導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用（精練） 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

4.5導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用（精練）（提升版）題組一題組一零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．（2022·山東·煙臺(tái)二中）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】(1)因?yàn)?，所?不是的零點(diǎn)．當(dāng)，可變形為，令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)椋?，得，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．設(shè)，則，由得，所以，即．令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要證，即證．因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．因?yàn)?，所以即證．令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故?．（2022·河南·長(zhǎng)葛市）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，，，則切線的斜率為，又，所以曲線在處的切線方程是，即．(2)即為，化簡(jiǎn)得，令，則，令，則，令，得．當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，，即，所以在R上單調(diào)遞減．又，所以有唯一零點(diǎn)0；②當(dāng)時(shí)，，，所以存在，，又，令，，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以存在，，xnm－0＋－單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減則，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由單調(diào)性可知，此時(shí)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)0，，．綜上，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，方程有唯一的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，方程有3個(gè)實(shí)根．3．（2022·天津·二模）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)且，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)答案見解析(3)證明見解析【解析】(1)解：因?yàn)椋裕?/p>

即，，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)解：由（1）得，．當(dāng)時(shí)，，則在上無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，所以，，，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．(3)證明：由（2）及有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，可得，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且．所以，

兩式相減得，即．因?yàn)?，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．題組二題組二已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參1．（2022·河南濮陽·一模（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知且關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求t的值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)2【解析】(1)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增．(2)關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即只有唯一正實(shí)數(shù)解．設(shè)，則，令，，因?yàn)?，，解得（舍去），，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．要使得方程只有唯一實(shí)數(shù)解，若，則，即，得，因?yàn)?，所以．設(shè)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，至多有一解．又因?yàn)椋?，即，解得．若，由上得，，又，，，，令，在上，單增，故，即，故，即在各存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上：.2．（2022·山東日照·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)答案見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí),恒成立，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．(2)由題意，函數(shù)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又由，所以，令，可得，所以，其中，令，可得，令，則，可得時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；所以，即時(shí)，恒成立；故時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；所以﹐又由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)．3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或，1個(gè)零點(diǎn)；，2個(gè)零點(diǎn)【解析】，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；(1)因?yàn)?，，所以，令，，所以在單增，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)解：因?yàn)榱睿字谏蠁握{(diào)遞增，且，故的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即，當(dāng)時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，令，，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以的大致圖象如下：①當(dāng)即時(shí)，與沒有交點(diǎn)，故函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)或即或時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)即時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；題組三題組三不等式恒（能）成立1（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)因?yàn)椋杂郑郧芯€方程為，即(2)由知，因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，，因此當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，，因此綜上：2（2022·江西）函數(shù)的圖像與直線相切.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)1；(2).【解析】(1)，設(shè)切點(diǎn)為，所以有，因?yàn)槭乔芯€，所以有，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以有，當(dāng)時(shí)，，所以無實(shí)數(shù)根，因此當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)根，即，于是有，因此有；(2)令，則在恒成立.若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，所以在單調(diào)遞增，又，所以在恒成立；當(dāng)時(shí)，所以.所以在恒成立.若即時(shí)，，則存在，使得在單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，矛盾，舍綜上所述，的取值范圍時(shí).3（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【解析】(1)解：，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．∵，∴時(shí)，，時(shí)，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)解：時(shí)，恒成立，，，，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∵，若，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，恒成立；若，∵，∴，∴，，，∴在有唯一解，設(shè)為，且，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴與恒成立矛盾，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)（，且）(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)、，使恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解析】(1)的定義域?yàn)?（，且）顯見，.①當(dāng)時(shí)，，.若，則，，得.于是，.若，則，，得，于是，∴當(dāng)時(shí)，,即在上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，，若，則，，得.于是，若，則，，得，于是，∴當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞減綜上得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)對(duì)、，使恒成立，即對(duì)，成立.由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得為和中的較大者.，，設(shè)，（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.∴在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增.注意到∴當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即，得②當(dāng)時(shí)，即（*）設(shè)，在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，.不等式（*）無解綜上所述，對(duì)、，使恒成立時(shí)，的取值范圍為5．（2022·北京八十中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)【解析】（1）由題設(shè)，且，則，所以，，故在處的切線方程為.(2)由且，當(dāng)時(shí)，即在定義域上遞減；當(dāng)時(shí)，在上，遞減，在上，遞增，綜上，時(shí)遞減；時(shí)在上遞減，上遞增.(3)由（2），時(shí)遞減且值域?yàn)?，顯然存在；時(shí)，的極小值為，當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，上遞增，只需，可得；當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，則恒成立，滿足題設(shè)；綜上，a的取值范圍為.6．（2022·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)，．(1)若，求的最小值；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)1(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，所以，易知單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．(2)設(shè)，由題意對(duì)任意恒成立．，若，則，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意．若，由知當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，．綜上，的取值范圍是．7．（2022·山東煙臺(tái)·三模）已知函數(shù)（）.(1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，，則，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由.又當(dāng)時(shí)，，所以，存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn).(2)不等式恒成立，即在上恒成立.令，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，則時(shí)有.所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，則有.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則在時(shí)取得最小值則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則在時(shí)取得最小值則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，當(dāng)時(shí)，，所以即在上單調(diào)遞增，且，，所以，使，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，.所以，的取值范圍為.8．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)定義域?yàn)椋唇獾盟栽趩握{(diào)遞增(2)對(duì)任意，不等式恒成立，即恒成立，分離參數(shù)得.令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，即，故a的取值范圍是.題組四題組四證明不等式1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程的根為、，且，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明見解析【解析】(1)解：因?yàn)?，，所以定義域?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，所以，且，當(dāng)時(shí)，，所以，即，設(shè)直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，下面證明當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以，得證．2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，①證明：；②方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①證明見解析；②證明見解析【解析】(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，解得，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)當(dāng)時(shí)，①要證不等式成立，即證明成立.即證明成立.令當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以最小值為，恒成立，即恒成立得證.②由①得恒成立，即直線始終在曲線下方或有唯一切點(diǎn)，又結(jié)合（1）可知單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)取最小值，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以方程有兩個(gè)實(shí)根，則，且.由直線與聯(lián)立解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然因此，要證，只要證即可即證，即證即可又因?yàn)?，所以只要證令恒成立所以在單調(diào)遞增，即所以得證，原命題得證.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小值，并證明方程有三個(gè)不等實(shí)根；(2)設(shè)(1)中方程的三根分別為，，且，證明：．【答案】(1)最小值為，證明見解析；(2)證明見解析．【解析】(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為．設(shè)，則方程變形為f(m)=m，即f(m)-m=0，令，，則，由得．因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由于，故，又由，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，∴有兩個(gè)零點(diǎn)1和，方程f(m)=m有兩個(gè)根和，則如圖，時(shí)，因?yàn)?，故方程有一個(gè)根，下面考慮解的個(gè)數(shù)，其中，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性可得：在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，故，故即，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的根、且，即方程共有三個(gè)不等實(shí)根；(2)由(1)知，且滿足，，令，，則，令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，∵，∴，即．∵，∴，又∵，∴．∵，，而在單調(diào)遞減，∴．即，故，原命題得證．4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中一模）已知函數(shù)．（）在處的切線l方程為．(1)求a，b，并證明函數(shù)的圖象總在切線l的上方（除切點(diǎn)外）；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．且．證明：．【答案】(1)；證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)解：將代入切線方程，有，所以，所以，又，所以，若，則，與予盾，故，．∴，，，設(shè)在處的切線方程為，令，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜合得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即函數(shù)的圖象總在切線的上方（除切點(diǎn)外）．(2)解：由（1）知，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，設(shè)在處的切線方程為，因?yàn)?，，所以，所以．令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜合得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，又，所以．5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)見解析(2)證