時(shí)間序列模型課件

《Econometrics》

《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》

攸頻

nkeconometrics@126.com

南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所

第十二章時(shí)間序列模型

§12.1時(shí)間序列定義§12.2時(shí)間序列模型的分類§12.3時(shí)間序列模型的建立§12.4時(shí)間序列模型的識(shí)別§12.5時(shí)間序列模型的估計(jì)§12.6時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)§12.7時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)§12.8案例分析§12.9回歸與ARMA組合模型時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。

注意序列的平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，應(yīng)先通過(guò)差分使其平穩(wěn)后，再建立時(shí)間序列模型。估計(jì)ARMA模型方法是極大似然法。對(duì)于給定的時(shí)間序列，模型形式的選擇通常并不是惟一的。在實(shí)際建模過(guò)程中經(jīng)驗(yàn)越豐富，模型形式選擇就越準(zhǔn)確合理。ARIMA模型的特點(diǎn)讓數(shù)據(jù)自己說(shuō)話（第3版282頁(yè)）當(dāng)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型體系§12.1時(shí)間序列定義一、隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列二、平穩(wěn)性三、非平穩(wěn)性四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子五、兩種基本的隨機(jī)過(guò)程：白噪聲和隨機(jī)游走

隨機(jī)過(guò)程：隨時(shí)間由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，用{xt，t∈T}表示，簡(jiǎn)記為{xt}或xt。時(shí)間序列：隨機(jī)過(guò)程的一次觀測(cè)結(jié)果(一次實(shí)現(xiàn)),時(shí)間序列中的元素稱為觀測(cè)值。時(shí)間序列也用{xt，t∈T}表示，簡(jiǎn)記為{xt}或xt。假設(shè)樣本觀測(cè)值來(lái)自無(wú)窮隨機(jī)變量序列那么這個(gè)無(wú)窮隨機(jī)序列稱為隨機(jī)過(guò)程。

一、隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列（第3版282頁(yè)）隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系

協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程（covariancestationaryprocess）

如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt滿足以下性質(zhì)，(1)均值：E(xt)=(常數(shù))(2)方差：var(xt)=2

(常數(shù))(3)自協(xié)方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一種更為簡(jiǎn)便的方法是用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述自協(xié)方差，即通過(guò)自協(xié)方差除以方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后而得到ρk=rk/r0。）這時(shí)稱xt是協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程，也稱寬平穩(wěn)或弱平穩(wěn)過(guò)程。

平穩(wěn)過(guò)程指隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化。直觀上，平穩(wěn)的時(shí)間序列可看作一條圍繞均值上下波動(dòng)的曲線。二、平穩(wěn)性（stationary）單整過(guò)程（unitrootprocess）三、非平穩(wěn)性（non-stationary）非平穩(wěn)過(guò)程指隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。這些非平穩(wěn)的時(shí)間序列經(jīng)過(guò)差分變化以后，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)的。

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，如果必須經(jīng)過(guò)d次差分之后才能變換成為一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)程，而當(dāng)進(jìn)行d-1次差分后仍是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，則稱此隨機(jī)過(guò)程具有d階單整性，記為檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性是建模的基礎(chǔ)！差分指時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算。一階差分可表示為：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt

其中稱為一階差分算子；滯后算子：用L表示定義一階滯后算子為：Lxt=xt-1k階滯后算子定義為：Lnxt=xt-n

四、補(bǔ)充：差分算子與滯后算子1.白噪聲聲（whitenoise）過(guò)程程若隨機(jī)過(guò)程{xt}(tT)滿足以下下條件則稱為為白噪聲過(guò)程程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)T,k0五、兩種基本本的隨機(jī)過(guò)程程a.由白噪聲過(guò)程程產(chǎn)生的時(shí)間間序列b.日元對(duì)對(duì)美元匯率的的收益率白噪聲是平穩(wěn)穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程程經(jīng)典線性回歸歸對(duì)殘差的要要求是一個(gè)白白噪聲過(guò)程（第3版283頁(yè)）2.隨機(jī)機(jī)游走（randomwalk））過(guò)程對(duì)于xt=xt-1+ut，若ut為白噪聲過(guò)程程，稱xt為隨機(jī)游走過(guò)過(guò)程。隨機(jī)游走過(guò)程程的均值為零，方方差為無(wú)限大大。xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=隨機(jī)游走過(guò)程程是非平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)過(guò)程。對(duì)隨機(jī)游走進(jìn)進(jìn)行一階差分分，可將其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過(guò)過(guò)程。xt=xt-xt-1=ute.由隨機(jī)游走走過(guò)程產(chǎn)生生時(shí)間序列列f.日元對(duì)美元元匯率（第3版291頁(yè)））§12.2時(shí)間間序列模型型的分類一、自回歸歸過(guò)程AR(p)二、移動(dòng)平平均過(guò)程MA(q)三、自回歸歸移動(dòng)平均均過(guò)程ARMA(p,q）四、單整自自回歸移動(dòng)動(dòng)平均過(guò)程程ARIMA(p,d,q)一、自回歸過(guò)過(guò)程AR(p)1.p階自回歸過(guò)程程AR(p)xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut其中：i,i=1,……p是自回歸參數(shù)數(shù)，ut是白噪聲過(guò)程程。xt是由它的p個(gè)滯后變量的的加權(quán)和以及ut相加而成。上式用滯后算算子表示為：：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=L)xt=utL)=1-1L-2L2-…-pLp稱為特征多項(xiàng)項(xiàng)式或自回歸歸算子平穩(wěn)性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1––Gpz)=0的所有根根的絕絕對(duì)值值都大大于1，則AR(p)是一一個(gè)平平穩(wěn)的的隨機(jī)機(jī)過(guò)程程。自回歸歸過(guò)程程的變變量xt，僅僅依依賴于于它的的各個(gè)個(gè)前期期的值值再加加上一一個(gè)誤誤差項(xiàng)項(xiàng)。之所以以稱之之為特征方方程，，是因?yàn)闉樗母鶝Q決定了了過(guò)程程xt的特征征。（第3版284頁(yè)））（第3版284頁(yè)））2.AR(1)過(guò)過(guò)程分分析xt=1xt-1+ut平穩(wěn)性性的條條件是是特征征方程程(1-1L)=0根的的絕對(duì)對(duì)值必必須大大于1，滿滿足|1/1|1，也也就是是|1|<1xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短記憶過(guò)程程）因?yàn)閡t是一個(gè)白白噪聲過(guò)過(guò)程，所所以對(duì)于于平穩(wěn)的的AR(1)過(guò)過(guò)程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12u2+14u2+…=上式說(shuō)明明若保證證xt平穩(wěn)，必必須保證證|1|<1。中國(guó)旅游游人數(shù)差差分序列列（第3版版284頁(yè)）在Equationspecification對(duì)話話框輸入入：D(Y)CAR(1)（第3版版286頁(yè)）習(xí)題1為了驗(yàn)證證這一性性質(zhì)，首首先將yt-1用滯后算算子表示示Lytyt=Lyt+utyt-Lyt=ut（1-L）yt=ut特征方程為：：1-z=0其中有根z=1落在單位位圓上，而不不是單位圓之之外。該過(guò)程是非平平穩(wěn)的，它是是隨機(jī)游走過(guò)過(guò)程。下面的模型是是平穩(wěn)的嗎？？yt=yt-1+utxt=1xt-1+2xt-2+ut平穩(wěn)性的條件件是特征方程程1-1L-2L2=0的的兩兩個(gè)個(gè)根根在在單單位位圓圓外外：：3.AR(2)過(guò)過(guò)程程分分析析2+1<12-1<1|2|<1解得得：：（第第3版版286頁(yè)頁(yè)））4.AR(p)的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性條條件件(1)AR(p)平平穩(wěn)穩(wěn)性性的的必必要要條條件件是是(p個(gè)自自回回歸歸系系數(shù)數(shù)之之和和小小于于1)：1+2++p<1(2)AR(p)平平穩(wěn)穩(wěn)性性的的充充分分條條件件是是特特征征方方程程的的根根在在單單位位圓圓之之外外。。判斷斷根根的的可可能能情情況況1.q階移移動(dòng)動(dòng)平平均均過(guò)過(guò)程程MA(q)xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中：1,2,…,q是回歸參參數(shù)，ut為白噪聲聲過(guò)程。。xt是由q+1個(gè)ut和ut滯后項(xiàng)的的加權(quán)和和構(gòu)造而成成?！耙苿?dòng)””是指隨隨著時(shí)間間t而變化，，“平均均”是指指加權(quán)和和之意。。任何一個(gè)個(gè)MA(q)都是由由q+1個(gè)個(gè)白噪聲聲變量的的加權(quán)和和組成，，所以任何一個(gè)個(gè)移動(dòng)平平均過(guò)程程都是平平穩(wěn)的。與移動(dòng)平平均過(guò)程程相聯(lián)系系的一個(gè)個(gè)重要概概念是可逆性。二、移動(dòng)動(dòng)平均模模型MA(q)對(duì)于一個(gè)個(gè)移動(dòng)平平均模型型，yt僅僅是白白噪聲過(guò)過(guò)程的線線性組合合，所以依依賴于當(dāng)當(dāng)期和先先前時(shí)期期的白噪噪聲擾動(dòng)動(dòng)項(xiàng)的值值。（第3版版286頁(yè)）

移動(dòng)過(guò)程具有可逆性的條件是：可逆性條條件防止止了在AR（∞∞）下出出現(xiàn)的發(fā)發(fā)散性。。（第3版版287頁(yè)）2.MA(q)的可逆逆性條件件移動(dòng)平均均過(guò)程具具有可逆逆性的條條件是特特征方程程：z)=(1+1z+2z2+…+qzq)=0的的全部根根的絕對(duì)對(duì)值必須須大于1。注意：對(duì)對(duì)于無(wú)限限階的移移動(dòng)平均均過(guò)程xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q+…=ut(1+1L+2L2+…)方差為為：Var(xt)=很明顯顯，雖雖然有有限階階MA過(guò)程程都是是平穩(wěn)穩(wěn)的，，但對(duì)對(duì)于無(wú)無(wú)限階階MA過(guò)程程還須須另加加約束束條件件才能能保證證其平平穩(wěn)性性，即即{xt}的方方差必必須為為有有限值值，該該條件件為：：（第3版288頁(yè)））3.MA(1)過(guò)過(guò)程分析xt=(1+1L)ut具有可逆性性的條件是是（1+1L)=0的根根在單位圓圓之外，即即|1/1|>1,或|1|<1。。當(dāng)|1|<1時(shí)時(shí)，MA(1)過(guò)程程應(yīng)變換為為ut=(1+1L)–1xt=(1-1L+12L2-13L3+…)xt這是一個(gè)無(wú)限階的以以幾何衰減為權(quán)數(shù)的自自回歸過(guò)程程。對(duì)于MA(1)過(guò)程程有E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut–1)=(1+12)u2（第3版288頁(yè)））（第3版287頁(yè)））不同參數(shù)的的移動(dòng)平均均過(guò)程：4.自自回歸與移移動(dòng)平均過(guò)過(guò)程的關(guān)系系(1)一一個(gè)平穩(wěn)的的AR(p)過(guò)程：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=ut可以轉(zhuǎn)換為為一個(gè)無(wú)限限階的移動(dòng)動(dòng)平均過(guò)程程：xt=(1-1L-2L2-…-pLp)-1ut=L)-1ut(2)一個(gè)可逆的的MA(p)過(guò)程：xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut可以轉(zhuǎn)換成成一個(gè)無(wú)限限階的自回回歸過(guò)程：：(1+1L+2L2+…+qLq)-1xt=L)-1xt=ut(3)對(duì)對(duì)于AR(p)過(guò)程只需需考慮平穩(wěn)穩(wěn)性問(wèn)題，，條件是L)=0的根根（絕對(duì)值值）必須大大于1。不不必考慮可可逆性問(wèn)題題。(4)對(duì)對(duì)于MA(q)過(guò)程只需需考慮可逆逆性問(wèn)題，，條件是L)=0的根根（絕對(duì)值值）必須大大于1，不不必考慮平平穩(wěn)性問(wèn)題題。自回歸移動(dòng)動(dòng)平均（autoregressivemovingaverage）過(guò)程:其平穩(wěn)性依依賴于自回回歸部分:(L)=0的根全部部在單位圓圓之外。其可逆性依依賴于移動(dòng)動(dòng)平均部分分：(L)=0的根全部部在單位圓圓之外。實(shí)際中最常常用的是ARMA(1,1)過(guò)程:xt-1xt-1=ut+1ut-1(1-1L)xt=(1+1L)ut只有有當(dāng)當(dāng)–1<1<1和和––1<1<1時(shí)，，上述述模模型型才才是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，可可逆逆的的。。xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q三、自回回歸歸移移動(dòng)動(dòng)平平均均過(guò)過(guò)程程ARMA(p,q)（第第3版版288頁(yè)頁(yè)））四、、單單整整自自回回歸歸移移動(dòng)動(dòng)平平均均過(guò)過(guò)程程ARIMA(p,d,q)根據(jù)據(jù)ARMA特特征征方方程程(L)=0的的根取取值值不不同同，，分分為為三三種種情情形形：：(1)若若全部部根根取取值值在在單單位位圓圓之之外外，，則則該該過(guò)過(guò)程程是是平穩(wěn)的；(2)若某某個(gè)根或全部部根在單位圓圓之內(nèi)，則該該過(guò)程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如，xt=1.3xt-1+ut（特征方程的的根=1/1.3=0.77）上式兩側(cè)同減減xt-1得：xt=0.3xt-1+ut（仍然非平穩(wěn)穩(wěn)）。(3)如果果特征方程的的若干根取值值恰好在單位位圓上，則這這種根稱為單位根，這種種過(guò)程也是非平穩(wěn)的。定義：假設(shè)一個(gè)隨機(jī)機(jī)過(guò)程含有d個(gè)單位根，其其經(jīng)過(guò)d次差分之后可可以變換為一一個(gè)平穩(wěn)的自自回歸移動(dòng)平平均過(guò)程。則該隨機(jī)過(guò)過(guò)程被稱為單整自回歸移移動(dòng)平均過(guò)程程ARIMA(p,d,q)。（第3版290頁(yè)）考慮隨機(jī)過(guò)程程的一般表達(dá)達(dá)式：(L)dyt=(L)ut其中中(L)是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的自自回回歸歸算算子子，，(L)d為廣廣義義自自回回歸歸算算子子，，(L)是是可可逆逆的的移移動(dòng)動(dòng)平平均均算算子子。。若取取xt=dyt，則則上上式式可可表表示示為為:(L)xt=(L)ut即yt經(jīng)過(guò)過(guò)d次差差分分后后，，可可用用一一個(gè)個(gè)平平穩(wěn)穩(wěn)的的、、可可逆逆的的ARMA過(guò)過(guò)程程xt表示示,稱稱yt為單單整整(單單積積)自自回回歸歸移移動(dòng)動(dòng)平平均均過(guò)過(guò)程程ARIMA(p,d,q)。。當(dāng)p≠0,d=0,q≠0時(shí)時(shí)，，當(dāng)d=0,p=0,q≠0時(shí)時(shí)當(dāng)d=0,p≠0,q=0時(shí)時(shí)，，當(dāng)p=d=q=0時(shí)時(shí)，，ARIMA變變成成ARMA(p,q)過(guò)過(guò)程程;ARIMA變變成成MA(q)過(guò)過(guò)程程;ARIMA變變成成AR(p)過(guò)過(guò)程程;ARIMA變變成成白白噪噪聲聲過(guò)過(guò)程程;幾種種常常見(jiàn)見(jiàn)的的非非平平穩(wěn)穩(wěn)隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程(1)ARIMA(0,1,0)過(guò)過(guò)程程yt=ut其中中p=q=0,d=1(L)=1-1L,(L)=1(2)ARIMA(0,1,1)過(guò)過(guò)程程yt=ut+1ut–1=(1+1L)ut其中中p=0,d=1,q=1,(L)=1,(L)=1+1L(3)ARIMA(1,1,0)過(guò)過(guò)程yt-1yt–1=ut其中p=1,d=1,q=0,(L)=1-1L,(L)=1(4)ARIMA(1,1,1)過(guò)過(guò)程yt-1yt-1=ut+1ut-1或(1-1L)yt=(1+1L)ut其中p=1,d=1,q=1,(L)=1-1L,(L)=1+1L建立時(shí)間序序列ARIMA(p,d,q)模型流程程圖§12.3時(shí)間間序列模型型的建立（第3版302頁(yè)））（第3版302頁(yè)））（第3版301頁(yè)））§12.3時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)1、如何識(shí)別？？估計(jì)結(jié)果為為：Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+vt(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0-1)=15.52、如何估計(jì)？？因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9，故故可以認(rèn)為為模型誤差差序列為非非自相關(guān)序序列。模型參數(shù)都都通過(guò)了顯顯著性t檢驗(yàn)。殘差序列的的相關(guān)圖和和偏相關(guān)圖圖3、如何檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ徒Y(jié)果？？4、如何預(yù)預(yù)測(cè)？如何判別其其是自回歸歸過(guò)程還是是移動(dòng)平均均過(guò)程？如何判別其其過(guò)程的階階數(shù)呢？所謂隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的識(shí)別別，就是對(duì)于一個(gè)平平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)時(shí)間序列列，找出生生成它的合合適的隨機(jī)機(jī)過(guò)程或模模型，即判斷該該時(shí)間序列列是遵循一一個(gè)純AR過(guò)程、還還是遵循一一個(gè)純MA過(guò)程或ARMA過(guò)過(guò)程。所使用的工工具主要是是：自相關(guān)函數(shù)數(shù)(autocorrelationfunction,ACF)偏自相關(guān)函函數(shù)(partialautocorrelationfunction,PACF)1.自自相關(guān)函函數(shù)定義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)過(guò)程{xt}的期望望為常數(shù)，，即E(xt)=其方差也是是常數(shù)：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E[(xt-)2]=x2隨機(jī)變量量xt與xt-k的協(xié)方差差即滯后后k期的自協(xié)方差差為：k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-)(xt-k-)]序列k(k=0,1,…,K)稱為為{xt}的自自協(xié)方差差函數(shù)。。當(dāng)k=0時(shí)時(shí):0=Var(xt)=x2自相關(guān)系系數(shù)：當(dāng)k=0時(shí)時(shí)，有有0=1以滯后期期k為變量的的自相關(guān)關(guān)系數(shù)列列k(k=0,1,…,K)稱為自自相關(guān)函函數(shù)。一、自相相關(guān)函數(shù)數(shù)（ACF）對(duì)于平穩(wěn)穩(wěn)序列有有。當(dāng)1為正時(shí)，，自相關(guān)關(guān)函數(shù)按按指數(shù)衰衰減至零零，這種現(xiàn)象象稱為拖尾。當(dāng)1為負(fù)時(shí)，自相相關(guān)函數(shù)數(shù)正負(fù)交交錯(cuò)地指指數(shù)衰減減至零。圖a.1>>0（經(jīng)濟(jì)問(wèn)問(wèn)題中常常見(jiàn)）圖圖b.-1<<0（經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中中少見(jiàn)）平穩(wěn)AR(1)過(guò)過(guò)程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)：k=1k（k0）2.平平穩(wěn)自回歸過(guò)過(guò)程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)AR(p)過(guò)程的自自相關(guān)函數(shù)根據(jù)特征方程程根取值的不不同，自相關(guān)關(guān)函數(shù)有兩種種不同表現(xiàn)：：當(dāng)根為實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)，自相關(guān)函函數(shù)隨著k的增加呈現(xiàn)指數(shù)衰減；當(dāng)特征方程含含有一對(duì)共軛軛復(fù)根時(shí)，自自相關(guān)函數(shù)按按正弦振蕩形式式衰減。實(shí)際中平穩(wěn)AR過(guò)程的自自相關(guān)函數(shù)常常表現(xiàn)為指數(shù)衰減和正正弦衰減混合形式。圖a.兩個(gè)個(gè)特征根為實(shí)實(shí)根圖圖b.兩個(gè)個(gè)特征根為共共軛復(fù)根注意：當(dāng)根取值遠(yuǎn)離離單位圓時(shí)，，k不必很大，自自相關(guān)函數(shù)就就會(huì)衰減至零零。當(dāng)特征方程的的根接近1時(shí)時(shí)，自相關(guān)函函數(shù)將衰減的的很慢。3.移動(dòng)平平均過(guò)程的自自相關(guān)函數(shù)（1）MA(1)過(guò)過(guò)程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)xt=ut+1ut-1k=E(xtxt-k)=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]當(dāng)k=0時(shí)，，0=E(xtxt)=E[(ut+1ut-1)(ut+1ut-1)]=E(ut2+1utut-1+1utut-1+12ut-12)=(1+12)2當(dāng)k=1時(shí)1=E(xtxt-1)=E[(ut+1ut-1)(ut-1+1ut-2)]=E(utut-1+1ut-12+1utut-2+12ut-1ut-2)=1E(ut-1)2=12當(dāng)k1時(shí)時(shí)，k=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]=0綜合合以以上上三三種種情情形形，，MA(1)過(guò)過(guò)程程自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)為為圖a.10圖b.10MA(1)過(guò)過(guò)程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)具具有有截截尾尾特特征征（（當(dāng)當(dāng)k1時(shí)，k=0））（2）MA(q)過(guò)程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)當(dāng)kq時(shí)，k=0，，說(shuō)明k(k=0,1,…)具有截尾尾特征。。注意此特征可可用來(lái)識(shí)識(shí)別MA(q)過(guò)程的階數(shù)。4.ARMA(p,q)過(guò)程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)ARMA(p,q)過(guò)程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)表現(xiàn)形形式與AR(p)過(guò)程的的自相關(guān)關(guān)函數(shù)相相類似。。根據(jù)模模型中自自回歸部部分的階階數(shù)p以及參數(shù)數(shù)i的不同，，ARMA(p,q)過(guò)程程的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)呈指數(shù)數(shù)衰減和和（或））正弦衰衰減混合合形式。。相關(guān)圖可可以識(shí)別別ARMA過(guò)程程中MA分量階階數(shù)p。5.相相關(guān)關(guān)圖（Autocorrelogram）——估估計(jì)的自自相關(guān)函函數(shù)，樣樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)當(dāng)用樣本本矩估計(jì)計(jì)隨機(jī)過(guò)過(guò)程的自自相關(guān)函函數(shù)，則則稱其為為相關(guān)圖或估計(jì)的自相關(guān)關(guān)函數(shù)：其中，T是時(shí)間序列數(shù)數(shù)據(jù)的樣本容容量。實(shí)際中中T不應(yīng)太小。對(duì)于年度時(shí)間間序列數(shù)據(jù)，，相關(guān)圖一般般取k=15就足足夠了。相關(guān)圖是對(duì)自自相關(guān)函數(shù)的的估計(jì)。由于于MA過(guò)程和和ARMA過(guò)過(guò)程中的MA分量的自自相關(guān)函數(shù)具具有截尾特性性，所以通過(guò)相關(guān)圖可可以估計(jì)MA過(guò)程的階階數(shù)q。相關(guān)圖是識(shí)別別MA過(guò)程階階數(shù)和ARMA過(guò)程中MA分量階數(shù)數(shù)的一個(gè)重要要方法。虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度：ACF和PACF估計(jì)值值的方差近似似為T-1。在觀察相關(guān)關(guān)圖和偏相關(guān)關(guān)圖時(shí)，若ACF和PACF估計(jì)值值的絕對(duì)值超超過(guò)2T-1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差差），就被認(rèn)認(rèn)為是顯著不不為零。二、偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)（PACF）之所以稱“偏偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)”，因?yàn)槊棵恳粋€(gè)回歸系系數(shù)kk恰好表示xt與xt-k在排除了其其中間變量量xt-1,xt-2,…,xt-k+1影響之后的自相關(guān)系系數(shù)。xt=11xt-1+utxt=21xt-1+22xt-2+ut……xt=k1xt-1+k2xt-2+…+kkxt-k+ut1.偏偏自相關(guān)函函數(shù)的定義義2.自自回歸過(guò)程程的偏自相相關(guān)函數(shù)對(duì)于AR(1)過(guò)程程，xt=11xt-1+ut當(dāng)k=1時(shí)，，110；當(dāng)k>1時(shí)，，kk=0。所以AR(1)過(guò)過(guò)程的偏自相關(guān)函函數(shù)特征是是在k=1出現(xiàn)現(xiàn)峰值（11=1）然后截尾尾。圖a.11>0圖b.11<0對(duì)于AR(p)過(guò)程，當(dāng)當(dāng)kp時(shí)，kk0；當(dāng)k>p時(shí)，kk=0。偏自相關(guān)函函數(shù)在滯后后期p以后有截尾尾特性，此特征可用用來(lái)識(shí)別AR(p)過(guò)程的階階數(shù)。注意對(duì)于MA(1)過(guò)程程：xt=ut+1ut-1整理：[1/(1+1L)]xt=ut，(1-1L+12L2-…)xt=ut,xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-…+ut當(dāng)1>0時(shí)，，自回歸系系數(shù)的符號(hào)號(hào)是正負(fù)交交替的；當(dāng)1<0時(shí)，，自回歸系系數(shù)的符號(hào)號(hào)全是負(fù)的的。因?yàn)镸A(1)過(guò)過(guò)程可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為無(wú)限限階的AR過(guò)程，所所以其偏自相關(guān)函函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。3.移移動(dòng)平均過(guò)過(guò)程的偏自自相關(guān)函數(shù)數(shù)圖a.10圖b.10因?yàn)闉槿稳魏魏我灰粋€(gè)個(gè)可可逆逆的的MA(q)過(guò)過(guò)程程都都可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換成成一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)限限階階的的系系數(shù)數(shù)按按幾幾何何遞遞減減的的AR過(guò)過(guò)程程，，所所以以：：MA(q)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)呈呈緩緩慢慢衰衰減減特特征征。ARMA(p,q)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)也也是是無(wú)無(wú)限限延延長(zhǎng)長(zhǎng)的的，，其其表表現(xiàn)現(xiàn)形形式式與與MA(q)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)相相類類似似。。根根據(jù)據(jù)模模型型中中移移動(dòng)動(dòng)平平均均部部分分的的階階數(shù)數(shù)q以及及參參數(shù)數(shù)i的不不同同，，ARMA(p,q)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)呈呈指指數(shù)數(shù)衰衰減減和和（（或或））正正弦弦衰衰減減混混合合形形式式。。4.偏偏相相關(guān)關(guān)圖圖（PartialCorrelogram））對(duì)于于時(shí)時(shí)間間序序列列數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)通通常常是是未未知知的的，，可可以以用用樣樣本本估計(jì)偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)。因?yàn)锳R過(guò)程程和ARMA過(guò)程中AR分量的偏自自相關(guān)函數(shù)具具有截尾特性性，所以可利用偏相關(guān)關(guān)圖估計(jì)自回回歸過(guò)程的階階數(shù)p。實(shí)際中對(duì)于偏偏相關(guān)圖取k=15就足足可以了。ACF和PACF估計(jì)值值的方差近似似為T-1。所以在觀察察相關(guān)圖和偏偏相關(guān)圖時(shí)，，若ACF和和PACF估估計(jì)值的絕對(duì)對(duì)值超過(guò)2T-1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差差），就被認(rèn)認(rèn)為是顯著不不為零。用EViews計(jì)算估計(jì)計(jì)的自相關(guān)函函數(shù)和偏自相相關(guān)函數(shù)。點(diǎn)點(diǎn)擊View選correlogram功能。虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度：特征總結(jié)自回歸過(guò)程的的特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)呈呈幾何衰減；；其偏自相關(guān)函函數(shù)的非零個(gè)個(gè)數(shù)就等于AR模型的階階數(shù)。移動(dòng)平均過(guò)程程的特點(diǎn)：其自相關(guān)函數(shù)數(shù)的非零個(gè)數(shù)數(shù)等于MA模模型的階數(shù)；；偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)呈幾何衰減減。自回歸移動(dòng)平平均過(guò)程的特特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)呈呈幾何衰減；；偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)呈幾何衰減減。AR(1)實(shí)根AR(2)實(shí)實(shí)根AR(2)復(fù)復(fù)根MA(1)MA(2)MA(2)※※AR(1)AR(2)AR(2)MA(1)實(shí)根MA(2)實(shí)根根MA(2)復(fù)根AR(1)序序列與相關(guān)圖圖MA(1)序序列與相關(guān)圖圖（第3版304頁(yè)）ARIMA模型識(shí)別舉例例習(xí)題Yt的差分變量Yt的自相關(guān)圖和和偏自相關(guān)圖圖如下，Yt有可能是個(gè)什什么形式的過(guò)過(guò)程？寫出Yt的表達(dá)式。能能事先說(shuō)出參參數(shù)的符號(hào)嗎嗎？§12.4時(shí)間序列模型型的估計(jì)對(duì)于時(shí)間序列列模型，一般般采用極大似然法估估計(jì)參數(shù)。需要說(shuō)明的是是，在上述模模型的平穩(wěn)性性、識(shí)別與估估計(jì)的討論中中，ARMA(p,q)模型中均未未包含常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)（漂移項(xiàng)））。如果包含漂移移項(xiàng)，該漂移移項(xiàng)并不影響響模型的原有有性質(zhì)，因?yàn)闉橥ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)牡淖冃危蓪祈?xiàng)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換換為不含漂移移項(xiàng)的模型。。（第3版293頁(yè)）Wold分解定理

（第3版第293頁(yè)）Wold分解定理

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Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)在Equationspecification對(duì)話框框輸入：D(Y)CAR(1)注意：EViews輸出結(jié)果表表示的是對(duì)序序列(Dyt-0.142862)估估計(jì)AR(1)模型Dyt=0.0076+0.2627(Dyt-1-0.0076)+0.2767(Dyt-3-0.0076)+ut(7.4)(3.0)(3.2)在Equationspecification對(duì)話框框輸入：D(Y)CAR(1)AR(3)dLnyt=0.0271+ut+0.5963ut-1(2.1)(5.6)在Equationspecification對(duì)話框框輸入：D(Y)CMA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.0367)+ut+0.4758ut-1(0.7)(6.7)(2.8)在Equationspecification對(duì)話框框輸入：D(Y)CAR(1)MA(1)習(xí)題習(xí)題

§12.5時(shí)間序列模型型的檢驗(yàn)估計(jì)完模型后后，應(yīng)對(duì)估計(jì)計(jì)結(jié)果進(jìn)行診診斷與檢驗(yàn)。。估計(jì)的模型是是否成立主要要從以下幾個(gè)個(gè)方面檢查：：①模型參數(shù)數(shù)估計(jì)量必須須通過(guò)t檢驗(yàn)；②模型的殘差差序列必須通通過(guò)Q檢驗(yàn)；③模型的全部特征根的的倒數(shù)都必須須在單位圓以以內(nèi)（自回歸、、移動(dòng)平均兩兩部分滿足平平穩(wěn)性和可逆逆性）。同時(shí)也要盡量量做到：④模模型結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)當(dāng)盡量簡(jiǎn)練；；⑤參數(shù)穩(wěn)定定性要好；⑥⑥預(yù)測(cè)精度要要高。殘差序序列的的Q檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)的的零假假設(shè)是是H0：1=2=……=K=0即模型型誤差差項(xiàng)的的K階自相相關(guān)系系數(shù)全全為零零，誤誤差項(xiàng)項(xiàng)是一一個(gè)白白噪聲聲過(guò)程程。Q統(tǒng)計(jì)量量定義義為：：其中，，T表示樣樣本容容量，，rk表示用用殘差差序列列計(jì)算算的自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)值，，K表示自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)的個(gè)個(gè)數(shù)，，p表示模模型自自回歸歸階數(shù)數(shù)，q表示移移動(dòng)平平均階階數(shù)。。計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量量的值值。顯顯然若若殘差差序列列不是是白噪噪聲，，殘差差序列列中必必含有有其他他成份份，自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)不等等于零零，則則Q值將很很大。。反之之Q值將很很小。。判別規(guī)規(guī)則是是：若Q<2(K-p-q)，則接受受H0。若Q>2(K-p-q)，則拒絕絕H0。因?yàn)镼(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9可以認(rèn)認(rèn)為模模型誤誤差序序列為為非自自相關(guān)關(guān)序列列。設(shè)對(duì)時(shí)時(shí)間序序列樣樣本{xt},t=1,2,……,T，所擬擬合的的模型型是ARMA(1,1)xt=1xt-1+ut+1ut-1則理論論上T+1期xt的值為為：xT+1=1xT+uT+1+1uT上式中1,1和uT用其估計(jì)值值代替,uT+1未知，但E(uT+1)=0，故取取uT+1=0，那么，xT+1的實(shí)際預(yù)測(cè)測(cè)式為：理論上xT+2的預(yù)測(cè)式是是：xT+2=1xT+1+uT+2+1uT+1，此時(shí)仍取取uT+1=0uT+2=0，則則xT+2的預(yù)測(cè)式是是：與此類推，，xT+3的預(yù)測(cè)式是是：隨著預(yù)測(cè)期期的加長(zhǎng)，，預(yù)測(cè)式中中移動(dòng)平均均項(xiàng)逐步淡出預(yù)測(cè)模型，，預(yù)測(cè)式變變成了純自自回歸形式式?！?2.6時(shí)間序列模模型的預(yù)測(cè)測(cè)對(duì)于MA(q)過(guò)程，，當(dāng)預(yù)測(cè)期期超過(guò)q時(shí)，預(yù)測(cè)值值等于零。。若上面所用用的xt是一個(gè)差分分變量，設(shè)設(shè)yt=xt，則得到的的預(yù)測(cè)值相當(dāng)當(dāng)于,(t=T+1,T+2,……)。。因?yàn)閥t=yt-1+yt所以原序列列T+1期預(yù)測(cè)測(cè)值應(yīng)按下下式計(jì)算其中是是相應(yīng)上一一步的預(yù)測(cè)測(cè)結(jié)果。file:li-12-1file:5arma07案例1（中中國(guó)人口時(shí)時(shí)間序列模模型）從人口序列列圖可以看看出，我國(guó)國(guó)人口總水水平除在1960和和1961年出現(xiàn)回回落外，其其余年份基基本上保持持線性增長(zhǎng)長(zhǎng)趨勢(shì)。51年間平平均每年增增加人口1423.06萬(wàn)人人，年平均均增長(zhǎng)率為為16.8‰。由于于總?cè)丝跀?shù)數(shù)逐年增加加，實(shí)際上上的年人口口增長(zhǎng)率是是逐漸下降降的。把51年分為為兩個(gè)時(shí)期期，即改革革開(kāi)放以前前時(shí)期和改改革開(kāi)放以以后時(shí)期，，則前一個(gè)個(gè)時(shí)期的年年平均增長(zhǎng)長(zhǎng)率為20‰，后一一個(gè)時(shí)期的的年平均增增長(zhǎng)率為12.58‰。從人人口序列的的變化特征征看，這是是一個(gè)非平平穩(wěn)序列。。中國(guó)人口序序列中中國(guó)人口口一階差分分序列（第3版310頁(yè)））人口序列yt的相關(guān)圖，，偏相關(guān)圖圖人口差分序序列Dyt的相關(guān)圖和和偏相關(guān)圖圖表達(dá)式是Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9（1）t檢驗(yàn)通過(guò)；；（2）Q檢驗(yàn)通過(guò)；；（3）特特征根倒數(shù)數(shù)在單位圓圓之內(nèi)EViews估計(jì)結(jié)結(jié)果是(Dyt-0.1429)的的AR(1)過(guò)程估估計(jì)結(jié)果，，而非Dyt的AR(1)過(guò)程估估計(jì)結(jié)果。。其中0.1429是用AR(1)模模型估計(jì)的的序列Dyt的均值，其其含義是51年間平平均年增加加人口數(shù)是是1428.62萬(wàn)萬(wàn)人。用樣樣本計(jì)算的的均值是0.1431。Q(10)=5.2。因?yàn)镼(10)=5.2<Q0.05(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9，所以以模型的隨隨機(jī)誤差序序列也達(dá)到到了非自相相關(guān)的要求求。特征根倒數(shù)在在單位圓之內(nèi)內(nèi)差分序列Dyt中的常數(shù)，在原序列yt中是斜率。（1）在打開(kāi)開(kāi)工作文件的的基礎(chǔ)上，從從EViews主菜單中中點(diǎn)擊Quick鍵，選選擇EstimateEquation功能能。會(huì)彈出Equationspecification對(duì)話框。。輸入1階自自回歸時(shí)間序序列模型估計(jì)計(jì)命令如下：：D(Y)CAR(1)其中C表示漂漂移項(xiàng)。點(diǎn)擊擊OK鍵。（2）模型中中若含有移動(dòng)動(dòng)平均項(xiàng)，EViews命令用MA(q)表示。（3）點(diǎn)擊時(shí)時(shí)間序列模型型估計(jì)結(jié)果窗窗口中的View鍵，選選ResidualTests,Correlogram-Q-statistics功能，在在隨后彈出的的對(duì)話框中指指定相關(guān)圖的的最大滯后期期，比如選15，點(diǎn)擊OK鍵，即可可得到模型殘殘差序列的相相關(guān)與偏相關(guān)關(guān)圖以及Q統(tǒng)計(jì)量。（4）點(diǎn)擊時(shí)時(shí)間序列模型型估計(jì)結(jié)果窗窗口中的Forcast鍵，在隨后后彈出的對(duì)話話框中做出適適當(dāng)選擇，就就可以得到y(tǒng)t和Dyt的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)態(tài)、結(jié)構(gòu)、非非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)值值。附錄：用EViews估估計(jì)時(shí)間序列列模型的方法法點(diǎn)擊時(shí)間序列列模型估計(jì)結(jié)結(jié)果窗口中的的Forcast鍵，在在隨后彈出的的對(duì)話框中做做出適當(dāng)選擇擇，就可以得得到y(tǒng)t和Dyt的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)預(yù)測(cè)值，結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)和非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)值。12.788EViews7案例2天津津市GDP模模型（1978-2008）2009年天天津GDP的的預(yù)測(cè)值為：：7859.987億元元2009年天天津GDP的的預(yù)測(cè)值為：：7983.388億元元用1872-1994年年的日本人口口數(shù)（Y，單單位：億人））序列的差分分序列（記作作：DY）得得估計(jì)模型和和模型殘差序序列的相關(guān)圖圖。寫出模型的估估計(jì)式。解釋常數(shù)項(xiàng)的的實(shí)際含義。。求模型的漂移移項(xiàng)的值。寫出估計(jì)模型型對(duì)應(yīng)的特征征方程。計(jì)算特征根倒倒數(shù)-0.24+0.56i的模模等于多少。。說(shuō)明此模型建建立的是否合合理？如果估估計(jì)結(jié)果為真真，Dyt的自相關(guān)函數(shù)數(shù)是拖尾的，，還是截尾的的？已知Dy1994=0.0027,Dy1992=0.00409,y1994=1.25034,試試對(duì)1995年的日本人人口總數(shù)Y1995做樣本外靜態(tài)態(tài)預(yù)測(cè)。并計(jì)計(jì)算預(yù)測(cè)誤差差（給定y1995=1.25569億））課堂練習(xí)用組合模型重重新考慮第六六章案例分析析Yt和Xt散點(diǎn)圖殘殘差圖注意：（1）R2值有所下降。。不應(yīng)該不相相信估計(jì)結(jié)果果。原因是兩兩個(gè)回歸式所所用變量不同同，所以不可以以直接接比較較確定定系數(shù)數(shù)R2的值。（2））兩種種估計(jì)計(jì)方法法的回回歸系系數(shù)有有差別別。計(jì)計(jì)量經(jīng)經(jīng)濟(jì)理理論認(rèn)認(rèn)為回回歸系系數(shù)廣義最最小二二乘估估計(jì)量量?jī)?yōu)于于誤差差項(xiàng)存存在自自相關(guān)關(guān)的OLS估計(jì)計(jì)量。所以以0.6782應(yīng)該該比0.7118更更可信信。特特別是是最近近幾年年，天天津市市城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居民民人均均收入入的人人均消消費(fèi)邊邊際系系數(shù)為為0.6782更可可信。。（3））用EViews生生成新新變量量的方方法：從工作作文件件主菜菜單中中點(diǎn)擊擊Quick鍵鍵，選選擇GenerateSeries……功能能。打打開(kāi)生生成序序列（（GenerateSeriesbyEquation））對(duì)話話框。。在對(duì)對(duì)話框框中輸輸入如如下命命令（（每次次只能能輸入入一個(gè)個(gè)命令令），，Y=CONSUM/PRICEX=INCOME/PRICE按OK鍵鍵。。變變量量Y和和X將將自自動(dòng)動(dòng)顯顯示示在在工工作作文文件件中中。。組合合模模型型克克服服自自相相關(guān)關(guān)組合合模模型型結(jié)結(jié)果果：：GLS估估計(jì)計(jì)結(jié)結(jié)果果：：R2=0.95，，DW=2.31MARMA結(jié)結(jié)果果：：(3.54)(19.6)(4.34)R2=0.9938，，DW=2.25隨機(jī)機(jī)誤誤差差項(xiàng)項(xiàng)已已不不存存在在自自相相關(guān)關(guān)。。例6.2天天津津市市保保費(fèi)費(fèi)收收入入和和人人口口的的回回歸歸關(guān)關(guān)系系本案案例例主主要要用用來(lái)來(lái)展展示示當(dāng)當(dāng)模模型型誤誤差差項(xiàng)項(xiàng)存存在在2階階自自回回歸歸形形式式的的自自相相關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)，，怎怎樣樣用用廣廣義義差差分分法法估估計(jì)計(jì)模模型型參參數(shù)數(shù)。。1967~1998年年天天津津市市的的保保險(xiǎn)險(xiǎn)費(fèi)費(fèi)收收入入（（Yt，萬(wàn)萬(wàn)元元））和和人人口口（（Xt，萬(wàn)萬(wàn)人人））數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)散散點(diǎn)點(diǎn)圖圖見(jiàn)見(jiàn)圖圖。。Yt與Xt的變變化化呈呈指指數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系。。對(duì)對(duì)Yt取自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)。?？煽梢砸栽谠贚nYt與Xt之間間建建立立線線性性回回歸歸模模型型:LnYt=0+1Xt+utYt和Xt散點(diǎn)圖LnYt和Xt散點(diǎn)圖組合模型型克服自自相關(guān)組合模型型結(jié)果：：GLS估估計(jì)結(jié)果果：R2=0.92，DW=2.31MARMA結(jié)果果：(-8.63)(15.3)(6.46)(-2.16)R2=0.99，DW=1.979、靜夜四無(wú)無(wú)鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、雨中黃葉樹(shù)樹(shù)，燈下白頭頭人。。07:27:3407:27:3407:2712/24/20227:27:34AM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見(jiàn)見(jiàn)頻。。12月-2207:27:3407:27Dec-2224-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。07:27:3407:27:3407:27Saturday,December24,202213、乍見(jiàn)翻翻疑夢(mèng)，，相悲各