空間立體幾何圖形的截面

空間立體幾何圖形的截面江蘇省前黃高級中學(xué)許云峰教學(xué)背景本課為以立體幾何的截面圖為核心，讓學(xué)生借助《幾何畫板》的實際模擬和探索功能進(jìn)行學(xué)習(xí)，由學(xué)生自我探究，進(jìn)行知識遷移，通過類比，自己去嘗試并最終解決問題。教師在此過程中進(jìn)行必要的總結(jié)和在學(xué)生出現(xiàn)困難時進(jìn)行指導(dǎo)，由此培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立和發(fā)散性，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。教學(xué)目標(biāo)：1．認(rèn)知目標(biāo)：整合幾何體的截面情況，形成完整的認(rèn)知體系。2．能力目標(biāo)：學(xué)生利用《幾何畫板》探索問題的能力，以培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力，發(fā)散思維和類比思維能力。3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性。重點與難點重點：空間幾何體的截面圖的作法；空間旋轉(zhuǎn)體的截面作法。難點：空間幾何圖形的交點的作法；由極限思想作出空間旋轉(zhuǎn)體的截面圖的作法。教學(xué)策略與教法設(shè)計策略：教師提出問題，然后逐層展開，分步進(jìn)行研究（需學(xué)生進(jìn)行探索和分析），然后學(xué)生進(jìn)行分組討論和實際操作，通過自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)達(dá)到認(rèn)知的意義建構(gòu)。教法1．演示法：把制作的課件展示給學(xué)生，便于學(xué)生對知識的深層次的把握，并從中獲得啟發(fā)，從而解決問題。這同時也給學(xué)生制作作品提供了模板，讓學(xué)生明白作品需達(dá)到的要求。2．談話法：在教師指導(dǎo)下，由全班或小組成員圍繞某一中心問題發(fā)表自己的看法，從而進(jìn)行相互學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，集思廣益。3．成果展示法：將學(xué)生制作的作品有選擇的展示（以小組為單位進(jìn)行制作，每個小組推薦1~2個進(jìn)行演示），讓學(xué)生獲得成功的喜悅和認(rèn)同，從而激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。4．討論法：就學(xué)生探索所得成果，各小組可自由提問，或者師生共同評價，最后總結(jié)成整體觀點。教學(xué)過程設(shè)計先期準(zhǔn)備在《幾何畫板》中建立立體幾何的圖形工具包，方便學(xué)生在最快的時間內(nèi)作出準(zhǔn)確的立體幾何圖形，以方便學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，避免在作圖上花費過多時間和精力；同時可以給學(xué)生以示范，讓學(xué)生學(xué)會如何作出形象的立體幾何直觀圖。教學(xué)目標(biāo)提出探究空間幾何圖形上過任意三點的截面1．分三個小組對多面體進(jìn)行協(xié)作探究：第一小組：柱體；第二小組：錐體；第三小組：臺體。主要探究任意三點的位置和截面的形狀。2．探究圓錐的截面。分組探究，層層推進(jìn)，把問題推向縱深通過發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的特點，并根據(jù)幾何體的特征可以分類，故我們采取分組進(jìn)行自我探索，相互協(xié)作，小組討論，師生共同總結(jié)等方法進(jìn)行教學(xué)。在此過程中，老師作為主導(dǎo)者，主要為學(xué)生提供必要的幫助和方向指引，而學(xué)習(xí)的過程主要靠學(xué)生自我完成。學(xué)生進(jìn)行分組協(xié)助學(xué)習(xí)。每小組的探索活動都可分為三個層次進(jìn)行：以最簡單的圖形出發(fā)，即三棱柱、三棱錐、三棱臺研究任意三點的位置的取法。隨后作出過三點的截面（作法依據(jù)：公理及其推論），并拖動三點，觀察截面的變化情況，從而得出結(jié)論，并進(jìn)行組內(nèi)交流，形成小組統(tǒng)一觀點。對幾何體作廣度延伸：把底面邊數(shù)增加，類比的作出截面，并歸納出截面變化情況。最后統(tǒng)一制作成作品，準(zhǔn)備交流。在小組探索中，充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。各小組進(jìn)行作品展示。各小組可以對展示作品進(jìn)行討論，可以對作品提問，討論（可以應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)的討論板塊進(jìn)行或直接的討論），師生共同評價（或者先學(xué)生討論，教師再總結(jié)）。學(xué)生在老師的幫助下，加深對知識的理解，從而得到啟發(fā)，進(jìn)行知識建構(gòu)。發(fā)散與推廣運用極限的逼近思想，來解決圓錐曲線的截面問題，使截面問題達(dá)到高潮：既加深對原有問題（多面體的截面）的認(rèn)識，又引發(fā)出問題新的生長點，大大激發(fā)學(xué)生的探索興趣。把問題向縱深推廣：伴隨正棱柱、正棱錐、正棱臺底面邊數(shù)的增加，多面體逼近旋轉(zhuǎn)體，我們能夠通過逼近的思想把旋轉(zhuǎn)體的截面作出來呢？旋轉(zhuǎn)體，是母線饒軸旋轉(zhuǎn)而來，故截面與旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的交線即為母線與截面交點饒軸旋轉(zhuǎn)而來，由此我們可以作出過母線上任意三點的旋轉(zhuǎn)體的截面了。以圓錐為例，作出圓錐截面，并探究截面的情形。并把圓柱和圓臺的問題留在課后，使學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行探究活動。本課教學(xué)的主題是學(xué)生，這使學(xué)生在如何加工信息、怎樣推理驗證等方面得到鍛煉，利于培養(yǎng)學(xué)生探索能力，使學(xué)生既學(xué)到了知識，學(xué)到了科學(xué)的思想方法，又提高了能力；讓學(xué)生從整個知識體系中去掌握知識點的來龍去脈，也就是把它的邏輯鎖鏈搞清楚，并嘗試從知識體系中尋找新的知識生長點！對同學(xué)們的表現(xiàn)進(jìn)行評價，要及時表揚(yáng)一些表現(xiàn)好的同學(xué)，同時鼓勵其他同學(xué)，以提高同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性并知道他們進(jìn)行新的探索，使學(xué)生產(chǎn)生后繼學(xué)習(xí)的激情?？臻g立體幾何圖形的截面江蘇省前黃高級中學(xué)許云峰教學(xué)背景本課為以立體幾何的截面圖為核心，讓學(xué)生借助《幾何畫板》的實際模擬和探索功能進(jìn)行學(xué)習(xí)，由學(xué)生自我探究，進(jìn)行知識遷移，通過類比，自己去嘗試并最終解決問題。教師在此過程中進(jìn)行必要的總結(jié)和在學(xué)生出現(xiàn)困難時進(jìn)行指導(dǎo)，由此培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立和發(fā)散性，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。教學(xué)目標(biāo)：1．認(rèn)知目標(biāo)：整合幾何體的截面情況，形成完整的認(rèn)知體系。2．能力目標(biāo)：學(xué)生利用《幾何畫板》探索問題的能力，以培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力，發(fā)散思維和類比思維能力。3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性。重點與難點重點：空間幾何體的截面圖的作法；空間旋轉(zhuǎn)體的截面作法。難點：空間幾何圖形的交點的作法；由極限思想作出空間旋轉(zhuǎn)體的截面圖的作法。教學(xué)對象分析教學(xué)對象：高二及高二以上年級學(xué)生學(xué)生特點：（1）在操作方面：高二年級的學(xué)生有一定的電腦操作基礎(chǔ)，可以自己操作電腦。但學(xué)生的操作水平參差不齊，特別是對數(shù)學(xué)軟件《幾何畫板》不夠熟悉，還不能熟練地操作，所以在上這節(jié)課之前要上預(yù)備課，主要教學(xué)生軟件的使用。要做到能獨立操作軟件且能較熟練地完成一定的學(xué)習(xí)任務(wù)。（2）在知識方面：高二的學(xué)生通過對立體集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對空間立體幾何有較為全面的認(rèn)識，但是空間想象能力還有待進(jìn)一步提高。本節(jié)課讓學(xué)生自己操作軟件，通過同學(xué)之間的相互協(xié)作及通過網(wǎng)絡(luò)的交流來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，實現(xiàn)知識的整合。教學(xué)策略與教法設(shè)計策略：教師提出問題，然后逐層展開，分步進(jìn)行研究（需學(xué)生進(jìn)行探索和分析），然后學(xué)生進(jìn)行分組討論和實際操作，通過自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)達(dá)到認(rèn)知的意義建構(gòu)。教法1．演示法：把制作的課件展示給學(xué)生，便于學(xué)生對知識的深層次的把握，并從中獲得啟發(fā)，從而解決問題。這同時也給學(xué)生制作作品提供了模板，讓學(xué)生明白作品需達(dá)到的要求。2．談話法：在教師指導(dǎo)下，由全班或小組成員圍繞某一中心問題發(fā)表自己的看法，從而進(jìn)行相互學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，集思廣益。3．成果展示法：將學(xué)生制作的作品有選擇的展示（以小組為單位進(jìn)行制作，每個小組推薦1~2個進(jìn)行演示），讓學(xué)生獲得成功的喜悅和認(rèn)同，從而激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。4．討論法：就學(xué)生探索所得成果，各小組可自由提問，或者師生共同評價，最后總結(jié)成整體觀點。網(wǎng)絡(luò)環(huán)境分析：一人一機(jī)的網(wǎng)絡(luò)教室和網(wǎng)絡(luò)控制軟件《TOP2000》等教學(xué)過程設(shè)計先期準(zhǔn)備在《幾何畫板》中建立立體幾何的圖形工具包，方便學(xué)生在最快的時間內(nèi)作出準(zhǔn)確的立體幾何圖形，以方便學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，避免在作圖上花費過多時間和精力；同時可以給學(xué)生以示范，讓學(xué)生了解如何作出形象的立體幾何直觀圖。教學(xué)目標(biāo)提出探究空間幾何圖形上過任意三點的截面1．分三個小組對多面體進(jìn)行協(xié)作探究：第一小組：柱體；第二小組：錐體；第三小組：臺體。主要探究任意三點的位置和截面的形狀。2．探究圓錐的截面。分組探究，層層推進(jìn)，把問題推向縱深第一小組：探究柱體上過棱上任意三點的截面。1．由三棱柱開始，研究其過棱棱上任意三點的截面，探究：（1）任意三點的取法，（2）每種取法下，截面有幾種形狀，最后總結(jié)三棱柱截面情況；學(xué)生首先給出取點位置：（圖1）三點都在側(cè)棱上；三點都在底面上（一面上兩個，另一面上一個）；棱上一個，底面上兩個（一上，一下或兩個在同一底面）；側(cè)棱上兩個，底面上一個。作出三棱柱，分別畫出上述情況，并拖動原始點觀察截面圖的變化情況，最終得出三棱柱截面的情況：當(dāng)截面與三棱柱的側(cè)棱不相交時，截面為四邊形；當(dāng)截面與三棱柱的側(cè)棱相交時，截面為四邊形或三角形。圖1圖12．類似探究四棱柱，五棱柱……（圖2）圖2圖2四棱柱：截面可為六邊形，五邊形，四邊形，三角形。五棱柱：截面可為七邊形，六邊形，五邊形，四邊形，三角形。第二小組：探究錐體上過棱上任意三點的截面。1．由三棱錐開始，研究其過棱棱上任意三點的截面，探究：（1）任意三點的取法，（2）每種取法下，截面有幾種形狀，最后總結(jié)三棱錐截面情況。學(xué)生找出點的取法（圖3）：兩個在側(cè)棱上，一個在底面；兩個在底面，一個在側(cè)棱；三個在側(cè)棱。圖3圖3作出三棱錐，分別畫出上述情況，并拖動原始點觀察截面圖的變化情況，最終得出三棱柱截面的情況。有點在底面上時（不包括頂點），截面為四邊形，否則為三角形。2．類似探究四棱柱，五棱柱……（圖4）圖4圖4四棱柱：截面可為五邊形，四邊形，三角形。五棱柱：截面可為六邊形，五邊形，四邊形，三角形。第三小組：探究臺體上過棱上任意三點的截面。1．由三臺錐開始，研究其過棱棱上任意三點的截面，探究：（1）任意三點的取法，（2）每種取法下，截面有幾種形狀，最后總結(jié)三棱臺截面情況。學(xué)生首先給出取點位置：（圖5）三點都在側(cè)棱上；三點都在底面上（一面上兩個，另一面上一個）；棱上一個，底面上兩個（一上，一下或兩個在同一底面）；側(cè)棱上兩個，底面上一個。圖5圖5作出三棱臺，分別畫出上述情況，并拖動原始點觀察截面圖的變化情況，最終得出三棱臺截面的情況。當(dāng)截面與三棱柱的側(cè)棱不相交時，截面為四邊形；當(dāng)截面與三棱柱的側(cè)棱相交時，截面為四邊形或三角形。2．類似探究四棱臺，五棱臺……（圖6）圖6圖6四棱臺：截面可為六邊形，五邊形，四邊形，三角形。五棱臺：截面可為七邊形，六邊形，五邊形，四邊形，三角形。各小組可以對展示作品進(jìn)行討論，可以對作品提問，討論（可以應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)的討論板塊進(jìn)行或直接的討論），師生共同評價（或者先學(xué)生討論，教師再總結(jié)）。學(xué)生在老師的幫助下，加深對知識的理解，從而得到啟發(fā)，進(jìn)行知識建構(gòu)。發(fā)散與推廣把問題向縱深推廣：伴隨正棱柱、正棱錐、正棱臺底面邊數(shù)的增加，多面體逼近旋轉(zhuǎn)體，我們能夠通過逼近的思想把旋轉(zhuǎn)體的截面作出來呢？旋轉(zhuǎn)體，是母線饒軸旋轉(zhuǎn)而來，故截面與旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的交線即為母線與截面交點饒軸旋轉(zhuǎn)而來，由此我們可以作出過母線上任意三點的旋轉(zhuǎn)體的截面了。我們以圓錐為例，作出圓錐截面，并探究截面的情形。本課教學(xué)的主題是學(xué)生，這使學(xué)生在如何加工信息、怎樣推理驗證等方面得到鍛煉，利于培養(yǎng)學(xué)生探索能力，使學(xué)生既學(xué)到了知識，學(xué)到了科學(xué)的思想方法，又提高了能力；讓學(xué)生從整個知識體系中去掌握知識點的來龍去脈，也就是把它的邏輯鎖鏈搞清楚，并嘗試從知識體系中尋找新的知識生長點！對同學(xué)們的表現(xiàn)進(jìn)行評價，要及時表揚(yáng)一些表現(xiàn)好的同學(xué)，同時鼓勵其他同學(xué)，以提高同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性并知道他