第28練 空間向量解決立體幾何問題的兩大策略

第28練空間向量解決立體幾何問題的兩大策略——“選基底”與“建系”［題型分析?高考展望］向量作為一個工具，其用途是非常廣泛的，可以解決現(xiàn)高中階段立體幾何中的大部分問題，不管是證明位置關(guān)系還是求解問題.而向量中最主要的兩個手段就是選基底與建立空間直角坐標(biāo)系.在高考中，用向量解決立體幾何解答題，幾乎成了必然的選擇.體驗高考1.(2018?北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PADL平面ABCD，PALPD，PA=PD，AB±AD，AB=1，AD=2，AC=CD='際.求證：PDL平面PAB；求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM〃平面PCD?若存在，求捋的值；若不存在，說明AP理由.(1)證明.??平面PAD±平面ABCD,平面P4DH平面ABCD=AD.又AB±AD,ABC平面ABCD.:.AB±平面PAD.VPDC平面PAD....AB±PD.又PALPD,P4HAB=A.?.PD±平面PAB.(2)解取AD中點O,連接CO,PO.

^PA=PD,:.POLAD.又,:POU平面PAD,平面PADL平面ABCD,:.POL平面ABCD,VCOU平面ABCD,.POLCO,^AC=CD,.COLAD.以O(shè)為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.易知P(0,0,1),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0).則PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1).CD=(-2,-1,0).設(shè)〃二(%,七，1)為平面PCD的一個法向量.「一一(一nPD=0,-k-1=0,由］一得］0n?PC=0〔2%-1=0,七=-1,(1\解得］1即n七，-1,1).x0=2-一nPBInllPBI一nPBInllPBI則sine=Icos〈n,PB〉I=2-1-14+1+1X'」33..?直線PB與平面PCD所成角的正弦值為專.⑶解設(shè)M是棱PA上一點，則存在AG［0，1］使得AM=kAP，因此點M（0，1-久，久），BM=（-1,-A,A）,.：BM平面PCD，?.?要使BM〃平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM.n=0，即（-1，-A，A）-&，-1，］）=0，解得A=4，.??在棱PA上存在點M使得BM〃平面PCD，AM1此時寸=—此時Jap4"2.（2018-天津）如圖，正方形ABCD的中心為0,四邊形OBEF為矩形，平面OBEF±平面ABCD,點G為AB的中點，AB=BE=2.（1）求證：EG〃平面ADF；（2）求二面角0—EF—C的正弦值；2⑶設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.解依題意，0FL平面ABCD，如圖，以0為原點，分別以3方，BA，OF的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得0（0，0，0），A（-1，1，0），B（-1，-1，0），C（1，-1，0），D（1，1，0），E（-1，-1，2），F(xiàn)（0，0，2），G（-1，0，0）.E

(1)證明依題意，AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2).設(shè)ni=(xi，y1,z1)為平面ADF的法向量，n?AD=0,2x=0,則|1一郵1叫?AF=0,tx1-y1+2z1=0，不妨取z1=1，可得n1=(0,2,1),又EG=(0,1,-2),可得EG?n1=0,又因為直線EG平面ADF,所以EG〃平面ADF.=(-(2)解易證oA=(-1,1,0)為平面OEF的一個法向量，依題意，EF=(1,1,0),1,1,2),設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面=(-「一一(一n-EF=0,x2+y2=0,則］2一即|22n2-CF=0,〔-%+%+2&=0，不妨取x2=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos〈OA,n2〉二笠n2二-乎，|OA|In2|―，一、電于是sin〈OA,n2〉=3.所以二面角O—EF—C的正弦值為亨.(3)解由AH=；HF，得AH=2AF.因為AF=(1,-1,2),所以浦二|AF=d,因仕匕cos{BH,n2〉二件”2=-27進而有H(-|34)，5，57一(2進而有H(-|34)，5，57一(28

從而BH弋,5,4)乙JL3.（2018-課標(biāo)全國乙）如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,ZAFD=90o,且二面角D—AF—E與二面角C~BE~F都是60°,（1）證明：平面ABEFL平面EFDC；（2）求二面角E-BC-A的余弦值.⑴證明由已知可得AF±DF,AF±FE，所以AFL平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF±平面EFDC.（2）解過D作DG上EF，垂足為G,由（1）知DG±平面ABEF,以G為坐標(biāo)原點，GF的方向為X軸正方向，iGFi為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由（1）知/DFE為二面角D-AF-E的平面角，故ZDFE=60°，則DF=2，DG=\^＞，可得A（1，4，0），B（-3，4，0），E（-3，0，0），D（0，0，招）.由已知，得AB^EF，所以AB〃平面EFDC，又平面ABCDC平面EFDC二CD，故AB^CD，CD〃EF.由BE〃AF，可得BEL平面EFDC，所以/CEF為二面角C-BE-F的平面角，ZCEF=60°，從而可得C（-2，0，客）.所以EC=（1，0，后），EB=（0，4，0），AC=（-3，-4，-抵），疝二（-4，0，0）,設(shè)n=（x，nEC=0，[x+V3z=0，y，z）是平面BCE的法向量，則』_即]所以可取n=（3，0，-寸3）.n.EB=0，〔4y=0，

m-AC=0,設(shè)m是平面ABCD的法向量，則’_、m?AB=0.同理可取m=(0,病，4)，則cos(n,m〉=nmj=-堯*.故二面角E-BC-A的余弦值9n\mv2疝為-19.高考必會題型題型一選好基底解決立體幾何問題例1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于s點M、N分別是AB、CD的中點.(1)求證：MNLAB,MNXCD；求MN的長；求異面直線AN與CM夾角的余弦值.⑴證明設(shè)AB=p,AC=q,AD=r.由題意可知：pi=lql=lrl=Q,且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.?「MN=AN-AM=1(AC+aD)-1AB=1(q+r-p)+r-p-p2)???MnAB='(q+r-p).p+r-p-p2)?cos60°+a2.cos60°-a2)=0.?MNLAB，同理可證MN"D.(2)解由(1)可知MN=2(q+r-p),...lMN|2=MN2=1(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q.r-p.q-r.p)]

+a2+a2+a2——2a23:,\MtN\^22a,:.MN的長為*a+a2+a2+a2——2⑶解設(shè)向量亦與味的夾角為e.^AN=2(AC+AD)=1(q+r),:.AN:.AN-MfC^1(q^r')-(q-=2(a2-|a2-cos60°+a2-cos60°-^a2-cos60°)1a2a2絲、a2=2(a2-~4+~2-7)=~2'又^\AN\=MC\^23a,:.ANMC=AN\-\MC\-cosevl-2a2a?cose=??cosevl-2a2a?cose=從而異面直線AN與CM夾角的余弦值為3.點評對于不易建立直角坐標(biāo)系的題目，選擇好“基底”也可使問題順利解決.“基底”就是一個坐標(biāo)系，選擇時，作為基底的向量一般為已知向量，且能進行運算，還需能將其他向量線性表示.一變式訓(xùn)練1如圖，在四棱錐P-GBCD中，PGL平面GBCD,GD^BC,GD=‘BC,且BG±GC,GB=GC=2,E是BC的中點，PG=4.

(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;(2)若F點是棱PC上一點，且萬＞?GC=0,PF=kCF，求k的值.解(1)如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz,,0)C(0,2,0)0),PC,0)C(0,2,0)0),PC=(0,2,-4),故E(1,1,0)GE二(1,1cos〈GE,PC〉GE-PC-一—輿\GE\\PC\勺"。20故異面直線GE與PC所成角的余弦值為號0.(2)設(shè)F(2)設(shè)F(0,y,z)，則DF=GF-GD=(0,y,z)-(-2332,0)二(2,y-2,z),GC=(0,2,0).?、,-3,?*y_2*gg333?.?DF?GC=0,...(2,y-^,z)-(0,2,0)=?、,-3,?*y_2*31在平面PGC內(nèi)過F點作FM±GC,M為垂足，則GM=,MC=2.?倍澇二3,.?.k=-3.題型二建立空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問題例2(2018-山東)在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.（1）已知G,H分別為EC,FB的中點，求證：GH〃平面ABC；（2）已知EF=FB=、AC=2'0,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.（1）證明設(shè)FC中點為/,連接GI,HI.在ACEF中，因為點G是CE的中點，所以G1〃EF又EF〃OB，所以Gl〃OB.在^CFB中，因為H是FB的中點，所以HI〃BC，又HIHGI=I,所以平面GHI〃平面ABC.因為GH平面GHI，所以GH〃平面ABC.（2）連接OO'，則OO'±平面ABC.又AB二BC，且AC是圓O的直徑，所以BO±AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxjz.由題意得B（0，2-13，0），C（-2點，0，0）.過點F作FM上OB于點M，所以FM=?FB2-BM2=3，可得F（0，-擋，3）.故BC=（-2茶，-2展，0），BF=（0，-腰，3）.設(shè)m=（x，y，z）是平面BCF的一個法向量.「一（t-m*BC—0，-2yf3x-2y[3y—0，由[一可得1廠m-BF=0,[-V3y+3z=0.，可得平面BCF的一個法向量m=（-1，1，書，因為平面ABC的一個法向量n=（0,0,1）,所以cos所以cos〈m,nm?n'寸7Imllnl一7?所以二面角F-BC-A的余弦值為g7點評（1）建立空間直角坐標(biāo)系前應(yīng)先觀察題目中的垂直關(guān)系，最好借助已知的垂直關(guān)系建系.（2）利用題目中的數(shù)量關(guān)系，確定定點的坐標(biāo)，動點的坐標(biāo)可利用共線關(guān)系（A7二a），設(shè)出動點坐標(biāo).（3）要掌握利用法向量求線面角、二面角、點到面的距離的公式法變式訓(xùn)練2在邊長是2的正方體ABCD-AlB1ClDl中，E,F分別為AB,A1C的中點，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.⑴求EF的長；（2）證明：EF〃平面AA1D1D；（3）證明：EFL平面A1CD.（1）解如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A]=（2，0，2），A=（2，0，0），B=（2，2，0），C=（0，2，0），D]=（0，0，2），E=（2，1，0），F(xiàn)=（1，1，1），:.EF=（-1，0，1），EF二至.（2）證明VAD1=（-2，0，2），:.沖〃EF，而EF平面AA1D1D，

???"〃平面AA1D1D.一一⑶證明"止如=0,EF?Ap=0,:.EFLCD,EF±A1D,又CDnA1D=D,：.EF±平面A{CD.高考題型精練1.如圖，在正方體ABCD-AlBlClD1中，若BD=xAD+yAB+zAA,則x+y+z的值為（）A.3B.1C.-1D.-3答案B解析?.?bD1=AD-AB+AA],：x=1,y=-1,z=1,：x+y+z=1.2.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若A^B=a,AD=b,2.如圖，A]A=c，則下列向量中與帝相等的向量是（）B^a+gb+cC.ga—2，+c1,1,,B^a+gb+cC.ga—2，+c-11,D.—2。一2，+。答案A1解析由題意知，B]M=B]A]+A]A+AM=B]A]+A^A+^AC-a+c+2（a+b）=-2。+2,+c，故選A.3.在四棱錐P-ABCD中，疝=(4,-2,3),屈=(—4,1,0),畚=(—6,2,—8),則這個四棱錐的高//等于()A.lB.2C.13D.26答案B解析設(shè)平面ABCD的一個法向量n=(x,y,z),4x-2y+3z=0,叫_=.n-LADI-4x+j=0.4令y=4,則n=(1,4,p,32_nil/_\n-AP-6+8-3匝則cos<n,AP)=—二-=-[7二-26，\n\\AP\—X2a/26—-Icos(n-AP)I,IAPI??./?二繆X2廊=2,故選B.264.如圖所示，正方體ABCD~AlBlClDl的棱長為1,線段鳥？上有兩個動點E,F,且時=￥，則下列結(jié)論中錯誤的是()AC-LBEE尸〃平面A8CD三棱錐A-BEF的體積為定值異面直線8”所成的角為定值答案D解析?.?ACL平面BBDD,又8EU平面BB]D]D,:.AC±BE,故A正確.VB1D1〃平面A8CZ),

又E,F在直線D1B1上運動，.?.EF〃平面ABCD，故B正確.C中，由于點B到直線B1D1的距離不變，故ABEF的面積為定值，又點A到平面BEF的距離為*，故va_bef為定值，故C正確.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A（1，1，0），B（0，1，0）.①當(dāng)點E在D1處，點F為DB的中點時，①當(dāng)點E在D1處，點F為DB的中點時，E（1，0，1），1.AA1，I，1)，..?AE=(0，-1，1)，BF=(|-i，1），:.AE-BF=|,又AEi=M，iBFi二?__3L./AA\AE-AI3??cos〈AE，BF〉===0.iAEiiBFi....還g2..?此時異面直線AE與BF成30°角.②當(dāng)點E為DB的中點，F(xiàn)在B1處時，E（|，普，1），F(xiàn)（0，1，1），?AE—(-|，-|，1），BF—（0，0，1），?AE-BF=1，AEi-，..."-1)2+(-1)2+12—乎，.cos〈aE，bF〉=空F—f=乎耳，

iAE?AE-BF=1.cos21故D錯誤.故選D.5.若a=（2x,1,3）,b=（1,—2y,9）,如果a與b為共線向量，則（）A.x=1,y=11B.x=2,y=C.x=13~6,y=21

D.x=6，y=CB的中點，點G在線)答案D解析因為a與b為共線向量，所以存在實數(shù)A使得a=CB的中點，點G在線)2x=A,13所以1=-2農(nóng)，解得x=6,y=-2.〔3=94,6.已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是OA,段MN上，且使MG=2GN，則用向量OA,oB,OC表示向量無是(a.og—oa+^ob+^ocb.ogVoa+^ob+^oc633633c.OG=OA+2OB+2OC

d.og=；oa+3ob+3oc乙00答案A解析VMG=2GN,M,N分別是邊OA,CB的中點，.—*ll2-^?.?OG=OM+MG=OM+3MN—2,^——*——_=OM+^(MO+OC+CN)1—2^*1——=3OM+3OC+3(ob-oc)1—1—1—=7OA+TOB+TOC.633故選A.c三向量共面，則實數(shù)7.已知a=(2,—1,3),b=(—1,4,-2),c=(7,5,4),若a,b,4=c三向量共面，則實數(shù)答案65

解析a,b,c三向量共面，則存在實數(shù)x,j,使c=xa+yb,2x-y=7,所以-x+4y=5,3x-2y=A,33x=7,17-7,?65入=”.My=178.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，33x=7,17-7,?65入=”.My=17若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,二軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點E的坐標(biāo)答案（1，1，1）解析設(shè)PD=a(a>0),a則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,2),：.D)P=(0,0,a),AE=(-1,1,a),?「cos〈DP,AE〉=#,?始二〃+a2x^3..2=a2+4X3,?a=2,?E的坐標(biāo)為(1,1,1).9.如圖，在正方體ABCD-AlBlClDl中，棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點，A1M=人^二亨，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是.

答案平行解析「?正方體棱長為a，A1M=AN^求證：DELCF；求異面直線A1C與C1F所成角的余弦值.(1)證明以D為原點，以DA,DC,DD為x,j,z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，，:.MB=3^，求證：DELCF；求異面直線A1C與C1F所成角的余弦值.(1)證明以D為原點，以DA,DC,DD為x,j,z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，1B102一3+DA)+B1B)2宥叩+又.「dD是平面B1BCC1的一個法向量，-*-—*2_—*"1、―*-?.?MNCD=(3B]B+3B1C])?CD=0，:.MNLCD,又「MN平面BB1C1C,.MN〃平面BB1C1C.10.已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1ClD1中，E是BC的中點，F(xiàn)為A^的中點.

則D(0,0,0),破，a,0),C1(0,a,a),F(a,^,a),~*a-*a尸斤以DE=(2,a,0),C1F=(a,-^,0),L一一■?*...DE?C1F=0,所以DE±C1F.(2)解A(2)解A(a,0,a),C(0,a，—一,,0),A^C=(-a,a,-a),*_,aC1F=(a,-2,0),3cos(A1C-2a2=.近IA；CIIC；FI..；'3a^25a5,所以異面直線A1C與C1F所成角的余弦值是號511.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC±底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB±AD,AB〃CD,AB=2AD=2CD=2,Ecos(A1Cp求證：平面EACL平面PBC；6若二面角P-AC-E的余弦值為*,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.p⑴證明VPC±平面ABCD,AC平面ABCD,AAC±PC.VAB=2,AD=CD=1,.?.AC=BC=、d,.??AC2+BC2=AB2,AACXBC,又BCHPC=C,.AC±平面PBC.

^AC平面EAC,?.?平面EAC±平面PBC.（2）解如圖，以點C為原點，房，CD,CP分別為x軸、j軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），設(shè)P（0，0，a）（a>0），則e（2，1a-*-*-*11a2，2），CA=（1，1，0），CP=（0，0，a），CE=（2，?2，2>取m=（1，-1，0），則m-CA=m-CP=0，m為平面PAC的法向量，設(shè)孩=（x，j，z）為平面EAC的法向量，貝nCA=n-CE則e（2，x+j=0，[x-j+az一0.取x=a，j=-a，z=-2，Un=（a，-a，-2），*日再亡i/\i_nma寸