數(shù)學(xué)建摸(2)課件

3.微分方程建模3.1人口問(wèn)題（建模技巧與模型改進(jìn)）（單房室系統(tǒng)、集中參數(shù)法）（Malthus模型）增長(zhǎng)率非常數(shù)（工程師原則、統(tǒng)計(jì)籌算率）（Logistic模型）（進(jìn)一步研究）分布參數(shù)法建模-偏微分方程模型多種群的生態(tài)系統(tǒng)（微分方程組模型）離散模型考慮年齡結(jié)構(gòu)的模型控制論模型特殊種群增長(zhǎng)情況的研究隨機(jī)模型………等等dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有:從而:設(shè)g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計(jì)分析：記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），由動(dòng)量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質(zhì)量比決定。

故：由此解得：(3.11)

（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析現(xiàn)將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：（i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量——如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。最終質(zhì)量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，u只能達(dá)到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過(guò)6.6公里/秒。目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來(lái)越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過(guò)程中不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？2、理想火箭模型假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設(shè)火箭能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以λ與（1-λ）的比例同時(shí)減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭3、理想過(guò)程的實(shí)際逼近——多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級(jí)數(shù)為n，當(dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無(wú)用的第i級(jí)火箭。用mi表示第i級(jí)火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。先作如下假設(shè)：（i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的λ,即i級(jí)火箭中λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（1-λ）mi為燃料質(zhì)量。（ii）設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級(jí)火箭：

由3.11式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作討論的方便吧考慮N級(jí)火箭：

記n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載mP）為m0，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的m0/mP的值，見(jiàn)表3-2n（級(jí)數(shù)）12345…

∞（理想）

火箭質(zhì)量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭?！?.2

藥物在體內(nèi)的分布

何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究另一問(wèn)題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

（3.13）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見(jiàn)：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。SARS的突如其來(lái)，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。

3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。問(wèn)題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有i人得病，t時(shí)刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。則可導(dǎo)出：故可得：

（3.15）

infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解過(guò)程如下：對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：從而解得：積分得：（3.19）

不難驗(yàn)證，當(dāng)t→+∞時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對(duì)

進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。如果，則開始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于時(shí)，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項(xiàng)，有：代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對(duì)r(t)求導(dǎo)：（3.21）曲線在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。圖3-14給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。圖3-14（a）§3.7

穩(wěn)定性問(wèn)題

在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題。例7本章第2節(jié)中的Logistic模型共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面。空間Rn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖?！?.8

捕食系統(tǒng)的Volterra方程問(wèn)題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過(guò)程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問(wèn)題。Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來(lái)分析該方程組。2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：Po(0,0)是平凡平衡點(diǎn)且明顯是不穩(wěn)定，沒(méi)必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時(shí)間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識(shí)容易證明：有：同理：對(duì)有：圖3-20(b)圖3-20(a)與的圖形見(jiàn)圖3-20易知僅當(dāng)時(shí)（3.32）才有解記：討論平衡點(diǎn)的性態(tài)。當(dāng)時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點(diǎn)及，<

當(dāng)<x1<時(shí)，方程（3.32）有兩個(gè)解，當(dāng)x1=或x1=時(shí)，方程恰有一解，而在x1<或x1>時(shí)，方程無(wú)解。事實(shí)上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<時(shí)。此時(shí)：由的性質(zhì)，，使成立。當(dāng)x1=或時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)才能成立。而當(dāng)x1<或x1>時(shí)，由于，故無(wú)解。得證。確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個(gè)子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點(diǎn)P的兩個(gè)坐標(biāo)恰為食用魚與食肉魚在一個(gè)周期中的平均值。解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲更加猖獗了。（3）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力λ1的增大也會(huì)使自己的平均量減??；反之，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對(duì)食肉魚供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。§3.9

較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)

Volterra的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，成功解釋了D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。然而，對(duì)捕食系統(tǒng)中存在周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因?yàn)楦嗟牟妒诚到y(tǒng)并沒(méi)有這種特征。

一個(gè)捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個(gè)性，反映在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當(dāng)有所區(qū)別。現(xiàn)考察較為一般的雙種群系統(tǒng)。一般的雙種群系統(tǒng)

仍用x1(t)和x2(t)記t時(shí)刻的種群量（也可以是種群密度），設(shè)Ki為種群i的凈相對(duì)增長(zhǎng)率。

Ki隨種群不同而不同，同時(shí)也隨系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即Ki應(yīng)為x1、x2的函數(shù)。Ki究竟是一個(gè)怎樣的函數(shù)，我們沒(méi)有更多的信息。不妨再次采用一下工程師們的原則，采用線性化方法。這樣，得到下面的微分方程組：（3.33）不僅可以用來(lái)描述捕食系統(tǒng)。也可以用來(lái)描述相互間存在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。（3.33）（3.33）式的一些說(shuō)明式中a1、b2為本種群的親疏系數(shù)，a2、b1為兩種群間的交叉親疏系數(shù)。a2b1≠0時(shí)，兩種群間存在著相互影響，此時(shí)又可分為以下幾類情況：（i）a2>0，b1>0，共棲系統(tǒng)。（ii）a2<0，b1>0（或a2>0，b1<0），捕食系統(tǒng)。（iii）a2<0，b1<0，競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)。（i）—（iii）構(gòu)成了生態(tài)學(xué)中三個(gè)最基本的類型，種群間較為復(fù)雜的關(guān)系可以由這三種基本關(guān)系復(fù)合而成。（3.33）是否具有周期解不同的系統(tǒng)具有不同的系數(shù)，在未得到這些系數(shù)之前先來(lái)作一個(gè)一般化的討論。首先，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為方程組:（3.34）的解。如果系統(tǒng)具有非平凡平衡點(diǎn)則它應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)于方程組均為平凡平衡點(diǎn)。的根解得：P存在時(shí)，P一般是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)平凡平衡點(diǎn)常為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。證明：記（無(wú)圈定理）若方程組（3.33）的系數(shù)滿足（i）A=a1b2－a2b1≠0（ii）B=a1b0（a２－b2）－a０b2（a1－b１）≠０

則(3.33)不存在周期解定理3作函數(shù)，并記f(x1,x2)=x1(a0+a1x1+a2x2)，g(x1,x2)=x2(b0+b1x1+b2x2)，容易驗(yàn)證：假設(shè)結(jié)論不真，則在x1~x2平面第一象限存在（3.33）的一個(gè)圈Γ，它圍成的平面區(qū)域記為R。于是由K（x1,x2）>0且連續(xù)以及AB≠0可知，函數(shù)在第一象限中不變號(hào)且不為零，故二重積分：（3.35）但另一方面，由格林公式注意到，，又有:（3.36）其中T為周期。（3.35）與（3.36）矛盾，說(shuō)明圈Γ不可能存在。對(duì)于Voltera方程，由a1=b2=0，得B=0；所以無(wú)圈定理不適用于Volterra方程。對(duì)于一般的生態(tài)系統(tǒng)，如果通過(guò)求解的微分方程來(lái)討論常常會(huì)遇到困難。怎樣來(lái)討論一般的生態(tài)系統(tǒng)如果困難的話可以研究種群的變化率，搞清軌線的走向來(lái)了解各種群數(shù)量的最終趨勢(shì)。簡(jiǎn)化模型，設(shè)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的方程為：其中αβ不為0，否則為L(zhǎng)ogistic模型。方便討論取α=β=1，但所用方法可適用一般情況。（競(jìng)爭(zhēng)排斥原理）若K1>K2，則對(duì)任一初態(tài)（x1(0),x2(0)），當(dāng)t→+∞時(shí)，總有（x1(t),x2(t)）→（K1,0），即物種2將絕滅而物種1則趨于環(huán)境允許承擔(dān)的最大總量。定理4作直線l1:x1+x2=K1及