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【單選】n階齊次線性微分方程的基本解組中所含解的個(gè)數(shù)恰好是 個(gè).A、n-1; 、n; C、n+1; D、n+2.答案:B【單選】下了判斷正確的.A、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之差不是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解;B、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之差是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解;C、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之和還是該非齊次微分方程組的解;D、一階線性非齊次微分方程組的任意兩個(gè)解之和是對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解.答案:Bt【計(jì)算題】解微分方程x''1答案:常數(shù)變易法
x'111
xt1,x1
t,x2
et.xc1
(t)tc2
(t)et是原方程的解,并代入原方程得c'(t)tc'(t)et0 1 2 ,c'(t)c'(t)ett11 2解得c'(t)1, c'(t)tet,所以c(t)tc, c(t)(t1)etc1 2 1 1 2 2因此原方程的通解為xctcett21 其中c,
是任意常數(shù).1 2 1 2【計(jì)算題】解微分方程t2x''4tx'6x36答案:常數(shù)變易法
lnt,xt
t2,x2
t3.xc1
(t)t2c2
(t)t3是原方程的解,并代入原方程得 c'(t)t2c'(t)t30 1 2 , lnt2tc'(t)2c'(t)36 1 2 t39解得c
(t)312t3lntc, c(t) t44lntc1 1 2 4 27因此原方程的通解為xct2ct3 t11lnt 其中c,
是任意常數(shù).1 2 4 1 2【計(jì)算題】已知方程
d2dt2
x0有基本解組etet,試求此方程適合初值條件x(0)1,x(0)0x(0)0,x(0)1.答案:由題意知通解為xcet1
cet2
x'
c1
cet,分別把初值條件代入得21 1 1 1x(t) et et,
(t et et.因此方程的標(biāo)準(zhǔn)基本解組為1 2 2 2 2 21 1 1 1x(t) et et,x(t) et et.1 2 2 2 2 2【證明題】證明n階非齊次線性微分方程dnxa
dn1x
a (t)dx
(t)xf(t)dtn
1 dtn1
n1 dt n存在且最多存在n1.答案:設(shè)齊次線性微分方程的n個(gè)線性無關(guān)的解為x,x, ,x,設(shè)滿足某初值條1 2 nxxxxx,
,x
,x為非齊次微分方程的n+1個(gè)解。(2分)
1 2 n現(xiàn)用反證法證明他們線性無關(guān),假設(shè)它們線性相關(guān),即存在n+1不全為零的常數(shù)c,c, ,
,使得c
x
(xx)
c(x
)0,即0 1 n
0 1 1 n nc)xcxc)xcxn 11cx 0nn0 1當(dāng)cc
c00xc
c
0xx,
,x線性無關(guān),1 n
1 nn
1 2 n可知c,1
c0,可求得cn
0。這與假設(shè)他們線性相關(guān)矛盾。cx cx當(dāng)cc
c0時(shí),x11
nn,等式左側(cè)為非齊次微分方程的0 1 n
cc0
cn解,右側(cè)為齊次微分方程的解,產(chǎn)生矛盾。綜上可得存在n+1個(gè)線性無關(guān)解?,F(xiàn)只需證最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解,反證法,假設(shè)非齊次線性微分方程有n+2個(gè)x
, ,x,x ,x
xx
,xx
, ,xx x x 為1 2
n1
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