線性系統(tǒng)的運動 課件

第2章線性系統(tǒng)的運動分析

定量分析----對系統(tǒng)的運動規(guī)律進行精確的研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應(yīng)。

定性分析----則著重對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個關(guān)鍵性質(zhì)，如能控性、能觀測性和穩(wěn)定性等

2.1線性系統(tǒng)的自由運動2.2線性系統(tǒng)的一般運動2.3連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的離散化2.4線性離散時間系統(tǒng)的一般運動第2章線性系統(tǒng)的運動分析定量分析----對系統(tǒng)的運動12.1線性系統(tǒng)的自由運動線性系統(tǒng)自由運動分析的數(shù)學(xué)實質(zhì)

系統(tǒng)的自由運動反映的是系統(tǒng)內(nèi)在的固有參數(shù)及結(jié)構(gòu)特性，研究分析系統(tǒng)的自由運動是研究分析系統(tǒng)的一般運動的基礎(chǔ)。

指在輸入向量及初始狀態(tài)的條件下系統(tǒng)的運動1.齊次狀態(tài)方程解的一般表達式2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.1線性系統(tǒng)的自由運動線性系統(tǒng)自由運動分析的數(shù)學(xué)實質(zhì)2令t=0

（一）齊次狀態(tài)方程解的一般表達式令t=0（一）齊次狀態(tài)方程解的一般表達式3因此,齊次狀態(tài)方程的解為:根據(jù)標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定義式:定義矩陣向量eAt為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣于是齊次狀態(tài)方程的解為:因此,齊次狀態(tài)方程的解為:根據(jù)標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定義式:定義矩陣向4另用拉氏變換法求解齊次微分方程:拉氏反變換后得到齊次狀態(tài)方程的解:對比另用拉氏變換法求解齊次微分方程:拉氏反變換后得到齊次狀態(tài)方程5將矩陣指數(shù)函數(shù)或稱為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運動的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性,A的狀態(tài)矩陣唯一。將矩陣指數(shù)函數(shù)或稱為系統(tǒng)的狀態(tài)6②包含了自由運動性質(zhì)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性。

③當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值均具有負實部，線性定常系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定。①如果t為某給定常數(shù)T，那么零輸入響應(yīng)就是狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)經(jīng)線性變換常數(shù)陣所致。幾點解釋：②包含了自由運動性質(zhì)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動7（二）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)；2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算。

a.直接求?。籦.拉普拉斯變換；c.化矩陣A為對角型或約當(dāng)型；d.化矩陣指數(shù)為A的有限項。

（二）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣8①證：（1）線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)①證：（1）線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)9由性質(zhì)①②推出：②證：式(2.1.14)式逐項對t求導(dǎo)

這個性質(zhì)表明，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與系統(tǒng)矩陣A滿足交換律。

由性質(zhì)①②推出：②證：式(2.1.14)式逐項對t求導(dǎo)10③證：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，有表明具有分段組合的性質(zhì)。③證：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，有表明具有分段組合11④證：根據(jù)性質(zhì)①和③及逆矩陣定義，有⑤證明：可把一個轉(zhuǎn)移分為若干個小的轉(zhuǎn)移來研究。④證：根據(jù)性質(zhì)①和③及逆矩陣定義，有⑤證明：可把12⑥若為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則引入非奇異變換后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：證：式中：⑥若為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則13

1.

直接求取法[例2.1]已知系統(tǒng)矩陣，求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：根據(jù)定義有：結(jié)論：直接求取法步驟簡便、編程簡單、易于計算機求解。缺點是難以獲得解析形式，不適合手工計算。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算

1.

直接求取法[例2.1]已知系統(tǒng)矩陣，求系統(tǒng)狀態(tài)142.

化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法①矩陣A的特征值互異

2.

化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法15[例2.2]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A為對角規(guī)范型方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：矩陣A的特征方程為[例2.2]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣16

②矩陣A有重特征值

設(shè)矩陣A為“友”矩陣，且有m1重特征值，m2重特征值，互異特征值②矩陣A有重特征值設(shè)矩陣A為“友”矩陣，且有m117第2章線性系統(tǒng)的運動課件18[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A為約當(dāng)規(guī)范型方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：矩陣A的特征方程為：[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A19兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式①設(shè)②設(shè)兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式①設(shè)②設(shè)20[例2.4]已知系統(tǒng)矩陣試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:[例2.4]已知系統(tǒng)矩陣試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:21③矩陣A有復(fù)數(shù)特征值，此時需要將A化為模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形其中：模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式計算(證明略)③矩陣A有復(fù)數(shù)特征值，此時需要將A化為模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形其22[例2.5]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：矩陣A的特征值為解得：[例2.5]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：矩陣A的23[例2.6]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:在第1章知識得到[例2.6]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:在第24結(jié)論：化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法步驟相對復(fù)雜，但可以獲得解析形式，并建立其了矩陣A的特征值和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的直觀聯(lián)系，更便于對系統(tǒng)進行分析，但計算相對復(fù)雜，特別適合一些簡單系統(tǒng)的計算和分析。結(jié)論：化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法步驟相對復(fù)雜，但可253.拉普拉斯變換法

結(jié)論：拉普拉斯變換法步驟相對復(fù)雜，但可以獲得解析形式，便于對系統(tǒng)進行分析，在系統(tǒng)維數(shù)較少時，可用手工計算，在系統(tǒng)維數(shù)較大時，仍要借助計算機來計算。

[P63例2.4]跳轉(zhuǎn)3.拉普拉斯變換法結(jié)論：拉普拉斯變換法步驟相對復(fù)雜，但可以26[P63例2.4]已知系統(tǒng)矩陣，試用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解:返回上頁[P63例2.4]已知系統(tǒng)矩陣，試用拉普274.

化矩陣A為有限項法(待定系數(shù)法)這種方法是利用凱萊-哈密爾頓定理(Cayley-Hamilton),將的的無窮級數(shù)化為矩陣A的有限項之和進行計算。凱萊-哈密爾頓定理指出，矩陣A滿足自己的特征多項式。則A滿足：4.

化矩陣A為有限項法(待定系數(shù)法)這種方法28應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理29a.矩陣A有n個互異的特征值下面按A的特征值形態(tài)分兩種情況討論a.矩陣A有n個互異的特征值下面按A的特征值形態(tài)分兩種情況30[例2.6]重做[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用凱萊-哈密爾頓定理方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。P67

解：在[例2-3]中已求出矩陣A的特征值[例2.6]重做[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣31b.矩陣A有n重特征值

A有重特征值時，得不到式（2.23-1）所示的線性獨立的n個方程式（2.24-1）對求一次導(dǎo)數(shù)，得到一個獨立方程，求n-1次導(dǎo)數(shù)，就可以得到n-1個獨立方程。b.矩陣A有n重特征值A(chǔ)有重特征值時，得不到式（32第2章線性系統(tǒng)的運動課件33如果A的特征值如果A的特征值34[例2.7]試用化矩陣指數(shù)為A的有限項法求解[P68]

解:在[例2.4]中已求得矩陣A的特征值[例2.7]試用化矩陣指數(shù)為A的有限項法求解[P6835【例2.8】驗證如下矩陣是否為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：利用性質(zhì)所以該矩陣不是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?！纠?.8】驗證如下矩陣是否為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：利用性質(zhì)所36[例2.9]根據(jù)已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求A解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)2[例2.9]根據(jù)已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求A解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣37(一)線性系統(tǒng)的零狀態(tài)強迫運動

系統(tǒng)的運動由兩部分組成其中第1項,是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移;

第2項是，為控制輸入作用的受控項正是由于受控項的存在，提供了通過選取合適的u使x(t)的運動軌跡滿足期望的可能性。線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是在求取非齊次狀態(tài)方程的解。2.2線性系統(tǒng)的一般運動(一)線性系統(tǒng)的零狀態(tài)強迫運動系統(tǒng)的運動由兩部分組成第38兩邊左乘

而：

線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是系統(tǒng)對于各個時刻，由輸入量在該時刻引起的狀態(tài)改變的轉(zhuǎn)移對時間的積累

兩邊左乘而：線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是系統(tǒng)對于各個39（二）線性系統(tǒng)的一般運動

設(shè)線性系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程和輸出方程為：初始狀態(tài)為的解（二）線性系統(tǒng)的一般運動設(shè)線性系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程和輸出40由拉氏變換的卷積積分定理具體用哪個公式，視求解方便而定。由拉氏變換的卷積積分定理具體用哪個公式，視求解方便而定。41[例2.10]已知系統(tǒng)矩陣，且，輸入矩陣單輸入u(t)為單位階躍函數(shù)，試求系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。P69例2-8解：在[例2.2]中已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：[例2.10]已知系統(tǒng)矩陣，且，輸入矩陣42第2章線性系統(tǒng)的運動課件432.5線性離散時間系統(tǒng)的一般運動離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程有兩種解法：迭代法和Z變換法。迭代法：迭代法對于定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)皆適用。設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：當(dāng)k=0，1，2…，k-1時，得到：2.5線性離散時間系統(tǒng)的一般運動離散時間系統(tǒng)狀44便于記憶的矩陣形式:便于記憶的矩陣形式:452.Z變換法：Z變換法僅適用于定常系統(tǒng)。對式(2.54)兩邊進行Z變換,可得:整理得兩邊進行Z反變換,可得2.Z變換法：Z變換法僅適用于定常系統(tǒng)。對式(2.54)兩邊46結(jié)論1.解的形式與連續(xù)系統(tǒng)相似，x(k)也是由兩部分構(gòu)成，第1部分是系統(tǒng)自由運動分量，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和初始狀態(tài)有關(guān)；第2部分是系統(tǒng)的受控項，不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和初始狀態(tài)有關(guān)，還與u的大小有關(guān)；2.在對控制的轉(zhuǎn)移中，第k時刻的狀態(tài)與當(dāng)前的u(k)無關(guān)，由其前k-1時刻的u(1),u(2)…u(k-1)的線性組合構(gòu)成。結(jié)論1.解的形式與連續(xù)系統(tǒng)相似，x(k)也是由兩部分47［例2.12]給定離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)，控制u(k)=1，求x(k)。教材P78[例2.11]P81[例2.12][解]:1.迭代法［例2.12]給定離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)482.Z變換法先求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.Z變換法先求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣49第2章線性系統(tǒng)的運動課件50第2章線性系統(tǒng)的運動課件51第2章線性系統(tǒng)的運動課件52令:k=1,2,3…,可得到與迭代法相同的x(1),x(2),x(3)…。不同的是Z變換法可以得到封閉的解析形式。令:k=1,2,3…,可得到與迭代法相同的x(153補充作業(yè)：已知如下離散時間系統(tǒng)，u(k)是從單位斜坡函數(shù)t采樣得到的，求系統(tǒng)狀態(tài)解的表達式。補充作業(yè)：已知如下離散時間系統(tǒng)，u(k)是從單位斜坡函數(shù)t采542.4線性時變系統(tǒng)的解線性時變系統(tǒng)方程為2.4.1齊次狀態(tài)方程的解（2.43）初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并且滿足以下方程（2.45）滿足初始條件（2.46）根據(jù)我們對線性定常齊次系統(tǒng)解的知識，可以假設(shè)線性時變齊次系統(tǒng)的解應(yīng)該具有以下形式，然后加以證明（2.44）2.4線性時變系統(tǒng)的解線性時變系統(tǒng)方程為2.4.1齊55證明（2.44）式兩邊對t求導(dǎo)并且時即2.4.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性證明（2.44）式兩邊對t求導(dǎo)并且時即2563）傳遞性4）2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算用級數(shù)近似法計算計算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣例2-9線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（2.53）3）傳遞性4）2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣57解將代入（2.53）式其中解將代入（2.53582.4.4線性時變系統(tǒng)非線性齊次狀態(tài)方程的解（2.49）（2.50）其解為證明[將（2.50）式代入狀態(tài)方程（2.49）式，等式成立]或2.4.4線性時變系統(tǒng)非線性齊次狀態(tài)方程的解（2.49）592.4.5系統(tǒng)的輸出或2.4.5系統(tǒng)的輸出或602.6連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的離散化

保持器采樣器D/A數(shù)字計算機A/D連續(xù)系統(tǒng)u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)離散化模型圖2.6.1計算機控制系統(tǒng)2.6連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的離散化保持器采樣器D/A數(shù)61離散化離散化62式（2.6.2）減式（2.6.1）乘以得：

2.6.3式（2.6.2）減式（2.6.1）乘以得：2.6.63采用零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為：令：

采用零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為：令：64［例2.11]給定線性連續(xù)定常系統(tǒng)：解：在[例2.2]中已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：且采樣周期T=0.1秒，試建立時間離散化模型［例2.11]給定線性連續(xù)定常系統(tǒng)：解：在[例2.2]中已65本章小結(jié)本章小結(jié)66第2章線性系統(tǒng)的運動分析

定量分析----對系統(tǒng)的運動規(guī)律進行精確的研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應(yīng)。

定性分析----則著重對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個關(guān)鍵性質(zhì)，如能控性、能觀測性和穩(wěn)定性等

2.1線性系統(tǒng)的自由運動2.2線性系統(tǒng)的一般運動2.3連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的離散化2.4線性離散時間系統(tǒng)的一般運動第2章線性系統(tǒng)的運動分析定量分析----對系統(tǒng)的運動672.1線性系統(tǒng)的自由運動線性系統(tǒng)自由運動分析的數(shù)學(xué)實質(zhì)

系統(tǒng)的自由運動反映的是系統(tǒng)內(nèi)在的固有參數(shù)及結(jié)構(gòu)特性，研究分析系統(tǒng)的自由運動是研究分析系統(tǒng)的一般運動的基礎(chǔ)。

指在輸入向量及初始狀態(tài)的條件下系統(tǒng)的運動1.齊次狀態(tài)方程解的一般表達式2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.1線性系統(tǒng)的自由運動線性系統(tǒng)自由運動分析的數(shù)學(xué)實質(zhì)68令t=0

（一）齊次狀態(tài)方程解的一般表達式令t=0（一）齊次狀態(tài)方程解的一般表達式69因此,齊次狀態(tài)方程的解為:根據(jù)標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定義式:定義矩陣向量eAt為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣于是齊次狀態(tài)方程的解為:因此,齊次狀態(tài)方程的解為:根據(jù)標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定義式:定義矩陣向70另用拉氏變換法求解齊次微分方程:拉氏反變換后得到齊次狀態(tài)方程的解:對比另用拉氏變換法求解齊次微分方程:拉氏反變換后得到齊次狀態(tài)方程71將矩陣指數(shù)函數(shù)或稱為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運動的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性,A的狀態(tài)矩陣唯一。將矩陣指數(shù)函數(shù)或稱為系統(tǒng)的狀態(tài)72②包含了自由運動性質(zhì)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性。

③當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值均具有負實部，線性定常系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定。①如果t為某給定常數(shù)T，那么零輸入響應(yīng)就是狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)經(jīng)線性變換常數(shù)陣所致。幾點解釋：②包含了自由運動性質(zhì)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動73（二）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)；2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算。

a.直接求??；b.拉普拉斯變換；c.化矩陣A為對角型或約當(dāng)型；d.化矩陣指數(shù)為A的有限項。

（二）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣74①證：（1）線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)①證：（1）線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)75由性質(zhì)①②推出：②證：式(2.1.14)式逐項對t求導(dǎo)

這個性質(zhì)表明，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與系統(tǒng)矩陣A滿足交換律。

由性質(zhì)①②推出：②證：式(2.1.14)式逐項對t求導(dǎo)76③證：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，有表明具有分段組合的性質(zhì)。③證：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，有表明具有分段組合77④證：根據(jù)性質(zhì)①和③及逆矩陣定義，有⑤證明：可把一個轉(zhuǎn)移分為若干個小的轉(zhuǎn)移來研究。④證：根據(jù)性質(zhì)①和③及逆矩陣定義，有⑤證明：可把78⑥若為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則引入非奇異變換后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：證：式中：⑥若為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則79

1.

直接求取法[例2.1]已知系統(tǒng)矩陣，求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：根據(jù)定義有：結(jié)論：直接求取法步驟簡便、編程簡單、易于計算機求解。缺點是難以獲得解析形式，不適合手工計算。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算

1.

直接求取法[例2.1]已知系統(tǒng)矩陣，求系統(tǒng)狀態(tài)802.

化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法①矩陣A的特征值互異

2.

化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法81[例2.2]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A為對角規(guī)范型方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：矩陣A的特征方程為[例2.2]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣82

②矩陣A有重特征值

設(shè)矩陣A為“友”矩陣，且有m1重特征值，m2重特征值，互異特征值②矩陣A有重特征值設(shè)矩陣A為“友”矩陣，且有m183第2章線性系統(tǒng)的運動課件84[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A為約當(dāng)規(guī)范型方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：矩陣A的特征方程為：[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用化矩陣A85兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式①設(shè)②設(shè)兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式①設(shè)②設(shè)86[例2.4]已知系統(tǒng)矩陣試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:[例2.4]已知系統(tǒng)矩陣試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:87③矩陣A有復(fù)數(shù)特征值，此時需要將A化為模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形其中：模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式計算(證明略)③矩陣A有復(fù)數(shù)特征值，此時需要將A化為模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)形其88[例2.5]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：矩陣A的特征值為解得：[例2.5]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：矩陣A的89[例2.6]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:在第1章知識得到[例2.6]已知系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:在第90結(jié)論：化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法步驟相對復(fù)雜，但可以獲得解析形式，并建立其了矩陣A的特征值和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的直觀聯(lián)系，更便于對系統(tǒng)進行分析，但計算相對復(fù)雜，特別適合一些簡單系統(tǒng)的計算和分析。結(jié)論：化矩陣A為對角規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型方法步驟相對復(fù)雜，但可913.拉普拉斯變換法

結(jié)論：拉普拉斯變換法步驟相對復(fù)雜，但可以獲得解析形式，便于對系統(tǒng)進行分析，在系統(tǒng)維數(shù)較少時，可用手工計算，在系統(tǒng)維數(shù)較大時，仍要借助計算機來計算。

[P63例2.4]跳轉(zhuǎn)3.拉普拉斯變換法結(jié)論：拉普拉斯變換法步驟相對復(fù)雜，但可以92[P63例2.4]已知系統(tǒng)矩陣，試用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解:返回上頁[P63例2.4]已知系統(tǒng)矩陣，試用拉普934.

化矩陣A為有限項法(待定系數(shù)法)這種方法是利用凱萊-哈密爾頓定理(Cayley-Hamilton),將的的無窮級數(shù)化為矩陣A的有限項之和進行計算。凱萊-哈密爾頓定理指出，矩陣A滿足自己的特征多項式。則A滿足：4.

化矩陣A為有限項法(待定系數(shù)法)這種方法94應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理95a.矩陣A有n個互異的特征值下面按A的特征值形態(tài)分兩種情況討論a.矩陣A有n個互異的特征值下面按A的特征值形態(tài)分兩種情況96[例2.6]重做[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣，試用凱萊-哈密爾頓定理方法求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。P67

解：在[例2-3]中已求出矩陣A的特征值[例2.6]重做[例2.3]已知系統(tǒng)矩陣97b.矩陣A有n重特征值

A有重特征值時，得不到式（2.23-1）所示的線性獨立的n個方程式（2.24-1）對求一次導(dǎo)數(shù)，得到一個獨立方程，求n-1次導(dǎo)數(shù)，就可以得到n-1個獨立方程。b.矩陣A有n重特征值A(chǔ)有重特征值時，得不到式（98第2章線性系統(tǒng)的運動課件99如果A的特征值如果A的特征值100[例2.7]試用化矩陣指數(shù)為A的有限項法求解[P68]

解:在[例2.4]中已求得矩陣A的特征值[例2.7]試用化矩陣指數(shù)為A的有限項法求解[P68101【例2.8】驗證如下矩陣是否為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：利用性質(zhì)所以該矩陣不是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?！纠?.8】驗證如下矩陣是否為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：利用性質(zhì)所102[例2.9]根據(jù)已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求A解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)2[例2.9]根據(jù)已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求A解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣103(一)線性系統(tǒng)的零狀態(tài)強迫運動

系統(tǒng)的運動由兩部分組成其中第1項,是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移;

第2項是，為控制輸入作用的受控項正是由于受控項的存在，提供了通過選取合適的u使x(t)的運動軌跡滿足期望的可能性。線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是在求取非齊次狀態(tài)方程的解。2.2線性系統(tǒng)的一般運動(一)線性系統(tǒng)的零狀態(tài)強迫運動系統(tǒng)的運動由兩部分組成第104兩邊左乘

而：

線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是系統(tǒng)對于各個時刻，由輸入量在該時刻引起的狀態(tài)改變的轉(zhuǎn)移對時間的積累

兩邊左乘而：線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是系統(tǒng)對于各個105（二）線性系統(tǒng)的一般運動

設(shè)線性系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程和輸出方程為：初始狀態(tài)為的解（二）線性系統(tǒng)的一般運動設(shè)線性系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程和輸出106由拉氏變換的卷積積分定理具體用哪個公式，視求解方便而定。由拉氏變換的卷積積分定理具體用哪個公式，視求解方便而定。107[例2.10]已知系統(tǒng)矩陣，且，輸入矩陣單輸入u(t)為單位階躍函數(shù)，試求系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。P69例2-8解：在[例2.2]中已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：[例2.10]已知系統(tǒng)矩陣，且，輸入矩陣108第2章線性系統(tǒng)的運動課件1092.5線性離散時間系統(tǒng)的一般運動離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程有兩種解法：迭代法和Z變換法。迭代法：迭代法對于定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)皆適用。設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：當(dāng)k=0，1，2…，k-1時，得到：2.5線性離散時間系統(tǒng)的一般運動離散時間系統(tǒng)狀110便于記憶的矩陣形式:便于記憶的矩陣形式:1112.Z變換法：Z變換法僅適用于定常系統(tǒng)。對式(2.54)兩邊進行Z變換,可得:整理得兩邊進行Z反變換,可得2.Z變換法：Z變換法僅適用于定常系統(tǒng)。對式(2.54)兩邊112結(jié)論1.解的形式與連續(xù)系統(tǒng)相似，x(k)也是由兩部分構(gòu)成，第1部分是系統(tǒng)自由運動分量，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和初始狀態(tài)有關(guān)；第2部分是系統(tǒng)的受控項，不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和初始狀態(tài)有關(guān)，還與u的大小有關(guān)；2.在對控制的轉(zhuǎn)移中，第k時刻的狀態(tài)與當(dāng)前的u(k)無關(guān)，由其前k-1時刻的u(1),u(2)…u(k-1)的線性組合構(gòu)成。結(jié)論1.解的形式與連續(xù)系統(tǒng)相似，x(k)也是由兩部分113［例2.12]給定離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)，控制u(k)=1，求x(k)。教材P78[例2.11]P81[例2.12][解]:1.迭代法［例2.12]給定離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)1142.Z變換法先求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.Z變換法先求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣115第2章線性系統(tǒng)的運動課件116第2章線性系統(tǒng)的運動課件117第2章線性系統(tǒng)的運動課件118令:k=1,2,