2-4平方根法與改進(jìn)的平方根法重點(diǎn)課件

§2.4平方根法與改進(jìn)的平方根法對稱正定矩陣平方根法改進(jìn)的平方根法§2.4平方根法與改進(jìn)的平方根法1定義一個矩陣A=(aij)nn

稱為對稱陣，如果aij=aji

。定義一個矩陣A

稱為正定陣，如果對任意非零向量都成立。回顧：對稱正定陣的幾個重要性質(zhì)

A1

亦對稱正定，且aii>0

A

的順序主子陣Ak

亦對稱正定

A

的特征值i

>0

A

的全部順序主子式

det(Ak

)>0對稱正定陣定義一個矩陣A=(aij)nn稱為對稱陣，如果2將對稱

正定陣

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為

A對稱即記D1/2=則仍是下三角陣定理設(shè)矩陣A對稱正定，則存在非奇異下三角陣使得。若限定L對角元為正，則分解唯一。注：對于對稱正定陣A，從可知對任意ki

有。即L

的元素不會增大，誤差可控，不需選主元。Cholesky分解法將對稱正定陣A做LU分解U=uij=u11uij3設(shè)由比較法得計算公式計算順序：設(shè)由比較法得計算公式計算順序：4平方根法平方根法5平方根法的優(yōu)點(diǎn)：無需選主元,算法穩(wěn)定;2.計算量小,乘除運(yùn)算量為,約為高斯法的一半.3.計算過程中所需存儲單元少.缺點(diǎn):求L時需n次開方運(yùn)算，從而增大了計算量。平方根法的優(yōu)點(diǎn)：無需選主元,算法穩(wěn)定;2.計算量小,乘除運(yùn)6設(shè)

2.4.2改進(jìn)的平方根法設(shè)2.4.2改進(jìn)的平方根法7計算公式記計算公式記8方程組求解公式思考：1.為什么引入平方根法與改進(jìn)的平方根法？2.能否用緊湊格式將對稱正定矩陣進(jìn)行Cholesky分解和LDLT分解？怎樣分解？方程組求解公式思考：1.為什么引入平方根法與改進(jìn)的平方根法？9例設(shè)有方程組=例設(shè)有方程組=10解：

解：112-4平方根法與改進(jìn)的平方根法重點(diǎn)課件12

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14§2.4平方根法與改進(jìn)的平方根法對稱正定矩陣平方根法改進(jìn)的平方根法§2.4平方根法與改進(jìn)的平方根法15定義一個矩陣A=(aij)nn

稱為對稱陣，如果aij=aji

。定義一個矩陣A

稱為正定陣，如果對任意非零向量都成立?；仡櫍簩ΨQ正定陣的幾個重要性質(zhì)

A1

亦對稱正定，且aii>0

A

的順序主子陣Ak

亦對稱正定

A

的特征值i

>0

A

的全部順序主子式

det(Ak

)>0對稱正定陣定義一個矩陣A=(aij)nn稱為對稱陣，如果16將對稱

正定陣

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為

A對稱即記D1/2=則仍是下三角陣定理設(shè)矩陣A對稱正定，則存在非奇異下三角陣使得。若限定L對角元為正，則分解唯一。注：對于對稱正定陣A，從可知對任意ki

有。即L

的元素不會增大，誤差可控，不需選主元。Cholesky分解法將對稱正定陣A做LU分解U=uij=u11uij17設(shè)由比較法得計算公式計算順序：設(shè)由比較法得計算公式計算順序：18平方根法平方根法19平方根法的優(yōu)點(diǎn)：無需選主元,算法穩(wěn)定;2.計算量小,乘除運(yùn)算量為,約為高斯法的一半.3.計算過程中所需存儲單元少.缺點(diǎn):求L時需n次開方運(yùn)算，從而增大了計算量。平方根法的優(yōu)點(diǎn)：無需選主元,算法穩(wěn)定;2.計算量小,乘除運(yùn)20設(shè)

2.4.2改進(jìn)的平方根法設(shè)2.4.2改進(jìn)的平方根法21計算公式記計算公式記22方程組求解公式思考：1.為什么引入平方根法與改進(jìn)的平方根法？2.能否用緊湊格式將對稱正定矩陣進(jìn)行Cholesky分解和LDLT分解？怎樣分解？方程組求解公式思考：1.為什么引入平方根法與改進(jìn)的平方根法？23例設(shè)有方程組=例