數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件

從2013年臺(tái)南市市長(zhǎng)盃

國(guó)民中學(xué)數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽

決賽試題分析談起

左太政/國(guó)立高雄師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系從2013年臺(tái)南市市長(zhǎng)盃

國(guó)民中學(xué)數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽

決賽試題分析對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的省思:蕭文強(qiáng)(2012):數(shù)學(xué)競(jìng)賽---是好、是壞？是樂(lè)、是苦？數(shù)學(xué)傳播。37卷4期，pp.46-55。作者從參與1988年香港舉辦數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽(IMO)擔(dān)任coordinator談起。臺(tái)南市自95年開(kāi)始由南寧高中承辦市長(zhǎng)盃國(guó)中數(shù)學(xué)競(jìng)賽複賽及決賽部分。對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的省思:蕭文強(qiáng)(2012):數(shù)學(xué)競(jìng)賽---是好、是競(jìng)賽與研究參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出題，並能分析解題策略，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究是否有幫助？數(shù)學(xué)研究之精神在於探索解答，且容許改變題目條件。競(jìng)賽與研究參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出研習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)介解題策略決賽試題解析研習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)介解題策略第一部分：淺介數(shù)學(xué)解題策略第一部分：何謂數(shù)學(xué)解題解題係指當(dāng)某人在解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)人為獲得答案所從事的一系列活動(dòng)。數(shù)學(xué)解題係指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中需要用到一些數(shù)學(xué)概念、原理或方法等。何謂數(shù)學(xué)解題解題係指當(dāng)某人在解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)人為獲得答老師教解題技巧的二個(gè)任務(wù)老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題時(shí)所使用的解題方法或策略為何？老師是否能夠?qū)⑦@些解題方法或策略教導(dǎo)學(xué)生如何解題？老師教解題技巧的二個(gè)任務(wù)老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題解題策略的意義策略是指完成任務(wù)的方法。解題策略是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的方法。解題策略的意義策略是指完成任務(wù)的方法。解題策略的種類(lèi)

(Problem-SolvingStrategies)法則(Algorithms)捷思法(Heuristics)窮舉法(Trial-and-Error)

頓悟法(Insight)解題策略的種類(lèi)

(Problem-SolvingStrat解題能否成功，取決於有關(guān)知識(shí)及技能所涉及的四個(gè)範(fàn)疇

(1)資源(resources):有關(guān)數(shù)學(xué)的程序知識(shí)與性質(zhì)等。(2)捷思(heuristics)：解題的策略及技巧。(3)掌握(control):能決定什麼是及何時(shí)使用上述所提及的資源及策略。(4)信念(beliefs)：從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)如何確定能解決問(wèn)題。解題能否成功，取決於有關(guān)知識(shí)及技能所涉及的四個(gè)範(fàn)疇(1)資常用的捷思策略

1.如有可能的話可作圖或表。2.特殊化—即考慮特殊情形可由下列方式進(jìn)行：視為問(wèn)題的特例；(1)探究可能取值的範(fàn)圍；(2)將整數(shù)參數(shù)從1,2,3,…依序探討起，尋找其規(guī)律性3.利用「對(duì)稱(chēng)性」或「為不失一般性」嘗試簡(jiǎn)化題目4.倒推法5.將問(wèn)題化成一系列小問(wèn)題解題6.分幾種情形討論7.反證法8.一般化9.引用新的符號(hào)(代數(shù)題)或作補(bǔ)助線(幾何題)常用的捷思策略1.如有可能的話可作圖或表。解題歷程（一）瞭解問(wèn)題-什麼是題目要求的或要證明的？已知條件有哪些？必要時(shí)可作圖行或表格幫助瞭解題意。解題歷程（一）瞭解問(wèn)題-（二）擬定計(jì)畫(huà)(即提出解題構(gòu)想)-能分析問(wèn)題，是否曾做過(guò)或解過(guò)類(lèi)似題，以尋求解題途徑，亦可考慮依下列方式進(jìn)行：

1.儘可能畫(huà)出圖形或表格；

2.檢查特例如令問(wèn)題中的整數(shù)取等特殊值代入,看看是否可歸納出規(guī)律來(lái)；3.嘗試簡(jiǎn)化問(wèn)題如利用對(duì)稱(chēng)性、採(cǎi)用『不妨假設(shè)』而不失問(wèn)題的一般討論方式。

4.如無(wú)法立即解決問(wèn)題，需保留任何解題的記錄,以便先做別題後再回頭解本題時(shí)參考使用。

（二）擬定計(jì)畫(huà)(即提出解題構(gòu)想)-能分析問(wèn)題，是否曾做過(guò)或解題歷程（三）實(shí)行計(jì)畫(huà)-選擇策略及綜合運(yùn)用知識(shí)去進(jìn)行推理、計(jì)算，以解決問(wèn)題。（四）回顧解答-驗(yàn)證答案是否合理及思考結(jié)果或方法能否用於解其他問(wèn)題，

甚至於自己修改原問(wèn)題或推廣其結(jié)論,，形成另一個(gè)問(wèn)題,，亦可考慮作為專(zhuān)題研究之題目。解題歷程（三）實(shí)行計(jì)畫(huà)-簡(jiǎn)言之,通常解題活動(dòng)先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時(shí)引進(jìn)題目的已知條件及潛在的性質(zhì)(Response),最後導(dǎo)出結(jié)果(Result).這是所謂的「3R」策略。簡(jiǎn)言之,通常解題活動(dòng)先從題目待答或待證明的地方著手(Requ第二部份：數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題解析

第二部份：一、填充題(共10題，每題6分)一、填充題1.已知

p

和q

都是質(zhì)數(shù)且

，如果

和

也都是質(zhì)數(shù)，

則

之值為_(kāi)_________。Ans:231.已知p和q都是質(zhì)數(shù)且，如【參考解答】(1)因?yàn)?/p>

p

和q

都是質(zhì)數(shù)，且

p+q和

p-q也都是質(zhì)數(shù)，故q=2。(2)又

p+2也是質(zhì)數(shù)，且

p-2,p,p+2三數(shù)中必只有一數(shù)是3的倍數(shù)。故【參考解答】2.已知

皆為整數(shù)，則共有___________組數(shù)對(duì)

滿(mǎn)足條件

。Ans:3組2.已知皆為整數(shù)，則共有___________【參考解答】

代入

分別求

值：(1)當(dāng)

時(shí)，

(不合)；(2)當(dāng)

時(shí)，

(不合)，

；

(3)當(dāng)

時(shí)，

(不合)；故解為

?！緟⒖冀獯稹?.將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個(gè)數(shù)填入右圖中的10個(gè)空格子裡，

每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)。又此圖形中共有三個(gè)田字形，每個(gè)田字形都是由四個(gè)空格組成。如果每個(gè)田字形的四個(gè)空格內(nèi)所填的數(shù)字之和都等於A，則A的最大值為_(kāi)_______。

Ans:283.將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個(gè)數(shù)填【參考解答】設(shè)對(duì)角線位置的中間二個(gè)空格分別填入

，又三個(gè)田字型的四個(gè)格子中所填的數(shù)

之和為A，

因

，若A=28，可考慮取

最上面的田字型其餘三數(shù)為4,7,8；中間的田字型其餘二數(shù)為3,6；

最下面的田字型其餘三數(shù)為2,5,11。

註:本題填法有多種方式，A的最小值為24?！緟⒖冀獯稹?.在所有三位數(shù)的正整數(shù)

中，能使

的末三位數(shù)字是168的最大三位數(shù)

為_(kāi)_________。Ans:9824.在所有三位數(shù)的正整數(shù)中，能使的末三位數(shù)字是【參考解答】(1)因n3的末位數(shù)字是8，所以n的末位數(shù)字是2。(2)設(shè)n=10k+2，其中kZ，n3=(10k+2)3=1000k3+600k2+120k+8，

因?yàn)閚3的十位數(shù)字是6，所以k的個(gè)位數(shù)字為3或8。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以假設(shè)k=5m+3，其中mZ，

n3=(10(5m+3)+2)3=(50m+32)3=125000m3+240000m2+153600m+32768，因?yàn)閚3的百位數(shù)字為1，故m的個(gè)位數(shù)字為4或9。當(dāng)m=4，我們得到k=23和n=232，【參考解答】當(dāng)m=9，我們得到k=48和n=482，當(dāng)m=14，我們得到k=73和n=732，當(dāng)m=19，我們得到k=98和n=982，當(dāng)m=24，我們得到k=123和n=1232，……。所以最大三位數(shù)n為982當(dāng)m=9，我們得到k=48和n=482，5.長(zhǎng)方形ABCD

中，E

為

中點(diǎn)，F(xiàn)

為

中點(diǎn)。如果

為直角，則

的比

值為_(kāi)________。

(答案需化為最簡(jiǎn)式，否則不予計(jì)分)Ans:5.長(zhǎng)方形ABCD中，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)。如【參考解答】

令【參考解答】6.已知二數(shù)

滿(mǎn)足

則_______。

Ans:4

6.已知二數(shù)滿(mǎn)足【分析】如果利用乘法公式將其展開(kāi)後整理，過(guò)程可能複雜些。如果利用十字交乘法：令

因此原方程式可寫(xiě)成

，似乎也不行通。若利用配方法：欲寫(xiě)成

，其中

?！痉治觥俊緟⒖冀獯稹扛鶕?jù)以上討論可知設(shè)原式=

【參考解答】7.令

為正整數(shù)，在坐標(biāo)平面上，直線

，分別交x軸與y軸於

二點(diǎn)

O為原點(diǎn)。

若直角三角形AOB的面積為

，則=_________。Ans:7.令為正整數(shù)，在坐標(biāo)平面上，直線【參考解答】因?yàn)锳,B點(diǎn)之座標(biāo)

之面積為

。【參考解答】8.計(jì)算

=______。(需化至最簡(jiǎn)式，否則不計(jì)分。)Ans:8.計(jì)算【參考解答】【參考解答】9.設(shè)某數(shù)列的第n項(xiàng)為

，其中n為正整數(shù)。若此數(shù)列的前2013項(xiàng)之和為L(zhǎng)，且

，其中

是某正整數(shù)，則

的值為_(kāi)________。Ans:2013

9.設(shè)某數(shù)列的第n項(xiàng)為【參考解答】設(shè)

其中n為正整數(shù)。首先觀察對(duì)任意的正整數(shù)k，

【參考解答】所以對(duì)任意的自然數(shù)n

，我們可求得因?yàn)?/p>

由＊知，所以

所以對(duì)任意的自然數(shù)n，我們可求得10.已知

為正整數(shù)且

，則滿(mǎn)足條件

的

值為_(kāi)_______。Ans:10.已知為正整數(shù)且【參考解答】因

為正整數(shù)，所以

必為正整數(shù)，且

，所以

，其中k

為正整數(shù)。但

，因?yàn)?/p>

，所以

。

【參考解答】由上述解的過(guò)程得知如果我們將1683改為2013或2014，其結(jié)果為何？由上述解的過(guò)程得知如果我們將1683改為2013或2014，二、計(jì)算及證明題

(共4題，每題10分)二、計(jì)算及證明題

(共4題，每題10分)1.設(shè)

為質(zhì)數(shù)，如果

的正因數(shù)之個(gè)數(shù)少於11個(gè)，試求滿(mǎn)足這樣條件的所有質(zhì)數(shù)

。1.設(shè)為質(zhì)數(shù)，如果的正因數(shù)之個(gè)解題策略：將p值從最小值p=2,3,5,…代入檢驗(yàn)是否符合題意。解題策略：【參考解答】Ans:若

，則

有4個(gè)正因數(shù)1,

3,

5,

15。若

，則

有6個(gè)正因數(shù)1,

2,

4,

5,

10,

20若

，則

有9個(gè)正因數(shù)1,

2,

3,

4,

,

9,

12,

18,

36若

，則

有12個(gè)正因數(shù)（不合）【參考解答】Ans:若，則欲證當(dāng)

時(shí)，

的正因數(shù)之個(gè)數(shù)必多於11個(gè)。首先證明

為12的倍數(shù)。

因?yàn)?/p>

，則

必為4的倍數(shù)加1，

必

為4的倍數(shù)。

又

為3的倍數(shù)加1，因此

亦為3的倍數(shù)加1，所以

為3的倍數(shù)。故可令

，其中

為正整數(shù)因此當(dāng)

，則

。若

，則

有12個(gè)正因數(shù)1,

2,

3,

4,

6,

11,

12,

22,

33,44,66,132（不合）。若

，則

有12個(gè)正因數(shù)

（不合）。

欲證當(dāng)時(shí)，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2、3、5

找出一個(gè)得1分，共3分

例：1、2、3、5

多寫(xiě)一個(gè)得2分

例：2、3、5、7、11

多寫(xiě)二個(gè)得0分

例：2、3、7

少一多一得0分猜出

必為12倍數(shù)

得1分證

為4的倍數(shù)

得1分

證

為3的倍數(shù)

得1分說(shuō)明

時(shí)，

因數(shù)個(gè)數(shù)小於11個(gè)的

值只有2、3、5

得4分

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2、3、5找出一個(gè)得1分，共3分2.已知

為正整數(shù)，且

，

如果

能被

整除，試求

之值。

2.已知為正整數(shù)，且，如果【參考解答】Ans:(1)

能被

整除，所以

。(2)又

不能被

與

整除，

不能被

與

整除，

不能被

與

整除，由

能被

整除，可知

?！緟⒖冀獯稹緼ns:(1)(3)令

，其中

為某一正整數(shù)，因此

能被

整除，即

。因此令

，其中

為正整數(shù)。(4)又

(3)令，其中為某一正整數(shù)，因此另解另解評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)，但缺乏合理說(shuō)明過(guò)程得1分有推導(dǎo)出

得2分寫(xiě)出

或

為

的倍數(shù)，或以類(lèi)似表示解法

得2分直接任意代入數(shù)字，不給過(guò)程分?jǐn)?shù)其餘討論，過(guò)程合理正確，

再得5分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)，但缺乏合理說(shuō)明過(guò)程得1分?jǐn)?shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件3.設(shè)

，試求出所有可能的整數(shù)

，使得n是某個(gè)質(zhì)數(shù)的平方，並求出所有合乎條件

的n值。3.設(shè)參考解答設(shè)

，其中p是質(zhì)數(shù)，則

，中可設(shè)

，為整數(shù)。因此，觀察得到又因?yàn)?/p>

，所以考慮下列可能情形如下：參考解答設(shè)(1)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解(2)當(dāng)

時(shí)，則

，所以

，因此

。(3)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。(4)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。(5)當(dāng)

時(shí)，則

，

即

與p是質(zhì)數(shù)矛盾，因此無(wú)解。(6)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。綜合以上討論可知合乎所求僅有

，此時(shí)(1)當(dāng)時(shí)，則評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)直接猜答案

得3分透過(guò)因式分解

令

得5分完整分類(lèi)討論，每討論一項(xiàng)加1分

得5分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)直接猜答案數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件4.設(shè)

表示一個(gè)三角形之三邊長(zhǎng)，試證：

4.設(shè)表示一個(gè)三角形之三邊長(zhǎng)，試證：參考解答(1)首先證明：參考解答(1)首先證明：給分原則如果直接提及：利用算幾不等式，基本上國(guó)中階段並無(wú)此公式，原則上需證明。給分原則如果直接提及：(2)先證明

，

。同理可證

。其次，再將此三個(gè)不等式兩邊分別乘以

後相加，得

，故得證。

(2)先證明評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二個(gè)部分不等式，各完成一個(gè)，

得5分令

，或只討論特殊三角形來(lái)說(shuō)明不等式成立，

得1分用數(shù)字代入說(shuō)不等式成立，

不給分其餘依據(jù)討論及策略的完整性，視情況加分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二個(gè)部分不等式，各完成一個(gè)，得5分?jǐn)?shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件複賽填充題解析複賽填充題解析8.有一個(gè)大掛鐘矗立在公園中，上午

點(diǎn)被校正為正確時(shí)間，但此掛鐘每走一分鐘，它會(huì)較正確時(shí)間慢

秒鐘，若當(dāng)天下午此掛鐘的鐘面指針是兩點(diǎn)整，則此時(shí)正確的時(shí)間應(yīng)是幾點(diǎn)幾分？(A)2點(diǎn)40分(B)2點(diǎn)50分(C)3點(diǎn)整(D)3點(diǎn)10分

Ans:(C)8.有一個(gè)大掛鐘矗立在公園中，上午點(diǎn)被校正為正確時(shí)間，但【參考解答】設(shè)正確時(shí)間為下午2點(diǎn)

分，由於該鐘每一分會(huì)慢了10秒鐘，所以得方程式：

【參考解答】另解考慮利用比例關(guān)係正確時(shí)鐘每走1分鐘，此時(shí)鐘只走50秒二者行走速度比值為，因此當(dāng)此時(shí)鐘為兩點(diǎn)整，共走5小時(shí)，因此正確時(shí)鐘需走6小時(shí)。另解考慮利用比例關(guān)係12.已知

且滿(mǎn)足

，則

(A)1(B)2(C)3(D)4Ans:(A)12.已知且滿(mǎn)足【參考解答】利用根與係數(shù)，因?yàn)榉謩e為方程式的二解，因此【參考解答】19.小明開(kāi)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)的車(chē)速維持固定。如果他把車(chē)速每小時(shí)提高20%，可以比原來(lái)預(yù)定到達(dá)的時(shí)間提早1小時(shí)；如果他先以原來(lái)的速度行駛120公里後，再將車(chē)速每小時(shí)提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)，請(qǐng)問(wèn)甲乙兩地相距多少公里？

(A)240(B)270(C)300(D)360Ans:(B)19.小明開(kāi)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)的車(chē)速維持固定。如果他【參考解答】設(shè)甲乙兩地相距

公里，且小明每小時(shí)的車(chē)速為

公理，由題意知，又

，

故

。【參考解答】20.有一個(gè)

位數(shù)A，具備以下兩個(gè)性質(zhì)：

(1)A中每一位數(shù)的數(shù)字都是1或2，(2)A中至少有相鄰的二個(gè)數(shù)字都是1，

例如:，A=112、211及111都滿(mǎn)足此二性質(zhì)。又另一個(gè)

位數(shù)B，具備以下兩個(gè)性質(zhì)：

(3)B中每一位數(shù)都是0或1，(4)B中至少有相鄰的二個(gè)數(shù)字都是0，

例如:，B=100滿(mǎn)足此二性質(zhì)。

若

表示

n位數(shù)A的個(gè)數(shù)，

表示

位數(shù)B的個(gè)數(shù)，則

之值為多少？(A)10(B)11(C)12(D)13

Ans:(B)

20.有一個(gè)位數(shù)A，具備以下兩個(gè)性質(zhì)：【參考解答】四位數(shù)的A=1122,2112,2211,1112,2111,1121,1211及1111共8種

四位數(shù)的B=1100,1001及1000，共3種

所以8+3=11【參考解答】四位數(shù)的A=1122,2112,2211,11121.設(shè)有兩相異數(shù)

和b

滿(mǎn)足

和

，則

之值為何？

(A)(B)(C)

(D)Ans:(D)21.設(shè)有兩相異數(shù)和b滿(mǎn)足和【參考解答】因?yàn)闉榉匠淌降亩砸虼恕！緟⒖冀獯稹恳驗(yàn)闉榉匠淌?2.設(shè)

，令

且

，若以p和q為兩根的方程式為

，則

?(A)28(B)32(C)36(D)40

Ans:(A)22.設(shè)【參考解答】【參考解答】23.在四邊形ABCD中，

，

且

。如果四邊形的周長(zhǎng)為16，則

=？(A)2(B)3(C)4(D)5Ans:(B)23.在四邊形ABCD中，【參考解答】作

，因?yàn)樗詾檎切危?/p>

，且令，由題意知，【參考解答】作，因?yàn)檠}賽第24題已知實(shí)數(shù)

滿(mǎn)足

，則

之值為多少？

(A)0(B)1(C)2(D)3複賽第24題已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足【參考解答】

將上式分別乘以

後相加，得【參考解答】25.某一學(xué)年度創(chuàng)創(chuàng)在學(xué)?？偣部剂薾

次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知他在該學(xué)年度最後第二次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)考了98分，他算出到此次測(cè)驗(yàn)為止，他的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)就會(huì)比前面

n-2次的平均分?jǐn)?shù)增加1分；又他在該學(xué)年度最後一次測(cè)驗(yàn)考了70分，那麼他在該學(xué)年度全部數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分?jǐn)?shù)就會(huì)比前面

n-1次測(cè)驗(yàn)的平均分?jǐn)?shù)減少2分；則

n=？

(A)7(B)8(C)9(D)10Ans:(D)25.某一學(xué)年度創(chuàng)創(chuàng)在學(xué)?？偣部剂薾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知他在【參考解答】設(shè)創(chuàng)創(chuàng)在該年前面n-2次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分?jǐn)?shù)為

m分，由題意知，又解之得n=10?！緟⒖冀獯稹抗?fàn)例解說(shuō)範(fàn)例解說(shuō)問(wèn)題1.已知為介於0和1之間的正實(shí)數(shù)，試證：?jiǎn)栴}1.已知為介於0和1之間的正實(shí)數(shù)，試證能否描述本題的解題策略？利用類(lèi)比(Analogy)Fewervariables方法，先從二個(gè)變數(shù)著手，即先作其次，不等式的兩邊再分別乘以及去說(shuō)明三個(gè)變數(shù)及原式的結(jié)果。能否描述本題的解題策略？利用類(lèi)比(Analogy)Fewer問(wèn)題2.試求：之值。問(wèn)題2.試求：如何教導(dǎo)同學(xué)解題策略？通分？還是……如何教導(dǎo)同學(xué)解題策略？參考解法一將原式引進(jìn)sigma符號(hào)來(lái)化簡(jiǎn)，即參考解法一將原式引進(jìn)sigma符號(hào)來(lái)化簡(jiǎn)，即參考解法二考慮，再尋找規(guī)律性。參考解法二考慮，再尋找規(guī)律性。類(lèi)題計(jì)算類(lèi)題計(jì)算問(wèn)題3

.

給定二條相交於一點(diǎn)的直線，在其中一條上取一點(diǎn)，如圖所示。試?yán)贸咭?guī)作圖作一圓相切於此二直線，使得此圓與其中一條直線相切於點(diǎn)。問(wèn)題3.

給定二條相交於一點(diǎn)的直線，在其中一條上取一點(diǎn)問(wèn)題4.在中，試證可利用尺規(guī)作圖作一直線，平行於底邊，且將此三角形平分成二個(gè)面積相等的圖形。問(wèn)題4.在中，試證可利用尺規(guī)作圖作一直線，平行單元:一題多解有利於加強(qiáng)同學(xué)的思維訓(xùn)練有利於培養(yǎng)同學(xué)的數(shù)學(xué)能力例如:(1)數(shù)與形的結(jié)合

(2)轉(zhuǎn)化解題方法的培養(yǎng)

(3)歸納能力單元:一題多解有利於加強(qiáng)同學(xué)的思維訓(xùn)練

從一道數(shù)學(xué)題目談起

如圖，試求的度數(shù)。從一道數(shù)學(xué)題目談起

如圖，試求參考解答一(利用三角函數(shù))參考解答一(利用三角函數(shù))參考解答二:使用國(guó)中所習(xí)方法

圖解法(ProofWithoutWords)

首先，構(gòu)造參考解答二:使用國(guó)中所習(xí)方法

圖解法(ProofWitho類(lèi)題：

試求下圖中的九個(gè)角的度數(shù)和。

提示：類(lèi)題：

試求下圖中的九個(gè)角的度數(shù)和。

提示：數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件【參考解答】【參考解答】數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件【參考解答】【參考解答】從2013年臺(tái)南市市長(zhǎng)盃

國(guó)民中學(xué)數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽

決賽試題分析談起

左太政/國(guó)立高雄師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系從2013年臺(tái)南市市長(zhǎng)盃

國(guó)民中學(xué)數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽

決賽試題分析對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的省思:蕭文強(qiáng)(2012):數(shù)學(xué)競(jìng)賽---是好、是壞？是樂(lè)、是苦？數(shù)學(xué)傳播。37卷4期，pp.46-55。作者從參與1988年香港舉辦數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽(IMO)擔(dān)任coordinator談起。臺(tái)南市自95年開(kāi)始由南寧高中承辦市長(zhǎng)盃國(guó)中數(shù)學(xué)競(jìng)賽複賽及決賽部分。對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的省思:蕭文強(qiáng)(2012):數(shù)學(xué)競(jìng)賽---是好、是競(jìng)賽與研究參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出題，並能分析解題策略，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究是否有幫助？數(shù)學(xué)研究之精神在於探索解答，且容許改變題目條件。競(jìng)賽與研究參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出研習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)介解題策略決賽試題解析研習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)介解題策略第一部分：淺介數(shù)學(xué)解題策略第一部分：何謂數(shù)學(xué)解題解題係指當(dāng)某人在解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)人為獲得答案所從事的一系列活動(dòng)。數(shù)學(xué)解題係指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中需要用到一些數(shù)學(xué)概念、原理或方法等。何謂數(shù)學(xué)解題解題係指當(dāng)某人在解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)人為獲得答老師教解題技巧的二個(gè)任務(wù)老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題時(shí)所使用的解題方法或策略為何？老師是否能夠?qū)⑦@些解題方法或策略教導(dǎo)學(xué)生如何解題？老師教解題技巧的二個(gè)任務(wù)老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題解題策略的意義策略是指完成任務(wù)的方法。解題策略是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的方法。解題策略的意義策略是指完成任務(wù)的方法。解題策略的種類(lèi)

(Problem-SolvingStrategies)法則(Algorithms)捷思法(Heuristics)窮舉法(Trial-and-Error)

頓悟法(Insight)解題策略的種類(lèi)

(Problem-SolvingStrat解題能否成功，取決於有關(guān)知識(shí)及技能所涉及的四個(gè)範(fàn)疇

(1)資源(resources):有關(guān)數(shù)學(xué)的程序知識(shí)與性質(zhì)等。(2)捷思(heuristics)：解題的策略及技巧。(3)掌握(control):能決定什麼是及何時(shí)使用上述所提及的資源及策略。(4)信念(beliefs)：從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)如何確定能解決問(wèn)題。解題能否成功，取決於有關(guān)知識(shí)及技能所涉及的四個(gè)範(fàn)疇(1)資常用的捷思策略

1.如有可能的話可作圖或表。2.特殊化—即考慮特殊情形可由下列方式進(jìn)行：視為問(wèn)題的特例；(1)探究可能取值的範(fàn)圍；(2)將整數(shù)參數(shù)從1,2,3,…依序探討起，尋找其規(guī)律性3.利用「對(duì)稱(chēng)性」或「為不失一般性」嘗試簡(jiǎn)化題目4.倒推法5.將問(wèn)題化成一系列小問(wèn)題解題6.分幾種情形討論7.反證法8.一般化9.引用新的符號(hào)(代數(shù)題)或作補(bǔ)助線(幾何題)常用的捷思策略1.如有可能的話可作圖或表。解題歷程（一）瞭解問(wèn)題-什麼是題目要求的或要證明的？已知條件有哪些？必要時(shí)可作圖行或表格幫助瞭解題意。解題歷程（一）瞭解問(wèn)題-（二）擬定計(jì)畫(huà)(即提出解題構(gòu)想)-能分析問(wèn)題，是否曾做過(guò)或解過(guò)類(lèi)似題，以尋求解題途徑，亦可考慮依下列方式進(jìn)行：

1.儘可能畫(huà)出圖形或表格；

2.檢查特例如令問(wèn)題中的整數(shù)取等特殊值代入,看看是否可歸納出規(guī)律來(lái)；3.嘗試簡(jiǎn)化問(wèn)題如利用對(duì)稱(chēng)性、採(cǎi)用『不妨假設(shè)』而不失問(wèn)題的一般討論方式。

4.如無(wú)法立即解決問(wèn)題，需保留任何解題的記錄,以便先做別題後再回頭解本題時(shí)參考使用。

（二）擬定計(jì)畫(huà)(即提出解題構(gòu)想)-能分析問(wèn)題，是否曾做過(guò)或解題歷程（三）實(shí)行計(jì)畫(huà)-選擇策略及綜合運(yùn)用知識(shí)去進(jìn)行推理、計(jì)算，以解決問(wèn)題。（四）回顧解答-驗(yàn)證答案是否合理及思考結(jié)果或方法能否用於解其他問(wèn)題，

甚至於自己修改原問(wèn)題或推廣其結(jié)論,，形成另一個(gè)問(wèn)題,，亦可考慮作為專(zhuān)題研究之題目。解題歷程（三）實(shí)行計(jì)畫(huà)-簡(jiǎn)言之,通常解題活動(dòng)先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時(shí)引進(jìn)題目的已知條件及潛在的性質(zhì)(Response),最後導(dǎo)出結(jié)果(Result).這是所謂的「3R」策略。簡(jiǎn)言之,通常解題活動(dòng)先從題目待答或待證明的地方著手(Requ第二部份：數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題解析

第二部份：一、填充題(共10題，每題6分)一、填充題1.已知

p

和q

都是質(zhì)數(shù)且

，如果

和

也都是質(zhì)數(shù)，

則

之值為_(kāi)_________。Ans:231.已知p和q都是質(zhì)數(shù)且，如【參考解答】(1)因?yàn)?/p>

p

和q

都是質(zhì)數(shù)，且

p+q和

p-q也都是質(zhì)數(shù)，故q=2。(2)又

p+2也是質(zhì)數(shù)，且

p-2,p,p+2三數(shù)中必只有一數(shù)是3的倍數(shù)。故【參考解答】2.已知

皆為整數(shù)，則共有___________組數(shù)對(duì)

滿(mǎn)足條件

。Ans:3組2.已知皆為整數(shù)，則共有___________【參考解答】

代入

分別求

值：(1)當(dāng)

時(shí)，

(不合)；(2)當(dāng)

時(shí)，

(不合)，

；

(3)當(dāng)

時(shí)，

(不合)；故解為

?！緟⒖冀獯稹?.將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個(gè)數(shù)填入右圖中的10個(gè)空格子裡，

每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)。又此圖形中共有三個(gè)田字形，每個(gè)田字形都是由四個(gè)空格組成。如果每個(gè)田字形的四個(gè)空格內(nèi)所填的數(shù)字之和都等於A，則A的最大值為_(kāi)_______。

Ans:283.將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個(gè)數(shù)填【參考解答】設(shè)對(duì)角線位置的中間二個(gè)空格分別填入

，又三個(gè)田字型的四個(gè)格子中所填的數(shù)

之和為A，

因

，若A=28，可考慮取

最上面的田字型其餘三數(shù)為4,7,8；中間的田字型其餘二數(shù)為3,6；

最下面的田字型其餘三數(shù)為2,5,11。

註:本題填法有多種方式，A的最小值為24?！緟⒖冀獯稹?.在所有三位數(shù)的正整數(shù)

中，能使

的末三位數(shù)字是168的最大三位數(shù)

為_(kāi)_________。Ans:9824.在所有三位數(shù)的正整數(shù)中，能使的末三位數(shù)字是【參考解答】(1)因n3的末位數(shù)字是8，所以n的末位數(shù)字是2。(2)設(shè)n=10k+2，其中kZ，n3=(10k+2)3=1000k3+600k2+120k+8，

因?yàn)閚3的十位數(shù)字是6，所以k的個(gè)位數(shù)字為3或8。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以假設(shè)k=5m+3，其中mZ，

n3=(10(5m+3)+2)3=(50m+32)3=125000m3+240000m2+153600m+32768，因?yàn)閚3的百位數(shù)字為1，故m的個(gè)位數(shù)字為4或9。當(dāng)m=4，我們得到k=23和n=232，【參考解答】當(dāng)m=9，我們得到k=48和n=482，當(dāng)m=14，我們得到k=73和n=732，當(dāng)m=19，我們得到k=98和n=982，當(dāng)m=24，我們得到k=123和n=1232，……。所以最大三位數(shù)n為982當(dāng)m=9，我們得到k=48和n=482，5.長(zhǎng)方形ABCD

中，E

為

中點(diǎn)，F(xiàn)

為

中點(diǎn)。如果

為直角，則

的比

值為_(kāi)________。

(答案需化為最簡(jiǎn)式，否則不予計(jì)分)Ans:5.長(zhǎng)方形ABCD中，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)。如【參考解答】

令【參考解答】6.已知二數(shù)

滿(mǎn)足

則_______。

Ans:4

6.已知二數(shù)滿(mǎn)足【分析】如果利用乘法公式將其展開(kāi)後整理，過(guò)程可能複雜些。如果利用十字交乘法：令

因此原方程式可寫(xiě)成

，似乎也不行通。若利用配方法：欲寫(xiě)成

，其中

。【分析】【參考解答】根據(jù)以上討論可知設(shè)原式=

【參考解答】7.令

為正整數(shù)，在坐標(biāo)平面上，直線

，分別交x軸與y軸於

二點(diǎn)

O為原點(diǎn)。

若直角三角形AOB的面積為

，則=_________。Ans:7.令為正整數(shù)，在坐標(biāo)平面上，直線【參考解答】因?yàn)锳,B點(diǎn)之座標(biāo)

之面積為

?！緟⒖冀獯稹?.計(jì)算

=______。(需化至最簡(jiǎn)式，否則不計(jì)分。)Ans:8.計(jì)算【參考解答】【參考解答】9.設(shè)某數(shù)列的第n項(xiàng)為

，其中n為正整數(shù)。若此數(shù)列的前2013項(xiàng)之和為L(zhǎng)，且

，其中

是某正整數(shù)，則

的值為_(kāi)________。Ans:2013

9.設(shè)某數(shù)列的第n項(xiàng)為【參考解答】設(shè)

其中n為正整數(shù)。首先觀察對(duì)任意的正整數(shù)k，

【參考解答】所以對(duì)任意的自然數(shù)n

，我們可求得因?yàn)?/p>

由＊知，所以

所以對(duì)任意的自然數(shù)n，我們可求得10.已知

為正整數(shù)且

，則滿(mǎn)足條件

的

值為_(kāi)_______。Ans:10.已知為正整數(shù)且【參考解答】因

為正整數(shù)，所以

必為正整數(shù)，且

，所以

，其中k

為正整數(shù)。但

，因?yàn)?/p>

，所以

。

【參考解答】由上述解的過(guò)程得知如果我們將1683改為2013或2014，其結(jié)果為何？由上述解的過(guò)程得知如果我們將1683改為2013或2014，二、計(jì)算及證明題

(共4題，每題10分)二、計(jì)算及證明題

(共4題，每題10分)1.設(shè)

為質(zhì)數(shù)，如果

的正因數(shù)之個(gè)數(shù)少於11個(gè)，試求滿(mǎn)足這樣條件的所有質(zhì)數(shù)

。1.設(shè)為質(zhì)數(shù)，如果的正因數(shù)之個(gè)解題策略：將p值從最小值p=2,3,5,…代入檢驗(yàn)是否符合題意。解題策略：【參考解答】Ans:若

，則

有4個(gè)正因數(shù)1,

3,

5,

15。若

，則

有6個(gè)正因數(shù)1,

2,

4,

5,

10,

20若

，則

有9個(gè)正因數(shù)1,

2,

3,

4,

,

9,

12,

18,

36若

，則

有12個(gè)正因數(shù)（不合）【參考解答】Ans:若，則欲證當(dāng)

時(shí)，

的正因數(shù)之個(gè)數(shù)必多於11個(gè)。首先證明

為12的倍數(shù)。

因?yàn)?/p>

，則

必為4的倍數(shù)加1，

必

為4的倍數(shù)。

又

為3的倍數(shù)加1，因此

亦為3的倍數(shù)加1，所以

為3的倍數(shù)。故可令

，其中

為正整數(shù)因此當(dāng)

，則

。若

，則

有12個(gè)正因數(shù)1,

2,

3,

4,

6,

11,

12,

22,

33,44,66,132（不合）。若

，則

有12個(gè)正因數(shù)

（不合）。

欲證當(dāng)時(shí)，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2、3、5

找出一個(gè)得1分，共3分

例：1、2、3、5

多寫(xiě)一個(gè)得2分

例：2、3、5、7、11

多寫(xiě)二個(gè)得0分

例：2、3、7

少一多一得0分猜出

必為12倍數(shù)

得1分證

為4的倍數(shù)

得1分

證

為3的倍數(shù)

得1分說(shuō)明

時(shí)，

因數(shù)個(gè)數(shù)小於11個(gè)的

值只有2、3、5

得4分

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2、3、5找出一個(gè)得1分，共3分2.已知

為正整數(shù)，且

，

如果

能被

整除，試求

之值。

2.已知為正整數(shù)，且，如果【參考解答】Ans:(1)

能被

整除，所以

。(2)又

不能被

與

整除，

不能被

與

整除，

不能被

與

整除，由

能被

整除，可知

。【參考解答】Ans:(1)(3)令

，其中

為某一正整數(shù)，因此

能被

整除，即

。因此令

，其中

為正整數(shù)。(4)又

(3)令，其中為某一正整數(shù)，因此另解另解評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)，但缺乏合理說(shuō)明過(guò)程得1分有推導(dǎo)出

得2分寫(xiě)出

或

為

的倍數(shù)，或以類(lèi)似表示解法

得2分直接任意代入數(shù)字，不給過(guò)程分?jǐn)?shù)其餘討論，過(guò)程合理正確，

再得5分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)，但缺乏合理說(shuō)明過(guò)程得1分?jǐn)?shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件3.設(shè)

，試求出所有可能的整數(shù)

，使得n是某個(gè)質(zhì)數(shù)的平方，並求出所有合乎條件

的n值。3.設(shè)參考解答設(shè)

，其中p是質(zhì)數(shù)，則

，中可設(shè)

，為整數(shù)。因此，觀察得到又因?yàn)?/p>

，所以考慮下列可能情形如下：參考解答設(shè)(1)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解(2)當(dāng)

時(shí)，則

，所以

，因此

。(3)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。(4)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。(5)當(dāng)

時(shí)，則

，

即

與p是質(zhì)數(shù)矛盾，因此無(wú)解。(6)當(dāng)

時(shí)，則

，無(wú)解。綜合以上討論可知合乎所求僅有

，此時(shí)(1)當(dāng)時(shí)，則評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)直接猜答案

得3分透過(guò)因式分解

令

得5分完整分類(lèi)討論，每討論一項(xiàng)加1分

得5分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)直接猜答案數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件4.設(shè)

表示一個(gè)三角形之三邊長(zhǎng)，試證：

4.設(shè)表示一個(gè)三角形之三邊長(zhǎng)，試證：參考解答(1)首先證明：參考解答(1)首先證明：給分原則如果直接提及：利用算幾不等式，基本上國(guó)中階段並無(wú)此公式，原則上需證明。給分原則如果直接提及：(2)先證明

，

。同理可證

。其次，再將此三個(gè)不等式兩邊分別乘以

後相加，得

，故得證。

(2)先證明評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二個(gè)部分不等式，各完成一個(gè)，

得5分令

，或只討論特殊三角形來(lái)說(shuō)明不等式成立，

得1分用數(shù)字代入說(shuō)不等式成立，

不給分其餘依據(jù)討論及策略的完整性，視情況加分評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二個(gè)部分不等式，各完成一個(gè)，得5分?jǐn)?shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題課件複賽填充題解析複賽填充題解析8.有一個(gè)大掛鐘矗立在公園中，上午

點(diǎn)被校正為正確時(shí)間，但此掛鐘每走一分鐘，它會(huì)較正確時(shí)間慢

秒鐘，若當(dāng)天下午此掛鐘的鐘面指針是兩點(diǎn)整，則此時(shí)正確的時(shí)間應(yīng)是幾點(diǎn)幾分？(A)2點(diǎn)40分(B)2點(diǎn)50分(C)3點(diǎn)整(D)3點(diǎn)10分

Ans:(C)8.有一個(gè)大掛鐘矗立在公園中，上午點(diǎn)被校正為正確時(shí)間，但【參考解答】設(shè)正確時(shí)間為下午2點(diǎn)

分，由於該鐘每一分會(huì)慢了10秒鐘，所以得方程式：

【參考解答】另解考慮利用比例關(guān)係正確時(shí)鐘每走1分鐘，此時(shí)鐘只走50秒二者行走速度比值為，因此當(dāng)此時(shí)鐘為兩點(diǎn)整，共走5小時(shí)，因此正確時(shí)鐘需走6小時(shí)。另解考慮利用比例關(guān)係12.已知

且滿(mǎn)足

，則

(A)1(B)2(C)3(D)4Ans:(A)12.已知且滿(mǎn)足【參考解答】利用根與係數(shù)，因?yàn)榉謩e為方程式的二解，因此【參考解答】19.小明開(kāi)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)的車(chē)速維持固定。如果他把車(chē)速每小時(shí)提高20%，可以比原來(lái)預(yù)定到達(dá)的時(shí)間提早1小時(shí)；如果他先以原來(lái)的速度行駛120公里後，再將車(chē)速每小時(shí)提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)，請(qǐng)問(wèn)甲乙兩地相距多少公里？

(A)240(B)270(C)300(D)360Ans:(B)19.小明開(kāi)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)的車(chē)速維持固定。如果他【參考解答】設(shè)甲乙兩地相距

公里，且小明每小時(shí)的車(chē)速為

公理，由題意知，又

，

故

?！緟⒖冀獯稹?0.有一個(gè)

位數(shù)A，具備以下兩個(gè)性質(zhì)：

(1)A中每一位數(shù)的數(shù)字都是1或2，(2)A中至少有相鄰的二個(gè)數(shù)字都是1，

例如:，A=112、211及111都滿(mǎn)足此二性質(zhì)。又另一個(gè)

位數(shù)B，具備以下兩個(gè)性質(zhì)：

(3)B中每一位數(shù)都是0或1，(4)B中至少有相鄰的二個(gè)數(shù)字都是0，

例如:，B=100滿(mǎn)足此