平行四邊形經(jīng)典例題

實(shí)用文檔平行四邊形、基礎(chǔ)知識(shí)平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。性質(zhì)1、對(duì)邊平行且相等。2、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。3、對(duì)角線互相平分1、四個(gè)角都是直角。2、對(duì)角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相等3、兩條對(duì)角線相等判定1、定義：2、判定定理:(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。(4)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理:(1)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。1、定義：2、判定定理：(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再證一個(gè)角是直角。1、定義：先判斷是梯形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形二、1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（圖1）二、例題（圖1）例1、如圖1,平行四邊形ABCD中，AE，BD,CF，BD,垂足分別為E、F.求證：NBAE=ZDCF.例2、如圖2,矩形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，BE±AC于E,CF±BD于F.求證：BE=CF.例3、已知：如圖3,在梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，CF=2FD.求證：NBEC=NCFB.標(biāo)準(zhǔn)文案

實(shí)用文檔例4、如圖6,E、F分別是ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE=CF.（1）求證：△ABEV△CDF；（2）若一M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，連結(jié)MF、EN,試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.（圖6）例5、如圖7ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).，求證：四邊形AFCE是菱形.圖7例6、如圖8,四邊形ABCD是平行四邊形，O是它的中心，E、F是對(duì)角線圖7例6、如圖8,四邊形ABCD是平行四邊形，O是它的中心，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn).（1）如果，則△DE建△BFA（請(qǐng)你填上一個(gè)能使結(jié)論成立的一個(gè)條件）;（2）證明你的結(jié)論.例7、如圖9，已知在梯形ABCD中，ADIIBC，AB=DC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合），EFIIBD交AC于點(diǎn)F，EGIIAC交BD于點(diǎn)C.（1）求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；（2）請(qǐng)你將上述題目的條件"梯形ABCD中，ADIIBC，AB=DC”改為另一種四邊形,的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明.例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個(gè)農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案（平分方案畫在備用圖13（1）、（2）上），并給予合理的解釋.備用圖（1）備用圖（2）標(biāo)準(zhǔn)文案圖13實(shí)用文檔實(shí)用文檔四、練習(xí)一、選擇題.下列命題正確的是（ ）（A）、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平行四邊形 （B）、對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形（C）、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形（D）、（C）、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形.已知平行四邊形ABCD的周長32,5AB=3BC,則AC的取值范圍為（）A.6<AC<10；B.6<AC<16；C.10<AC<16；D.4<AC<16A.6<AC<10；B.6<AC<16；C.10<AC<16；D.4<AC<16.兩個(gè)全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個(gè)數(shù)是（4.（A）1（B）2（C）3（D）4延長平形四邊形ABCD的一邊4.（A）1（B）2（C）3（D）4延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E)(A)1(B)1.2使BE=BD,連結(jié)DE交BC于F,-J3(C)彳乙若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,則AC的長為(D)1.55.(A)1cm(B)2cm(C)3cm(D)4cm5.(A)1cm(B)2cm(C)3cm(D)4cm若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E,AE=1cm,則BD的長是（.若順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線（（A）互相垂直 （B）相等（C）互相平分 （D）7.如圖，等腰4ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)DE〃AC互相垂直且相等DF〃AB,AB=5那么四邊形AFDE（A）互相垂直 （B）相等（C）互相平分 （D）7.如圖，等腰4ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)DE〃AC互相垂直且相等DF〃AB,AB=5那么四邊形AFDE的周長是(A)5(B)10(D)20EFBE｛第I。釐揖）(C)15（第7題）（第8題）（第9題）（第10題）.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN,則線段CN的長是（ ）.(A)3cm(B)4cm(C)5cm(D)6cm.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AC將梯形分成兩個(gè)三角形，其中AACD是周長為18cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長是（）.(A)9cm(B)12cm9(A)9cm(B)12cm9(c)—cm(D)18cmTOC\o"1-5"\h\z.如圖，在周長為20cm的DABCD中，ABWAD,AC、BD相交于點(diǎn)O,OE^BD交AD于E,則^ABE的周長為（ ）（A）4cm （B）6cm（C）8cm（D）10cm.如圖2,四邊形ABCD為矩形紙片.把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF.若CD=6,則AD等于（ ）（A）4y3 （B）3v3 （C）4v2 （D）8.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（ ）A、線段EF的長逐漸增大 B、線段EF的長逐漸減小C、線段EF的長不變 D、線段EF的長與點(diǎn)P.在梯形ABCD中，AD〃BC,對(duì)角線ACLBD,且AC5cm,BD=12cm,則梯形中位線的長等于（ ）標(biāo)準(zhǔn)文案

實(shí)用文檔A.7.5cmB.7cm C.6.5cmD.6cm.國家級(jí)歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇(如圖)，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花.如果有AB〃EF〃DC,BC〃GH〃AD,那么下列說法中錯(cuò)誤的是()A.紅花、綠花種植面積一定相等 B.紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等 D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等二、填空題1.如果四邊形四個(gè)內(nèi)角之比1：2：3：4,則這四邊形為形。2.若正方形的對(duì)角線長為2錯(cuò)誤!未找到引用源。cm,則正方形的面積為。.若矩形一個(gè)內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個(gè)矩形周長是.已知：平行四邊形ABCD的周長是30cm,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AAOB的周長比^BOC的周長長5cm，則這個(gè)平行四邊形的各邊長為 3.已知：平行四邊形ABCD中,gBSCB的延長線于點(diǎn)E,AWSCD的延長線于點(diǎn)F,AB+BC+CD+DA=32cm，BC=gAB，NEAF=2NC,則BE長為，則NC,.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A(—2,5),B(—3,—1),C(1,—1),在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)D,使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是7.已知：如圖8,正方形ABCD中，對(duì)角線AC7.已知：如圖8,正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，若AE=4cm,DF=3cm,且OELOF,則EF.如圖9(1)是一個(gè)等腰梯形，由6個(gè)這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的一個(gè)菱形.對(duì)于圖10(1)中的等腰梯形，請(qǐng)寫出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個(gè)正確結(jié)論：.如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E,F分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD=BC,/PEF=18°,則/PFE的度數(shù)是.如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長6和8,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是 11.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G11.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是(12題)(13題)第12題圖(14題)12、如圖所示，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DF平分NADC交AC于E,BC于F,NBDF=15°,則NCOF=.13.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線4°和BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)°的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F,AB=2BC=3,則圖中陰影部分的面積為14、如圖，矩形A|B|C|Q的面積為4,順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形A,B,CD 再順次連結(jié)四邊形A,B,CD四邊中點(diǎn)得乙乙乙乙 乙乙乙乙標(biāo)準(zhǔn)文案

實(shí)用文檔到四邊形A3B??3，依此類推，求四邊形AM?n的面積是一15、如圖⑴已知O是DABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC=24,BD=38,AD=14,那么^OBC的周長等于17、一個(gè)平行四邊形的周長為70cm，兩邊的差是10cm，則平行四邊形各邊長為cm。18、已知菱形的一條對(duì)角線長為12cm，面積為30cm2,則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長為cm。19、菱形ABCD中，NA=60o,對(duì)角線BD長為7cm,則此菱形周長cm。20、如果一個(gè)正方形的對(duì)角線長為J2，那么它的面積。21、如圖2矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,NAOB=60o,AB=8,則矩形對(duì)角線的長22、如圖3,等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB〃DE,BC=8,AB=6,AD=5貝【「△CDE周長。21、正方形的對(duì)稱軸有條22、如圖4,BD是DABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個(gè)條件是23、要從一張長為40cm,寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm,寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出 張。解答題1.如圖，在四邊形ABCD中，NA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的長。2.如圖，在等腰梯形ABCD2.如圖，在等腰梯形ABCD中A,DA,D.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D’(1)求證：^ABE四△AD'F；(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E,ZADB=60°,BD=10,BE：ED=4：1,求梯形ABCD的腰長.標(biāo)準(zhǔn)文案

實(shí)用文檔.如圖，菱形ABCD,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，NB=NEAF=60°,NBAE=18°求NCEF的度數(shù)。.已知：如圖，在4ABC中，AB=AC，AD^BC,垂足為點(diǎn)D,AN是4ABC外角/CAM的平分線，CE^AN,垂足為點(diǎn)E,（第6題）（第6題）（2）當(dāng)4ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明..如圖，四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=DC=4,另一組對(duì)邊ADWBC,對(duì)角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，且/ABD=30°求：（1）MH的長（2）MN的長。.如圖所示，在^ABC中，NBAC=90°,AD，B,BE平分NABC,EF〃BC,.如圖所示，在^ABC中，NBAC=90°,AD，B,BE平分NABC,EF〃BC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論。.如圖，ABCD是正方形，CE〃BD,BE=BD,BE交DC于點(diǎn)F,求證：(1)/BEC=30° (2)DE=DFBC標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔.如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PELBC,垂足為實(shí)用文檔.如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PELBC,垂足為E,PFLCD,垂足為F,求證：EF=AP.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF(1)求證:PA=PC;(2)若AD=12,AB=15,ZDAB=60°,求四邊形ABCD的面積.10.如圖所示，已知在DABCD中，E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，：.已知：如圖，E為DABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE=DC,連結(jié)AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G,連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OF.求證：AB=2OF..如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm,AB=6cm,點(diǎn)A處有一動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C處也有一動(dòng)點(diǎn)F以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),四邊形EBFD的面積為y(cm2),求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。標(biāo)準(zhǔn)文案

實(shí)用文檔21,如圖16,已知四邊形ABCD是平行四邊形，ZBCD的平分線CF交邊AB于F,/ADC的平分線DG交邊AB于G.(1)線段AF與GB相等嗎？(2)請(qǐng)你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得^EFG為等腰直角三角形,并說明理由.22,如圖朗已知口ABCD中，E為A圖的中點(diǎn)，CE的延長線交BA圖延長線于點(diǎn)E.(1)試說明線段CD與FA相等的理由；(2)若使ZF=ZBCF,□ABCD的邊長之間還需再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件，并說明你的理由(不要再增添輔助線).23,(08上海市)如圖，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是BD延長線上的點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若/AED=2/EAD，求證：四邊形ABCD是正方形.24,已知：如圖19,四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是DB延長線上一點(diǎn)，且DE=BF.請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只須證明一組線段相等即可).(1)連結(jié)；(2)猜想：=；(3)證明：25,如圖20,已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過點(diǎn)A作AM±BE,垂足為M,AM交BD于點(diǎn)F.(1)試說明OE=OF；(2)如圖21,若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM±BE于點(diǎn)M,交DB的延長線于點(diǎn)F,其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF"還成立嗎?如果成立，請(qǐng)給出說明理由；如果不成立，請(qǐng)說明理由.圖19OC圖20

圖19OC圖20實(shí)用文檔13.如圖在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng),P,Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t,t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形？14已知：如圖，在直角梯形ABCD中，NB=90gAD〃BC,AD=24cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AD邊向D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形？等腰梯形？.在4ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的.在4ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的4AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP,接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計(jì)，并畫出圖形說明。(1)在4ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成矩形。(2)在4ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼(3)在4ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼形。(4)在9BC(ABWAC)中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線與意圖。成菱形。成正方拼圖示15如圖把一個(gè)正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個(gè)全等的圖形(圖甲)；將余下的部分分成4個(gè)全等的圖形(圖已)仿照示例，請(qǐng)你將一個(gè)正三角形割去四分之一后余下的部分。(1)分成3個(gè)全等的圖形(在圖一中畫出示意圖)；(2)分成四個(gè)全等的圖形(在圖二中畫出示意圖)；(3)你還能利用所得的4個(gè)全等的圖形拼成一個(gè)平行四邊形嗎？若能，畫出大致的示意圖。標(biāo)準(zhǔn)文案圖1(圖甲)圖工

標(biāo)準(zhǔn)文案圖1(圖甲)圖工實(shí)用文檔.如圖是王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺要想從A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分成面積相等的兩部分.請(qǐng)你為王大爺設(shè)計(jì)一條引水渠的方案，畫出圖形，并簡要寫出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：1.(1)如圖25-1，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=5NBAD.求證：EF=BE+FD;1(2)如圖25-2在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=不NBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.(3)如圖25-3在四邊形ABCD中，AB=AD,1ZB+ZADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且NEAF=2/BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.18.將邊長OA=8,0C=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在X軸