時間序列模型課件

《Econometrics》

《計量經(jīng)濟學》

攸頻

nkeconometrics@126.com

南開大學經(jīng)濟學院數(shù)量經(jīng)濟研究所

第十二章時間序列模型

§12.1時間序列定義§12.2時間序列模型的分類§12.3時間序列模型的建立§12.4時間序列模型的識別§12.5時間序列模型的估計§12.6時間序列模型的檢驗§12.7時間序列模型的預(yù)測§12.8案例分析§12.9回歸與ARMA組合模型時間序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。這種建模方法不以經(jīng)濟理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化。

注意序列的平穩(wěn)性。如果時間序列非平穩(wěn)，應(yīng)先通過差分使其平穩(wěn)后，再建立時間序列模型。估計ARMA模型方法是極大似然法。對于給定的時間序列，模型形式的選擇通常并不是惟一的。在實際建模過程中經(jīng)驗越豐富，模型形式選擇就越準確合理。ARIMA模型的特點讓數(shù)據(jù)自己說話（第3版282頁）當代計量經(jīng)濟模型體系§12.1時間序列定義一、隨機過程與時間序列二、平穩(wěn)性三、非平穩(wěn)性四、補充：差分算子與滯后算子五、兩種基本的隨機過程：白噪聲和隨機游走

隨機過程：隨時間由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。時間序列：隨機過程的一次觀測結(jié)果(一次實現(xiàn)),時間序列中的元素稱為觀測值。時間序列也用{xt，t∈T}表示，簡記為{xt}或xt。假設(shè)樣本觀測值來自無窮隨機變量序列那么這個無窮隨機序列稱為隨機過程。

一、隨機過程與時間序列（第3版282頁）隨機過程與時間序列的關(guān)系

協(xié)方差平穩(wěn)過程（covariancestationaryprocess）

如果一個隨機過程xt滿足以下性質(zhì)，(1)均值：E(xt)=(常數(shù))(2)方差：var(xt)=2

(常數(shù))(3)自協(xié)方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一種更為簡便的方法是用自相關(guān)系數(shù)來描述自協(xié)方差，即通過自協(xié)方差除以方差進行標準化后而得到ρk=rk/r0。）這時稱xt是協(xié)方差平穩(wěn)過程，也稱寬平穩(wěn)或弱平穩(wěn)過程。

平穩(wěn)過程指隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間的推移而發(fā)生變化。直觀上，平穩(wěn)的時間序列可看作一條圍繞均值上下波動的曲線。二、平穩(wěn)性（stationary）單整過程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性（non-stationary）非平穩(wěn)過程指隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律隨著時間的推移而發(fā)生變化。這些非平穩(wěn)的時間序列經(jīng)過差分變化以后，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)的。

對于隨機過程，如果必須經(jīng)過d次差分之后才能變換成為一個平穩(wěn)的過程，而當進行d-1次差分后仍是一個非平穩(wěn)過程，則稱此隨機過程具有d階單整性，記為檢驗時間序列的平穩(wěn)性是建模的基礎(chǔ)！差分指時間序列變量的本期值與其滯后值相減的運算。一階差分可表示為：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt

其中稱為一階差分算子；滯后算子：用L表示定義一階滯后算子為：Lxt=xt-1k階滯后算子定義為：Lnxt=xt-n

四、補充：差分算子與滯后算子1.白噪聲聲（whitenoise）過程程若隨機過程{xt}(tT)滿足以下下條件則稱為為白噪聲過程程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)T,k0五、兩種基本本的隨機過程程a.由白噪聲過程程產(chǎn)生的時間間序列b.日元對對美元匯率的的收益率白噪聲是平穩(wěn)穩(wěn)的隨機過程程經(jīng)典線性回歸歸對殘差的要要求是一個白白噪聲過程（第3版283頁）2.隨機機游走（randomwalk））過程對于xt=xt-1+ut，若ut為白噪聲過程程，稱xt為隨機游走過過程。隨機游走過程程的均值為零，方方差為無限大大。xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=隨機游走過程程是非平穩(wěn)的隨機機過程。對隨機游走進進行一階差分分，可將其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過過程。xt=xt-xt-1=ute.由隨機游走走過程產(chǎn)生生時間序列列f.日元對美元元匯率（第3版291頁））§12.2時間間序列模型型的分類一、自回歸歸過程AR(p)二、移動平平均過程MA(q)三、自回歸歸移動平均均過程ARMA(p,q）四、單整自自回歸移動動平均過程程ARIMA(p,d,q)一、自回歸過過程AR(p)1.p階自回歸過程程AR(p)xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut其中：i,i=1,……p是自回歸參數(shù)數(shù)，ut是白噪聲過程程。xt是由它的p個滯后變量的的加權(quán)和以及ut相加而成。上式用滯后算算子表示為：：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=L)xt=utL)=1-1L-2L2-…-pLp稱為特征多項項式或自回歸歸算子平穩(wěn)性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1––Gpz)=0的所有根根的絕絕對值值都大大于1，則AR(p)是一一個平平穩(wěn)的的隨機機過程程。自回歸歸過程程的變變量xt，僅僅依依賴于于它的的各個個前期期的值值再加加上一一個誤誤差項項。之所以以稱之之為特征方方程，，是因為為它的根決決定了了過程程xt的特征征。（第3版284頁））（第3版284頁））2.AR(1)過過程分分析xt=1xt-1+ut平穩(wěn)性性的條條件是是特征征方程程(1-1L)=0根的的絕對對值必必須大大于1，滿滿足|1/1|1，也也就是是|1|<1xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短記憶過程程）因為ut是一個白白噪聲過過程，所所以對于于平穩(wěn)的的AR(1)過過程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12u2+14u2+…=上式說明明若保證證xt平穩(wěn)，必必須保證證|1|<1。中國旅游游人數(shù)差差分序列列（第3版版284頁）在Equationspecification對話話框輸入入：D(Y)CAR(1)（第3版版286頁）習題1為了驗證證這一性性質(zhì)，首首先將yt-1用滯后算算子表示示Lytyt=Lyt+utyt-Lyt=ut（1-L）yt=ut特征方程為：：1-z=0其中有根z=1落在單位位圓上，而不不是單位圓之之外。該過程是非平平穩(wěn)的，它是是隨機游走過過程。下面的模型是是平穩(wěn)的嗎？？yt=yt-1+utxt=1xt-1+2xt-2+ut平穩(wěn)性的條件件是特征方程程1-1L-2L2=0的的兩兩個個根根在在單單位位圓圓外外：：3.AR(2)過過程程分分析析2+1<12-1<1|2|<1解得得：：（第第3版版286頁頁））4.AR(p)的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性條條件件(1)AR(p)平平穩(wěn)穩(wěn)性性的的必必要要條條件件是是(p個自自回回歸歸系系數(shù)數(shù)之之和和小小于于1)：1+2++p<1(2)AR(p)平平穩(wěn)穩(wěn)性性的的充充分分條條件件是是特特征征方方程程的的根根在在單單位位圓圓之之外外。。判斷斷根根的的可可能能情情況況1.q階移移動動平平均均過過程程MA(q)xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中：1,2,…,q是回歸參參數(shù)，ut為白噪聲聲過程。。xt是由q+1個ut和ut滯后項的的加權(quán)和和構(gòu)造而成成。“移動””是指隨隨著時間間t而變化，，“平均均”是指指加權(quán)和和之意。。任何一個個MA(q)都是由由q+1個個白噪聲聲變量的的加權(quán)和和組成，，所以任何一個個移動平平均過程程都是平平穩(wěn)的。與移動平平均過程程相聯(lián)系系的一個個重要概概念是可逆性。二、移動動平均模模型MA(q)對于一個個移動平平均模型型，yt僅僅是白白噪聲過過程的線線性組合合，所以依依賴于當當期和先先前時期期的白噪噪聲擾動動項的值值。（第3版版286頁）

移動過程具有可逆性的條件是：可逆性條條件防止止了在AR（∞∞）下出出現(xiàn)的發(fā)發(fā)散性。。（第3版版287頁）2.MA(q)的可逆逆性條件件移動平均均過程具具有可逆逆性的條條件是特特征方程程：z)=(1+1z+2z2+…+qzq)=0的的全部根根的絕對對值必須須大于1。注意：對對于無限限階的移移動平均均過程xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q+…=ut(1+1L+2L2+…)方差為為：Var(xt)=很明顯顯，雖雖然有有限階階MA過程程都是是平穩(wěn)穩(wěn)的，，但對對于無無限階階MA過程程還須須另加加約束束條件件才能能保證證其平平穩(wěn)性性，即即{xt}的方方差必必須為為有有限值值，該該條件件為：：（第3版288頁））3.MA(1)過過程分析xt=(1+1L)ut具有可逆性性的條件是是（1+1L)=0的根根在單位圓圓之外，即即|1/1|>1,或|1|<1。。當|1|<1時時，MA(1)過程程應(yīng)變換為為ut=(1+1L)–1xt=(1-1L+12L2-13L3+…)xt這是一個無限階的以以幾何衰減為權(quán)數(shù)的自自回歸過程程。對于MA(1)過程程有E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut–1)=(1+12)u2（第3版288頁））（第3版287頁））不同參數(shù)的的移動平均均過程：4.自自回歸與移移動平均過過程的關(guān)系系(1)一一個平穩(wěn)的的AR(p)過程：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=ut可以轉(zhuǎn)換為為一個無限限階的移動動平均過程程：xt=(1-1L-2L2-…-pLp)-1ut=L)-1ut(2)一個可逆的的MA(p)過程：xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut可以轉(zhuǎn)換成成一個無限限階的自回回歸過程：：(1+1L+2L2+…+qLq)-1xt=L)-1xt=ut(3)對對于AR(p)過程只需需考慮平穩(wěn)穩(wěn)性問題，，條件是L)=0的根根（絕對值值）必須大大于1。不不必考慮可可逆性問題題。(4)對對于MA(q)過程只需需考慮可逆逆性問題，，條件是L)=0的根根（絕對值值）必須大大于1，不不必考慮平平穩(wěn)性問題題。自回歸移動動平均（autoregressivemovingaverage）過程:其平穩(wěn)性依依賴于自回回歸部分:(L)=0的根全部部在單位圓圓之外。其可逆性依依賴于移動動平均部分分：(L)=0的根全部部在單位圓圓之外。實際中最常常用的是ARMA(1,1)過程:xt-1xt-1=ut+1ut-1(1-1L)xt=(1+1L)ut只有有當當–1<1<1和和––1<1<1時，，上述述模模型型才才是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，可可逆逆的的。。xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q三、自回回歸歸移移動動平平均均過過程程ARMA(p,q)（第第3版版288頁頁））四、、單單整整自自回回歸歸移移動動平平均均過過程程ARIMA(p,d,q)根據(jù)據(jù)ARMA特特征征方方程程(L)=0的的根取取值值不不同同，，分分為為三三種種情情形形：：(1)若若全部部根根取取值值在在單單位位圓圓之之外外，，則則該該過過程程是是平穩(wěn)的；(2)若某某個根或全部部根在單位圓圓之內(nèi)，則該該過程是強非平穩(wěn)的。例如，xt=1.3xt-1+ut（特征方程的的根=1/1.3=0.77）上式兩側(cè)同減減xt-1得：xt=0.3xt-1+ut（仍然非平穩(wěn)穩(wěn)）。(3)如果果特征方程的的若干根取值值恰好在單位位圓上，則這這種根稱為單位根，這種種過程也是非平穩(wěn)的。定義：假設(shè)一個隨機機過程含有d個單位根，其其經(jīng)過d次差分之后可可以變換為一一個平穩(wěn)的自自回歸移動平平均過程。則該隨機過過程被稱為單整自回歸移移動平均過程程ARIMA(p,d,q)。（第3版290頁）考慮隨機過程程的一般表達達式：(L)dyt=(L)ut其中中(L)是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的自自回回歸歸算算子子，，(L)d為廣廣義義自自回回歸歸算算子子，，(L)是是可可逆逆的的移移動動平平均均算算子子。。若取取xt=dyt，則則上上式式可可表表示示為為:(L)xt=(L)ut即yt經(jīng)過過d次差差分分后后，，可可用用一一個個平平穩(wěn)穩(wěn)的的、、可可逆逆的的ARMA過過程程xt表示示,稱稱yt為單單整整(單單積積)自自回回歸歸移移動動平平均均過過程程ARIMA(p,d,q)。。當p≠0,d=0,q≠0時時，，當d=0,p=0,q≠0時時當d=0,p≠0,q=0時時，，當p=d=q=0時時，，ARIMA變變成成ARMA(p,q)過過程程;ARIMA變變成成MA(q)過過程程;ARIMA變變成成AR(p)過過程程;ARIMA變變成成白白噪噪聲聲過過程程;幾種種常常見見的的非非平平穩(wěn)穩(wěn)隨隨機機過過程程(1)ARIMA(0,1,0)過過程程yt=ut其中中p=q=0,d=1(L)=1-1L,(L)=1(2)ARIMA(0,1,1)過過程程yt=ut+1ut–1=(1+1L)ut其中中p=0,d=1,q=1,(L)=1,(L)=1+1L(3)ARIMA(1,1,0)過過程yt-1yt–1=ut其中p=1,d=1,q=0,(L)=1-1L,(L)=1(4)ARIMA(1,1,1)過過程yt-1yt-1=ut+1ut-1或(1-1L)yt=(1+1L)ut其中p=1,d=1,q=1,(L)=1-1L,(L)=1+1L建立時間序序列ARIMA(p,d,q)模型流程程圖§12.3時間間序列模型型的建立（第3版302頁））（第3版302頁））（第3版301頁））§12.3時間序列模型的建立與預(yù)測1、如何識別？？估計結(jié)果為為：Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+vt(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0-1)=15.52、如何估計？？因為Q(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9，故故可以認為為模型誤差差序列為非非自相關(guān)序序列。模型參數(shù)都都通過了顯顯著性t檢驗。殘差序列的的相關(guān)圖和和偏相關(guān)圖圖3、如何檢驗?zāi)ＤＰ徒Y(jié)果？？4、如何預(yù)預(yù)測？如何判別其其是自回歸歸過程還是是移動平均均過程？如何判別其其過程的階階數(shù)呢？所謂隨機時時間序列模模型的識別別，就是對于一個平平穩(wěn)的隨機機時間序列列，找出生生成它的合合適的隨機機過程或模模型，即判斷該該時間序列列是遵循一一個純AR過程、還還是遵循一一個純MA過程或ARMA過過程。所使用的工工具主要是是：自相關(guān)函數(shù)數(shù)(autocorrelationfunction,ACF)偏自相關(guān)函函數(shù)(partialautocorrelationfunction,PACF)1.自自相關(guān)函函數(shù)定義平穩(wěn)隨機過過程{xt}的期望望為常數(shù)，，即E(xt)=其方差也是是常數(shù)：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E[(xt-)2]=x2隨機變量量xt與xt-k的協(xié)方差差即滯后后k期的自協(xié)方差差為：k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-)(xt-k-)]序列k(k=0,1,…,K)稱為為{xt}的自自協(xié)方差差函數(shù)。。當k=0時時:0=Var(xt)=x2自相關(guān)系系數(shù)：當k=0時時，有有0=1以滯后期期k為變量的的自相關(guān)關(guān)系數(shù)列列k(k=0,1,…,K)稱為自自相關(guān)函函數(shù)。一、自相相關(guān)函數(shù)數(shù)（ACF）對于平穩(wěn)穩(wěn)序列有有。當1為正時，，自相關(guān)關(guān)函數(shù)按按指數(shù)衰衰減至零零，這種現(xiàn)象象稱為拖尾。當1為負時，自相相關(guān)函數(shù)數(shù)正負交交錯地指指數(shù)衰減減至零。圖a.1>>0（經(jīng)濟問問題中常常見）圖圖b.-1<<0（經(jīng)濟問題中中少見）平穩(wěn)AR(1)過過程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)：k=1k（k0）2.平平穩(wěn)自回歸過過程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)AR(p)過程的自自相關(guān)函數(shù)根據(jù)特征方程程根取值的不不同，自相關(guān)關(guān)函數(shù)有兩種種不同表現(xiàn)：：當根為實數(shù)時時，自相關(guān)函函數(shù)隨著k的增加呈現(xiàn)指數(shù)衰減；當特征方程含含有一對共軛軛復(fù)根時，自自相關(guān)函數(shù)按按正弦振蕩形式式衰減。實際中平穩(wěn)AR過程的自自相關(guān)函數(shù)常常表現(xiàn)為指數(shù)衰減和正正弦衰減混合形式。圖a.兩個個特征根為實實根圖圖b.兩個個特征根為共共軛復(fù)根注意：當根取值遠離離單位圓時，，k不必很大，自自相關(guān)函數(shù)就就會衰減至零零。當特征方程的的根接近1時時，自相關(guān)函函數(shù)將衰減的的很慢。3.移動平平均過程的自自相關(guān)函數(shù)（1）MA(1)過過程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)xt=ut+1ut-1k=E(xtxt-k)=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]當k=0時，，0=E(xtxt)=E[(ut+1ut-1)(ut+1ut-1)]=E(ut2+1utut-1+1utut-1+12ut-12)=(1+12)2當k=1時1=E(xtxt-1)=E[(ut+1ut-1)(ut-1+1ut-2)]=E(utut-1+1ut-12+1utut-2+12ut-1ut-2)=1E(ut-1)2=12當k1時時，k=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]=0綜合合以以上上三三種種情情形形，，MA(1)過過程程自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)為為圖a.10圖b.10MA(1)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)具具有有截截尾尾特特征征（（當當k1時，k=0））（2）MA(q)過程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)當kq時，k=0，，說明k(k=0,1,…)具有截尾尾特征。。注意此特征可可用來識識別MA(q)過程的階數(shù)。4.ARMA(p,q)過程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)ARMA(p,q)過程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)表現(xiàn)形形式與AR(p)過程的的自相關(guān)關(guān)函數(shù)相相類似。。根據(jù)模模型中自自回歸部部分的階階數(shù)p以及參數(shù)數(shù)i的不同，，ARMA(p,q)過程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)呈指數(shù)數(shù)衰減和和（或））正弦衰衰減混合合形式。。相關(guān)圖可可以識別別ARMA過程程中MA分量階階數(shù)p。5.相相關(guān)關(guān)圖（Autocorrelogram）——估估計的自自相關(guān)函函數(shù)，樣樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)當用樣本本矩估計計隨機過過程的自自相關(guān)函函數(shù)，則則稱其為為相關(guān)圖或估計的自相關(guān)關(guān)函數(shù)：其中，T是時間序列數(shù)數(shù)據(jù)的樣本容容量。實際中中T不應(yīng)太小。對于年度時間間序列數(shù)據(jù)，，相關(guān)圖一般般取k=15就足足夠了。相關(guān)圖是對自自相關(guān)函數(shù)的的估計。由于于MA過程和和ARMA過過程中的MA分量的自自相關(guān)函數(shù)具具有截尾特性性，所以通過相關(guān)圖可可以估計MA過程的階階數(shù)q。相關(guān)圖是識別別MA過程階階數(shù)和ARMA過程中MA分量階數(shù)數(shù)的一個重要要方法。虛線表示到中心線2個標準差寬度：ACF和PACF估計值值的方差近似似為T-1。在觀察相關(guān)關(guān)圖和偏相關(guān)關(guān)圖時，若ACF和PACF估計值值的絕對值超超過2T-1/2（2個標準差差），就被認認為是顯著不不為零。二、偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)（PACF）之所以稱“偏偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)”，因為每每一個回歸系系數(shù)kk恰好表示xt與xt-k在排除了其其中間變量量xt-1,xt-2,…,xt-k+1影響之后的自相關(guān)系系數(shù)。xt=11xt-1+utxt=21xt-1+22xt-2+ut……xt=k1xt-1+k2xt-2+…+kkxt-k+ut1.偏偏自相關(guān)函函數(shù)的定義義2.自自回歸過程程的偏自相相關(guān)函數(shù)對于AR(1)過程程，xt=11xt-1+ut當k=1時，，110；當k>1時，，kk=0。所以AR(1)過過程的偏自相關(guān)函函數(shù)特征是是在k=1出現(xiàn)現(xiàn)峰值（11=1）然后截尾尾。圖a.11>0圖b.11<0對于AR(p)過程，當當kp時，kk0；當k>p時，kk=0。偏自相關(guān)函函數(shù)在滯后后期p以后有截尾尾特性，此特征可用用來識別AR(p)過程的階階數(shù)。注意對于MA(1)過程程：xt=ut+1ut-1整理：[1/(1+1L)]xt=ut，(1-1L+12L2-…)xt=ut,xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-…+ut當1>0時，，自回歸系系數(shù)的符號號是正負交交替的；當1<0時，，自回歸系系數(shù)的符號號全是負的的。因為MA(1)過過程可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為無限限階的AR過程，所所以其偏自相關(guān)函函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。3.移移動平均過過程的偏自自相關(guān)函數(shù)數(shù)圖a.10圖b.10因為為任任何何一一個個可可逆逆的的MA(q)過過程程都都可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換成成一一個個無無限限階階的的系系數(shù)數(shù)按按幾幾何何遞遞減減的的AR過過程程，，所所以以：：MA(q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)呈呈緩緩慢慢衰衰減減特特征征。ARMA(p,q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)也也是是無無限限延延長長的的，，其其表表現(xiàn)現(xiàn)形形式式與與MA(q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)相相類類似似。。根根據(jù)據(jù)模模型型中中移移動動平平均均部部分分的的階階數(shù)數(shù)q以及及參參數(shù)數(shù)i的不不同同，，ARMA(p,q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)呈呈指指數(shù)數(shù)衰衰減減和和（（或或））正正弦弦衰衰減減混混合合形形式式。。4.偏偏相相關(guān)關(guān)圖圖（PartialCorrelogram））對于于時時間間序序列列數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)通通常常是是未未知知的的，，可可以以用用樣樣本本估計偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)。因為AR過程程和ARMA過程中AR分量的偏自自相關(guān)函數(shù)具具有截尾特性性，所以可利用偏相關(guān)關(guān)圖估計自回回歸過程的階階數(shù)p。實際中對于偏偏相關(guān)圖取k=15就足足可以了。ACF和PACF估計值值的方差近似似為T-1。所以在觀察察相關(guān)圖和偏偏相關(guān)圖時，，若ACF和和PACF估估計值的絕對對值超過2T-1/2（2個標準差差），就被認認為是顯著不不為零。用EViews計算估計計的自相關(guān)函函數(shù)和偏自相相關(guān)函數(shù)。點點擊View選correlogram功能。虛線表示到中心線2個標準差寬度：特征總結(jié)自回歸過程的的特點：自相關(guān)函數(shù)呈呈幾何衰減；；其偏自相關(guān)函函數(shù)的非零個個數(shù)就等于AR模型的階階數(shù)。移動平均過程程的特點：其自相關(guān)函數(shù)數(shù)的非零個數(shù)數(shù)等于MA模模型的階數(shù)；；偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)呈幾何衰減減。自回歸移動平平均過程的特特點：自相關(guān)函數(shù)呈呈幾何衰減；；偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)呈幾何衰減減。AR(1)實根AR(2)實實根AR(2)復(fù)復(fù)根MA(1)MA(2)MA(2)※※AR(1)AR(2)AR(2)MA(1)實根MA(2)實根根MA(2)復(fù)根AR(1)序序列與相關(guān)圖圖MA(1)序序列與相關(guān)圖圖（第3版304頁）ARIMA模型識別舉例例習題Yt的差分變量Yt的自相關(guān)圖和和偏自相關(guān)圖圖如下，Yt有可能是個什什么形式的過過程？寫出Yt的表達式。能能事先說出參參數(shù)的符號嗎嗎？§12.4時間序列模型型的估計對于時間序列列模型，一般般采用極大似然法估估計參數(shù)。需要說明的是是，在上述模模型的平穩(wěn)性性、識別與估估計的討論中中，ARMA(p,q)模型中均未未包含常數(shù)項項（漂移項））。如果包含漂移移項，該漂移移項并不影響響模型的原有有性質(zhì)，因為為通過適當?shù)牡淖冃危蓪祈楉椀哪Ｐ娃D(zhuǎn)換換為不含漂移移項的模型。。（第3版293頁）Wold分解定理

（第3版第293頁）Wold分解定理

（第3版第293頁）Wold分解定理

Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)在Equationspecification對話框框輸入：D(Y)CAR(1)注意：EViews輸出結(jié)果表表示的是對序序列(Dyt-0.142862)估估計AR(1)模型Dyt=0.0076+0.2627(Dyt-1-0.0076)+0.2767(Dyt-3-0.0076)+ut(7.4)(3.0)(3.2)在Equationspecification對話框框輸入：D(Y)CAR(1)AR(3)dLnyt=0.0271+ut+0.5963ut-1(2.1)(5.6)在Equationspecification對話框框輸入：D(Y)CMA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.0367)+ut+0.4758ut-1(0.7)(6.7)(2.8)在Equationspecification對話框框輸入：D(Y)CAR(1)MA(1)習題習題

§12.5時間序列模型型的檢驗估計完模型后后，應(yīng)對估計計結(jié)果進行診診斷與檢驗。。估計的模型是是否成立主要要從以下幾個個方面檢查：：①模型參數(shù)數(shù)估計量必須須通過t檢驗；②模型的殘差差序列必須通通過Q檢驗；③模型的全部特征根的的倒數(shù)都必須須在單位圓以以內(nèi)（自回歸、、移動平均兩兩部分滿足平平穩(wěn)性和可逆逆性）。同時也要盡量量做到：④模模型結(jié)構(gòu)應(yīng)當當盡量簡練；；⑤參數(shù)穩(wěn)定定性要好；⑥⑥預(yù)測精度要要高。殘差序序列的的Q檢驗Q檢驗的的零假假設(shè)是是H0：1=2=……=K=0即模型型誤差差項的的K階自相相關(guān)系系數(shù)全全為零零，誤誤差項項是一一個白白噪聲聲過程程。Q統(tǒng)計量量定義義為：：其中，，T表示樣樣本容容量，，rk表示用用殘差差序列列計算算的自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)值，，K表示自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)的個個數(shù)，，p表示模模型自自回歸歸階數(shù)數(shù)，q表示移移動平平均階階數(shù)。。計算Q統(tǒng)計量量的值值。顯顯然若若殘差差序列列不是是白噪噪聲，，殘差差序列列中必必含有有其他他成份份，自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)不等等于零零，則則Q值將很很大。。反之之Q值將很很小。。判別規(guī)規(guī)則是是：若Q<2(K-p-q)，則接受受H0。若Q>2(K-p-q)，則拒絕絕H0。因為Q(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9可以認認為模模型誤誤差序序列為為非自自相關(guān)關(guān)序列列。設(shè)對時時間序序列樣樣本{xt},t=1,2,……,T，所擬擬合的的模型型是ARMA(1,1)xt=1xt-1+ut+1ut-1則理論論上T+1期xt的值為為：xT+1=1xT+uT+1+1uT上式中1,1和uT用其估計值值代替,uT+1未知，但E(uT+1)=0，故取取uT+1=0，那么，xT+1的實際預(yù)測測式為：理論上xT+2的預(yù)測式是是：xT+2=1xT+1+uT+2+1uT+1，此時仍取取uT+1=0uT+2=0，則則xT+2的預(yù)測式是是：與此類推，，xT+3的預(yù)測式是是：隨著預(yù)測期期的加長，，預(yù)測式中中移動平均均項逐步淡出預(yù)測模型，，預(yù)測式變變成了純自自回歸形式式?！?2.6時間序列模模型的預(yù)測測對于MA(q)過程，，當預(yù)測期期超過q時，預(yù)測值值等于零。。若上面所用用的xt是一個差分分變量，設(shè)設(shè)yt=xt，則得到的的預(yù)測值相當當于,(t=T+1,T+2,……)。。因為yt=yt-1+yt所以原序列列T+1期預(yù)測測值應(yīng)按下下式計算其中是是相應(yīng)上一一步的預(yù)測測結(jié)果。file:li-12-1file:5arma07案例1（中中國人口時時間序列模模型）從人口序列列圖可以看看出，我國國人口總水水平除在1960和和1961年出現(xiàn)回回落外，其其余年份基基本上保持持線性增長長趨勢。51年間平平均每年增增加人口1423.06萬人人，年平均均增長率為為16.8‰。由于于總?cè)丝跀?shù)數(shù)逐年增加加，實際上上的年人口口增長率是是逐漸下降降的。把51年分為為兩個時期期，即改革革開放以前前時期和改改革開放以以后時期，，則前一個個時期的年年平均增長長率為20‰，后一一個時期的的年平均增增長率為12.58‰。從人人口序列的的變化特征征看，這是是一個非平平穩(wěn)序列。。中國人口序序列中中國人口口一階差分分序列（第3版310頁））人口序列yt的相關(guān)圖，，偏相關(guān)圖圖人口差分序序列Dyt的相關(guān)圖和和偏相關(guān)圖圖表達式是Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9（1）t檢驗通過；；（2）Q檢驗通過；；（3）特特征根倒數(shù)數(shù)在單位圓圓之內(nèi)EViews估計結(jié)結(jié)果是(Dyt-0.1429)的的AR(1)過程估估計結(jié)果，，而非Dyt的AR(1)過程估估計結(jié)果。。其中0.1429是用AR(1)模模型估計的的序列Dyt的均值，其其含義是51年間平平均年增加加人口數(shù)是是1428.62萬萬人。用樣樣本計算的的均值是0.1431。Q(10)=5.2。因為Q(10)=5.2<Q0.05(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9，所以以模型的隨隨機誤差序序列也達到到了非自相相關(guān)的要求求。特征根倒數(shù)在在單位圓之內(nèi)內(nèi)差分序列Dyt中的常數(shù)，在原序列yt中是斜率。（1）在打開開工作文件的的基礎(chǔ)上，從從EViews主菜單中中點擊Quick鍵，選選擇EstimateEquation功能能。會彈出Equationspecification對話框。。輸入1階自自回歸時間序序列模型估計計命令如下：：D(Y)CAR(1)其中C表示漂漂移項。點擊擊OK鍵。（2）模型中中若含有移動動平均項，EViews命令用MA(q)表示。（3）點擊時時間序列模型型估計結(jié)果窗窗口中的View鍵，選選ResidualTests,Correlogram-Q-statistics功能，在在隨后彈出的的對話框中指指定相關(guān)圖的的最大滯后期期，比如選15，點擊OK鍵，即可可得到模型殘殘差序列的相相關(guān)與偏相關(guān)關(guān)圖以及Q統(tǒng)計量。（4）點擊時時間序列模型型估計結(jié)果窗窗口中的Forcast鍵，在隨后后彈出的對話話框中做出適適當選擇，就就可以得到y(tǒng)t和Dyt的動態(tài)、靜態(tài)態(tài)、結(jié)構(gòu)、非非結(jié)構(gòu)預(yù)測值值。附錄：用EViews估估計時間序列列模型的方法法點擊時間序列列模型估計結(jié)結(jié)果窗口中的的Forcast鍵，在在隨后彈出的的對話框中做做出適當選擇擇，就可以得得到y(tǒng)t和Dyt的動態(tài)和靜態(tài)預(yù)測值，結(jié)構(gòu)預(yù)測和非結(jié)構(gòu)預(yù)測值。12.788EViews7案例2天津津市GDP模模型（1978-2008）2009年天天津GDP的的預(yù)測值為：：7859.987億元元2009年天天津GDP的的預(yù)測值為：：7983.388億元元用1872-1994年年的日本人口口數(shù)（Y，單單位：億人））序列的差分分序列（記作作：DY）得得估計模型和和模型殘差序序列的相關(guān)圖圖。寫出模型的估估計式。解釋常數(shù)項的的實際含義。。求模型的漂移移項的值。寫出估計模型型對應(yīng)的特征征方程。計算特征根倒倒數(shù)-0.24+0.56i的模模等于多少。。說明此模型建建立的是否合合理？如果估估計結(jié)果為真真，Dyt的自相關(guān)函數(shù)數(shù)是拖尾的，，還是截尾的的？已知Dy1994=0.0027,Dy1992=0.00409,y1994=1.25034,試試對1995年的日本人人口總數(shù)Y1995做樣本外靜態(tài)態(tài)預(yù)測。并計計算預(yù)測誤差差（給定y1995=1.25569億））課堂練習用組合模型重重新考慮第六六章案例分析析Yt和Xt散點圖殘殘差圖注意：（1）R2值有所下降。。不應(yīng)該不相相信估計結(jié)果果。原因是兩兩個回歸式所所用變量不同同，所以不可以以直接接比較較確定定系數(shù)數(shù)R2的值。（2））兩種種估計計方法法的回回歸系系數(shù)有有差別別。計計量經(jīng)經(jīng)濟理理論認認為回回歸系系數(shù)廣義最最小二二乘估估計量量優(yōu)于于誤差差項存存在自自相關(guān)關(guān)的OLS估計計量。所以以0.6782應(yīng)該該比0.7118更更可信信。特特別是是最近近幾年年，天天津市市城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居民民人均均收入入的人人均消消費邊邊際系系數(shù)為為0.6782更可可信。。（3））用EViews生生成新新變量量的方方法：從工作作文件件主菜菜單中中點擊擊Quick鍵鍵，選選擇GenerateSeries……功能能。打打開生生成序序列（（GenerateSeriesbyEquation））對話話框。。在對對話框框中輸輸入如如下命命令（（每次次只能能輸入入一個個命令令），，Y=CONSUM/PRICEX=INCOME/PRICE按OK鍵鍵。。變變量量Y和和X將將自自動動顯顯示示在在工工作作文文件件中中。。組合合模模型型克克服服自自相相關(guān)關(guān)組合合模模型型結(jié)結(jié)果果：：GLS估估計計結(jié)結(jié)果果：：R2=0.95，，DW=2.31MARMA結(jié)結(jié)果果：：(3.54)(19.6)(4.34)R2=0.9938，，DW=2.25隨機機誤誤差差項項已已不不存存在在自自相相關(guān)關(guān)。。例6.2天天津津市市保保費費收收入入和和人人口口的的回回歸歸關(guān)關(guān)系系本案案例例主主要要用用來來展展示示當當模模型型誤誤差差項項存存在在2階階自自回回歸歸形形式式的的自自相相關(guān)關(guān)時時，，怎怎樣樣用用廣廣義義差差分分法法估估計計模模型型參參數(shù)數(shù)。。1967~1998年年天天津津市市的的保保險險費費收收入入（（Yt，萬萬元元））和和人人口口（（Xt，萬萬人人））數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)散散點點圖圖見見圖圖。。Yt與Xt的變變化化呈呈指指數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系。。對對Yt取自自然然對對數(shù)數(shù)。。可可以以在在LnYt與Xt之間間建建立立線線性性回回歸歸模模型型:LnYt=0+1Xt+utYt和Xt散點圖LnYt和Xt散點圖組合模型型克服自自相關(guān)組合模型型結(jié)果：：GLS估估計結(jié)果果：R2=0.92，DW=2.31MARMA結(jié)果果：(-8.63)(15.3)(6.46)(-2.16)R2=0.99，DW=1.979、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。07:27:3407:27:3407:2712/24/20227:27:34AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。12月-2207:27:3407:27Dec-2224-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。07:27:3407:27:3407:27Saturday,December24,202213、乍見翻翻疑夢，，相悲各