X射線衍射的幾何原理課件

第三章X射線衍射的幾何原理

序言（產(chǎn)生衍射線的原因

，x射線衍射理論）

§3-1布拉格定律§3-2衍射矢量方程和厄瓦爾德作圖

§3-3勞埃方程組第三章X射線衍射的幾何原理序言（產(chǎn)生衍射線的原因，產(chǎn)生衍射線的原因X射線晶體衍射現(xiàn)象不同的衍射花樣電子散射電磁波干涉作用輻射周期排列的散射波中心發(fā)出的相干散射波互相干涉振動(dòng)方向相同，位相恒定

ν電=ν入，λ電=λ入

晶體中原子排列的周期性干涉加強(qiáng)出現(xiàn)衍射線測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)研究與結(jié)構(gòu)相關(guān)的一系列問題分析沒有衍射線產(chǎn)生互相抵消產(chǎn)生衍射線的原因X射線晶體衍射現(xiàn)象不同的衍射花樣電子散射x射線衍射理論：

將晶體結(jié)構(gòu)和衍射花樣聯(lián)系起來x射線衍射理論包括：

衍射線束的方向：衍射線束的強(qiáng)度：衍射線束的形狀、大?。河删О男螤?、大小決定（本章）由晶胞中原子的位置和種類決定（下章）由晶體的形狀大小決定x射線衍射理論：將晶體結(jié)構(gòu)和衍射花樣聯(lián)系起來x射線衍射線束的方向用下列四種形式表示：布拉格定律衍射矢量方程厄瓦爾德圖解勞埃方程即衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系的四種表現(xiàn)形式衍射線束的方向用下列四種形式表示：布拉格定律即衍射線方向與預(yù)備知識(shí)干涉加強(qiáng)布拉格實(shí)驗(yàn)一.布拉格定律的推證二.布拉格方程的討論預(yù)備知識(shí)干涉加強(qiáng)布拉格實(shí)驗(yàn)一.布拉格定律的推證二.布拉格方程如圖3-1S方向的合成波MλABSTT方向的合成波(振幅=0)波程差：δ=nλ(n=0，1，2，……)或相差：φ=2π?δ/λ=n?2π若δ=（2n+1）λ或φ=（2n+1）π削弱為0干涉加強(qiáng)如圖3-1S方向的合成波MλABSTT方向的合成波(振幅=0o布拉格實(shí)驗(yàn)(圖3－2）

將X-ray沿與NaCl晶體（001）面平行的方向入射，且晶體繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ，同時(shí)計(jì)數(shù)管轉(zhuǎn)動(dòng)2θ。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：當(dāng)θ=30°、64°時(shí)，有脈沖產(chǎn)生。λ(001)nθ12θ1(001)nλo布拉格實(shí)驗(yàn)(圖3－2）將X-ray沿與NaCl晶體（00實(shí)驗(yàn)表明：①可將晶面視為反射面，且θ反=θ入②反射具有選擇性那么：為什么是選擇反射？這與晶體結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)表明：一.布拉格定律的推證假定在參與散射的晶體中：①晶面完整、平直②入射線平行③單色X-ray（波長(zhǎng)一定）此時(shí)，X-ray滿足反射定律θ反=θ入。入射線、反射線、法線三線共面一.布拉格定律的推證假定在參與散射的晶體中：此時(shí)，X-r晶面法線圖3-3晶體對(duì)X射線的衍射11a232a1`a1`2`3`2`aABCSMNQRθ2θPKβad一層原子面O晶面法線圖3-3晶體對(duì)X射線的衍射11a232a1`aAPKQRθθ1a1a`11`APKQRθθ1a1a`11`1.一層原子面上散射X-ray的干涉

δ=KQ-PR=a(cosθ-cosβ)如圖3－3:X-ray以θ角入射到原子面A,并以β角散射時(shí)，相距為a的任意兩原子P、K散射X射線1-1`和1a-1`a的波程差為：當(dāng)δ=nλ時(shí)，在β方向干涉加強(qiáng)

假定原子面上所有原子的散射線同位相，即φ=n?2π=0，δ=0(見圖3－1)則a(cosθ-cosβ)=0，θ=β1.一層原子面上散射X-ray的干涉δ=KQ-PR=a(c當(dāng)入射角與散射角相等時(shí)，一層原子面上所有散射波干涉加強(qiáng)。與可見光的反射定律相類似，X-ray從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線干涉加強(qiáng)的方向：

即一層原子面對(duì)X-ray的衍射在形式上可看成原子面對(duì)入射線的反射。當(dāng)入射角與散射角相等時(shí)，一層原子面上所有散射波干涉加強(qiáng)?！遆-ray具有強(qiáng)的穿透力，晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的散射線互相干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉。∵X-ray具有強(qiáng)的穿透力，晶體的散射線來自若干層原子面2.相鄰原子面的散射波的干涉1-1`和2-2`的波程差：如圖3－3:δ=MO+ON=2dsinθ

若

δ=nλ則相鄰原子面散射波干涉加強(qiáng)——衍射時(shí)產(chǎn)生衍射。布拉格方程是產(chǎn)生衍射的必要條件。

即

2dsinθ=nλ（n=0,1,2,3,…)——布拉格方程方程中：λ：入射線波長(zhǎng)d：晶面間距；

θ：掠射角或布拉格角（半衍射角）

2θ：衍射角；n：為整數(shù)，稱反射級(jí)數(shù)2.相鄰原子面的散射波的干涉1-1`和2-2`的波程差：如二.布拉格方程的討論

選擇反射

產(chǎn)生衍射的限制條件

干涉面和干涉指數(shù)

衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

二.布拉格方程的討論選擇反射選擇反射X-ray在晶體中的衍射，實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結(jié)果。一束可見光以任意角度投射到鏡面上時(shí)都可以產(chǎn)生反射，不受條件限制。X-ray從原子面的反射是有選擇地，其選擇條件為布拉格方程∴將X-ray的晶面反射稱選擇反射。X-ray選擇“反射”的根源是X射線強(qiáng)的穿透本領(lǐng)，造成晶體內(nèi)若干原子面反射線干涉的結(jié)果。選擇反射X-ray在晶體中的衍射，實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子相干散產(chǎn)生衍射的限制條件

由2dsinθ=nλ因sinθ≤1考慮n=1（即1級(jí)反射）的情況，有——即能產(chǎn)生衍射的限制條件它說明：波長(zhǎng)λ的X-ray→晶體時(shí)，只有面間距的晶面才能產(chǎn)生衍射。

產(chǎn)生衍射的限制條件由2dsinθ=nλ因如：α-Fe的一組晶面，面間距為：2.02A,1.43A,1.17A,1.01A,0.90A,0.83A,0.76A……

哪些面能產(chǎn)生衍射？哪些不能？分別用銅靶\(zhòng)鐵靶如：α-Fe的一組晶面，面間距為：2.02A,1.4干涉面和干涉指數(shù)

我們將布拉格方程中的n隱含在d中得到簡(jiǎn)化的布拉格方程：

把（hkl）晶面的n級(jí)反射看成為與（hkl）晶面平行、面間距為dHKL的晶面的一級(jí)反射。面間距為dHKL的晶面并不一定是晶體中的原子面，而是為了簡(jiǎn)化布拉格方程所引入的反射面，我們把這樣的反射面稱為干涉面。干涉面的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)?！獙?shí)用布拉格方程干涉面和干涉指數(shù)我們將布拉格方程中衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

由2dsinθ=λ有λ一定時(shí)，則θ是d的函數(shù)將上述立方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，平方，得：立方晶系：正方晶系：斜方晶系：∴由衍射線束的方向→確定晶胞的形狀、大小。無法確定原子種類和在晶胞中的位置的。

衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系由2dsinθ=λ有λ一小結(jié)：1.布拉格方程表明了選擇反射的規(guī)律，是一個(gè)物理模型。作用：由θ→d→a,b,c2.引入干涉指數(shù)后，方程簡(jiǎn)化、實(shí)用。3.選擇反射的根源是X-ray有強(qiáng)的穿透力。小結(jié)：1.布拉格方程表明了選擇反射的規(guī)律，是一個(gè)物理模(b)體心立方Wa=b=c=0.3165nm(a)體心立方a-Fea=b=c=0.2866nm(b)體心立方W(a)體心立方a-Fea=b=c=圖3-4X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系

(c)體心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm(d)體心正交:a=0.286nm,b=0.300nm,c=0.320nm(e)面心立方：g-Fea=b=c=0.360nm圖3-4X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解

在描述X射線的衍射幾何時(shí)，主要是解決兩個(gè)問題:

為了把這兩個(gè)方面的條件用一個(gè)統(tǒng)一的矢量形式來表達(dá)，引入了衍射矢量的概念。

倒易點(diǎn)陣中衍射矢量的圖解法：厄瓦爾德圖解產(chǎn)生衍射的條件，即滿足布拉格方程；衍射方向，即根據(jù)布拉格方程確定的衍射角2。衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解在描述X射線衍射矢量

如圖所示，當(dāng)一束X射線被晶面P反射時(shí)，假定N為晶面P的法線方向，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射線方向用單位矢量S表示，則S-S0為衍射矢量。S-S0（衍射矢量圖示）S0SBCAλNP衍射矢量如圖所示，當(dāng)一束X射線被晶面——衍射矢量方程（由布拉格公式導(dǎo)出的布拉格公式矢量表達(dá)式）也可以說：、、

構(gòu)成一等腰三角形時(shí)，則產(chǎn)生衍射。衍射矢量方程是衍射的必要條件。

——衍射矢量方程（由布拉格公式導(dǎo)出的布拉格公式矢量表達(dá)式）厄瓦爾德圖解原理

要使（HKL）晶面發(fā)生反射，入射線必須沿一定方向入射，以保證反射線方向的矢量端點(diǎn)恰好落在倒易矢量的端點(diǎn)上，即的端點(diǎn)應(yīng)落在HKL倒易點(diǎn)上。

——表征衍射幾何條件的圖解形式。厄瓦爾德圖解原理要使（HKL）晶面發(fā)生反射，入射

由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，因此當(dāng)入射線沿一定方位入射時(shí)，可能同時(shí)有若干束衍射線發(fā)生，則可用厄瓦爾德圖解法求衍射線束的方向。

設(shè)有n族面符合反射條件，則可作n個(gè)衍射矢量三角形，該三角形以C為頂點(diǎn)，為一公共邊，各自的倒易陣點(diǎn)至C≡，它們構(gòu)成一個(gè)球面，稱厄瓦爾德球或反射球。

由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，作圖

(見圖)1．

作晶體的倒易點(diǎn)陣，O*為倒易原點(diǎn)。2．

入射線沿OO*方向入射，且令OO*=3．以O(shè)為球心，以為半徑畫一個(gè)球——稱反射球。若球面與倒易點(diǎn)P1相交，連OP1則有OP1是一衍射線方向。衍射X射線衍射X射線衍射球O*ACB衍射X射線SO1/λS0作圖(見圖)1．

作晶體的倒易點(diǎn)陣，O*為倒易原點(diǎn)。OP1P0O*Or*P0O*Or*

以上求衍射線方向的作圖法稱厄瓦爾德圖解。

由此可見，當(dāng)X-ray沿OO*方向入射，所有能發(fā)生反射的晶面，其倒易點(diǎn)都應(yīng)落在以O(shè)為球心，以1/λ為半徑的球面上，即在球面上的倒易陣點(diǎn)可以反射，不在球面上的倒易陣點(diǎn)一定不可反射，從球心O指向倒易點(diǎn)的方向是相應(yīng)晶面反射線的方向。

以上求衍射線方向的作圖法稱厄瓦爾德圖解。由作圖舉例用Cu-Kα照射多晶Al合金（fcc），a=4.09埃，若｛111｝、｛220｝產(chǎn)生反射，作圖表示反射圖象，θ111、θ220=？（λ=1.54埃）單晶立方晶體，a=3.6埃，λ=1.94埃，入射，（、）上倒易陣點(diǎn)能否反射？若要使（220）能產(chǎn)生反射，怎么辦？①改變波長(zhǎng)，②轉(zhuǎn)動(dòng)晶體，使220落在反射球上。作圖舉例用Cu-Kα照射多晶Al合金（fcc），a=4.09

勞埃方程組

由衍射矢量方程：先后分別以、、乘①式，得：

勞埃方程組矢量形式(H、K、L為干涉指數(shù))勞埃方程組由衍射矢量方程：先后分別以、、總結(jié)：1.討論了晶體結(jié)構(gòu)與衍射方向的關(guān)系（即d或與θ關(guān)系），此關(guān)系用4種形式表達(dá)。①2dsinθ=λ（或2dsinθ=nλ）——布拉格方程標(biāo)量式，是精確的數(shù)學(xué)計(jì)算式。②衍射矢量方程：——矢量式，是厄瓦爾德作圖的基礎(chǔ)③厄瓦爾德作圖：是衍射幾何的圖解形式，在衍射幾何分析、解釋各類成像原理時(shí)是關(guān)鍵工具。方便、直觀。④勞埃方程組：給出了衍射的實(shí)質(zhì)，是衍射學(xué)的基礎(chǔ)。2.這四種形式的作用等效，所反映的衍射規(guī)律是一致的，而且可由一種推導(dǎo)出另三種，可以互相衍變。3.四種形式只是說明在一定條件下，某一種平面反射的必要條件，而沒給出充分條件。4.注意厄瓦爾德作圖⑴多晶：①以任意方向畫，其頭部為O*，以1/λ為半徑作一圓，使O*在圓上——即反射球②以倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)為圓心，為半徑，作｛HKL｝倒易球。③方向？θ=？⑵單晶：①作倒易平面，標(biāo)出陣點(diǎn)指標(biāo)。②分析在平面上的方位，（如⊥（100），即∥，……）③以1/λ為半徑作反射球，球面過O*總結(jié)：思考題：1.晶體點(diǎn)陣膨脹后，衍射方位怎樣變化？2.倒易矢量、衍射矢量、倒易球的概念。3.Fe-Kα照射多晶α-Fe（體心立方），a=2.87埃①用Ewald作圖表示哪些干涉面可以衍射？它們的方向？②如果采用Fe-Kα、Fe-Kβ同時(shí)輻射，｛200｝的衍射線方向如何？思考題：1.晶體點(diǎn)陣膨脹后，衍射方位怎樣變化？第三章X射線衍射的幾何原理課件

第三章X射線衍射的幾何原理

序言（產(chǎn)生衍射線的原因

，x射線衍射理論）

§3-1布拉格定律§3-2衍射矢量方程和厄瓦爾德作圖

§3-3勞埃方程組第三章X射線衍射的幾何原理序言（產(chǎn)生衍射線的原因，產(chǎn)生衍射線的原因X射線晶體衍射現(xiàn)象不同的衍射花樣電子散射電磁波干涉作用輻射周期排列的散射波中心發(fā)出的相干散射波互相干涉振動(dòng)方向相同，位相恒定

ν電=ν入，λ電=λ入

晶體中原子排列的周期性干涉加強(qiáng)出現(xiàn)衍射線測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)研究與結(jié)構(gòu)相關(guān)的一系列問題分析沒有衍射線產(chǎn)生互相抵消產(chǎn)生衍射線的原因X射線晶體衍射現(xiàn)象不同的衍射花樣電子散射x射線衍射理論：

將晶體結(jié)構(gòu)和衍射花樣聯(lián)系起來x射線衍射理論包括：

衍射線束的方向：衍射線束的強(qiáng)度：衍射線束的形狀、大?。河删О男螤?、大小決定（本章）由晶胞中原子的位置和種類決定（下章）由晶體的形狀大小決定x射線衍射理論：將晶體結(jié)構(gòu)和衍射花樣聯(lián)系起來x射線衍射線束的方向用下列四種形式表示：布拉格定律衍射矢量方程厄瓦爾德圖解勞埃方程即衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系的四種表現(xiàn)形式衍射線束的方向用下列四種形式表示：布拉格定律即衍射線方向與預(yù)備知識(shí)干涉加強(qiáng)布拉格實(shí)驗(yàn)一.布拉格定律的推證二.布拉格方程的討論預(yù)備知識(shí)干涉加強(qiáng)布拉格實(shí)驗(yàn)一.布拉格定律的推證二.布拉格方程如圖3-1S方向的合成波MλABSTT方向的合成波(振幅=0)波程差：δ=nλ(n=0，1，2，……)或相差：φ=2π?δ/λ=n?2π若δ=（2n+1）λ或φ=（2n+1）π削弱為0干涉加強(qiáng)如圖3-1S方向的合成波MλABSTT方向的合成波(振幅=0o布拉格實(shí)驗(yàn)(圖3－2）

將X-ray沿與NaCl晶體（001）面平行的方向入射，且晶體繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ，同時(shí)計(jì)數(shù)管轉(zhuǎn)動(dòng)2θ。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：當(dāng)θ=30°、64°時(shí)，有脈沖產(chǎn)生。λ(001)nθ12θ1(001)nλo布拉格實(shí)驗(yàn)(圖3－2）將X-ray沿與NaCl晶體（00實(shí)驗(yàn)表明：①可將晶面視為反射面，且θ反=θ入②反射具有選擇性那么：為什么是選擇反射？這與晶體結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)表明：一.布拉格定律的推證假定在參與散射的晶體中：①晶面完整、平直②入射線平行③單色X-ray（波長(zhǎng)一定）此時(shí)，X-ray滿足反射定律θ反=θ入。入射線、反射線、法線三線共面一.布拉格定律的推證假定在參與散射的晶體中：此時(shí)，X-r晶面法線圖3-3晶體對(duì)X射線的衍射11a232a1`a1`2`3`2`aABCSMNQRθ2θPKβad一層原子面O晶面法線圖3-3晶體對(duì)X射線的衍射11a232a1`aAPKQRθθ1a1a`11`APKQRθθ1a1a`11`1.一層原子面上散射X-ray的干涉

δ=KQ-PR=a(cosθ-cosβ)如圖3－3:X-ray以θ角入射到原子面A,并以β角散射時(shí)，相距為a的任意兩原子P、K散射X射線1-1`和1a-1`a的波程差為：當(dāng)δ=nλ時(shí)，在β方向干涉加強(qiáng)

假定原子面上所有原子的散射線同位相，即φ=n?2π=0，δ=0(見圖3－1)則a(cosθ-cosβ)=0，θ=β1.一層原子面上散射X-ray的干涉δ=KQ-PR=a(c當(dāng)入射角與散射角相等時(shí)，一層原子面上所有散射波干涉加強(qiáng)。與可見光的反射定律相類似，X-ray從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線干涉加強(qiáng)的方向：

即一層原子面對(duì)X-ray的衍射在形式上可看成原子面對(duì)入射線的反射。當(dāng)入射角與散射角相等時(shí)，一層原子面上所有散射波干涉加強(qiáng)。∵X-ray具有強(qiáng)的穿透力，晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的散射線互相干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉?！遆-ray具有強(qiáng)的穿透力，晶體的散射線來自若干層原子面2.相鄰原子面的散射波的干涉1-1`和2-2`的波程差：如圖3－3:δ=MO+ON=2dsinθ

若

δ=nλ則相鄰原子面散射波干涉加強(qiáng)——衍射時(shí)產(chǎn)生衍射。布拉格方程是產(chǎn)生衍射的必要條件。

即

2dsinθ=nλ（n=0,1,2,3,…)——布拉格方程方程中：λ：入射線波長(zhǎng)d：晶面間距；

θ：掠射角或布拉格角（半衍射角）

2θ：衍射角；n：為整數(shù)，稱反射級(jí)數(shù)2.相鄰原子面的散射波的干涉1-1`和2-2`的波程差：如二.布拉格方程的討論

選擇反射

產(chǎn)生衍射的限制條件

干涉面和干涉指數(shù)

衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

二.布拉格方程的討論選擇反射選擇反射X-ray在晶體中的衍射，實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結(jié)果。一束可見光以任意角度投射到鏡面上時(shí)都可以產(chǎn)生反射，不受條件限制。X-ray從原子面的反射是有選擇地，其選擇條件為布拉格方程∴將X-ray的晶面反射稱選擇反射。X-ray選擇“反射”的根源是X射線強(qiáng)的穿透本領(lǐng)，造成晶體內(nèi)若干原子面反射線干涉的結(jié)果。選擇反射X-ray在晶體中的衍射，實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子相干散產(chǎn)生衍射的限制條件

由2dsinθ=nλ因sinθ≤1考慮n=1（即1級(jí)反射）的情況，有——即能產(chǎn)生衍射的限制條件它說明：波長(zhǎng)λ的X-ray→晶體時(shí)，只有面間距的晶面才能產(chǎn)生衍射。

產(chǎn)生衍射的限制條件由2dsinθ=nλ因如：α-Fe的一組晶面，面間距為：2.02A,1.43A,1.17A,1.01A,0.90A,0.83A,0.76A……

哪些面能產(chǎn)生衍射？哪些不能？分別用銅靶\(zhòng)鐵靶如：α-Fe的一組晶面，面間距為：2.02A,1.4干涉面和干涉指數(shù)

我們將布拉格方程中的n隱含在d中得到簡(jiǎn)化的布拉格方程：

把（hkl）晶面的n級(jí)反射看成為與（hkl）晶面平行、面間距為dHKL的晶面的一級(jí)反射。面間距為dHKL的晶面并不一定是晶體中的原子面，而是為了簡(jiǎn)化布拉格方程所引入的反射面，我們把這樣的反射面稱為干涉面。干涉面的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)?！獙?shí)用布拉格方程干涉面和干涉指數(shù)我們將布拉格方程中衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

由2dsinθ=λ有λ一定時(shí)，則θ是d的函數(shù)將上述立方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，平方，得：立方晶系：正方晶系：斜方晶系：∴由衍射線束的方向→確定晶胞的形狀、大小。無法確定原子種類和在晶胞中的位置的。

衍射線方向與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系由2dsinθ=λ有λ一小結(jié)：1.布拉格方程表明了選擇反射的規(guī)律，是一個(gè)物理模型。作用：由θ→d→a,b,c2.引入干涉指數(shù)后，方程簡(jiǎn)化、實(shí)用。3.選擇反射的根源是X-ray有強(qiáng)的穿透力。小結(jié)：1.布拉格方程表明了選擇反射的規(guī)律，是一個(gè)物理模(b)體心立方Wa=b=c=0.3165nm(a)體心立方a-Fea=b=c=0.2866nm(b)體心立方W(a)體心立方a-Fea=b=c=圖3-4X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系

(c)體心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm(d)體心正交:a=0.286nm,b=0.300nm,c=0.320nm(e)面心立方：g-Fea=b=c=0.360nm圖3-4X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解

在描述X射線的衍射幾何時(shí)，主要是解決兩個(gè)問題:

為了把這兩個(gè)方面的條件用一個(gè)統(tǒng)一的矢量形式來表達(dá)，引入了衍射矢量的概念。

倒易點(diǎn)陣中衍射矢量的圖解法：厄瓦爾德圖解產(chǎn)生衍射的條件，即滿足布拉格方程；衍射方向，即根據(jù)布拉格方程確定的衍射角2。衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解在描述X射線衍射矢量

如圖所示，當(dāng)一束X射線被晶面P反射時(shí)，假定N為晶面P的法線方向，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射線方向用單位矢量S表示，則S-S0為衍射矢量。S-S0（衍射矢量圖示）S0SBCAλNP衍射矢量如圖所示，當(dāng)一束X射線被晶面——衍射矢量方程（由布拉格公式導(dǎo)出的布拉格公式矢量表達(dá)式）也可以說：、、

構(gòu)成一等腰三角形時(shí)，則產(chǎn)生衍射。衍射矢量方程是衍射的必要條件。

——衍射矢量方程（由布拉格公式導(dǎo)出的布拉格公式矢量表達(dá)式）厄瓦爾德圖解原理

要使（HKL）晶面發(fā)生反射，入射線必須沿一定方向入射，以保證反射線方向的矢量端點(diǎn)恰好落在倒易矢量的端點(diǎn)上，即的端點(diǎn)應(yīng)落在HKL倒易點(diǎn)上。

——表征衍射幾何條件的圖解形式。厄瓦爾德圖解原理要使（HKL）晶面發(fā)生反射，入射

由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，因此當(dāng)入射線沿一定方位入射時(shí)，可能同時(shí)有若干束衍射線發(fā)生，則可用厄瓦爾德圖解法求衍射線束的方向。

設(shè)有n族面符合反射條件，則可作n個(gè)衍射矢量三角形，該三角形以C為頂點(diǎn)，為一公共邊，各自的倒易陣點(diǎn)至C≡，它們構(gòu)成一個(gè)球面，稱厄瓦爾德球或反射球。

由于晶體中存在各種方位和各種面間距的晶面，作圖

(見圖)1．

作晶體的倒易點(diǎn)陣，O*為倒易原點(diǎn)。2．

入射線沿OO*方向入射，且令OO*=3．以O(shè)為球心，以為半徑畫一個(gè)球——稱反射球。若球面與倒易點(diǎn)P1相交，連OP1則有OP1是一衍射線方向。衍射X射線衍射X射線衍射球O*ACB衍射X射線SO1/λS0作圖(見圖)1．

作晶體的倒易點(diǎn)陣，O*為倒易原點(diǎn)。OP1P0O*Or*P0O*Or*

以上求衍射線方向的作圖法稱厄瓦爾德圖解。

由此可見，當(dāng)X-ray沿OO*方向入射，所有能發(fā)生反射的晶面，其倒易點(diǎn)都應(yīng)落在以O(shè)為球心，以1/λ為半徑的球面上，即在球面上的倒