《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)北師大】

《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo) 1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單問題.3.經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程，體會(huì)從特殊到一般的思想.4.增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，培養(yǎng)科學(xué)探究精神.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.難點(diǎn)：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單問題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動(dòng)：先讓學(xué)生嘗試說出一元二次方程的一般式及求根公式，并提出問題，加深對(duì)判別式的理解，為新課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).想一想：一元二次方程的一般形式是怎樣的？預(yù)設(shè)：ax2+bx+c=0(a≠0)追問：你知道它的求根公式是什么嗎？預(yù)設(shè)：強(qiáng)調(diào)適用的條件：Δ=b2–4ac≥0.想一想：當(dāng)Δ＞0，Δ=0，Δ＜0根的情況如何？預(yù)設(shè)：Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.思考并舉手回答.復(fù)習(xí)回顧已學(xué)知識(shí)，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)二探究新知教師活動(dòng)：先讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法解方程完成表格填寫，再觀察表格找到根與系數(shù)之間的關(guān)系，并將其推廣到一般式，探究一般式的根與系數(shù)的關(guān)系.【做一做】同學(xué)們，選擇自己喜歡的方法解下列方程，并完成下表：

(1)x2–2x+1=0(2)x2–x–1=0

(3)2x2–3x

+1=0預(yù)設(shè)：選擇自己喜歡的方法解一元二次方程，觀察上述表格，回答下列問題：(1)每個(gè)方程的兩根之和與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)：(2)每個(gè)方程的兩根之積與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)：思考：對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程，這種關(guān)系都成立嗎？【猜想】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2–4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)根分別為x1，x2，那么：【證明】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2–4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)根分別為：歸納：根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，那么：.強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)實(shí)數(shù)根的前提條件為b2–4ac≥0.根與系數(shù)的關(guān)系實(shí)際上就是我們經(jīng)常所說的韋達(dá)定理，它是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.獨(dú)立完成，并交流討論，完成表格填寫觀察與思考并說一說嘗試說一說試著寫出證明過程交流討論，與教師一起歸納總結(jié)通過做一做，一方面復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，另一方面為探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系打下基礎(chǔ).讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證的過程，從特殊到一般，得出兩根之和與系數(shù)之間的關(guān)系、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.例利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：(1)x2+7x+6=0;(2)2x2–3x–2=0.分析：(1)①找對(duì)應(yīng)系數(shù)a=1，b=7，c=6；②判斷b2–4ac≥0；③確定方程根的情況；④根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.(2)①找對(duì)應(yīng)系數(shù)a=2，b=–3，c=–2；②判斷b2–4ac≥0；③確定方程根的情況；④根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.解：(1)這里a=1，b=7，c=6.Δ=b2–4ac=72–4×1×6=49–24=25>0∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=–7，x1x2=6.(2)這里a=2，b=–3，c=–2.Δ=b2–4ac=(–3)2–4×2×(–2)=9+16=25>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=，x1x2=–1.想一想：應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系需注意什么？預(yù)設(shè)：①方程必須是一元二次方程的一般形式；②判斷b2–4ac≥0；③使用x1+x2時(shí)，注意“－”不要漏寫.明確例題的做法自由說一說讓學(xué)生在探究過程中進(jìn)一步熟練根與系數(shù)的關(guān)系，并學(xué)會(huì)應(yīng)用其解決簡單的問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).明確應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)應(yīng)注意的問題.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：(1)x2–3x–1=0；(2)3x2+2x–5=0.2.小明和小華分別求出了方程9x2+6x–1=0的根.小明：x1=x2=；小華：x1=，x2=.他們的答案正確嗎？說說你的判斷方法.3.已知方程5x2+kx–6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.4.如果一個(gè)三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2–17x+66=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長可能是20嗎？為什么？答案：1.解：(1)這里a=1，b=–3，c=–1.Δ=b2–4ac=(–3)2–4×1×(–1)=9+4=13>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=3，x1x2=–1.(2)這里a=3，b=2，c=–5.Δ=b2–4ac=22–4×3×(–5)=4+60=64>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=，x1x2=.2.解：由題意，可得x1+x2=，x1x2=.小明和小華求得的根與算式都不符合.∴小明和小華的答案都不正確.3.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得∵其中一個(gè)根為2，因此可以設(shè)x1=2，解這個(gè)方程組得所以另一個(gè)根為，k的值為–7.4.解：由題意，可得x1+x2=17，即兩邊長之和為17，17小于20，所以這個(gè)三角形的第三邊的長不可能是20.自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)思維導(dǎo)圖的形式呈