信號(hào)與系統(tǒng)第5章-拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)課件

第5章拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)引

言5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3第5章拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)引言5.1拉普拉斯變換5單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4系統(tǒng)函數(shù)5.5模擬濾波器設(shè)計(jì)簡介5.6單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4系統(tǒng)函數(shù)5.5模擬濾波5.1引

言

在前面幾章中，我們介紹了信號(hào)與系統(tǒng)分析中的時(shí)域分析技術(shù)與頻域分析技術(shù)，這兩種分析工具是日常應(yīng)用中最為常用的，尤其是頻域分析技術(shù)。5.1引言在前面幾章中，我們

實(shí)際上，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)使我們能夠用正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來了解系統(tǒng)對非周期信號(hào)的響應(yīng)，物理概念非常清晰，因此在信號(hào)分析、系統(tǒng)頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬等問題上，成為不可或缺的必要分析工具。實(shí)際上，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)使

但是，任何一種分析工具都存在其局限性，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)也是如此。

具體來說，它還存在著如下的不足。但是，任何一種分析工具都存在其局限性，（1）對于工程問題中經(jīng)常遇到的兩類因果信號(hào)，即t的指數(shù)函數(shù)et和t的正冪函數(shù)t（＞0），傅里葉變換不存在。一個(gè)典型的例子是工程中極為常見的斜坡信號(hào)t·ε(t)。（1）對于工程問題中經(jīng)常遇到的兩類因果信號(hào)，即t的指數(shù)函數(shù)e（2）在將輸出信號(hào)頻譜求反變換以得到時(shí)域輸出時(shí)，由于傅里葉反變換涉及的是沿虛軸即j軸的無窮積分，往往遇到數(shù)學(xué)上的困難。（2）在將輸出信號(hào)頻譜求反變換以得到時(shí)域輸出時(shí)，由于傅里葉反（3）在線性系統(tǒng)的瞬變響應(yīng)分析問題上，通常存在著非零初始條件，這時(shí)，傅里葉分析技術(shù)將遇到很大的困難。（3）在線性系統(tǒng)的瞬變響應(yīng)分析問題上，通常存在著非零初始條件（4）在傅里葉分析的框架內(nèi)，無法提供系統(tǒng)綜合工具，也即不能用頻域分析工具按給定的指標(biāo)要求確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)。（4）在傅里葉分析的框架內(nèi)，無法提供系統(tǒng)綜合工具，也即不能用5.2拉普拉斯變換5.2.1概念的引入

在工程中遇到的實(shí)際信號(hào)通常為因果信號(hào)，時(shí)間起點(diǎn)t=0作為所考慮問題有意義的參考起點(diǎn)，因此總可假設(shè)t＜0時(shí)的信號(hào)恒為零，這樣，傅里葉變換成為（5-1）5.2拉普拉斯變換5.2.1概念的引入（5-1）

式（5-1）的正確性仍以右端積分的存在為前提。

但對實(shí)際工程中遇到的兩類指數(shù)階信號(hào)，即

（n＞0）和

（＞0），上述積分不可積，因此傅里葉分析技術(shù)將不再有效。式（5-1）的正確性仍以右端積分的存在

究其原因，是因?yàn)樯鲜鰞深愋盘?hào)當(dāng)

時(shí)，信號(hào)幅度不衰減，反而增長，也即信號(hào)不收斂。究其原因，是因?yàn)樯鲜鰞深愋盘?hào)當(dāng)

為克服這一問題，引入收斂因子

（

為實(shí)常數(shù)），構(gòu)成

，這樣如

取得足夠大，就可使

在

時(shí)趨于零，使

滿足絕對可積的條件，從而使其存在傅里葉變換（5-2）為克服這一問題，引入收斂因子（5-2令

，即

，

，式（5-2）成為（5-3）令，即

這樣，式（5-3）將x(t)變換成了復(fù)平面S上的一個(gè)函數(shù)X(s)，稱之為x(t)的拉普拉斯（Laplace）變換。符號(hào)為

。這樣，式（5-3）將x(t)變換成了復(fù)

由式（5-2）可見，顯然收斂因子

中的

越大越正，就越能保證

的傅里葉變換存在。

記

的最小值為

，則當(dāng)

時(shí)，式（5-3）右端的積分收斂。

因此，稱x(t)的拉普拉斯變換的收斂域?yàn)椋?-4）由式（5-2）可見，顯然收斂因子（

如果這一收斂域包含了j軸，也即

，則傅里葉變換

成為拉普

拉斯變換X(s)當(dāng)

軸的一個(gè)特殊情況，

即（5-5）如果這一收斂域包含了j軸，也即（5【例5-1】

求

的拉普拉斯變換。解而前已得到顯然【例5-1】求的拉普5.2.2雙邊拉普拉斯變換

在實(shí)際應(yīng)用中，通常使用單邊拉普拉斯變換。

為了概念的完整性，這一小節(jié)對雙邊拉普拉斯變換及其收斂域做一介紹。

這一知識(shí)在數(shù)字信號(hào)處理課程中討論z變換時(shí)將會(huì)用到。5.2.2雙邊拉普拉斯變換在實(shí)際應(yīng)

定義：對于信號(hào)x(t)（

），稱

為x(t)的雙邊拉普拉斯變換，符號(hào)同前，也為

。（5-6）定義：對于信號(hào)x(t)（【例5-2】

設(shè)信號(hào)可表達(dá)為

求其雙邊拉普拉斯變換?！纠?-2】設(shè)信號(hào)可表達(dá)為【例5-3】

因果信號(hào)

的雙邊拉普拉斯變換與單邊拉普拉斯變換相同，均為

，收斂域也相同，均為

，即右半平面（包括大半或小半，視

而定）?！纠?-3】因果信號(hào)【例5-4】

因果信號(hào)

與非因果信號(hào)

具有相同的雙邊拉普拉斯變換表達(dá)式，但收斂域不同?！纠?-4】因果信號(hào)圖5-1f1(t)、f2(t)的雙邊拉普拉斯變換及其收斂域圖5-1f1(t)、f2(t)的雙邊拉普拉斯變換及其收斂5.2.3拉普拉斯反變換

雙邊拉普拉斯變換的反變換表達(dá)式的推導(dǎo)要用到復(fù)變函數(shù)的很多知識(shí)，這里不予細(xì)述，感興趣的讀者可參看相關(guān)書籍。

反變換的表達(dá)式為（5-9）5.2.3拉普拉斯反變換雙邊拉普拉

式中，

的取值應(yīng)位于X(s)的收斂域內(nèi)，即滿足

。式中，的取值應(yīng)位于X(s)的

式（5-9）通常稱為反演公式，X(s)稱為象函數(shù)，x(t)稱為原函數(shù)。反變換的符號(hào)為

。式（5-9）通常稱為反演公式，X(s)

利用反演公式，可分別求出x(t)的因果部分與非因果部分。

因此，反演公式同樣適用于單邊拉普拉斯反變換。利用反演公式，可分別求出x(t)的因果5.3拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3.1定義與說明

式（5-3）已給出了單邊拉普拉斯變換的定義，這里重寫于下：5.3拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3.1定義與說明圖5-23個(gè)不同的信號(hào)具有相同的單邊拉普拉斯變換圖5-23個(gè)不同的信號(hào)具有相同的單邊拉普拉斯變換【例5-5】

求(t)的拉普拉斯變換。解

取為“0+”時(shí)，取為“0?”時(shí)，，即，即【例5-5】求(t)的拉普拉斯變換。，即，即5.3.2反變換

前已指出，式（5-9）所示的反演公式對信號(hào)的因果部分與非因果部分均適用，因此也適用于單邊拉普拉斯變換的反變換。

但在這種情況下，為了表明所涉及的是因果信號(hào)，拉普拉斯反變換可寫為5.3.2反變換前已指出，式（5-（5-11）（5-11）

從物理意義上講，式（5-11）也可理解為將x(t)視為形如

的幅度隨指數(shù)形式增長或衰減的正弦波的線性組合。從物理意義上講，式（5-11）也可理

但與傅里葉變換相比，X(s)不能像

一樣具有明確的物理意義，因此，X(s)在這個(gè)正弦波線性組合中的作用難

以得到物理解釋。但與傅里葉變換相比，X(s)不能像

事實(shí)上，由于X(s)是一個(gè)復(fù)平面上的函數(shù)，將其視為一個(gè)數(shù)學(xué)上的變換而不強(qiáng)調(diào)其物理意義更易理解。事實(shí)上，由于X(s)是一個(gè)復(fù)平面上的

利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分、留數(shù)定理和約當(dāng)（Jordon）引理等知識(shí)，反變換表達(dá)式（5-11）中原函數(shù)x(t)的計(jì)算可簡化為如下所示的留數(shù)計(jì)算。（5-12）利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分、留數(shù)定

對于因果信號(hào)x(t)，上式中所涉及的留數(shù)是在X(s)的收斂邊界

以左的半個(gè)S平面（包括收斂邊界）中

的奇點(diǎn)處的留數(shù)。

實(shí)際應(yīng)用中，

的奇點(diǎn)通常為極點(diǎn)。

隨著極點(diǎn)階數(shù)的不同，留數(shù)的計(jì)算也不同。對于因果信號(hào)x(t)，上式中所涉及的留（1）若

是

的一階極點(diǎn)，則（5-13）（1）若是的（2）若

是

的p階極點(diǎn)，則（5-14）（2）若是的【例5-6】

求

（

）的拉普拉斯反變換?！纠?-6】求【例5-7】

用部分分式展開求

（

）的拉普拉斯反變換。【例5-7】用部分分式展開求5.3.3兩類重要函數(shù)

在工程問題中，除少數(shù)例外，絕大多數(shù)實(shí)際使用的信號(hào)都可用兩類函數(shù)表示：

①t的指數(shù)函數(shù)；

②t的正冪。

為此，單獨(dú)設(shè)置本小節(jié)對這兩類函數(shù)做一介紹。5.3.3兩類重要函數(shù)在工程問題中1．t的指數(shù)函數(shù)et，其中為常數(shù)，可以為實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)

根據(jù)定義，顯然有（5-15）1．t的指數(shù)函數(shù)et，其中為常數(shù)，可以為實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)推論：（1）令式（5-15）中

，得階躍信號(hào)

的變換為（5-16）推論：（5-16）（2）有始正弦信號(hào)

（5-17）（2）有始正弦信號(hào)（5-17）（3）有始余弦信號(hào)

（5-18）（3）有始余弦信號(hào)（5-18）（4）指數(shù)衰減正弦

（5-19）（4）指數(shù)衰減正弦（5-19）（5）指數(shù)衰減余弦類似指數(shù)衰減正弦情況可得

（5-20）（5）指數(shù)衰減余弦（5-20）

比較（2）、（3）與（4）、（5）還可見（5-21）比較（2）、（3）與（4）、（5）還可

式（5-21）很容易根據(jù)定義進(jìn)行證明。

事實(shí)上，這是單邊拉普拉斯變換的一個(gè)重要性質(zhì)—調(diào)制特性。式（5-21）很容易根據(jù)定義進(jìn)行證明2．t的正冪信號(hào)tn，n為正整數(shù)根據(jù)定義2．t的正冪信號(hào)tn，n為正整數(shù)

繼續(xù)上面的分部積分運(yùn)算得到繼續(xù)上面的分部積分運(yùn)算得到

而斜坡信號(hào)t的變換為故得（5-22）而斜坡信號(hào)t的變換為（5-22）5.3.4單邊拉普拉斯變換的主要性質(zhì)1．線性性若

5.3.4單邊拉普拉斯變換的主要性質(zhì)1．線性性

則對任意常數(shù)a，b有（5-23）則對任意常數(shù)a，b有（5-23）

通常情況下，收斂域?yàn)?/p>

，也即

與

收斂域的公共部分，但若有

信號(hào)對消，收斂域可能會(huì)擴(kuò)大。通常情況下，收斂域?yàn)?．尺度變換若則對

，有從定義出發(fā)即可證明。

（5-24）2．尺度變換若（5-24）3．延時(shí)性質(zhì)若則（5-25）3．延時(shí)性質(zhì)若（5-25）【例5-8】

求零階保持器（S/H）單位沖激響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換?！纠?-9】

求圖5-4（a）所示信號(hào)的拉普拉斯變換?！纠?-8】求零階保持器（S/H）單位沖激響應(yīng)h(t)的圖5-3零階保持器單位沖激響應(yīng)的分解圖5-3零階保持器單位沖激響應(yīng)的分解圖5-4例5-9的信號(hào)及其分解圖5-4例5-9的信號(hào)及其分解4．調(diào)制特性若則（5-26）4．調(diào)制特性若（5-26）

此特性在上一節(jié)（式5-21）已經(jīng)引入，從定義出發(fā)即可驗(yàn)證。

由于其中的常數(shù)

可以為任何實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)，此性質(zhì)非常有用。此特性在上一節(jié)（式5-21）已經(jīng)引入，【例5-10】

根據(jù)利用調(diào)制特性可直接得到【例5-10】根據(jù)5．時(shí)域微分特性若則當(dāng)

可變換時(shí)（5-27）5．時(shí)域微分特性若（5-27）

根據(jù)定義，經(jīng)分部積分操作即可證明此性質(zhì)。

式（5-27）可推廣至高階導(dǎo)數(shù)，這樣，時(shí)域中的微分運(yùn)算經(jīng)變換后將被轉(zhuǎn)換為S域內(nèi)的代數(shù)運(yùn)算。

因此，這一性質(zhì)在求解微分方程中非常有用。根據(jù)定義，經(jīng)分部積分操作即可證明此性【例5-11】

電感器上的電壓

與

電流

在時(shí)域中的關(guān)系為【例5-11】電感器上的電壓與

設(shè)初始電感電流為

，則經(jīng)拉普拉斯變換后，得（5-28）設(shè)初始電感電流為

根據(jù)上式，即可得到圖5-5（b）所示的S域電感模型。

容易看出，經(jīng)變換后，電感電壓與電流在時(shí)域中的微分關(guān)系已轉(zhuǎn)換成了代數(shù)關(guān)系，并計(jì)入了初始狀態(tài)，從而為電路問題的求解帶來了極大的方便。根據(jù)上式，即可得到圖5-5（b）所示圖5-5電感電壓與電流的關(guān)系圖5-5電感電壓與電流的關(guān)系【例5-12】

電容器上的電壓

與電流

在時(shí)域中的關(guān)系為【例5-12】電容器上的電壓與電流

設(shè)電容器上初始電壓為

，則經(jīng)拉普拉斯變換后，有

或即

相應(yīng)的S域電容模型如圖5-6（b）所示。（5-29）設(shè)電容器上初始電壓為圖5-6電容電壓與電流的關(guān)系圖5-6電容電壓與電流的關(guān)系6．時(shí)域積分特性

時(shí)域中對輸入信號(hào)f(t)的積分運(yùn)算可表示為

，如圖5-7所示。6．時(shí)域積分特性時(shí)域中對輸入信號(hào)f(t圖5-7時(shí)域中的積分運(yùn)算圖5-7時(shí)域中的積分運(yùn)算

由于單邊拉普拉斯變換僅關(guān)注因果信號(hào)或信號(hào)的因果部分，積分運(yùn)算成為由于單邊拉普拉斯變換僅關(guān)注因果信號(hào)或信

對上式右端作拉普拉斯變換，有對上式右端作拉普拉斯變換，有

上式右端第1項(xiàng)在

以及

時(shí)均為零，而上式右端第1項(xiàng)在因此，若則有（5-30）因此，若（5-30）

拉普拉斯變換的這一特性把時(shí)域中的積分運(yùn)算也轉(zhuǎn)換成了S域中的代數(shù)運(yùn)算，因此其功用與時(shí)域微分特性一樣，在求解積分—微分方程時(shí)非常有用。拉普拉斯變換的這一特性把時(shí)域中的積分運(yùn)【例5-13】

電容器C上的電壓與電容器中電流的時(shí)域關(guān)系還可表示為

而【例5-13】電容器C上的電壓與電容器中電流的時(shí)域關(guān)系還

因此

對上式兩端作拉普拉斯變換并應(yīng)用時(shí)域積分特性得到

與例5-12所得結(jié)果相同。因此5.3.5卷積定理

1．時(shí)域卷積卷積定理設(shè)則

（

）（

）（5-31）5.3.5卷積定理 1．時(shí)域卷積卷積定理（

式（5-31）稱為時(shí)域卷積定理，其

收斂域?yàn)?/p>

、

的公共部分，通常為

，但如發(fā)生

與

之間極點(diǎn)對消，收斂域有可能會(huì)擴(kuò)大。式（5-31）稱為時(shí)域卷積定理，其

將f2(t)視為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，f1(t)視為輸入，則式（5-31）所示的時(shí)域卷積定理表明，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換是輸入的拉普拉斯變換與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉普拉斯變換之積。將f2(t)視為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，f【例5-14】

求圖5-8所示的半波整流波形x(t)的拉普拉斯變換?！纠?-14】求圖5-8所示的半波整流波形x(t)的拉普圖5-8半波整流波形x(t)圖5-8半波整流波形x(t)圖5-9單個(gè)半周正弦波x1(t)與有始周期沖激串x2(t)圖5-9單個(gè)半周正弦波x1(t)與有始周期沖激串x2(2．復(fù)卷積定理

與時(shí)域卷積定理相對應(yīng)，還有復(fù)頻域卷積定理，也稱復(fù)卷積定理。若則

（

）（

）（5-33）2．復(fù)卷積定理與時(shí)域卷積定理相對應(yīng)，

式中，

位于

與

的公共收斂域內(nèi)。

由于

和

的收斂域分別為

和

，而

相當(dāng)于

，故在p平面上，

應(yīng)位于如下區(qū)域內(nèi)（5-34）式中，位于

為使上式成立，必須有

這就是式（5-33）右端所示的拉普拉斯變換的收斂域。（5-35）為使上式成立，必須有（5-35）5.4單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4.1引言

與傅里葉分析不同，使用拉普拉斯變換技術(shù)分析線性系統(tǒng)時(shí)，所關(guān)注的不僅是系統(tǒng)對輸入激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，而是同時(shí)考慮了系統(tǒng)初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。5.4單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4.1引言

我們將會(huì)看到，在應(yīng)用拉普拉斯變換的過程中，系統(tǒng)初始條件能被自動(dòng)地引入，而且，描述系統(tǒng)的時(shí)域積分—微分方程將被轉(zhuǎn)換為S域中的代數(shù)方程，因而使運(yùn)算與求解變得十分容易。

在求得S域中的系統(tǒng)輸出后，作反變換即可得到時(shí)域輸出。我們將會(huì)看到，在應(yīng)用拉普拉斯變換的過程5.4.2拉普拉斯變換求解線性微分方程

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，LTI系統(tǒng)就是其輸入、輸出關(guān)系可以用常系數(shù)積分—微分方程描述的系統(tǒng)，而這一方程的建立則需根據(jù)基本的物理定律。5.4.2拉普拉斯變換求解線性微分方程

因此，拉普拉斯變換用于LTI系統(tǒng)分析的實(shí)質(zhì)就是用拉普拉斯變換求解線性微分方程。因此，拉普拉斯變換用于LTI系統(tǒng)分析【例5-15】

系統(tǒng)如圖5-10所示，輸入為x(t)，求系統(tǒng)輸出y(t)。【例5-15】系統(tǒng)如圖5-10所示，輸入為x(t)，求系圖5-10例5-15系統(tǒng)圖5-10例5-15系統(tǒng)【例5-16】

系統(tǒng)如圖5-11所示，開關(guān)S由1至2的時(shí)刻為

，求系統(tǒng)的輸出

。【例5-16】系統(tǒng)如圖5-11所示，開關(guān)S由1至2的時(shí)刻圖5-11例5-16的系統(tǒng)圖5-11例5-16的系統(tǒng)

由以上兩個(gè)例子可以看出，用拉普拉斯變換分析線性系統(tǒng)包括了以下4個(gè)步驟。由以上兩個(gè)例子可以看出，用拉普拉斯變換（1）根據(jù)物理定律建立描述系統(tǒng)的微分方程或積分—微分方程。（2）對建立起來的方程中的每一項(xiàng)取拉普拉斯變換，得到在S域中描述系統(tǒng)的代數(shù)方程。（1）根據(jù)物理定律建立描述系統(tǒng)的微分方程或積分—微分方程。（3）從S域方程中求解出系統(tǒng)響應(yīng)的變換，即象函數(shù)。（4）對輸出響應(yīng)的象函數(shù)取拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)的時(shí)域輸出信號(hào)。（3）從S域方程中求解出系統(tǒng)響應(yīng)的變換，即象函數(shù)。5.4.3系統(tǒng)函數(shù)的概念

現(xiàn)對上節(jié)中例5-15和例5-16所得的S域輸出作進(jìn)一步考察。

為了方便，將輸出表達(dá)式（5-38）和式（5-44）重寫于下：5.4.3系統(tǒng)函數(shù)的概念現(xiàn)對上節(jié)信號(hào)與系統(tǒng)第5章--拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)課件

從上面兩個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)不難看出，

和

均表征了系統(tǒng)初始條件引起的激勵(lì)作用，因此如果用

表示這一等效激勵(lì)，上面的兩個(gè)式子均可表為如下的形式：（5-47）從上面兩個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)不難看出，對于式（5-38），有對于式（5-44），有對于式（5-38），有

由式（5-47）可見，若系統(tǒng)輸入x(t)改變，X(s)將隨之改變；若系統(tǒng)初始條件發(fā)生變化，

就將跟著變化。由式（5-47）可見，若系統(tǒng)輸入x(

但H(s)不會(huì)隨系統(tǒng)輸入及初始條件

的改變發(fā)生變化，因此H(s)應(yīng)僅由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定，即H(s)表征了系統(tǒng)本身，反映了系統(tǒng)的全部性質(zhì)。但H(s)不會(huì)隨系統(tǒng)輸入及初始條件

在系統(tǒng)分析中，H(s)被稱為系統(tǒng)函數(shù)，其定義為（5-48）在系統(tǒng)分析中，H(s)被稱為系統(tǒng)函數(shù)

即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)處于零初始條件時(shí)，輸出信號(hào)的拉普拉斯變換Y(s)與輸

入信號(hào)的拉普拉斯變換X(s)之比。即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)處于零初始條件時(shí)，輸出

在系統(tǒng)處于零初始條件或即零狀態(tài)時(shí)，若輸入信號(hào)為

，則其輸出為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，因此式（5-48）表明（5-49）在系統(tǒng)處于零初始條件或即零狀態(tài)時(shí)，若

即系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)構(gòu)成了一對拉普拉斯變換對

若H(s)的收斂域包含了j軸，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（5-50）（5-51）即系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H

但若H(s)的收斂域不包括j軸，則上式不成立。如對于積分器

，其頻率響應(yīng)為但若H(s)的收斂域不包括j軸，則上而系統(tǒng)函數(shù)

這時(shí)式（5-51）所示的關(guān)系并不成立。

初學(xué)者在這一點(diǎn)上很容易出錯(cuò)，因此一定要予以注意。而系統(tǒng)函數(shù)5.4.4電路的S域模型

在5.4.2節(jié)中曾指出，對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，往往涉及列寫聯(lián)立微分方程組的情況，這時(shí)，如能把系統(tǒng)的時(shí)域結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成S域結(jié)構(gòu)，也即構(gòu)成系統(tǒng)的S域模型，就可據(jù)此在S域中直接列寫出描述系統(tǒng)行為的聯(lián)立代數(shù)方程組，從而避免先列寫出聯(lián)立微分方程組后再作變換的

麻煩。5.4.4電路的S域模型在5.4.

在多回路電路的瞬態(tài)響應(yīng)分析中，這一方

法通常十分有效。

對于由集中參數(shù)元件R、L、C構(gòu)成的電路，為要得到電路的S域模型，首先要對這3種電路

元件得到其S域模型，也即要將各元件時(shí)域電壓電流關(guān)系變換為S域的關(guān)系，然后據(jù)此得到各元件在S域中的結(jié)構(gòu)。在多回路電路的瞬態(tài)響應(yīng)分析中，這一方（1）電感器L

其時(shí)域電壓電流關(guān)系為（1）電感器L其時(shí)域電壓電流關(guān)系為

兩邊取拉普拉斯變換得

上式也可寫成（5-52）（5-53）兩邊取拉普拉斯變換得（5-52）（5-53（2）電容器C

其時(shí)域電壓電流關(guān)系為

類似得到S域的電壓電流關(guān)系（5-54）（2）電容器C其時(shí)域電壓電流關(guān)系為（5-54或

對式（5-52）～式（5-55），都可根據(jù)其電壓電流關(guān)系構(gòu)成一個(gè)S域模型。（5-55）或（5-55）

圖5-12所示為電阻器、電感器和電容器的S域元件模型，其中圖5-12（a）已在5.3.4節(jié)中的例5-11、例5-12見過，其中由初始條件引起的等效源為電壓源，而圖5-12（b）則是這里所給出的S域模型，其中等效源為電流源。圖5-12所示為電阻器、電感器和電容圖5-12電阻器、電感器和電容器的S域元件模型圖5-12電阻器、電感器和電容器的S域元件模型

對于電阻器R，則由于其電壓電流具有線性關(guān)系

因此，其S域模型與時(shí)域模型相同，仍為R。對于電阻器R，則由于其電壓電流具有線性

電路遵循的基本物理定律即基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律在S域中的形式不變。電路遵循的基本物理定律即基爾霍夫電流

其原因?yàn)椋@兩個(gè)定律中涉及的量是流入任一節(jié)點(diǎn)的各個(gè)電流之和及任一回路中各支路電壓之和。

根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，這兩個(gè)定律的形式不會(huì)改變，即仍然有其原因?yàn)?，這兩個(gè)定律中涉及的量是流入任

類似地，戴維寧定理和諾頓定理也可直接用于電路的S域模型。（5-56）（5-56）

根據(jù)以上的分析可知，在電路分析中采用S域模型將比采用時(shí)域模型更為合理，一是可以避免列寫積分—微分方程或聯(lián)立微分方程組而后進(jìn)行變換的麻煩，二是可以在S域內(nèi)對電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇或作等效變換，使之與所采用的電路分析方法相適應(yīng)。根據(jù)以上的分析可知，在電路分析中采用

例如，L、C元件的S域電壓源模型便于列寫電路的回路方程，而其電流源模型則便于列寫節(jié)點(diǎn)方程。例如，L、C元件的S域電壓源模型便于【例5-17】

圖5-13所示電路起始于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)斷開。求調(diào)諧回路中電感兩端的電壓uL(t)?！纠?-17】圖5-13所示電路起始于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開圖5-13單調(diào)諧回路中的電感電壓圖5-13單調(diào)諧回路中的電感電壓圖5-14圖5-13電路的初始等效電路圖5-14圖5-13電路的初始等效電路圖5-15t≥0時(shí)圖5-13電路的S域模型圖5-15t≥0時(shí)圖5-13電路的S域模型5.5系統(tǒng)函數(shù)5.5.1系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與零極點(diǎn)5.4.3節(jié)已經(jīng)引入了系統(tǒng)函數(shù)H(s)概念，其定義為5.5系統(tǒng)函數(shù)5.5.1系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與零極點(diǎn)

即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)兩者的拉普拉斯變換之比。

根據(jù)定義不難看出，H(s)也間接地反映了系統(tǒng)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)在時(shí)域上的聯(lián)系。即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，輸出信

因此，系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有量綱的量，物理含義視具體物理問題而定。

另一方面，系統(tǒng)函數(shù)并不能反映出系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，因?yàn)閷ν粋€(gè)物理問題來說，相同的系統(tǒng)函數(shù)也可以用不同的物理結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。因此，系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有量綱的量，物理

但是，只要系統(tǒng)函數(shù)相同，這些不同的物理結(jié)構(gòu)所構(gòu)成的系統(tǒng)就具有相同的輸入輸出關(guān)系。

因此，系統(tǒng)函數(shù)完全表征了系統(tǒng)本身的性質(zhì)。但是，只要系統(tǒng)函數(shù)相同，這些不同的物理

還需指出的是，系統(tǒng)函數(shù)的概念只適用于LTI系統(tǒng)，不適用于時(shí)變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)。

對于任一LTI系統(tǒng)，輸入信號(hào)x(t)與輸出信號(hào)y(t)之間的關(guān)系可用常系數(shù)線性微分方程描述，即還需指出的是，系統(tǒng)函數(shù)的概念只適用于（5-57）（5-57）

因此，LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)具有如下的有理分式函數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)（5-58）因此，LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)具有如下的有

式中，N(s)為s的m階多項(xiàng)式，稱為分子多項(xiàng)式；D(s)為s的n階多項(xiàng)式，稱為分母多項(xiàng)式。

對于實(shí)際系統(tǒng)而言，所有系數(shù)

、

均為實(shí)數(shù)，且通常有

，而式（5-58）表示的系統(tǒng)被稱為n階系統(tǒng)。式中，N(s)為s的m階多項(xiàng)式，稱為

對式（5-58）的分子多項(xiàng)式N(s)和分母多項(xiàng)式D(s)進(jìn)行因式分解，式（5-58）成為（5-59）對式（5-58）的分子多項(xiàng)式N(s)

式中，

是分子多項(xiàng)式N(s)的根，

是分母多項(xiàng)式D(s)的根。

在有多個(gè)根相同時(shí)，也即出現(xiàn)重根或高階根時(shí)，式（5-59）中分子、分母中相應(yīng)的因子項(xiàng)會(huì)發(fā)生歸并。式中，

在

時(shí)，

，因此稱

為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零

點(diǎn)；在

時(shí)，

，因此稱

為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)。

在N(s)或D(s)有重根時(shí)，稱H(s)

有高階零點(diǎn)或高階極點(diǎn)。在時(shí)，

式（5-59）表明，若系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)已知時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)已被決定，至多只差一個(gè)常數(shù)比例因子。式（5-59）表明，若系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)

由于這一常數(shù)比例因子的作用不隨時(shí)域參數(shù)t而改變，故不會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和行為，因此，系統(tǒng)性質(zhì)也就完全取決于系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)。由于這一常數(shù)比例因子的作用不隨時(shí)域參數(shù)

把系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)描繪在S平面中，用“〇”標(biāo)記零點(diǎn)，用“×”標(biāo)記極點(diǎn)，就得到了系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，簡稱零極點(diǎn)圖。把系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)描繪在S平面中，5.5.2極點(diǎn)分析

系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)包含了系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)形式及穩(wěn)定性的信息，本小節(jié)對此做一分析。

由于實(shí)際應(yīng)用中遇到的系統(tǒng)函數(shù)

通常有

，因此H(s)可展開為部分分式的形式。5.5.2極點(diǎn)分析系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)1．單極點(diǎn)情況此時(shí)，H(s)的部分分式展開表達(dá)式為

（5-60）1．單極點(diǎn)情況此時(shí)，H(s)的部分分式展對上式兩端作拉普拉斯反變換，得到（5-61）對上式兩端作拉普拉斯反變換，得到（5-6也即H(s)的每個(gè)極點(diǎn)在時(shí)域上對應(yīng)一項(xiàng)形為的單位沖激響應(yīng)項(xiàng)（5-62）也即H(s)的每個(gè)極點(diǎn)在時(shí)【例5-18】在5.4.4節(jié)例5-17中，對于給定的數(shù)值條件，得到了現(xiàn)將其視為某系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，求此系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。【例5-18】在5.4.4節(jié)例5-17中，對于給定的數(shù)值2．高階極點(diǎn)情況此情況對應(yīng)于分母多項(xiàng)式D(s)的根具有重根。設(shè)在處具有r個(gè)重根，則D(s)中存在著這一因子。此時(shí)，H(s)的部分分式展開表達(dá)式將與式（5-60）不同，而成為2．高階極點(diǎn)情況此情況對應(yīng)于分母多項(xiàng)式（5-64）（5-64）因此，系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)中相應(yīng)于此高階極點(diǎn)的項(xiàng)為因此，系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)中相應(yīng)于此高階極顯然，僅當(dāng)，上述各項(xiàng)才能隨而趨于消失。需要特別指出的是，此時(shí)，即使，也只有最后一項(xiàng)在時(shí)保持不變，其余各項(xiàng)仍將趨于無窮，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。顯然，僅當(dāng)換言之，如系統(tǒng)在j軸有極點(diǎn)，則僅當(dāng)為一階極點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)才是臨界穩(wěn)定的。換言之，如系統(tǒng)在j軸有極點(diǎn)，則僅當(dāng)為在為復(fù)極點(diǎn)時(shí)，也仍將是H(s)的r階復(fù)極點(diǎn)，且H(s)的部分分式展開式相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也仍具共軛關(guān)系。在為復(fù)極點(diǎn)時(shí)，也仍因此，這一對高階極點(diǎn)所對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)項(xiàng)將具和的形式。因此，這一對高階極點(diǎn)所對應(yīng)的單位沖激響綜上所述，H(s)的極點(diǎn)分析提供了判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)有效方法，避免了在時(shí)域中求取h(t)而后再作判斷的麻煩。綜上所述，H(s)的極點(diǎn)分析提供了判由于H(s)的極點(diǎn)就是其分母多項(xiàng)式D(s)的根，所以D(s)通常被稱為是H(s)的特征多項(xiàng)式，而（5-65）由于H(s)的極點(diǎn)就是其分母多項(xiàng)式D則被稱為是系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根。因此，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)也就是系統(tǒng)的特征根。則被稱為是系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特這樣，系統(tǒng)穩(wěn)定性問題就歸結(jié)為求系統(tǒng)的特征根，在D(s)為S的高階多項(xiàng)式情況下，這將涉及高階代數(shù)方程的求根問題。這樣，系統(tǒng)穩(wěn)定性問題就歸結(jié)為求系統(tǒng)的由于高階方程根的求解并非易事，所以工程中廣泛使用了可以避開直接求特征根的羅斯-霍爾維茨（Ruth-Hurwich）穩(wěn)定性準(zhǔn)則，有些書中也稱之為勞斯穩(wěn)定判據(jù)。由于高階方程根的求解并非易事，所以工程從使用的角度而言，掌握這一準(zhǔn)則相當(dāng)簡單，有興趣的讀者可參看相關(guān)書籍。從使用的角度而言，掌握這一準(zhǔn)則相當(dāng)簡單5.5.3其他相關(guān)問題簡述1．H(s)的零點(diǎn)2．從H(s)求取H(j)3．系統(tǒng)的自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)5.5.3其他相關(guān)問題簡述1．H(s)的零點(diǎn)圖5-16圖解求取H

(j)的示意圖圖5-16圖解求取H

(j)的示意圖【例5-19】設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)初始松弛，①，；②，。求系統(tǒng)輸出y(t)。【例5-19】設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為解此題中，系統(tǒng)輸出y(t)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解此題中，系統(tǒng)輸出y(t)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。5.6模擬濾波器設(shè)計(jì)簡介5.6.1引言前已所述，可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)通?？偩呷缦滦问剑海?-68）5.6模擬濾波器設(shè)計(jì)簡介5.6.1引言（5-68）本節(jié)以低通濾波器為例，說明如何給出濾波器指標(biāo)，然后根據(jù)指標(biāo)要求來尋求合適的H(s)，也即尋求合適的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)，使H(s)的頻率特性滿足要求。本節(jié)以低通濾波器為例，說明如何給出濾波之所以以低通濾波器為例，是因?yàn)槠渌麨V波器（高通、帶通、帶阻）都是在低通原型濾波器基礎(chǔ)上作頻率變換得到的。之所以以低通濾波器為例，是因?yàn)槠渌麨V波所謂原型濾波器是指其頻率特性中的通帶頻率取為歸一化頻率c=1rad/s，實(shí)際濾波器參數(shù)則根據(jù)原型濾波器進(jìn)行頻率變換得到。所謂原型濾波器是指其頻率特性中的通帶頻5.6.2指標(biāo)給定我們此前已指出，理想低通濾波器是個(gè)非因果系統(tǒng)，因而是物理上不可實(shí)現(xiàn)的。5.6.2指標(biāo)給定我們此前已指出對于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)而言，其幅頻特性與相頻特性并不是相互獨(dú)立的，它們必須遵循希爾伯特（Hillbert）變換關(guān)系以及佩利-維納（Paley-Wiener）關(guān)系。對于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)而言，其幅頻特在實(shí)際工程問題中，濾波問題中通常主要關(guān)注的是幅頻特性，因此，濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)均是關(guān)于幅度特性的要求給出的，而將相位特性隨后處理，必要時(shí)再予以改善校正。在實(shí)際工程問題中，濾波問題中通常主要關(guān)下面我們再從H(s)的可實(shí)現(xiàn)形式即式（5-57）出發(fā)，對理想低通濾波器的可實(shí)現(xiàn)性作一考察。下面我們再從H(s)的可實(shí)現(xiàn)形式即式由圖5-17可知，理想低通濾波器的幅頻特性在通帶內(nèi)內(nèi)是一常數(shù)，在止帶中則要求為零。由圖5-17可知，理想低通濾波器的幅但由H(s)的表達(dá)式可見，可供調(diào)節(jié)的系數(shù)只有個(gè)，因此要使所有頻率處的幅頻特性滿足理想特性顯然是不可能的。但由H(s)的表達(dá)式可見，可供調(diào)節(jié)的例如，使的系數(shù)只有m個(gè)，這樣就最多只能產(chǎn)生m個(gè)傳輸零點(diǎn)，即只能在m個(gè)值處使，因而無法做到在時(shí)恒為零。例如，使的因此，實(shí)際濾波器的幅頻特性要求通常以容差方式給出，也即以幅頻特性的允許誤差方式給出，如圖5-18所示。圖中，幅頻特性的容差以幅度平方特性的方式給出，其原因在隨后的分析中即可明白。因此，實(shí)際濾波器的幅頻特性要求通常以容圖5-17理想低通濾波器的幅頻特性與相頻特性圖5-17理想低通濾波器的幅頻特性與相頻特性

圖5-18低通濾波器頻率響應(yīng)幅度平方特性的容差圖圖5-18低通濾波器頻率響應(yīng)幅度平方特性的容差圖1．通帶指標(biāo)在通帶內(nèi)，希望該頻率范圍內(nèi)的所有信號(hào)分量都能接近無損地通過，因此指標(biāo)以通帶內(nèi)允許的最大起伏（波紋）γ給出，且用分貝表示（dB）（5-69）1．通帶指標(biāo)在通帶內(nèi)，希望該頻率范圍內(nèi)式中，為通帶內(nèi)幅頻特性的最大值，為通帶內(nèi)幅頻特性的最小值。式（5-69）還可寫成（dB）（5-70）式中，為通帶內(nèi)幅頻特性在圖5-18中，A2max=1，，因此式（5-70）相當(dāng)于式中，1表征了通帶內(nèi)幅頻特性的允許誤差。（5-71）在圖5-18中，A2max=1，若1=2dB，可算得，從而Amin=0.7943；=3dB，則Amin=0.7079；=1dB，則Amin=0.8912。若1=2dB，可算得2．止帶指標(biāo)在止帶內(nèi)，幅頻特性應(yīng)接近于零，因此濾波器的止帶指標(biāo)是可以容忍的最小衰減δ，也以分貝表示（dB）（5-72）2．止帶指標(biāo)在止帶內(nèi)，幅頻特性應(yīng)接近即止帶內(nèi)的幅度平方特性在0與之間變動(dòng)。即止帶內(nèi)的幅度平方特性在0與2表征了止帶內(nèi)幅頻特性的起伏。需要說明的是，在某些濾波器設(shè)計(jì)方法中，無須涉及1、2這兩個(gè)參數(shù)，而在另外一些設(shè)計(jì)方法中，1、2將是設(shè)計(jì)過程中的有用參數(shù)。2表征了止帶內(nèi)幅頻特性的起伏。若=?20dB，則止帶內(nèi)可接受的最小衰減至少為，即止帶內(nèi)的信號(hào)分量應(yīng)至少衰減10倍，此時(shí)相應(yīng)的2=0.0101。若=?20dB，則止帶內(nèi)可接受的最5.6.3濾波器系統(tǒng)函數(shù)的求取給定指標(biāo)后，所需完成的任務(wù)就成為從給定的幅度特性指標(biāo)出發(fā)，找出物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)。這一幅度指標(biāo)通常以幅度平方特性給出。5.6.3濾波器系統(tǒng)函數(shù)的求取給這一任務(wù)分成兩個(gè)部分：（1）根據(jù)給定的幅度平方特性選用合適的|H(j)|2表達(dá)式；（2）從|H(j)|2的表達(dá)式出發(fā)尋求物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)。這一任務(wù)分成兩個(gè)部分：1．|H(j)|2的形式2．從選定的|H(j)|2表達(dá)式出發(fā)尋求穩(wěn)定的H(s)1．|H(j)|2的形式圖5-19以原點(diǎn)為中心象限對稱分布的極點(diǎn)圖5-19以原點(diǎn)為中心象限對稱分布的極點(diǎn)從|H(s)|2中分離得到穩(wěn)定的H(s)的步驟如下。（1）將選定的幅度平方函數(shù)|H(j)|2表達(dá)式中的以代替，得到|H(s)|2。從|H(s)|2中分離得到穩(wěn)定的H(s（2）求出|H(s)|2的所有極點(diǎn)。（3）把|H(s)|2左半平面的極點(diǎn)劃歸H(s)，右半平面的極點(diǎn)劃歸H(?s)。（2）求出|H(s)|2的所有極點(diǎn)。（4）j軸上的每對二階共軛極點(diǎn)分成兩對一階共軛極點(diǎn)，分劃給H(s)和H(?s)各得一對。由此得到的H(s)就是所求的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。（4）j軸上的每對二階共軛極點(diǎn)分成兩對一階共軛極點(diǎn)，分劃給5.6.4濾波器的巴特沃思逼近設(shè)計(jì)在濾波器設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者可根據(jù)具體需求選用不同類型的幅度平方特性函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行逼近。5.6.4濾波器的巴特沃思逼近設(shè)計(jì)下面以最簡單的巴特沃思（Butterworth）逼近設(shè)計(jì)為例，介紹根據(jù)幅度平方函數(shù)求取H(s)的方法。下面以最簡單的巴特沃思（Butter巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)為（5-76）巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)為（將上式與式（5-74）進(jìn)行比較，可知此時(shí)式（5-74）分子多項(xiàng)式中各系數(shù)除外均為零，而分母多項(xiàng)式僅取兩項(xiàng)。將上式與式（5-74）進(jìn)行比較，可知圖5-20巴特沃思濾波器的幅頻特性|A(j)|曲線圖5-20巴特沃思濾波器的幅頻特性|A(j)|曲線【例5-20】求截止頻率c=1rad/s的三階巴特沃思原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?！纠?-20】求截止頻率c=1rad/s的三階巴特沃思圖5-21N=3時(shí)H

(s)H

(?s)的極點(diǎn)分布圖5-21N=3時(shí)H

(s)H

(?s)的極點(diǎn)分布圖5-22N=2時(shí)H(s)H(-s)的極點(diǎn)分布圖5-22N=2時(shí)H(s)H(-s)的極點(diǎn)分布本章小結(jié)本章介紹了基于拉普拉斯變換的復(fù)頻域分析方法，即S域分析方法。本章小結(jié)本章介紹了基于拉普拉斯從工程中常見的有始信號(hào)即因果信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)出發(fā)，主要介紹了拉普拉斯變換的定義、收斂域、主要性質(zhì)及反變換的求取；單邊拉普拉斯變換用于求解線性常系數(shù)微分方程；電路的S域模型；系統(tǒng)函數(shù)及其零、極點(diǎn)分析等。從工程中常見的有始信號(hào)即因果信號(hào)作用于這些基本內(nèi)容所涉及的概念和運(yùn)算是必須理解和熟練掌握的。這些基本內(nèi)容所涉及的概念和運(yùn)算是必須此外，本章還簡要介紹了模擬濾波器設(shè)計(jì)的初步知識(shí)，其目的是用于具體說明系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)中的作用，同時(shí)也為后續(xù)課程“數(shù)字信號(hào)處理”中的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)提供所需的預(yù)備知識(shí)。此外，本章還簡要介紹了模擬濾波器設(shè)計(jì)的通過本章的學(xué)習(xí)，可以看到復(fù)頻域分析把信號(hào)通過系統(tǒng)的分析從j軸推廣到了S平面，有效地克服了本章引言中指出的頻域分析方法的弱點(diǎn)。通過本章的學(xué)習(xí)，可以看到復(fù)頻域分析把但是，需再次強(qiáng)調(diào)指出的是，任何一種分析工具有其適用性，也都有其局限性，因此，復(fù)頻域分析方法并不能完全替代頻域分析方法。但是，需再次強(qiáng)調(diào)指出的是，任何一種分析事實(shí)上，凡涉及信息傳輸?shù)膯栴}，由于基于傅里葉分析的頻域分析方法能夠通過正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來了解系統(tǒng)對非周期信號(hào)的響應(yīng)，可以形成信號(hào)頻譜、信號(hào)帶寬和系統(tǒng)頻率特性、系統(tǒng)帶寬等具有清晰物理意義的概念，因此此類問題的主要分析工具仍是傅里葉分析技術(shù)，即頻域分析。事實(shí)上，凡涉及信息傳輸?shù)膯栴}，由于基另一方面，在控制工程中，必然會(huì)涉及系統(tǒng)的狀態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，因此基于拉普拉斯變換的S域分析方法就成為首選。另一方面，在控制工程中，必然會(huì)涉以后將會(huì)見到，在“數(shù)字信號(hào)處理”中，由于信號(hào)處理問題中既涉及了信號(hào)通過系統(tǒng)的分析，又涉及了系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，因此頻域分析和復(fù)頻域分析這兩種分析方法均會(huì)用到。以后將會(huì)見到，在“數(shù)字信號(hào)處理”中，由第5章拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)引

言5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3第5章拉普拉斯變換與系統(tǒng)函數(shù)引言5.1拉普拉斯變換5單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4系統(tǒng)函數(shù)5.5模擬濾波器設(shè)計(jì)簡介5.6單邊拉普拉斯變換用于線性系統(tǒng)分析5.4系統(tǒng)函數(shù)5.5模擬濾波5.1引

言

在前面幾章中，我們介紹了信號(hào)與系統(tǒng)分析中的時(shí)域分析技術(shù)與頻域分析技術(shù)，這兩種分析工具是日常應(yīng)用中最為常用的，尤其是頻域分析技術(shù)。5.1引言在前面幾章中，我們

實(shí)際上，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)使我們能夠用正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來了解系統(tǒng)對非周期信號(hào)的響應(yīng)，物理概念非常清晰，因此在信號(hào)分析、系統(tǒng)頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬等問題上，成為不可或缺的必要分析工具。實(shí)際上，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)使

但是，任何一種分析工具都存在其局限性，基于傅里葉變換的頻域分析技術(shù)也是如此。

具體來說，它還存在著如下的不足。但是，任何一種分析工具都存在其局限性，（1）對于工程問題中經(jīng)常遇到的兩類因果信號(hào)，即t的指數(shù)函數(shù)et和t的正冪函數(shù)t（＞0），傅里葉變換不存在。一個(gè)典型的例子是工程中極為常見的斜坡信號(hào)t·ε(t)。（1）對于工程問題中經(jīng)常遇到的兩類因果信號(hào)，即t的指數(shù)函數(shù)e（2）在將輸出信號(hào)頻譜求反變換以得到時(shí)域輸出時(shí)，由于傅里葉反變換涉及的是沿虛軸即j軸的無窮積分，往往遇到數(shù)學(xué)上的困難。（2）在將輸出信號(hào)頻譜求反變換以得到時(shí)域輸出時(shí)，由于傅里葉反（3）在線性系統(tǒng)的瞬變響應(yīng)分析問題上，通常存在著非零初始條件，這時(shí)，傅里葉分析技術(shù)將遇到很大的困難。（3）在線性系統(tǒng)的瞬變響應(yīng)分析問題上，通常存在著非零初始條件（4）在傅里葉分析的框架內(nèi)，無法提供系統(tǒng)綜合工具，也即不能用頻域分析工具按給定的指標(biāo)要求確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)。（4）在傅里葉分析的框架內(nèi)，無法提供系統(tǒng)綜合工具，也即不能用5.2拉普拉斯變換5.2.1概念的引入

在工程中遇到的實(shí)際信號(hào)通常為因果信號(hào)，時(shí)間起點(diǎn)t=0作為所考慮問題有意義的參考起點(diǎn)，因此總可假設(shè)t＜0時(shí)的信號(hào)恒為零，這樣，傅里葉變換成為（5-1）5.2拉普拉斯變換5.2.1概念的引入（5-1）

式（5-1）的正確性仍以右端積分的存在為前提。

但對實(shí)際工程中遇到的兩類指數(shù)階信號(hào)，即

（n＞0）和

（＞0），上述積分不可積，因此傅里葉分析技術(shù)將不再有效。式（5-1）的正確性仍以右端積分的存在

究其原因，是因?yàn)樯鲜鰞深愋盘?hào)當(dāng)

時(shí)，信號(hào)幅度不衰減，反而增長，也即信號(hào)不收斂。究其原因，是因?yàn)樯鲜鰞深愋盘?hào)當(dāng)

為克服這一問題，引入收斂因子

（

為實(shí)常數(shù)），構(gòu)成

，這樣如

取得足夠大，就可使

在

時(shí)趨于零，使

滿足絕對可積的條件，從而使其存在傅里葉變換（5-2）為克服這一問題，引入收斂因子（5-2令

，即

，

，式（5-2）成為（5-3）令，即

這樣，式（5-3）將x(t)變換成了復(fù)平面S上的一個(gè)函數(shù)X(s)，稱之為x(t)的拉普拉斯（Laplace）變換。符號(hào)為

。這樣，式（5-3）將x(t)變換成了復(fù)

由式（5-2）可見，顯然收斂因子

中的

越大越正，就越能保證

的傅里葉變換存在。

記

的最小值為

，則當(dāng)

時(shí)，式（5-3）右端的積分收斂。

因此，稱x(t)的拉普拉斯變換的收斂域?yàn)椋?-4）由式（5-2）可見，顯然收斂因子（

如果這一收斂域包含了j軸，也即

，則傅里葉變換

成為拉普

拉斯變換X(s)當(dāng)

軸的一個(gè)特殊情況，

即（5-5）如果這一收斂域包含了j軸，也即（5【例5-1】

求

的拉普拉斯變換。解而前已得到顯然【例5-1】求的拉普5.2.2雙邊拉普拉斯變換

在實(shí)際應(yīng)用中，通常使用單邊拉普拉斯變換。

為了概念的完整性，這一小節(jié)對雙邊拉普拉斯變換及其收斂域做一介紹。

這一知識(shí)在數(shù)字信號(hào)處理課程中討論z變換時(shí)將會(huì)用到。5.2.2雙邊拉普拉斯變換在實(shí)際應(yīng)

定義：對于信號(hào)x(t)（

），稱

為x(t)的雙邊拉普拉斯變換，符號(hào)同前，也為

。（5-6）定義：對于信號(hào)x(t)（【例5-2】

設(shè)信號(hào)可表達(dá)為

求其雙邊拉普拉斯變換?！纠?-2】設(shè)信號(hào)可表達(dá)為【例5-3】

因果信號(hào)

的雙邊拉普拉斯變換與單邊拉普拉斯變換相同，均為

，收斂域也相同，均為

，即右半平面（包括大半或小半，視

而定）?！纠?-3】因果信號(hào)【例5-4】

因果信號(hào)

與非因果信號(hào)

具有相同的雙邊拉普拉斯變換表達(dá)式，但收斂域不同?！纠?-4】因果信號(hào)圖5-1f1(t)、f2(t)的雙邊拉普拉斯變換及其收斂域圖5-1f1(t)、f2(t)的雙邊拉普拉斯變換及其收斂5.2.3拉普拉斯反變換

雙邊拉普拉斯變換的反變換表達(dá)式的推導(dǎo)要用到復(fù)變函數(shù)的很多知識(shí)，這里不予細(xì)述，感興趣的讀者可參看相關(guān)書籍。

反變換的表達(dá)式為（5-9）5.2.3拉普拉斯反變換雙邊拉普拉

式中，

的取值應(yīng)位于X(s)的收斂域內(nèi)，即滿足

。式中，的取值應(yīng)位于X(s)的

式（5-9）通常稱為反演公式，X(s)稱為象函數(shù)，x(t)稱為原函數(shù)。反變換的符號(hào)為

。式（5-9）通常稱為反演公式，X(s)

利用反演公式，可分別求出x(t)的因果部分與非因果部分。

因此，反演公式同樣適用于單邊拉普拉斯反變換。利用反演公式，可分別求出x(t)的因果5.3拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3.1定義與說明

式（5-3）已給出了單邊拉普拉斯變換的定義，這里重寫于下：5.3拉普拉斯變換的進(jìn)一步討論5.3.1定義與說明圖5-23個(gè)不同的信號(hào)具有相同的單邊拉普拉斯變換圖5-23個(gè)不同的信號(hào)具有相同的單邊拉普拉斯變換【例5-5】

求(t)的拉普拉斯變換。解

取為“0+”時(shí)，取為“0?”時(shí)，，即，即【例5-5】求(t)的拉普拉斯變換。，即，即5.3.2反變換

前已指出，式（5-9）所示的反演公式對信號(hào)的因果部分與非因果部分均適用，因此也適用于單邊拉普拉斯變換的反變換。

但在這種情況下，為了表明所涉及的是因果信號(hào)，拉普拉斯反變換可寫為5.3.2反變換前已指出，式（5-（5-11）（5-11）

從物理意義