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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.2.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎設施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.3.設,,,則()A. B. C. D.4.已知,則的大小關系為()A. B. C. D.5.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列的前項和為,且,,,則的通項公式()A. B. C. D.7.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.下列函數(shù)中,值域為的偶函數(shù)是()A. B. C. D.9.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立10.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.11.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形12.已知拋物線的焦點為,若拋物線上的點關于直線對稱的點恰好在射線上,則直線被截得的弦長為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將2個相同的紅球和2個相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2個球,丙、丁盒子均最多可放入1個球,且不同顏色的球不能放入同一個盒子里,共有________種不同的放法.14.已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點,,則球O的體積為______.15.在中,已知是的中點,且,點滿足,則的取值范圍是_______.16.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的中心在坐標原點,其短半軸長為1,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上,且.(1)證明:直線與圓相切;(2)設與橢圓的另一個交點為,當?shù)拿娣e最小時,求的長.18.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.19.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,設點在曲線上,點在曲線上,且為正三角形.(1)求點,的極坐標;(2)若點為曲線上的動點,為線段的中點,求的最大值.20.(12分)已知二階矩陣A=abcd,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α121.(12分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當點的橫坐標之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當取最大值時,求直線的方程.22.(10分)已知橢圓,上、下頂點分別是、,上、下焦點分別是、,焦距為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若為橢圓上異于、的動點,過作與軸平行的直線,直線與交于點,直線與直線交于點,判斷是否為定值,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點,確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,,當且僅當時等號成立,即時取得最小值.故選:A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質,以及基本不等式求最值,意在考查轉化與變形,基本計算能力,屬于基礎題型.2.D【解析】
根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個選項逐一進行分析排除,由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項,投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項,令代入回歸直線方程得億元,故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進行預測的方法,屬于基礎題.3.A【解析】
先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調性可比較,再由中間值1可得三者的大小關系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小,屬于基礎題.4.A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調性,將與對比,即可求出結論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎題..5.D【解析】
利用等比中項性質可得等差數(shù)列的首項,進而求得,再利用二次函數(shù)的性質,可得當或時,取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調性,可知當或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質、等差數(shù)列前項和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當或時同時取到最值.6.C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系等基礎知識;考查運算求解能力,邏輯推理能力,應用意識.7.A【解析】
由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設點在雙曲線右支上運動,則,當時,此時,所以,,所以;當軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.8.C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.9.C【解析】
A:否命題既否條件又否結論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎題.10.D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.11.B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.12.B【解析】
由焦點得拋物線方程,設點的坐標為,根據(jù)對稱可求出點的坐標,寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點,計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為,則,即,設點的坐標為,點的坐標為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設直線與拋物線的另一個交點為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長為.故選:B.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程,簡單幾何性質,點關于直線對稱,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
討論裝球盒子的個數(shù),計算得到答案.【詳解】當四個盒子有球時:種;當三個盒子有球時:種;當兩個盒子有球時:種.故共有種,故答案為:.【點睛】本題考查了排列組合的綜合應用,意在考查學生的理解能力和應用能力.14.【解析】
可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解:,,,因為為的中點,所以為的外心,因為,所以點在內的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設,則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,屬于中檔題.15.【解析】
由中點公式的向量形式可得,即有,設,有,再分別討論三點共線和不共線時的情況,找到的關系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點,∴,即設,于是(1)當共線時,因為,①若點在之間,則,此時,;②若點在的延長線上,則,此時,.(2)當不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點睛】本題主要考查學中點公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應用,以及余弦定理的應用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應用,解題關鍵是建立函數(shù)關系式,屬于中檔題.16.【解析】
由中位線定理和正方體性質得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】
(1)分斜率為0,斜率不存在,斜率不為0三種情況討論,設的方程為,可求解得到,,可得到的距離為1,即得證;(2)表示的面積為,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)由題意,橢圓的焦點在x軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點在直線上,且知的斜率必定存在,當?shù)男甭蕿?時,,,于是,到的距離為1,直線與圓相切.當?shù)男甭什粸?時,設的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時,到的距離為1,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.(2)由(1)知,的面積為,上式中,當且僅當?shù)忍柍闪?,所以面積的最小值為1.此時,點在橢圓的長軸端點,為.不妨設為長軸左端點,則直線的方程為,代入橢圓的方程解得,即,,所以.【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了直線和圓的位置關系判斷,面積的最值問題,考查了學生綜合分析,數(shù)學運算能力,屬于較難題.18.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)用數(shù)學歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個整數(shù),可得結果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若存在正整數(shù),使得是整數(shù),則,設,,∴是一個整數(shù),∴,從而又當時,有,綜上,的最小值為.【點睛】本題主要考查由遞推關系得通項公式和等差數(shù)列的性質,關鍵是利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,屬于難題.19.(1),;(2).【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式,即得解;(2)設點的直角坐標為,則點的直角坐標為.將此代入曲線的方程,可得點在以為圓心,為半徑的圓上,所以的最大值為,即得解.【詳解】(1)因為點在曲線上,為正三角形,所以點在曲線上.又因為點在曲線上,所以點的極坐標是,從而,點的極坐標是.(2)由(1)可知,點的直角坐標為,B的直角坐標為設點的直角坐標為,則點的直角坐標為.將此代入曲線的方程,有即點在以為圓心,為半徑的圓上.,所以的最大值為.【點睛】本題考查了極坐標和參數(shù)方程綜合,考查了極坐標和直角坐標互化,參數(shù)方程的應用,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.20.A=【解析】
運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知,Aα即abc同
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