兩條直線的位置關(guān)系、距離公式（重難點(diǎn)突破） 高二數(shù)學(xué)上學(xué)期對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

兩條直線的位置關(guān)系、距離公式一、考情分析二、考點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識(shí)點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.知識(shí)點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等.知識(shí)點(diǎn)五：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式.知識(shí)點(diǎn)六、對(duì)稱問題對(duì)稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱.1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱是對(duì)稱問題中最基本的問題,是解決其他對(duì)稱問題的基礎(chǔ)，一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種對(duì)稱問題.設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x,y),則有，所以，即點(diǎn).特別地,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為.2．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)于點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為,則直線l為線段的中垂線，于是有等量關(guān)系:①（直線l的斜率存在且不為零）；②線段的中點(diǎn)在直線l上；③直線l上任意一點(diǎn)M到P，的距離相等，即.常見的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)：①點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)；②點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)；③點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)；④點(diǎn)關(guān)于直線y=?x的對(duì)稱點(diǎn)；⑤點(diǎn)關(guān)于直線x=m(m≠0)的對(duì)稱點(diǎn)；⑥點(diǎn)關(guān)于直線y=n(n≠0)的對(duì)稱點(diǎn).三、題型突破重難點(diǎn)題型突破(一)直線的交點(diǎn)問題例1．（1）、（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（2）、（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）兩條直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的實(shí)數(shù)解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．其中說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．0【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國·高二專題練習(xí)）過原點(diǎn)和直線與的交點(diǎn)的直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為______

重難點(diǎn)題型突破(二)距離公式的應(yīng)用例2.（1）、（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離等于（

）A．8 B．6 C．3 D．0（2）、（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩直線與，則與間的距離為（

）A． B． C． D．（3）、（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)且，則的一個(gè)值為________．（寫出符合題意的一個(gè)答案即可）【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·江蘇·高二）直線，為直線l上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【變式訓(xùn)練2-3】、（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高二階段練習(xí)）點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．

重難點(diǎn)題型突破(三)對(duì)稱問題例3．（1）、（2022·全國·高二）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（2）、（2021·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）光線從點(diǎn)射到軸上，經(jīng)軸反射以后過點(diǎn)，光線從A到B經(jīng)過的路程為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）若一束光線從點(diǎn)射入，經(jīng)直線反射到直線上的點(diǎn)，再經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．

重難點(diǎn)題型突破(四)三角形問題例4．（1）、（2022·江蘇·高二）已知三條直線：，：，：所圍成的圖形為直角三角形，則該三角形的面積為（

）A． B． C．或 D．或（2）、（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）（多選題）下列的值中，不能使三條直線和構(gòu)成三角形的有（

）A．4 B． C． D．【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·山東淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點(diǎn)），則FD斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·湖南·高二期末）（多選題）已知平面上三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的值可以為（

）A． B． C．0 D．1重難點(diǎn)題型突破(五)直線的綜合問題例5．（1）、（2022·江蘇徐州·高二期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．（2）、（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖已知，若光線從點(diǎn)射出，直線反射后到直線上，在經(jīng)直線反射回原點(diǎn)，則光線所在的直線方程為________．【變式訓(xùn)練5-1】、（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選題）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則下列正確的是（

）A．重心的坐標(biāo)為或B．垂心的坐標(biāo)為或C．頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為或D．歐拉線將分成的兩部分的面積之比為【變式訓(xùn)練5-2】、（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射回到時(shí)點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為_____．

例6．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．在中，已知，，若其歐拉線的方程為．求：(1)外心的坐標(biāo)；(2)重心的坐標(biāo)；(3)垂心的坐標(biāo)．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)求證：不論a為何值，直線l必過一定點(diǎn)P；(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)面積為12時(shí)，求的周長(zhǎng)；

四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若直線：與：垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．2．（2013·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)（2，5）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．(5，2) B．(2，－5) C．(－2，5) D．(－2，－5)3．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）（多選題）一光線過點(diǎn)（2，4），經(jīng)傾斜角為135°的直線l：反射后經(jīng)過點(diǎn)（5，0），則反射光線還經(jīng)過下列哪些點(diǎn)（

）A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）4．（2022·吉林松原·高二階段練習(xí)）（多選題）已知直線m：與直線n平行，且兩條直線之間的距離為，則直線n的方程可為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l1：與l2：相交于點(diǎn)，則__．6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）三條直線構(gòu)成一個(gè)三角形，