàn)分布及函數(shù)的分布.【本章用到的先修知識(shí)】級(jí)數(shù)的運(yùn)算，變限積分，分段函數(shù)的積分，無(wú)窮積分.【本章要點(diǎn)】隨機(jī)變量的概念，分布函數(shù)，分布律，概率密度，常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布，函數(shù)的分布.在上一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果.這種表示的方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限.在本章中，我們將介紹概率論中另一個(gè)重要的概念：隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個(gè)別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象的研究.這樣，不僅可更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)討論隨機(jī)試驗(yàn).第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一隨機(jī)變量概念在第一章里，我們主要研究了隨機(jī)事件及其概率，讀者可能會(huì)注意到在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問(wèn)題與實(shí)數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系.例如，在產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車(chē)間供電問(wèn)題中，我們關(guān)心的是某時(shí)間段正在工作的車(chē)床數(shù)；在電話問(wèn)題中關(guān)心的是某一段時(shí)間內(nèi)的話務(wù)量等.對(duì)于這類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象，其試驗(yàn)結(jié)果顯然可以用數(shù)值來(lái)描述，并且隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。例如，從一批廢品率為的產(chǎn)品中有放回地抽取次，每次取一件產(chǎn)品，記錄取到廢品的次數(shù).這一試驗(yàn)的樣本空間為.如果用表示取到廢品的次數(shù)，那末，的取值依賴于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了.比如，進(jìn)行了一次這樣的隨機(jī)試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即在次抽取中，只有一次取到了廢品，那末.然而，有些初看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來(lái)描述.例如，擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、背面的出現(xiàn)情況。這一試驗(yàn)的樣本空間為，其中表示“正面朝上”，表示“背面朝上”，表面上看與數(shù)值沒(méi)有聯(lián)系.但如果引入變量，對(duì)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果，將的值分別規(guī)定為和，即：.一旦實(shí)驗(yàn)的結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了。為了計(jì)算n次投擲中出現(xiàn)的正面次數(shù)就只須計(jì)算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系.以上兩個(gè)例子表明：無(wú)論隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身與數(shù)量有無(wú)聯(lián)系，我們都能把實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，即可把實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，這個(gè)數(shù)隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而變化，因而，它是樣本點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是我們要引入的隨機(jī)變量.1、隨機(jī)變量的定義定義1設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，若對(duì)中每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為隨機(jī)變量.由定義可知，隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值實(shí)值函數(shù)，通常以或希臘字母，，等來(lái)表示，而隨機(jī)變量的取值一般用小寫(xiě)英文字母等來(lái)表示.隨機(jī)變量與普通實(shí)函數(shù)這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，他們都是從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射，它們的區(qū)別主要在于：普通實(shí)函數(shù)無(wú)需做試驗(yàn)便可依據(jù)自變量的值確定函數(shù)值，而隨機(jī)變量的取值在做實(shí)驗(yàn)之前是不確定的，只有在做了試驗(yàn)之后，依據(jù)所出現(xiàn)的結(jié)果才能確定.2、引入隨機(jī)變量的意義引入隨機(jī)變量以后，就可以用隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)事件?！纠?】在擲硬幣進(jìn)行打賭時(shí)，如果規(guī)定出現(xiàn)正面贏1元，出現(xiàn)反面輸1元.這個(gè)試驗(yàn)中，可定義則和就分別表示了事件{出現(xiàn)正面}和{出現(xiàn)反面}，且有.若試驗(yàn)的結(jié)果本身就是用數(shù)量描述的，則可定義?！纠?】在“擲骰子”這個(gè)試驗(yàn)中，用表示{出現(xiàn)點(diǎn)}，且?！纠?】在“測(cè)試燈泡壽命”這個(gè)試驗(yàn)中，如果用表示燈泡的壽命（小時(shí)），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，表示{燈泡的壽命為（小時(shí)）}；從而就是事件{燈泡壽命不超過(guò)t（小時(shí)）}的概率.【例4】在某城市中考察人口的年齡結(jié)構(gòu)，年齡在80歲以上的長(zhǎng)壽者，年齡介于18歲至35歲之間的年輕人，以及不到12歲的兒童，它們各自的比率如何。從表面上看，這些是孤立事件，但若我們引進(jìn)一個(gè)隨機(jī)變量：表示隨機(jī)抽取一個(gè)人的年齡；那末，上述幾個(gè)事件可以分別表示成、及.由此可見(jiàn)，隨機(jī)事件的概念是被包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念之內(nèi)的。隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個(gè)別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象的研究.正因?yàn)殡S機(jī)變量可以描述各種隨機(jī)事件，使我們擺脫只是孤立地去研究一個(gè)隨機(jī)事件，而通過(guò)隨機(jī)變量將各個(gè)事件聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而去研究其全部.今后，我們主要研究隨機(jī)變量和它的分布.3、隨機(jī)變量的分類(lèi)隨機(jī)變量因取值方式的不同，通常分為離散型和非離散型兩類(lèi).而非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.二隨機(jī)變量的分布函數(shù)許多隨機(jī)變量的取值是不能一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)的，且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零.例如，在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間，事件表示燈泡的壽命正好是，在實(shí)際中，測(cè)試數(shù)百萬(wàn)只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是.也就是說(shuō)，事件發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可認(rèn)為。由于有許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來(lái)表示，故我們轉(zhuǎn)而討論隨機(jī)變量的取值落在某一個(gè)區(qū)間里的概率，即取定，討論。因?yàn)?，所以?duì)任何一個(gè)實(shí)數(shù)，只需知道，就可知的取值落在任一區(qū)間里的概率了.為此，我們用來(lái)討論隨機(jī)變量的概率分布情況.定義2設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為的分布函數(shù).有時(shí)記作或【注1】（1）有了分布函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算：.（2）分布函數(shù)是一個(gè)普通意義上的函數(shù)，完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者說(shuō)，分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況，通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)全面地研究隨機(jī)變量（3）若把看作是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)在的函數(shù)值就表示落在區(qū)間里的概率。分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)，即當(dāng)時(shí),.事實(shí)上，，故.（2）非負(fù)性，.因?yàn)?，即是落在里的概率，所以。?）極限性對(duì)此，我們只給出一個(gè)直觀的解釋，不作嚴(yán)格的證明.事實(shí)上，是事件的概率，而是必然事件，故.類(lèi)似地，是不可能事件，故.（4）右連續(xù)性.【注2】對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，若滿足上述性質(zhì)，則它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù).【例1】判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)（1）（2）【解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)下降，所以不可能是分布函數(shù).（2）由題設(shè)，在上單調(diào)不減，右連續(xù)，且，，所以是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)由定義可見(jiàn)，要計(jì)算取值的概率可以通過(guò)其分布函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).若，則有：【例2】已知的分布函數(shù)為求，，，。【解】；；；.【例3】設(shè)某隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（）求.【解】由分布函數(shù)的右連續(xù)性知，，而，；，.所以聯(lián)立方程組，解得或【例3】設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求：（1）常數(shù)；2）落在上的概率?！窘狻浚?）因?yàn)椋杂稍谔幱疫B續(xù)知，，即于是2）【例4】設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求1）常數(shù)；2）.【解】1）由極限性得，從而解得于是【注3】（1）由例3，例4可知：求分布函數(shù)中的待定常數(shù)，主要是利用分布函數(shù)的極限性及右連續(xù)性.（2）由上面的討論可以看到，分布函數(shù)作為概率來(lái)講是事件的概率，同時(shí)它又是實(shí)變量的單值函數(shù)，這是我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中早已熟悉的對(duì)象，而且分布函數(shù)又具有相當(dāng)好的性質(zhì)，有利于數(shù)學(xué)處理，引入隨機(jī)變量和分布函數(shù)這兩個(gè)概念，就好像在隨機(jī)現(xiàn)象和高等數(shù)學(xué)之間架起了一座橋梁，有了這座橋梁，“高等數(shù)學(xué)”這個(gè)強(qiáng)有力的工具才有可能進(jìn)入隨機(jī)現(xiàn)象的領(lǐng)域中來(lái).由此可以體會(huì)到隨機(jī)變量及分布函數(shù)這兩個(gè)概念的地位和作用.因此在討論問(wèn)題時(shí)一定要注意分布函數(shù)的本質(zhì)屬性基礎(chǔ)訓(xùn)練2.1第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布有些隨機(jī)變量的全部可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè).例如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；產(chǎn)品檢驗(yàn)有放回抽樣時(shí)，抽檢到的次品數(shù)，電話話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)等.在這一節(jié)里，我們討論這類(lèi)隨機(jī)變量及其概率分布（分布律及分布函數(shù)）.一離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義1若隨機(jī)變量的全部可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量.易知，要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須要搞清楚兩個(gè)方面：一是隨機(jī)變量的所有可能取到的值；更主要的的是搞清楚隨機(jī)變量取這些可能值的概率.【例1】袋中裝有5只同樣大小的球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中同時(shí)取出3只球，設(shè)取出球的最大號(hào)為隨機(jī)變量.則由題意，所有可能取到的值為3、4、5；由古典概率公式可知，可能取到每一個(gè)值的概率分別為；習(xí)慣上，我們將它記為3451/103/106/10.或這就是所謂的離散型隨機(jī)變量的分布律.1、離散型隨機(jī)變量的分布律定義2設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為且取各個(gè)值的概率為則稱上式為離散型的隨機(jī)變量的概率分布或分布律。分布律也可以用表格（或矩陣）的形式來(lái)表示，即表示為或由概率的定義可知，離散型隨機(jī)變量X的分布律必然滿足下列兩個(gè)條件（1）非負(fù)性：；（2）規(guī)范性：.【注4】（1）任意滿足上述兩個(gè)條件的數(shù)列，都可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布列.（2）由定義可知，若樣本空間是離散的，則定義在上的任何單值實(shí)函數(shù)都是離散型隨機(jī)變量?！纠?】設(shè)是隨機(jī)變量，問(wèn)是否為的分布律？【解】由于，且，所以是的分布律.分布律不僅給出了的概率，而且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，事件發(fā)生的概率均可由分布列算出.因?yàn)?，于是由概率的可列可加性?/p>

.一般地，若是一個(gè)區(qū)間，則【例3】設(shè)的分布律由例2給出，求為偶數(shù)的概率.【解】因?yàn)?，所?、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知離散型隨機(jī)變量的分布律為，則由分布函數(shù)的定義知由此可知，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，是的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，而在處的概率就是在這些間斷點(diǎn)處的躍度.【例4】設(shè)的分布列為0120.30.40.3求的分布函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，由于，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是.可以看到，是一階梯狀的右連續(xù)函數(shù)，在處有跳躍，其躍度分別為.【例5】設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求：（1）的分布律；（2）【解】(1)由于是一個(gè)階梯狀的函數(shù)，故知是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，而的跳躍點(diǎn)分別為、、，對(duì)應(yīng)的跳躍度分別為、、，所以的分布律為－1130.40.40.2（2）這是一個(gè)條件概率問(wèn)題.因?yàn)椋?，所以由條件概率公式可得.【注4】對(duì)于離散型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述我們已學(xué)了兩種方法——分布列與分布函數(shù)法，兩種描述方法各有特點(diǎn)，各有側(cè)重.分布列反映了隨機(jī)變量取每一個(gè)可能值的概率，而分布函數(shù)則反映的是隨機(jī)變量從到的總體分布情況.因此，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)分布列從到的累加，在計(jì)算離散型隨機(jī)變量事件的概率時(shí)應(yīng)注意隨機(jī)變量取可能值.務(wù)必認(rèn)真理解分布函數(shù)的概念.二常見(jiàn)的幾種離散型隨機(jī)變量及其分布1.兩點(diǎn)分布定義3若一個(gè)隨機(jī)變量只有兩個(gè)可能的取值、，且有，（）則稱服從、處參數(shù)為的兩點(diǎn)分布.特別地，如果若隨機(jī)變量服從、處參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，即（2.1）01或則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格、試驗(yàn)是否成功、擲硬幣是否出現(xiàn)正面、衛(wèi)星的一次發(fā)射是否成功等，它們的樣本空間為，則總能定義一個(gè)服從（0-1）分布的隨機(jī)變量也就是說(shuō)，它們都可以用（0-1）分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問(wèn)題參數(shù)p的值不同而已.可見(jiàn)，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布.2.二項(xiàng)分布定義4若隨機(jī)變量X的取值為且（2.2）其中，則稱X服從以為參數(shù)的二項(xiàng)分布或伯努利分布，記為.容易證明（1）（2）注意到正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的一般項(xiàng)，因此稱該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；在第一章中我們討論了n重伯努利試驗(yàn)，易見(jiàn)在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，即二項(xiàng)分布是以重伯努利試驗(yàn)為背景的，因此也稱該隨機(jī)變量服從伯努利分布.特別地，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布為.這就是（0-1）分布，故當(dāng)X服從（0-1）分布時(shí)，常記為.二項(xiàng)分布的單調(diào)性及最可能發(fā)生的次數(shù)由于，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；時(shí)，單調(diào)下降，因此可知當(dāng)k在附近時(shí)達(dá)最大值.可以證明，在重貝努力試驗(yàn)中，事件最可能成功的次數(shù)為（1）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，在時(shí)達(dá)到最大，即事件A發(fā)生次的概率最大.（2）當(dāng)是整數(shù)時(shí)，在和時(shí)達(dá)到最大，事件A發(fā)生次和次的概率最大.其中[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù).【例6】已知某型號(hào)電子元件的一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)從一大批元件中隨機(jī)抽查20只，問(wèn)（1）至少抽到一件一級(jí)品的概率是多少？（2）最可能的一級(jí)品數(shù)是多少？【解】設(shè)表示抽查的20只元件中的一級(jí)品數(shù)，由于檢查20只元件是否一級(jí)品可看成是20重的伯努利試驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布，所以的分布律為.（1）所求概率為，但這個(gè)式子的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，我們用其對(duì)立事件的概率求解，如下（2）由于不是整數(shù)，所以其中有只一級(jí)品的概率最大.【例7】某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率.解把每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中的次數(shù)為，則的分布律為于是所求概率為.【注5】例7的結(jié)果告訴我們兩個(gè)事實(shí)：其一，雖然每次射擊的命中率很小（為0.02），但射擊次數(shù)足夠多（為400次）時(shí)，則擊中目標(biāo)兩次幾乎是肯定的（概率為0.997）.這個(gè)事實(shí)告訴我們，一個(gè)事件盡管在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說(shuō)，小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)室驗(yàn)中是不可忽視的.其二，若射手在400次獨(dú)立射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)不到兩次是一件概率很小的事件，而這事件竟然在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了，則跟據(jù)實(shí)際推斷，我們有理由懷疑“每次射擊的命中率為0.02”這一假設(shè)正確性，即可認(rèn)為射手射擊的命中率達(dá)不到0.02.直接計(jì)算上式是很麻煩的.下面我們給出一個(gè)當(dāng)n很大而p很小時(shí)的近似計(jì)算公式.泊松定理（Poisson）設(shè)是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)，有。證由，知對(duì)任意固定的，當(dāng)時(shí)，，故有.這個(gè)定理可以用于近似計(jì)算.定理的條件，意味著n很大時(shí)，必定很小，由泊松定理知，當(dāng)，且n很大而p很小時(shí)，有近似計(jì)算公式（2.3）其中.在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)時(shí)，上式的近似值效果頗佳，而且時(shí)，效果更好.的值有表可查（見(jiàn)書(shū)后附表）.在例7中，，由(2.3)式知因此【例8】現(xiàn)有90臺(tái)同類(lèi)型的設(shè)備，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開(kāi)維護(hù)，每人負(fù)責(zé)30臺(tái)；另一種是由3人共同維護(hù)90臺(tái).試比較兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率的大小?！窘狻堪吹谝环N配備的方法.設(shè)為第個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而無(wú)人修理的事件.表示第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，則。由泊松定理.而90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無(wú)人修理的事件為，故采用第一種配備維修工人的方法時(shí)，所求概率為.在采用第二種配備維修工人的方法時(shí)，設(shè)為90臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，則，而所求概率由泊松定理可知由于，顯然共同負(fù)責(zé)比分塊負(fù)責(zé)的維修效率提高了.3、泊松分布從上面的泊松定理可引入另一類(lèi)重要的分布.定義5設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為0、1、2、，且取各個(gè)值的概率為（2.4）其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為.易驗(yàn)證泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，然而泊松分布的作用不盡于此.近數(shù)十年來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)很多隨機(jī)現(xiàn)象都可利用泊松分布去描述，例如：1)在社會(huì)生活中，各種服務(wù)需求量，如一定時(shí)間內(nèi)，某電話交換臺(tái)接到的呼叫數(shù)，某公共汽車(chē)站來(lái)到的乘客數(shù)，某商場(chǎng)來(lái)到的顧客數(shù)或出售的某種貨物數(shù)，…，它們都服從泊松分布，因此泊松分布在管理科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)中占很重要的地位.2)在生物學(xué)中，某區(qū)域內(nèi)某種微生物的個(gè)數(shù)，某生物繁殖后代的數(shù)量等也服從泊松分布.3)放射性物質(zhì)在一定時(shí)間內(nèi)放射到指定地區(qū)的粒子數(shù)也是服從泊松分布的.【例9】由某商店過(guò)去的銷(xiāo)售記錄知道，某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件（假定上月沒(méi)有存貨）？【解】設(shè)該商店每月銷(xiāo)售某種商品件，月底的進(jìn)貨為件，則當(dāng)時(shí)就不會(huì)脫銷(xiāo)，因而按題意要求為因?yàn)橐阎牡牟此煞植?，所以，因而上式也就是查泊松分布表?于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件，就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不脫銷(xiāo).4.幾何分布在獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，設(shè)表示事件首次發(fā)生時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，顯然所有可能取到的值為，而取各個(gè)值的概率為其中（2.5）定義6如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布律由(2.5)式給出，則稱服從參數(shù)為的幾何分布.易驗(yàn)證，.【例10】設(shè)有某求職人員，在求職過(guò)程中每次求職成功率為0.4.試問(wèn)該人員要求職多少次，才能有0.9的把握獲得一個(gè)就業(yè)機(jī)會(huì)？解設(shè)表示該人員在求職過(guò)程中，首次成功的求職次數(shù)，則服從幾何分布，其中有事件的不相容性，有故該求職人員至少要求職5次，才能以0.9的把握得到一次就業(yè)的機(jī)會(huì).上面討論了幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布都是以伯努利試驗(yàn)為背景，即在一次試驗(yàn)中事件要么出現(xiàn)，要么不出現(xiàn).但要注意試驗(yàn)的次數(shù)是不同的，兩點(diǎn)分布的次數(shù)為1，二項(xiàng)分布的次數(shù)是，泊松分布是無(wú)窮.隨機(jī)變量的取值從0到試驗(yàn)的次數(shù).由此可見(jiàn)，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，泊松分布是二項(xiàng)分布的推廣.注意幾何分布的取值從1開(kāi)始到無(wú)窮.在應(yīng)用中，一定要分清該問(wèn)題屬于哪一種類(lèi)型，準(zhǔn)確靈活地應(yīng)用.基礎(chǔ)訓(xùn)練2.2第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布在上一節(jié)中我們通過(guò)分布律及分布函數(shù)研究了離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.但在許多隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的一些變量，如“測(cè)量某地的氣溫”、“某型號(hào)顯象管的壽命”、“某省高考體檢時(shí)每個(gè)考生的身高、體重”等，它們的取值是可以充滿某個(gè)區(qū)間或區(qū)域的（也就不會(huì)只取有限個(gè)或可列個(gè)值），對(duì)于這樣的隨機(jī)變量，如何描述它們的統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？【引例】等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點(diǎn),記為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)),求隨機(jī)變量的分布函數(shù).在這里“等可能”的含義是指，所投的點(diǎn)落在中的任一子區(qū)間中的概率，與的長(zhǎng)度成正比，而與在中的位置無(wú)關(guān).【解】對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，由于，由幾何概率的計(jì)算公式得.當(dāng)時(shí)，由于，由幾何概率的計(jì)算公式得.所以隨機(jī)變量的分布函數(shù)為圖2-2圖2-2圖2-1由引例可知，的取值充滿了區(qū)間，其分布函數(shù)在是連續(xù)的（見(jiàn)圖2-1）；并且，我們能找到這樣一個(gè)非負(fù)、可積的函數(shù)使.（讀者自己計(jì)算）.這一類(lèi)的隨機(jī)變量就是我們本節(jié)介紹的連續(xù)性隨機(jī)變量.一連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布的概念與性質(zhì)1.定義定義1設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有(2.6)則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或概率密度.圖2-1由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗(yàn)證任一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)具有下述兩條基本性質(zhì)：圖2-1（1）；（2）.【注6】上述性質(zhì)具有很明顯的幾何意義.（1）的曲線位于軸的上方；（2）以軸為底邊，以為高構(gòu)成的曲邊梯形的面積等于1.反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)上的函數(shù)，如果具有以上兩個(gè)性質(zhì)，都可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù).密度函數(shù)除了具有上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì).2、概率分布的性質(zhì)（1）設(shè)、為任意實(shí)數(shù)，且，則（2.7）即由密度函數(shù)可求分布函數(shù)及隨機(jī)變量落在任意區(qū)間上的概率.（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，則，都有.事實(shí)上，而，所以【注7】由此可知：連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0，此性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量不同；此性質(zhì)也表明概率為0的事件不一定是不可能事件，稱為幾乎不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件.這樣，對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量有：（2.8）（2.9）【注8】這一個(gè)結(jié)果從幾何上來(lái)講，落在區(qū)間中的概率恰好等于在區(qū)間上曲線形成的曲邊梯形的面積.（3）若在處是連續(xù)的，則.（2.10）事實(shí)上，由定義及積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得.【注9】（1）在連續(xù)點(diǎn)處，利用（2.10）式有，（2.11）從這里我們看到概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類(lèi)似，這就是為什么稱之為概率密度的緣故.（2）由（2.11）式，如果不及高階無(wú)窮小，則有（2.12）即，落在上的概率近似等于.（3）對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)和密度函數(shù)可以相互確定，因此密度函數(shù)也完全刻畫(huà)了連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律.【例1】設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.求常數(shù)及密度函數(shù).【解】由的連續(xù)性，有，所以，；密度函數(shù)為【例2】設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為試求（1）常數(shù)；（2)的分布函數(shù)；3）。【解】（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，可知即，解得于是密度函數(shù)為（2），.（3）.【例3】已知隨機(jī)變量的概率密度為，（1）確定常數(shù)；（2）求的分布函數(shù)；（3）求.【解】（1）由，得，解得，于是的概率密度為（2）由分布函數(shù)的定義可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述（3），.二常見(jiàn)的幾種連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.均勻分布定義2若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為（2.13）時(shí)，則稱隨機(jī)變量服從上的均勻分布，記為.顯然，滿足（1）；（2）.其分布函數(shù)為（2.14）這正是本節(jié)講過(guò)的引例.均勻分布可用來(lái)描述在某個(gè)區(qū)間上具有等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.例如，乘客在公共汽車(chē)站的候車(chē)時(shí)間，近似計(jì)算中的舍入誤差等，在一個(gè)較短的時(shí)間內(nèi)，考慮某一股票的價(jià)格在內(nèi)波動(dòng)的情況等.【注10】設(shè)隨機(jī)變量，則對(duì)任意滿足，有這表明，落在內(nèi)任一小區(qū)間上取值的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間在的位置無(wú)關(guān)，這就是均勻分布的概率意義，實(shí)際上均勻分布描述了幾何概型的隨機(jī)試驗(yàn).【例4】設(shè)隨機(jī)變量，現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.【解】設(shè)為三次觀測(cè)中，觀測(cè)值大于3的觀測(cè)次數(shù)，由于進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，所以，其中為每次觀測(cè)時(shí)觀測(cè)值大于3的概率.因?yàn)?，所以；則，所求概率為2.指數(shù)分布定義3若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為（2.15）則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作.容易證明：滿足（1）；（2）.其分布函數(shù)為（2.16）【注11】指數(shù)分布是一種應(yīng)用廣泛的連續(xù)型分布.許多“等待時(shí)間”是服從這個(gè)分布的；一些沒(méi)有明顯“衰老”機(jī)理的元器件的壽命也可以用指數(shù)分布來(lái)描述.所以指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.電話問(wèn)題中的通話時(shí)間可以認(rèn)為服從指數(shù)分布.【例5】假定打一次電話所用的時(shí)間（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布，試求在排隊(duì)打電話的人中，后一個(gè)人等待前一個(gè)人的時(shí)間（1）超過(guò)10分鐘；（2）10分鐘到20分鐘之間的概率。解：由題設(shè)知，故所求概率為1）2）【例6】一大型設(shè)備在兩次故障之間時(shí)間間隔服從參數(shù)為指數(shù)分布，求設(shè)備在已經(jīng)無(wú)故障工作了8小時(shí)的情況下，再無(wú)故障運(yùn)行9小時(shí)的概率.【解】由題意的分布函數(shù)為所求概率為條件概率，由條件概率公式得.【注12】指數(shù)分布具有無(wú)記憶性.即對(duì)于任意，總有（2.17）如例6所示，設(shè)備在已經(jīng)無(wú)故障工作了8小時(shí)的情況下，再無(wú)故障運(yùn)行9小時(shí)的概率等于，即對(duì)已使用8小時(shí)失去記憶.3.正態(tài)分布定義4如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為（2.18）其中是兩個(gè)常數(shù)，則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為.容易證明：滿足（1）；（2）.【注13】利用積分及變量代換積分法可證明之.其分布函數(shù)為（2.19）正態(tài)分布是概率論中最重要的一個(gè)分布，高斯（Gauss）在研究誤差理論時(shí)曾用它來(lái)刻劃誤差.經(jīng)驗(yàn)表明許多實(shí)際問(wèn)題中的變量，如測(cè)量誤差、射擊時(shí)彈著點(diǎn)與靶心間的距離、熱力學(xué)中理想氣體的分子速度、某地區(qū)成年男子的身高等都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布.進(jìn)一步的理論研究表明，一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，那么這個(gè)變量一般也服從或近似正態(tài)分布.正態(tài)分布圖形特征：（1）正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（2）在處達(dá)到最大值；（3）當(dāng)固定，改變的值，的圖形沿軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數(shù)；若固定，改變的值，則的圖形的形狀隨著的增大而變得平坦，故稱為形狀參數(shù)；（4）曲線在處有拐點(diǎn)且以軸為漸近線.圖圖2-5圖圖2-6標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)時(shí)，正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為（2.20）分布函數(shù)為（2.21）若，則下列結(jié)論必須熟記（1）；（2）；（3）.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性之一是可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查出分布函數(shù)值.【例7】設(shè)求【解】,查表,故若，則應(yīng)如何求其分布函數(shù)值？標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性之二是可通過(guò)線性變換將任何一個(gè)一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理1設(shè)，則.證明的分布函數(shù)為，所以.由定理1可知，下列結(jié)論成立，必須熟記（1）；（2）.【例8】設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，（1）求.（2）求常數(shù)使（3）求常數(shù)，使【解】（1）（2），查表知，所以；（3）所以，查表得，即.【例9】把溫度調(diào)節(jié)器放入貯存著某種液體的容器中,調(diào)節(jié)器定在,液體的溫度T是隨機(jī)變量,設(shè).試求:若，求的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80度的概率不低于0.99，問(wèn)d至少為多少度?【解】所求概率為按題意，求d，使即要求，查表知而故需解得，即至少為.【注14】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中沒(méi)有2.327的分布函數(shù)值，在此采用的是線性插值法求得的.即設(shè)分布函數(shù)值0.99對(duì)應(yīng)的為，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，，而0.99介于0.9898和0.9901之間，則由，解得.【例10】設(shè)，求，，.【解】一般地這個(gè)概率與無(wú)關(guān).由此可見(jiàn)，在一次試驗(yàn)中落在區(qū)間的概率相當(dāng)大，即幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說(shuō)，在一般情形下,在一次試驗(yàn)中落在區(qū)間以外的概率可以忽略不計(jì).這就是通常所說(shuō)的原理.【例11】*隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求.【解】=0.1448.應(yīng)該指出，除了離散型，連續(xù)型以外，隨機(jī)變量還有其它類(lèi)型，例如是分布函數(shù)，它不是離散型的，也不是連續(xù)型的(因?yàn)樗贿B續(xù)).以后如果對(duì)一般的隨機(jī)變量進(jìn)行討論，就用分布函數(shù)；如果對(duì)離散型情形，主要就用分布列；如果對(duì)連續(xù)型，則主要用密度函數(shù),不另提其它類(lèi)型了?；A(chǔ)訓(xùn)練2.3第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實(shí)際中，我們不僅要研究隨機(jī)變量，還要討論隨機(jī)變量的函數(shù).例如在測(cè)量圓軸的截面積時(shí)，往往只能測(cè)量到圓軸的直徑，然后由函數(shù)得到截面積的值。在這一節(jié)中，我們討論如何由已知隨機(jī)變量的分布去求它的函數(shù)的分布，這里是已知的連續(xù)函數(shù)。一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律