常微分方程題庫(kù)(附答案)4.1線性微分方程的一般理論

【單選】n階齊次線性微分方程的基本解組中所含解的個(gè)數(shù)恰好是 個(gè)．A、n-1； 、n； C、n+1； D、n+2.答案：B【單選】下了判斷正確的.A、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之差不是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解；B、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之差是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解;C、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之和還是該非齊次微分方程組的解；D、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之和是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解.答案：Bt【計(jì)算題】解微分方程x''1答案：常數(shù)變易法

x'111

xt1,x1

t,x2

et.xc1

(t)tc2

(t)et是原方程的解，并代入原方程得c'(t)tc'(t)et0 1 2 ，c'(t)c'(t)ett11 2解得c'(t)1, c'(t)tet,所以c(t)tc, c(t)(t1)etc1 2 1 1 2 2因此原方程的通解為xctcett21 其中c,

是任意常數(shù).1 2 1 2【計(jì)算題】解微分方程t2x''4tx'6x36答案：常數(shù)變易法

lnt,xt

t2,x2

t3.xc1

(t)t2c2

(t)t3是原方程的解，并代入原方程得 c'(t)t2c'(t)t30 1 2 ， lnt2tc'(t)2c'(t)36 1 2 t39解得c

(t)312t3lntc, c(t) t44lntc1 1 2 4 27因此原方程的通解為xct2ct3 t11lnt 其中c,

是任意常數(shù).1 2 4 1 2【計(jì)算題】已知方程

d2dt2

x0有基本解組etet，試求此方程適合初值條件x(0)1,x(0)0x(0)0,x(0)1.答案：由題意知通解為xcet1

cet2

x'

c1

cet，分別把初值條件代入得21 1 1 1x(t) et et,

(t et et.因此方程的標(biāo)準(zhǔn)基本解組為1 2 2 2 2 21 1 1 1x(t) et et,x(t) et et.1 2 2 2 2 2【證明題】證明n階非齊次線性微分方程dnxa

dn1x

a (t)dx

(t)xf(t)dtn

1 dtn1

n1 dt n存在且最多存在n1.答案：設(shè)齊次線性微分方程的n個(gè)線性無關(guān)的解為x,x, ,x，設(shè)滿足某初值條1 2 nxxxxx,

,x

,x為非齊次微分方程的n+1個(gè)解。（2分）

1 2 n現(xiàn)用反證法證明他們線性無關(guān)，假設(shè)它們線性相關(guān)，即存在n+1不全為零的常數(shù)c,c, ,

，使得c

x

(xx)

c(x

)0，即0 1 n

0 1 1 n nc)xcxc)xcxn 11cx 0nn0 1當(dāng)cc

c00xc

c

0xx,

,x線性無關(guān)，1 n

1 nn

1 2 n可知c,1

c0，可求得cn

0。這與假設(shè)他們線性相關(guān)矛盾。cx cx當(dāng)cc

c0時(shí)，x11

nn，等式左側(cè)為非齊次微分方程的0 1 n

cc0

cn解，右側(cè)為齊次微分方程的解，產(chǎn)生矛盾。綜上可得存在n+1個(gè)線性無關(guān)解?，F(xiàn)只需證最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解，反證法，假設(shè)非齊次線性微分方程有n+2個(gè)x

, ,x,x ,x

xx

,xx

, ,xx x x 為1 2

n1