時間序列預(yù)測法講義

Marketsurvey&Forecast

市場調(diào)查與預(yù)測

(6)1第六章時間序列預(yù)測法在我們的生活中，有時候需要對未來的經(jīng)濟現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測。而預(yù)測的依據(jù)就是已經(jīng)發(fā)生的經(jīng)濟現(xiàn)象，當(dāng)把歷史數(shù)據(jù)按照時間順序排列進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)，就可從中得到一些規(guī)律東西，并利用這些規(guī)律進(jìn)行預(yù)測。而時間序列預(yù)測法是市場預(yù)測中一個重要方法之一。2時間序列是指各種各樣的社會、經(jīng)濟、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標(biāo)依時間秩序排列起來的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(動態(tài))。例如，XX大學(xué)的每年招生人數(shù)是依時間變化的，這就是一種時間序列。時間序列預(yù)測法是根據(jù)歷史資料和數(shù)據(jù)，按照時間序列所反映的經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展過程、方向和趨勢、將時間序列外推或延伸，以預(yù)測經(jīng)濟現(xiàn)象未來可能達(dá)到的水平。3時間序列預(yù)測法特點在時間序列中，數(shù)據(jù)的大小受到各種因素的影響。數(shù)據(jù)的變化趨勢也表現(xiàn)出各種形狀，通常根據(jù)這些影響因素將數(shù)據(jù)的變化趨勢分為四大類：長期趨勢、季節(jié)趨勢、循環(huán)趨勢、和不規(guī)則變動。對于前三種數(shù)據(jù)趨勢預(yù)測問題，由于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)某種規(guī)律性，因此能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行簡化、分析，從而使預(yù)測成為可能；而不規(guī)則變動是指由某種偶然因素引起的突然變動，如戰(zhàn)爭的發(fā)生、政權(quán)的更迭、重大的自然災(zāi)害等，預(yù)測的難度就大，有的甚至無法預(yù)測。4

時間序列預(yù)測法早在國外應(yīng)用，國內(nèi)是在二十世紀(jì)60年代初應(yīng)用于水文預(yù)測，隨計算機的廣泛應(yīng)用，在許多領(lǐng)域已經(jīng)應(yīng)用，并取得了很好的效果。目前，已成為世界各國進(jìn)行市場預(yù)測的基本方法。5第一節(jié)時間序列概述

一、時間序列分析時間序列一般用：y1,y2,…,yt…;表示，其中t表示時間。在時間序列中，每個時期變量數(shù)值的大小，都受到許多不同因素的影響。例如，手機銷售量受到居民的收入、質(zhì)量，功能、價格等因素的影響。因此，時間序列按性質(zhì)不同分成一下四類：61、長期趨勢(Long-termTend)指受某種根本性因素的影響，時間序列在較長時間內(nèi)朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，以及停留在某一水平上的傾向。如圖所示。時間時間時間銷售額銷售額銷售額（a）上升變動趨勢圖(b)下降變動趨勢圖(c)水平變動趨勢圖

圖6-1時間序列數(shù)據(jù)長期趨勢變化曲線.....72、季節(jié)變動(SeasonsVariety)指由于自然條件和社會條件的影響，時間序列在一年內(nèi)隨著季節(jié)的轉(zhuǎn)變而引起某一因子呈周期性的變動。例如，農(nóng)作物的生長季節(jié)影響，導(dǎo)致農(nóng)產(chǎn)品加工業(yè)的季節(jié)變動。季節(jié)變動的周期比較穩(wěn)定，一般周期為一年。季銷售額年銷售額時間時間圖6-2時間序列數(shù)據(jù)季節(jié)變化曲線圖6-3時間序列數(shù)據(jù)循環(huán)變化曲線83、循環(huán)變動(Alternationvariety)如圖6-3所示。循環(huán)變動與季節(jié)變動有相似之處，時間序列都會在周期內(nèi)有波動，而季節(jié)波動的時間序列周期長短固定；而循環(huán)變動的時間序列波動較長、周期長短不一，少則一兩年，多則數(shù)年甚至是數(shù)十年，周期不好預(yù)測。94、不規(guī)則變動(IrregularVariety)它是由各種偶然性因素引起的無周期變動。又可分為突然變動和隨機變動。例如，戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害、地震、意外事故的改變所引起的變動都屬于突然變動；而隨機變動是由隨機因素所產(chǎn)生的影響。10二、、時時間間序序列列的的組組合合形形式式時間間序序列列是是由由長長期期變變動動、季季節(jié)節(jié)變變動動、、循循環(huán)環(huán)變變動動和和不不規(guī)規(guī)則則變變動動四類類因因素素組組成成。。四四類類因因素素的的組組合合形形式式，，常常見見的的有有以以下下幾幾種種類類型型：：11對于于一一個個具具體體的的時時間間序序列列，，由由哪哪幾幾類類變變動動組組合合，，采采用用哪哪種種組組合合形形式式，，應(yīng)應(yīng)根根據(jù)據(jù)所所掌掌握握的的資資料料、、時時間間序序列列、、及及研研究究的的目目的的來來確確定定。。下下面面，，我我們們將將要要分分別別介介紹紹這這類類問問題題的的預(yù)預(yù)測測方方法法。。12第二二節(jié)節(jié)平平均均數(shù)數(shù)預(yù)預(yù)測測法法平均均數(shù)數(shù)法法是是一一種種傳傳統(tǒng)統(tǒng)的的趨趨勢勢變變動動分分析析預(yù)預(yù)測測法法，，它它通通過過計計算算時時間間序序列列一一定定項項數(shù)數(shù)的的平平均均數(shù)數(shù)，，來來估估計計模模型型參參數(shù)數(shù)，，建建立立趨趨勢勢變變動動分分析析預(yù)預(yù)測測模模型型進(jìn)進(jìn)行行外外推推預(yù)預(yù)測測。一、全全列算算術(shù)平平均法法(Average)是移動動平均均法的的一種種，它它含有有算術(shù)平均法法、幾幾何平平均法法、加加權(quán)平平均法法等。。131、算術(shù)平平均法：設(shè)時間序列列為：14用此公式應(yīng)應(yīng)注意：（1）時間序列波波動較小的的情況下使使用；（2）預(yù)測值可用最后一一年的每月月平均值或或數(shù)年的每每月平均值值；（3）當(dāng)觀察期的長長短不同，，預(yù)測值也也隨之不同同（誤差））若誤差過過大，就就會使預(yù)預(yù)測失去去意義，，因此，，預(yù)測時時應(yīng)確定定合理的的誤差，，誤差公式式為：15（4）當(dāng)時間序序列波動動較小時時，預(yù)測測期可短短一些；；反之，，可長一一些。16補充資料料1、顯著著性水平平（α）——本來正正確的數(shù)數(shù)據(jù)卻被被錯誤的的否定掉掉，即犯犯棄真錯錯誤，犯犯此錯誤誤的概率率稱為顯顯著性水水平。β—本來來錯誤的的數(shù)據(jù)卻卻被認(rèn)為為是正確確的而被被保留下下來，即即犯存?zhèn)蝹五e誤，，犯此錯錯誤的概概率記作作β。(n-m-1)—自由度度。其中：n—時間間序列的的個數(shù)m—自變變量的個個數(shù)2、標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差（S）—實質(zhì)上是是平均差差，它反反映個體體與平均均值差別別的程度度。17例1請你根據(jù)據(jù)食鹽在在2001年~2004年的的每月銷銷售量見見表6-1所示示，預(yù)測測2005年的的每月銷銷售量。。18表6-1食鹽鹽2001-2004的銷售售量及平平均值單單位位：千元元月年2001年2002年2003年2004年132833029833523313243173213360348328346431836033036353243273233296294342348327734236034236883483573513509357321318341103212973363121133031835432712348354358351全年平均400140384003407019解：由表可知知，方法（1）以2001年~2004年的的4年的的月平均均值作為為2005年的的預(yù)測值值，則有有：20在95%的置信信度下，，確定2005年每月月預(yù)測區(qū)區(qū)間為：：21方法（2）以2004年每每月的平平均值作作為2005年年的每月月預(yù)測值值結(jié)論:比較(1)、、(2)可知：：方法(1)精精確度高高。22某商店汗汗衫的銷銷售量如如表所示示，試預(yù)預(yù)測第第第五年每每月的銷銷售量。。月年2001年2002年2003年2004年116.017.320.117.8219.021.022.020.7321.323.025.023.1425.027.029.225.7532.836.038.535.8665.270.277.070.8799.0107.0118.0108.08131.0140.2152.8141.3980.587.294.087.21038.041.445.041.51122.224.026.024.11218.419.822.520.2年平均47.451.255.8表6-2某商商店汗衫衫的銷售售量統(tǒng)計計表單單位：：百元問題23由表可知知：（1）1~12月內(nèi)出出現(xiàn)季節(jié)節(jié)波動，，特別是是在6~8月份份，要比比淡季高高出2~3倍。。（2）汗汗衫銷售售量還出出現(xiàn)長期期變動趨趨勢（每每一年的的銷售量量逐年增增加）在這種情情況下，，用算術(shù)術(shù)平均法法求第四四年每月月的平均均值，顯顯然誤差差較大，，就不能能用這種種方法242、幾何平均均(GeometryMean)(1)n個變變量值乘積的的n次根;(2)適用于于對比率數(shù)據(jù)據(jù)的平均;(3)主要用用于計算平均均增長率;(4)G的確確定方法：①①根據(jù)公式直接接計算②(5)可看作作是平均數(shù)的的一種變形。。25問題1某水泥廠1999年的水水泥產(chǎn)量為100萬噸，，2000年年與1999年相比增長長率為9%，，2001年年與2002年相比增長長率為16%，2002年與2001年相比增增長率為20%，求各年年的平均增長長率。解：26問題2一位投資者購購有一種股票票,在2000,2001,2002,2003年收益率率分別為4.5%,2.1%,25.5%,1.9%,計計算其平均收收益率。27適用條件：具有對比或近近似對比關(guān)系系的時間序列列。幾何平均預(yù)測測法28觀察期（年）9192939495969798990001020304銷售額(萬元)718183908987929610095145105120142某企業(yè)1991~2004年年的銷售額額資料如表表所示，預(yù)預(yù)測該企業(yè)業(yè)2005年的銷售售額表6-3某某企業(yè)1991~2004年年的銷售額額問題329解:（方法一））由預(yù)測公公式直接計計算(略)(方法二)由環(huán)比指指數(shù)進(jìn)行預(yù)預(yù)測預(yù)測步驟如如下：（1）以上上年度的基基數(shù)分別求求各年的環(huán)環(huán)比指數(shù)。。1991年年的環(huán)比指指數(shù)=81/71×100%=114.08%1992年的環(huán)比指指數(shù)=83/81×100%=102.47%同理理可可得得出出各各年年的的環(huán)環(huán)比比指指數(shù)數(shù)，，見見表表6-4（2））求求環(huán)環(huán)比比指指數(shù)數(shù)的的幾幾何何平平均均數(shù)數(shù)，，即即發(fā)發(fā)展展速速度度。?？煽捎糜脙蓛煞N種方方法法：：30①直直接接用用所所求求得得的的環(huán)環(huán)比比指指數(shù)數(shù)，，求求平平均均發(fā)發(fā)展展速速度度31②采用對對數(shù)運運算，，求得得的環(huán)環(huán)比指指數(shù)的的幾何何平均均數(shù)，，見表表6-4。。G=arclg∑lgxi/n=arclg2.0231=105.46平均發(fā)發(fā)展速速度為為105.46%。兩種方方法所所得結(jié)結(jié)果梢梢有差差異，，是由由于計計算中中四舍舍五入入誤差差導(dǎo)致致的原原因。。32觀察期實際銷售額環(huán)比指數(shù)（x）lgx（1）（2）（3）（4）199171.00199281.00114.082.0572199383.00102.472.0106199490.00108.432.0352199589.0098.891.9951199687.0097.751.9901表1991~2004年年銷售售額及及幾何何發(fā)展展速度度單單位位：萬萬元33199792.00105.752.0243199896.00104.352.01831999100.00104.172.0177200095.0095.001.97772001145.00153.6320072.411.85982003120.00114.292.05802004142.00118.332.0727∑/n2.023134（3））求環(huán)環(huán)比指指數(shù)幾幾何平平均數(shù)數(shù)的簡簡便算算法。。以1991年銷銷售額額為x0（基數(shù)數(shù)），，………，2004年年銷售售額為為xn（當(dāng)前前期）），那那么其其環(huán)比比指數(shù)數(shù)的幾幾何平平均數(shù)數(shù)為：：353637是在求求平均均數(shù)時時,根根據(jù)觀觀察期期各資資料重重要性性的不不同，，分別別賦予予不同同的權(quán)權(quán)重,然后后再平平均的的方法法。特點：：加權(quán)后后的平平均值值包含含了長長期趨趨勢變變動。3、加加權(quán)平平均法法38ω的選選擇原原則:由表達(dá)達(dá)式可可知,ωω的選選擇不不同，，近期期數(shù)據(jù)據(jù)的數(shù)數(shù)據(jù)權(quán)權(quán)重選選擇大大一些些;遠(yuǎn)遠(yuǎn)期數(shù)數(shù)據(jù)權(quán)權(quán)重選選擇小小一些些.有三種種形式式:(1)當(dāng)xt變動不不大時時,采采用用等差差級數(shù)數(shù)的形式式，1,2,……,n(2)當(dāng)xt變動較較大時時,采采用等等比級級數(shù)的形式式，1,2,4,8…,(3)當(dāng)xt變動不不大時時,采采用0.2,0.3,0.5,……等等39某商店近幾幾年的資料料如表所示示，試預(yù)測測2006年的銷售售額。表2001~2005年銷售售額及賦權(quán)權(quán)權(quán)值單單位：萬萬元元觀察期銷售額Xi權(quán)重ωiωiXi2001401402002602120200355316520045543002005755425∑315151050問題:40分析:由表可知,隨著時間間的推移,銷售額逐逐年穩(wěn)步的的增加,若若用算術(shù)平平均或幾何何平均,其其預(yù)測值較較小,不能能刻化時間間序列的長長期趨勢.而加權(quán)平均法法只要ω選取的好好,就能較好好的反映長長期趨勢,故選用加加權(quán)平均法法進(jìn)行預(yù)測測.41第三節(jié)移移動平均預(yù)預(yù)測方法P165是將將觀觀察察期期的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，按按時間間先先后后順順序序排排列列，由遠(yuǎn)遠(yuǎn)及及近近，，以以一一定定的的跨跨越越期期進(jìn)進(jìn)行行移移動動的的平平均均，，求求得得的的平平均均值值,即即：：x1,x2,……,xn，方法法：：每次次移移動動平平均均總總是是在在上上次次移移動動平平均均的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，去掉掉一一個個最最遠(yuǎn)遠(yuǎn)的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，增增加加一一個個緊緊挨挨跨跨越越期期后后面面的的新新數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)新新數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，保保持持跨跨越越期期不不變變，，每每次次只只向向前前移移動動一一步步，，逐逐項項移移動動，，滾滾動動前前移移。。下面具體介紹紹如下：42（一）一次移移動平均法1、原理4344某城市汽車配配件銷售公司司某年1月至至12月的化化油器銷售量量如表所示，，請預(yù)測明年年1月的銷售售量。問題：移動平均法中中n的大小比比較月份123456789101112銷售量423358434445527429426502480384427446451、由圖可知：銷銷售量的隨機機波動較大，，經(jīng)過平均移移動法計算后后，隨機波動動顯著減少，即較大程度消消除了隨機因因素的影響。。2、N的取值愈大大，修勻的程程度也愈大，，因此波動也也愈小。但對對實際銷售量量的真實變化化趨勢反應(yīng)也也愈遲鈍；反反之，N的取取值愈小，對對實際銷售量量的真實變化化趨勢反應(yīng)也也愈靈敏。討論146討論2由前面的討論論可知：1、N的取值值大小，決定定了對實際情情況描述誤差差的大小。。故N的取值值很重要。N應(yīng)取多大，，才能基本反反應(yīng)真實情況況應(yīng)視具體情情況而定。2、在實際應(yīng)應(yīng)用中，是取取幾個N值進(jìn)進(jìn)行試算，比比較他們的預(yù)預(yù)測誤差的大大小。具體方方法如下：47其計算結(jié)果表表明：應(yīng)取N=5。48討論2由前面的討論論可知：1、N的取值大大小，決定了了對實際情況況描述誤差的的大小。故故N的取值很很重要。N應(yīng)應(yīng)取多大，才才能基本反應(yīng)應(yīng)真實情況應(yīng)應(yīng)視具體情況況而定。2、在實際應(yīng)應(yīng)用中，是取取幾個N值進(jìn)進(jìn)行試算，比比較他們的預(yù)預(yù)測誤差的大大小。具體方方法如下：49移動平均法特特點:所求得的各序序列平均值，，不僅構(gòu)成了了新的時間序列列，而且新的時時間序列與原原時間序列相相比較，削弱了季節(jié)變變動、周期變變動和不規(guī)則則變動的影響響，具有明顯顯的修復(fù)效果果，同時又保保持了原時間間序列的長期期趨勢變動,正是它具有這這種特點，因因此，移動平平均法在市場場預(yù)測這被非非常廣泛的應(yīng)應(yīng)用。502、一次平均均移動值的位位置由的的表達(dá)式式可知：是是時間間序列的中間間值，即放放在中間的的位置。但實實際上是放在在跨越期末的的位置。這就就出現(xiàn)了偏差差，即使得預(yù)預(yù)測值落后于于實際值（n-1）/2,為了糾正正這種誤差，，規(guī)定將放放在（n+1）/2的的位置上。(n+1)/2n一次移動產(chǎn)生生滯后偏差的的原因513、一次移動動平均法預(yù)測測的步驟(1)繪制散散點圖（根據(jù)據(jù)收集的資料料）(2)選擇擇跨越期并計計算移動平均均值(3)計算趨趨勢變動值(4)當(dāng)年趨趨勢變動值=當(dāng)年移動平平均值—上年年的移動平均均值=52注意在以下情況，，趨勢變動情情況可分別處處理：①當(dāng)各年的趨趨勢變動值比較平穩(wěn)時，可直接采用用最后一年的的趨勢變動值值進(jìn)行預(yù)測。。②當(dāng)各年的趨趨勢變動值波動較大時，可采用下面面兩種方法：：（a）趨勢變動值=算術(shù)平均值值（b）趨勢變動值=各年的趨勢勢變動值求移移動平均，并并以最后一個個移動平均值值作為趨勢變變動值。53（5）計算絕絕對誤差、平平均絕對誤差差絕對誤差=|移動平均值值－觀察值|（6）建立預(yù)預(yù)測模型54應(yīng)用1我國1983~2003年的發(fā)電總總量基本呈直直線上升趨勢勢，具體資料料如表所示，，請你預(yù)測2004年和和2005年年的發(fā)電總量量？我國發(fā)電總量量及一次移動動平均值計算算表55年份發(fā)電總量ytN=7時趨勢變動值移動平均趨勢變動值1983676198482519857741986716★924.8619879401046.00121.14198811591166.43120.43198913841279.00130.57199015241474.43177.43★146.84199116681630.29155.86155.98199216681783.86153.57166.08199319581952.71168.86176.1656199420312137.86185.15177.73199522342329.00191.14185.73199625662530.14201.14195.14199728202718.57188.43227.4219983006293043211.86199930933149.86219.43200032773370.00220.1420013514200237702003410757t500040003000200010000yt解：（1）繪制散點圖由散點圖可以以看出，發(fā)電電量基本呈直直線上升趨勢勢，可用移動動平均法進(jìn)行行預(yù)測。N=7時移動動平均曲線觀察值曲線（2）選擇跨跨越期取N=7。圖我我國1985~2003發(fā)電量及一一次移動平均均值的散點圖圖58596061626364由上可知，趨趨勢變動值采采用不同的算算法，其結(jié)果果很不一樣，，這三答案都都是對的。那那么在實際的的預(yù)測中到底底采用哪一個個預(yù)測值呢？？只有決策才才能最后選定定。65（二）二次移移動平均法1、二次移動動平均法原理理二次移動平均均法是對一組組時間序列數(shù)數(shù)據(jù)先后進(jìn)行行兩次移動平平均，即在一一次的基礎(chǔ)上上，再進(jìn)行第第二次移動的的平均，并根根據(jù)最后的兩兩個移動平均均值的結(jié)果建建立預(yù)測模型型，求得預(yù)測測值。二次移動平均均法與一次移移動平均法關(guān)關(guān)系密切。66第一，一次移動平均均法，存在滯滯后偏差，使使移動平均值值滯后于實際際觀察值的期期，而二二次移動平均均法正是利用用這一滯后偏偏差，把一次次、二次移動動平均值置于于跨越期末的的水平上，并并建立預(yù)測模模型，求得預(yù)預(yù)測值。第二，二次移動平均均法不是一種種獨立的方法法，它必須在在一次移動平平均值的基礎(chǔ)礎(chǔ)上再進(jìn)行第第二次移動平平均，同時，，要與一次移移動平均值（（最后一項的的一次移動平平均值）一起起才能建立預(yù)預(yù)測模型進(jìn)行行預(yù)測。672、二次移動動平均值計算算方法6869二次移動平均均法預(yù)測步驟驟（1）選擇跨跨越期一般情況下，，求二次移動動平均時，采采用與一次相相同的跨越期期。（2）計算一一次移動平均均值（★的第一個放在在n=7上）（3）計算二二次移動平均均值（★的第一個放在在n=7上）（4）建立二二次移動平均均法預(yù)測模型型707172觀察期觀察值N=7,N=7，196567619668251967774196871619699401970115919711384★924.86197215241046.00197316681166.43197416681279.00一次次、、二二次次移移動動計計算算表表73197519581474.43197620311630.29197722341783.86★1331.84197825661952.711478.67197928202137.861634.65198030062329.001800.74198130932530.141976.90198232772718.572145.63198335142930432340.37198437703149.863535.51198541073370.002737.9874第四四節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)平平滑滑預(yù)預(yù)測測方方法法前面面介介紹紹的的移動動平平均均法法存在在兩兩個個不不足足之之處處，，一是是存存儲儲數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)量量較較大大，，二二是是對對最最近近的的N期期數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)等等權(quán)權(quán)看看待待，，而而對對t-T期期以以前前的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)則則完完全全不不考考慮慮。。因此此，，預(yù)測測的的結(jié)結(jié)果果準(zhǔn)準(zhǔn)確確度度不不高高。指數(shù)數(shù)平平滑滑法法卻卻有有效效的的克克服服了了這這兩兩個個缺缺點點。。它既既不不需需要要存存儲儲大大量量的的歷歷史史數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，又又考考慮慮了了各各期期數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的重重要要性性，，而而且且使使用用了了全全部部歷歷史史資資料料。。因因此此，，指指數(shù)數(shù)平平滑滑移移動動平平均均法法的的改改進(jìn)進(jìn)和和發(fā)發(fā)展展，，應(yīng)應(yīng)用用極極為為廣廣泛泛。。指數(shù)數(shù)平平滑滑法法根據(jù)據(jù)平平滑滑的的次次數(shù)數(shù)不不同同，，可可分分為為一一次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑、、二二次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑、、三三次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑等等。。分分別別介介紹紹如如下下：：75（一一））一一次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑原原理理（Onceindexgloss）設(shè)時時間間序序列列為為x1,x2,………,xt…一次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑公公式式為為：：（1））一、、一一次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑76（2））（3））（4））77對（（1））進(jìn)進(jìn)行行展展開開，，有：：78（5））由（（5））可可知知一次次指指數(shù)數(shù)平平滑滑特特點點：（1））（2））由于于加權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)符符合合指指數(shù)數(shù)規(guī)規(guī)律律，又具有有平滑功功能，故稱稱為指數(shù)數(shù)平滑。。793、權(quán)重重之和為為1，即：80令誤差et=xt-Ft在指數(shù)遞遞推公式式（4））中，81（二）αα的選擇擇α的選擇擇，既是指數(shù)平滑滑法的靈魂所所在，又又是應(yīng)用用指數(shù)平平滑法的的難點之一一，迄今今沒有從從理論上上完全解解決，它它的確定定帶有一一定的經(jīng)經(jīng)驗性。。通常α取取值方法法應(yīng)遵循循下列原原則：1、當(dāng)xt波動較大大時，取α=0.1~0.3（濾去季季節(jié)波動動、不規(guī)則變變動，使預(yù)測模模型不易易受它們們的影響響，保留留長期趨趨勢描述述實際觀觀察值）822、當(dāng)xt波動較小小時，取α=0.6~0.8，（加大近近期數(shù)據(jù)據(jù)的比重重，提高高修正誤誤差程度度使預(yù)測測模型保保留長期期趨勢來來描述實實際觀察察值）3、在實際應(yīng)應(yīng)用中，，可取若干干個α值值進(jìn)行比比較，選選擇一個個誤差最最小的αα。83（三）初初始值的的確定用一次指指數(shù)平滑滑進(jìn)行預(yù)預(yù)測，除除了選擇擇α的值值外，還還要確定初始始值初始值是是預(yù)測者者估計或或指定的的。1、當(dāng)時間序序列N≥10時，此時的對對以以后預(yù)測測值的影影響較小小，故可直接接選用第第一個觀觀察值即即：2、當(dāng)時間序序列N＜10時，此時的對對以以后的預(yù)預(yù)測值的的影響較較大，這時一般般采用最初幾期期的觀察察值的算算術(shù)平均均值作為為初始值值。84（四）一一次指數(shù)數(shù)平滑預(yù)預(yù)測步驟驟1、確定定初始值值2、選定定平滑系系數(shù)：α（若不能能確定，，可選不不同的α）3、計算算一次指指數(shù)平滑滑值4、計算算預(yù)測值值：5、計算各各標(biāo)準(zhǔn)差S，選擇一一個Smin，6、確定預(yù)預(yù)測值：85某商店1995~2004年銷售額資資料如表所所示。試預(yù)預(yù)測2005年銷售售額為多少少萬元？并并已知：α=0.2,α=0.5,α=0.8,S0=x=400年份1995199619971998199920002001200220032004銷售額400450503551602657709758809862表1995~2004年商品銷售售額及一次次指數(shù)平滑滑法計算表表一次指數(shù)平平滑預(yù)測法法舉例862、α的取值∵歷年的的銷售額都都是逐年穩(wěn)穩(wěn)步上升，，故可取α的值小一些些，本題取取α=0.23、為了對α值有一個較較深刻的認(rèn)認(rèn)識不妨，取α=0.5和α=0.8進(jìn)行比較。。年銷.售額α=0.5α=0.2實際實際觀察值值圖一一次指指數(shù)平滑思考：878889表1995~2004年商品銷售售額及一次次指數(shù)平滑滑法計算表表年份銷售額

α=0.2α=0.5α=0.8α=0.2α=0.5α=0.8199540040040040000019964504104254404025101997503428.6464490.474.43912.61998551453.1507.5538.997.943.512.11999602482.9554.8589.4119.147.212.62000657517.7605.9643.5139.351.113.52001709556.0657.4659.9153.051.613.12002758596.4707.7745.6161.650.312.42003809638.9758.4796.3170.150.612.72004862683.5810.2848.9178.551.813.190（4）預(yù)測測值91（5）計算算標(biāo)準(zhǔn)差S，確定預(yù)預(yù)測值當(dāng)α=0.2時，S1=106062.9α=0.5時，S2=1931.4α=0.8時，S3=140.4∵S3=140.4最小小，∴預(yù)測值為為：921、二次指數(shù)平平滑原理一次指數(shù)平平滑雖然克服了了移動平均均法的缺點點，但當(dāng)時時間序列的的變動出現(xiàn)現(xiàn)直線趨勢勢時，用一一次指數(shù)平平滑方法進(jìn)進(jìn)行預(yù)測，，仍存在明顯顯的滯后偏偏差。因此，必必須加以修修正。修正正的方法與與趨勢移動動平均法相相同，即再再作二次指指數(shù)平滑，，利用滯后后偏差的規(guī)規(guī)律建立直直線趨勢模模型。與一次指數(shù)數(shù)平滑公式式基本相似似，二次指指數(shù)平滑基本公式為為：二、二次指指數(shù)平滑932、二次指數(shù)平平滑預(yù)測模模型為)(，)()()()(2t1tt2t1ttttTtSS1bSS2aTbay--=-=+=+ùaa其中，94某公司1990~2004年銷售收入入yt如表表所示，試試用二次指指數(shù)平滑法法預(yù)測2005年和和2006年的銷售售收入各為為多少萬元元？年份199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004銷售額6768257747169401159138415241468166819582031223425662820表6-11歷年年銷售收入入數(shù)據(jù)單單位：：萬元二次指數(shù)平平滑預(yù)測法法舉例95思考1、確定初初始值∵表中的歷歷年實際銷銷售收入可可知變化不不大，隨時時間的推移移銷售收入入逐年增加加，并且N=15＞＞10∴===6762、確定平平滑指數(shù)α∵歷史資料料表明基本本上是長期期穩(wěn)定的增增加的，∴α應(yīng)取小一些些，令α=0.3注意：二次指數(shù)平平滑預(yù)測可可用線性趨趨勢數(shù)據(jù)的的方法進(jìn)行行預(yù)測。969798年t19901676676676676.00—19912825720.7689.4652.013.4676.019923774736.7703.6769.814.2765.419934716730.5711.7749.38.1784.019945940793.3736.2850.424.5757.4199561159903.0786.21019.850.1874.91996713841047.3864.51230.178.31069.91997815421190.3962.31418.397.71308.41998914681273.61055.71491.593.41516.019991016681391.91156.51627.3100.91584.920001119581561.81278.11845.5121.61728.220011220311702.51405.41999.6127.31967.120021322341862.01542.42181.6137.02126.920031425662073.21701.62444.8159.32318.620041528202297.21880.32714.1178.72604.1表6-11歷年年銷售收入入數(shù)據(jù)單單位：：萬元99第四節(jié)線線性外推推預(yù)測法趨勢外推法法是根據(jù)某一一事件的歷歷史規(guī)律，，尋求該事事件的變化化規(guī)律，從從而推出事事件未來狀狀況的一種種比較常見見的預(yù)測方方法。利用用趨勢外推推法進(jìn)行預(yù)預(yù)測，主要要包括六階階段：（1）選擇擇所需的預(yù)預(yù)測的參數(shù)數(shù)（2）收集集必要的數(shù)數(shù)據(jù)（3）利用用數(shù)據(jù)擬合合曲線（最小二乘法法）（4）趨勢勢外推（直直線、對數(shù)數(shù)、曲線））（5）預(yù)測測說明（6）研究究預(yù)測結(jié)果果在進(jìn)行決決策中應(yīng)用用的可能性性。1001、擬合直直線方程法法的數(shù)學(xué)模模型依據(jù)的是最最小二乘法法，是將時間序列擬擬合成一條條直線趨勢勢，使該直線上的的預(yù)測值與與實際值之之間的離差和為最最小。設(shè)n(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)它們的位置置如圖，代求的擬合合直線AB，它使n個觀察值值對該直線線的離差分分別為e1,e2,…,en。其中在AB上方一一側(cè)的離差差為正離差差，下方一一側(cè)的離差差為負(fù)離差差。(x1,y1)(x2,y2)(x4,y4)(x3,y3)eieiei圖擬合直線方程原理一、直線趨勢勢外推法（LineTend）101若簡單的以離離差代數(shù)和的的大小來反反映該直線是是否是最佳擬擬合直線，則則可能出現(xiàn)正正、負(fù)離差的的相互抵消使使離差的代數(shù)數(shù)和變小，甚甚至出現(xiàn)完全全抵消的情況況，即：，，這時時的擬合直線線并非沒有偏偏差。102最小二乘法原原理(Least–SquareMethod)在Q中，描述了直直線方程yt=a+bx與與n個觀察點點的接近程度度。誤差的大大小隨直線的的位置變化而而變化。即誤差的值會隨著a和b不不同而變化。即是a和和b的二元函函數(shù)。103我（1）104為了使誤差最最小，即Q為最小值;可可分別對a,b求偏導(dǎo)，并令令其為0.則則有:（2）（4）（5）（3）????????????????--=-=-==--=---=--??=??=--=---=--??=??--22tttt2ti2iti2ixxnyxxynbxbyxbyn1a0xbxaxy0bxayx2bxaybbQ0xbnay0bxay2bxayaaQ)())(()(,)()(,)()(105注意：在確定直線方方程時，時間間序列為奇數(shù)數(shù)時，取中間間數(shù)(n+1)/2的編編號為0，那那么x的編號號就構(gòu)成了以以0中心,的的正、負(fù)數(shù)對對稱的編號。。例如,當(dāng)n=9時,(9+1)/2=5,那那么就可以編編成-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,這時時由于∑x=0，可簡化化計算。此時時有：(6)(7)???===-2tttxxybynya1062、擬合直線線方程的步驟驟(1)繪制散散點圖(2)列表計計算求待定系系數(shù)所需的數(shù)數(shù)據(jù)(3)確定待待定系數(shù)a、、b,建立預(yù)預(yù)測模型(4)用擬合合直線方程求求預(yù)測值107某家用電器廠廠1994年年~2004年利潤數(shù)據(jù)資資料如表6-14所示，，試預(yù)測2005、2006年利潤潤各為多少？？年份19941995199619971998199920002001200220032004銷售額2003003504005006307007508509501020解：：（1））畫畫散散點點圖圖并并觀觀察察各各個個點點變變化化趨趨勢勢是是否否可可用用直直線線方方程程來來擬擬合合。。（2））列列表表計計算算求求待待定定系系數(shù)數(shù)所所需需要要的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)資資料料，，由由于于時時間間序序列列為為11個個，，即即（（n+1））/2=（（11+1））/2=6。。故故以以1990年年為為中中點點編編號號：：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，，2，3，4，，5。表某某家用電電器廠1985年~1995年利潤潤及擬合合直線方方程法計計算表單位：萬萬元線性外推推趨勢預(yù)預(yù)測法舉舉例中心108是19941995199619971998199912001000800600400200圖直線繪制圖109表的以左左邊∑x=0,∑∑yt=6650,∑x2=110;∑xyt=9100.表的右邊邊以0，，1，…，10對對自變量量x進(jìn)行編號號，并求求得：∑x=55，∑x2=385；∑xyt=42350(3)確定待定定系數(shù)，，建立預(yù)預(yù)測模型型①按表的左邊邊x編號號，有：：a=∑∑yt/n=6650/11=604.3b=∑∑xy/∑x2=9100/110=82.7故左邊邊預(yù)測測的直直線方方程為為：②按表右右邊的的x編編號方方法有有：110111年份利潤yixx2xyt

左邊xx2xyt

右邊1994200-525-1000191.0000191.01995300-416-2000273.711300273.71996350-39-1050356.424700356.41997400-24-800439.1391200439.11998500-11-500521.84162000521.81999630000604.55253150604.5200070011700687.26364200687.22001750241500769.97495250769.92002850392550852.68646800852.620039504163800935.39818550935.32004102052551001018.010100102001018.0∑6650011091005538542350表某某家家用電電器廠廠1994年~1904年年利潤潤及擬擬合直直線方方程法法計算算表單單位位：萬萬元112（4））用擬擬合直直線方方程求求預(yù)測測值分分別按按左、、右邊邊直線線方程程進(jìn)行預(yù)預(yù)測結(jié)結(jié)果相相同，，故擬擬合直直線有有效。。見表表3、特特點（1））擬合合直線線方程程的一階差差分為為一常常數(shù)，即：（2））直線外外推法法只適用用時間序序列呈呈直線線趨勢勢預(yù)測。。（3））無論論遠(yuǎn)、、近的的數(shù)據(jù)據(jù)不考考慮權(quán)權(quán)重。。（4））用最小二二乘法法擬合直直線方方程消消除了了不規(guī)規(guī)則的的影響響，使使內(nèi)插值值和外外推值值都落在在擬合合的直直線上上。113二、加加權(quán)擬擬合直直線方方程原理擬合直直線方方程根根據(jù)最最小二二乘法法原理理，使使觀察察期對對于估估計值值的離離差平平方和和最小小再求偏偏導(dǎo)并并令其其等于于0，，求出出a，，b，，最后后建立立直線線方程程進(jìn)行行預(yù)測測。但但這種種方法法的問問題是是在擬擬合直直線過過程，，對時時間的的近期期和遠(yuǎn)遠(yuǎn)期的的數(shù)據(jù)據(jù)同等等對待待，求求出的的預(yù)測測方程程不夠夠精確確。而而加權(quán)權(quán)擬合合法就就較好好的解解決了了這個個問題題。114是指時時間序序列的的觀察察值長長期趨趨勢呈呈指數(shù)數(shù)曲線線變化化規(guī)律律，利利用對對數(shù)規(guī)規(guī)律及及最小小二乘乘法確定指指數(shù)方方程。然后后在進(jìn)進(jìn)行趨趨勢外外推。。(1)(2)(3)三、對對數(shù)預(yù)預(yù)測法法(4)115116某公司司1992～2004年年商品品銷售售額額額如表表所示示，試試預(yù)測測2005年的的銷售售額多多少萬萬元？？對數(shù)預(yù)預(yù)測法法舉例例年份1992199319941995199619971998199920002001200220032004銷售額18729021027039057090015002310405048005400表某某公公司歷歷年銷銷售額額表資資料117思考：：1、根根據(jù)歷歷年利利潤額額數(shù)據(jù)據(jù)表可可知：：歷年年利潤潤額基基本呈呈指數(shù)數(shù)曲線線，故故可用用對數(shù)數(shù)趨勢勢外推推法。。2、∵N=13年，，∴取13+1/2=7，即即（-7～～7）可簡簡化計算。。3、確定a和b，得出出擬合對數(shù)數(shù)曲線方程程。4、根據(jù)擬擬合曲線方方程進(jìn)行預(yù)預(yù)測。解:(1)列表表計算求待待定系數(shù),x的編號為為-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.根據(jù)擬擬合直線方方程(4),列表計計算∑lgyt,∑xlgyt,∑x22,并將計計算填入表表118觀察期銷售額ytxx2lgytx·lgyt

199218-6361.2553-7.531637.31199372-5251.8573-9.286758.52199490-4161.9542-7.817091.791995210-392.3222-6.9667143.981996270-242.4314-4.8627225.841997390-112.59112.5911354.241998570002.75592.7559555.651999900112.95422.9542871.5720001500243.17613.17611367.1020012310393.35363.36362144.37200240504163.60753.60753363.57200348005253.68123.68125275.94200454006363.73243.73248275.61∑20580018235.682435.6824119(2)建立立數(shù)學(xué)模型型，計算預(yù)預(yù)測值120第五節(jié)曲曲線外推推預(yù)測法在實際預(yù)測測中，我們們常常碰到到的不是是我們前面面所介紹的的形式，而而是其他的的曲線形式式。在這樣樣的情況下下，就要用用到曲線外推趨趨勢法。這種方法法仍然是利利用二乘法來擬合曲線線方程。介介紹如下：：設(shè)曲線線預(yù)測模型型為：121122一、二次曲曲線外推法法（一）二次次曲線外推推法數(shù)學(xué)模模型二次曲線方方程為：（（1）利利用最小二二乘法得：：（2）123124季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)法法是指指某某一一事事件件在在一一年年內(nèi)內(nèi)以以季節(jié)節(jié)為為周周期期循循環(huán)環(huán)發(fā)發(fā)生生，可可通通過過季季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行行預(yù)預(yù)測測。。季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)可可將將三三至至五五年年資資料料按按月月展展開開或或按按季季展展開開，，然然后后，，考考慮慮它它是是否否受受長長期期趨趨勢勢波波動動的的影影響響；；還還是是受受隨隨機機因因素素的的影影響響。。下下面面，，分分兩兩種種情情形形介介紹紹。。第六六節(jié)節(jié)季季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)預(yù)預(yù)測測125一、、不不考考慮慮長長期期變變動動趨趨勢勢的的季季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)法法（一一））按按月月（（季季））平平均均法法1、、計計算算歷歷年年同同月月平平均均數(shù)數(shù)設(shè)每每年年的的月月平平均均數(shù)數(shù)為為ri,i=1,2,……,12r1=1/n(y1+y13+…+y12n-11)r2=1/n(y2+y14+…+y12n-10)(n-年份份)………r12=1/n(y12+y24+…+y12n)(1)1262、計計算各各年月月平均均值(2)1273、計計算各各月的的季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)(3)1284、調(diào)調(diào)整各各月的的季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)從理論論上講講，1至12個個月各各季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)之和和應(yīng)等等于1200百百分點點，但但在計計算季季節(jié)指指數(shù)的的過程程中的的近似似會使使各月月季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)之和和（大大于或或小于于）1200點點，因因此，，須調(diào)調(diào)整。。即：：1295、利利用季季節(jié)指指數(shù)法法求預(yù)預(yù)測值值130季節(jié)指指數(shù)預(yù)預(yù)測法法舉例例1某商店店2001年~2004年電電風(fēng)扇扇的銷銷售量量資料料如表表，已已知2002年年4月月份銷銷售量量為23臺臺，試試預(yù)測測同年年5、、6月月份的的銷售售量為為多少少？131表某某商店店電風(fēng)風(fēng)扇銷銷售量量及季季節(jié)指指數(shù)法法計算算表單單位：：臺月份2001年2002年2003年2004年月平均值季節(jié)指數(shù)調(diào)整后季節(jié)指數(shù)1523237.687.6824453410.2310.23310812101025.5925.594252220212256.2956.2954564806062159.28159.286106110102105106270.58270.5879490959393237.95237.9589081879488225.16225.1696052625858148.40148.4010201218141640.9440.94115546512.7912.7912512025.125.12∑4694514904664691200.011200.01132解：（1））計算算歷年年同月月的平平均數(shù)數(shù)133（2））計算算各月月平均均值在134（3））計算算各月月的季季節(jié)指指數(shù)（4））調(diào)整整各月月的季季節(jié)指指數(shù)∵k=1200/∑∑αi=1200/1200.01F1=αik=7.68%××1200/1200.01=7.68%F2=10.23%××1200/1200.01=10.23%………依次填填入表表中。。135（5））利用用季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)法求求預(yù)測測值∵∴=23×159.28/56.29=65.08(臺)=23×270.57/56.29=110.55(臺)136（二）全年年比率平均均法是將歷年各各月（或季季節(jié)）數(shù)值值同全年（（或季節(jié)））平均值之之間的比率率再加以平平均求得季季節(jié)指數(shù)，，并用它進(jìn)進(jìn)行預(yù)測的的方法。即即:其中:yi-歷年各月月（或季節(jié)節(jié)）數(shù)值;y-全年年（或季節(jié)節(jié)）平均值值,其余與與季節(jié)指預(yù)預(yù)測法相同同.137季節(jié)指數(shù)預(yù)預(yù)測法舉例例2某超市2002~2004年A品牌牌飲料銷售售量如表所所示：當(dāng)2005年年5月份銷銷售額為330箱時時，試預(yù)測測2005年6、7、8月份份的銷售量量為多少？？138月份單位123456789101112年合計月平均2002箱25124176185300335590610555250741632402702003箱30130180190310340600620560240802033002752004箱28132170200315330590635610245802533602802002月比率%9466569111124219226206932762003年月比率%11476569113124218225204872972004年月比率%1047617111311821122721888299季節(jié)指數(shù)%1046.763.769.7112.3122.0216.0226.0209.389.328.37.3∑=1200.6調(diào)節(jié)后季節(jié)指數(shù)%1046.763.769.7112.2121.9215.9225.9209.289.228.37.3∑=1200.0年份表某某超超市A品牌牌飲料2002~2004年月銷銷售量及及季節(jié)指指數(shù)計算算表單單位：：箱139解（1））計算歷歷年平均均月銷售售量?2002=1/12××（25+124+…+16）=270（（箱）?2003=1/12××（30+1130+…+20）=275（（箱）?2004=1/12××（28+132+…+25）280（箱箱）（2）計算歷歷年各月的比比率ri。即即歷年各月銷銷售量同該年年平均銷售量量比的百分?jǐn)?shù)數(shù)。r2002.1=25/270×100%=9%r2002.1=124/270×100%=46%……r2002.12=16/270×100%=6%r2003.1=30/275×100%=11%r2003.2=130/275×100%=47%……140r2003.12=20/275×100%=7%r1003.1=28/280×100%=10%r2003.2=132/280100%=47%……r2004.12=25/280×100%=9%141142143二、考慮長期期趨勢的季節(jié)節(jié)指數(shù)法（一）長期期趨勢的季季節(jié)指數(shù)模模型將移動平均均值置于跨跨越期中間間位置上，，即：(n+1)/2=6.5上。則則預(yù)測模型型為：144nxxMMnxxxMnttttntttt--+---+=+++=)1(1)1(11)1(Ln=12：的移動平均值的公式為時，xxxm122112,,,,LL當(dāng)跨越期為m間序列為：為年份，按月收集的時設(shè)145146某企業(yè)2000~2004年共有20個季度的的銷售量Q如表所示示，試預(yù)測測2005年1、2、3、4季度銷售售量為多少少？解：季節(jié)指數(shù)預(yù)預(yù)測法舉例例3147148觀察期9

(年、季)期數(shù)

(x)銷售量

（Q）4個季度的

移動平均中心化

移動平均季節(jié)

指數(shù)2000.1172000..2265.752000..3346.005.8750.6182000.4466.256.1250.9802001.1586.756.5001.2312001..2677.006.8751.0182001..3767.507.2500.8282001.4878.007.7500.9032002.19108.008.0001.2502002..21098.508.2501.0912002..31169.008.7500.6862002.41299.259.1250.986表某某企業(yè)銷銷售量數(shù)據(jù)據(jù)及季節(jié)指指數(shù)法計算算表單單位：千件件1492003.1131210.009.6251.2472003..2141010.7510.3750.9642003..315911.0010.8750.8262003.4161211.0011.0001.0912004.1171310.7510.8751.1952004.2181010.5010.6250.9412004.31982004.420112005.1212005.2222005.3232005.424觀察期9

(年、季)期數(shù)

(x)銷售量

（Q）4個季度的

移動平均中心化

移動平均季節(jié)

指數(shù)150季節(jié)年份1234∑20001.2310.6810.98020011.2501.0280.8280.90320021.2471.0910.6860.98620031.1950.9640.8261.09120044.9230.941總計4.9234.0143.0213.960均值2311.0040.7550.9903.980調(diào)后均值23711.0090.7590.9954.000表6-28季季節(jié)指指數(shù)計算表表%151（4）計算算各季節(jié)指指數(shù)平均值值，并作調(diào)調(diào)整1季節(jié)度的的季節(jié)指指數(shù)總計為為：1.231+1.250+1.247+1.195=4.9231季度的季季節(jié)指數(shù)數(shù)的平均均值為：4.923÷4=1.2311季度調(diào)整整后的季