回歸分析課設(shè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)摘要在市場的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到某一市場現(xiàn)象的發(fā)展和變化取決于幾個(gè)影響因素的情況，也就是一個(gè)因變量和自變量幾個(gè)有依存關(guān)系的情況。它們相互聯(lián)系，相互依存，因而它們之間存在著一定的關(guān)系，一般說來，變量之間的關(guān)系大致可分為兩類：一類是確定性的關(guān)系，也就是我們所熟知的函數(shù)關(guān)系：另一類是非確定性的關(guān)系。應(yīng)當(dāng)指出，確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間往往無法截然區(qū)分。一方面，由于測量誤差等隨機(jī)因素的影響，確定性關(guān)系在實(shí)際中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；另一方面，當(dāng)人們對客觀事物的內(nèi)部規(guī)律了解的更加深刻時(shí)，相關(guān)關(guān)系又可能轉(zhuǎn)化為確定性關(guān)系。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中研究變量之間相互關(guān)系的一種有效方法就是回歸分析。關(guān)鍵詞：回歸分析；變量；測量誤差；數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)；因素；目錄HYPERLINK1設(shè)計(jì)目的 1HYPERLINK2設(shè)計(jì)題目 1HYPERLINK3設(shè)計(jì)原理 2HYPERLINK3.1二元線性回歸模型的建立 2HYPERLINK3.2結(jié)果的分析 4HYPERLINK4設(shè)計(jì)程序 7HYPERLINK4.1輸入數(shù)據(jù)，觀察與的線性關(guān)系 7HYPERLINK4.2作回歸分析與檢驗(yàn) 8HYPERLINK4.3殘差分析 9HYPERLINK4.4方差分析 10HYPERLINK5設(shè)計(jì)總結(jié) 12HYPERLINK致謝 12HYPERLINK參考文獻(xiàn) 12PAGE1影響彩電銷售的回歸分析1設(shè)計(jì)目的熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題上的應(yīng)用。了解二元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法及應(yīng)用二元回歸方程進(jìn)行預(yù)測的方法，并將所學(xué)的知識結(jié)合MATLAB對數(shù)據(jù)的處理解決實(shí)際問題，并用MATLAB軟件進(jìn)行解算并檢驗(yàn)；學(xué)會(huì)應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行二元回歸實(shí)驗(yàn)的分析方法2設(shè)計(jì)題目下面是十個(gè)地區(qū)彩電的需求量與其價(jià)格以及消費(fèi)者可支配收入的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表一所示。表一設(shè)定兩個(gè)自變量指標(biāo)分別為：價(jià)格,消費(fèi)者收入,彩電需求量作為因變量，則可建立如下的二元線性回歸模型：其中分別為未知參數(shù)，為隨機(jī)誤差，與自變量無關(guān)，服從。3設(shè)計(jì)原理3.1二元線性回歸模型的建立在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性的（即直線型），而是非線性的（即曲線型）。設(shè)其中有兩個(gè)變量與，我們可以用一個(gè)確定函數(shù)關(guān)系式：大致的描述與之間的相關(guān)關(guān)系，函數(shù)稱為關(guān)于的回歸函數(shù)，方程成為關(guān)于的回歸方程。二元線性回歸處理的是兩個(gè)變量與之間的線性關(guān)系，可以設(shè)想的值由兩部分構(gòu)成：一部分由自變量的線性影響所致，表示的線性函數(shù)；另一部分則由眾多其他因素，包括隨機(jī)因素的影響所致，這一部分可以視為隨機(jī)誤差項(xiàng)，記為。可得二元線性回歸模型自變量是可以控制的隨機(jī)變量，成為回歸變量；固定的未知參數(shù),成為回歸系數(shù)；稱為響應(yīng)變量或因變量。由于是隨機(jī)誤差，根據(jù)中心極限定理，通常假定是未知參數(shù)。在根據(jù)專業(yè)知識或者散點(diǎn)圖，選擇合適的曲線，將其轉(zhuǎn)化成線性方程。3.1.1模型回歸系數(shù)的估計(jì)為了估計(jì)回歸系數(shù)，假定試驗(yàn)得到兩個(gè)變量與的個(gè)數(shù)據(jù)對我們將這對觀測值代入式（1），得，這里互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，即回歸系數(shù)估計(jì)的方法有多種，其中使用最廣泛的是最小二乘法，即要求選取的的值使得述隨機(jī)誤差的平方和達(dá)到最小，即求使得函數(shù)取得最小值的。由于是的二元函數(shù)，利用微積分中的函數(shù)存在極值的必要條件，分別對求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，構(gòu)成二元一次方程組，，化簡后得到如下正規(guī)方程組,,解方程組得到總體參數(shù)估計(jì)量,這里均已有的觀測數(shù)據(jù)。由此得到回歸方程:帶入觀測，得到值稱為回歸預(yù)測值。3.2結(jié)果的分析在實(shí)際問題中，對于給定的顯著性水平，查表可知的臨界值，如果有樣本觀測值計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量的觀測值大于，則在顯著性水平下拒絕原假設(shè)，如果統(tǒng)計(jì)量的觀測值不大于，則接受原假設(shè)，即認(rèn)為因素的不同水平對總體無顯著影響。3.2.1回歸方程顯著性的檢驗(yàn)建立二元線性回歸方程當(dāng)且僅當(dāng)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)才是有意義的，因此必須對變量之間的線性相關(guān)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，即對建立的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。首先引入幾個(gè)概念：,稱為總偏差平方和，它表示觀測值總的分散程度；，稱為回歸平方和，它是由回歸變量的變化引起的，放映了回歸變量對變量線性關(guān)系的密切程度；，稱為殘差（剩余）平方和，它是由觀測誤差等其他因素起誤差，它的值越小說明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好?？梢宰C明下列關(guān)系成立即我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，用的大小來評價(jià)模型的有效性，越大，則反映回歸變量與相應(yīng)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系越密切。引入統(tǒng)計(jì)量。定義，可知于給定的顯著水平(一般這里取0.05或0.01)，查表可得臨界值如果,則認(rèn)為與之間的線性關(guān)系顯著；如果，則認(rèn)為與之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用中也可以通過對應(yīng)的概率來說明與之間的線性相關(guān)性顯著。表3.1.1.1線性回歸的方差分析表方差來源平方和自由度F值臨界值顯著性回歸剩余總計(jì)(1)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為與之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，或者不存在線性相關(guān)關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為與之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著；(3)當(dāng)時(shí)，認(rèn)為與之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著。3.2.2回歸方程參數(shù)顯著性的檢驗(yàn)在回歸分析中，檢驗(yàn)就是對回歸參數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)；檢驗(yàn)是對回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。在一元回歸中，二者是等價(jià)的；但在多元回歸中，檢驗(yàn)通過則檢驗(yàn)一定能夠通過，而檢驗(yàn)通過檢驗(yàn)不一定通過。值就是方便大家判斷顯著性的，一般地，例如在時(shí)，，就拒絕原假設(shè)，說明線性顯著。3.2.3回歸系數(shù)的置信區(qū)間回歸方程（1）的回歸系數(shù)是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，給定置信水平后，可得到他們對應(yīng)的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果這個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間包含0點(diǎn)，則說明該回歸變量的影響不顯著，需要進(jìn)一步地修改回歸方程，盡量是每個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不包含0點(diǎn)。3.2.4利用模型預(yù)測在對所建立的回歸模型進(jìn)行相關(guān)程度檢驗(yàn)與分析之后，如果預(yù)測變量與相關(guān)變量的每一個(gè)給定值，帶入回歸模型，就可以求得一個(gè)相對應(yīng)的回歸預(yù)測值,稱為模型的點(diǎn)估計(jì)值。4設(shè)計(jì)程序?yàn)榱搜芯窟@些數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的規(guī)律，設(shè)定兩個(gè)自變量指標(biāo)分別為：價(jià)格，消費(fèi)者收入；彩電需求量作為因變量，畫出它們的散點(diǎn)圖。4.1輸入數(shù)據(jù)，觀察與的線性關(guān)系在命令窗口輸入：>>x1=[5919654562366470674064406800724075717068]';>>x2=[76291210671116119012921434159618001930]';>>y=[235624432073246311534143530387039634668]';>>plot(x1,y,'r*',x2,y,'k*')生成如圖4.1的散點(diǎn)圖，可以看出,和y大體成線性關(guān)系。圖4.1散點(diǎn)圖4.2作回歸分析與檢驗(yàn)(1)在命令窗口輸入：>>y=[5919654562366470674064406800724075717068]';x1=[235624432073246311534143530387039634668]';x2=[76291210671116119012921434159618001930]';x=[ones(10,1),x1,x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05);bstats生成結(jié)果：b=1.0e+003*5.2073-0.00020.0016stats=1.0e+004*0.00010.00200.00004.6373即得到回歸系數(shù)為5.2073，-0.0002，0.0016，負(fù)相關(guān)系數(shù)，對應(yīng)的概率,可知回歸方程從以上數(shù)據(jù)看來，該模型線性回歸顯著。4.3殘差分析在命令窗口輸入：rcoplot(r,rint)出現(xiàn)圖4.1.3.1從殘差圖可以看出，數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型能較好的符合原始數(shù)據(jù)。圖4.3.1殘差圖4.4方差分析在命令窗口輸入：x=[3.5,4.5,3.3,4,3.9,2.27,2.35,2.29,2.36,2.33,1.17,1.15,1.14,1.19,1.20];a=[3.5,4.5,3.3,4,3.9];b=[2.27,2.35,2.29,2.36,2.33];c=[1.17,1.15,1.14,1.19,1.20];f1=sum((x(1,:)-mean(x)).^2);f2=(sum((mean(a)-mean(x))^2)+sum((mean(b)-mean(x))^2)+sum((mean(c)-mean(x))^2))*3；st=f1sa=f2se=f1-f2st=18.8169sa=10.7618se=8.0551結(jié)論：彩電銷售量與消費(fèi)者收入水平正相關(guān)，與彩電的價(jià)格負(fù)相關(guān)，較好地體現(xiàn)了實(shí)際的經(jīng)濟(jì)意義（一般來說，隨著消費(fèi)者收入的增加，彩電的需求是增加的；隨著彩電價(jià)格的提升，彩電的需求是下降的。），并且較好地通過了相關(guān)的檢驗(yàn)。可見，本文所假定的二元線性回歸方程各個(gè)方面表現(xiàn)良好，即最終建立的二元線性回歸模型為：。在該二元線性回歸方程中，的系數(shù)說明要增加彩電的銷售量在很大程度上取決于消費(fèi)者的收入。的系數(shù)為負(fù)數(shù)，說明要增加彩電銷售量，商家也應(yīng)該適當(dāng)調(diào)整彩電價(jià)格，以低價(jià)優(yōu)惠來吸引顧客。5設(shè)計(jì)總結(jié)通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的這道實(shí)際問題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，對線性回歸及線性回歸的方差分析、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)有了更深刻的了解，而且使我對這些知識在實(shí)際中的應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚的興趣，同時(shí)對我學(xué)習(xí)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課有很大幫助。在實(shí)現(xiàn)這道題的過程中我應(yīng)用MATLAB軟件，學(xué)會(huì)了這個(gè)軟件的一些新的應(yīng)用，更加熟練的操作該軟件進(jìn)行一些數(shù)據(jù)上的處理。致謝本論文是張玉春老師指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。在此，我向張老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。同時(shí)我還要感謝我的同學(xué)們，在論文設(shè)計(jì)中