2022-2023學(xué)年北京三中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案解析

第=page2626頁(yè)，共=sectionpages2626頁(yè)2022-2023學(xué)年北京三中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.將拋物線y=?2x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移A.y=?2(x+1)23.關(guān)于x的一元二次方程(m?1)x2+xA.0 B.1 C.?1 D.1或4.二次函數(shù)y=x2?A.5 B.0 C.?3 D.5.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAA.120° B.140° C.150°6.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE.若點(diǎn)D在線段BA.30° B.40° C.50°7.函數(shù)y=ax+1與A. B.

C. D.8.如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)A.(0,1+2)

B.(二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）9.方程x2+2x=

10.若關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+2m

11.某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，由每盒60元調(diào)至52元，若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則由題意可列方程為_(kāi)_____．

12.如圖，⊙O的直徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C.若O13.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y

14.關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2?kx+k?

15.小明設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2+2b?3.例如把(2,

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0)與(7,0).對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)P，給出如下定義：若∠APB=45°，則稱點(diǎn)P三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）17.解方程：x2+2四、解答題（本大題共11小題，共63.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）18.(本小題5.0分)

二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,319.(本小題5.0分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(m+3)x+m+20.(本小題5.0分)

已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．

(1)將其化成y=a(x?h)2+k(a≠021.(本小題5.0分)

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D是BC中點(diǎn)，若∠BAC=70°，求∠C．

下面是小諾的解答過(guò)程，請(qǐng)幫她補(bǔ)充完整．

∵D是BC中點(diǎn)，

∴BD=DC，

∴∠1=∠2．

∵∠BAC=70°，

∴∠2=35°．

∵AB是⊙O22.(本小題5.0分)

如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(?3,3)，B(0,1)，C(?1,?1)．

23.(本小題6.0分)

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC=4，AC=42．

(124.(本小題6.0分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)25.(本小題6.0分)

為了在校運(yùn)會(huì)中取得更好的成績(jī)，小丁積極訓(xùn)練．在某次試投中鉛球所經(jīng)過(guò)的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是85米，當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)，達(dá)到最大高度52米的B處．小丁此次投擲的成績(jī)是多少米？

26.(本小題6.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2?2mx+m2?1．

(1)當(dāng)m=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)①求拋物線的對(duì)稱軸(用含m的式子表示)；

②若點(diǎn)(m?1,y1)，(m,y2)，(m+3,y3)都在拋物線27.(本小題7.0分)

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E．

(1)求證：∠CAE=∠CBD．28.(本小題7.0分)

定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(m,n)是某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，作該函數(shù)圖象中自變量大于m的部分關(guān)于直線x=m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(m,n)的“派生函數(shù)”．

例如：圖①是函數(shù)y=x+1的圖象，則它關(guān)于點(diǎn)(0,1)的“派生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“派生函數(shù)”的解析式為y=x+1(x≥0)?x+1(x<0)．

(1)直接寫(xiě)出函數(shù)y=x+1關(guān)于點(diǎn)(1,2)的“派生函數(shù)”的解析式．

(2)點(diǎn)答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、該圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B．

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．2.【答案】D

【解析】解：原拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后，那么新拋物線的頂點(diǎn)為(1,3)，

則新拋物線的解析式為y=?2(3.【答案】C

【解析】解：依題意，得

m2?1=0，且m?1≠0，

解得m=?1．

故選：C．

4.【答案】D

【解析】解：∵二次函數(shù)y=x2?2x?3可化為y=(x?1)25.【答案】B

【解析】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴CB=BD，

∵∠CAB=20°，

∴∠6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)．

【解答】

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：7.【答案】A

【解析】解：當(dāng)a>0時(shí)，直線y=ax+1從左至右上升，拋物線y=ax2+bx+1開(kāi)口向上，

選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤．

當(dāng)a<0時(shí)，直線y=a8.【答案】C

【解析】解：∵OM⊥AB，

∴OA=OB，

∵AD=CD，

∴OD//BC，OD=12BC，

∴當(dāng)BC取得最大值時(shí)，線段OD取得最大值，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠CAB=90°，

∴CA⊥x軸，

∵OB=OA=OM，

∴∠A9.【答案】0，?2【解析】解：x2+2x=0

x(x+2)=0

∴x=0或x+2=0

∴10.【答案】m<【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+2m=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

∴△=(?3)211.【答案】60(【解析】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則第二次降價(jià)后的價(jià)格為60(1?x)2元，

根據(jù)題意得：60(1?x)2=52，

故答案為：60(1?x)212.【答案】8

【解析】解：連接OA．

∵OC⊥AB，

∴∠OCA=90°，AB=2AC．

∵⊙O的直徑為10，

∴OA=5．

在Rt△O13.【答案】?3【解析】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為x=?1.5，

∴點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線x=?1.5的對(duì)稱點(diǎn)為(?3,2)，

當(dāng)?3<x<0時(shí)，y>214.【答案】y=x2【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方即常數(shù)項(xiàng)大于0．

與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方即常數(shù)項(xiàng)大于0，據(jù)此求解．

【解答】

解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2?kx+k?2的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

∴k?2>0，

解得：k>2，15.【答案】7或?1【解析】【分析】

根據(jù)公式a2+2b?3，可將(m,?3m)代入得出m2+2×(?3m)?16.【答案】(4【解析】解：如圖，作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，連接AC，BC，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0)與(7,0)，

∴AB=7?1=6，

∵∠APB=45°，

∴∠ACB=90°，

∵AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC=32，

∴PC=3217.【答案】解：x2+2x?8=0

(x?2【解析】利用因式分解法解出方程．

本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，

∴16+【解析】(1)利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程組即可解決問(wèn)題；

(2)19.【答案】解：(1)∵△=(m+3)2?4(m+2)=(m+1)2≥0【解析】(1)先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根列出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值即可；

(2)根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．

本題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，掌握判別式△20.【答案】y=(x+2)2【解析】解：(1)y=x2+4x+3=x2+4x+4?1=(x+2)2?1，

故答案為：y=(x+2)2?1；

(2)令y=0，則x2+4x+3=0，

解得：x1=?1，x2=?3，

∴圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0)和(?1,0)，

故答案為：(?3,0)和(?1,0)；

(21.【答案】直徑所對(duì)的圓周角是直角

圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

125°【解析】解：∵D是BC中點(diǎn)，

∴BD=DC，

∴∠1=∠2．

∵∠BAC=70°，

∴∠2=35°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角)(填推理的依據(jù))．

∴∠22.【答案】16

【解析】解：(1)如圖，△A1BC1為所作，點(diǎn)A1，C1的坐標(biāo)分別為(3,?1)，(1,3)；

(2)∵AB=A1B，CB=C1B，

∴四邊形AC1A123.【答案】解：(1)過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，

則CE=12AC．

∵AC=42，

∴CE=22，

在Rt△OCE中，OC=4，

∴OE=OC2?CE2=42?(22)2=22．

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，利用勾股定理求解即可．

(2)連接O24.【答案】(1)證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，

∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，

∴∠ACD=∠BCE，

∵∠ACB=90°，AC【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB25.【答案】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,85)，頂點(diǎn)為B(3,52).

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?3)2+52，

∵點(diǎn)A(0,85)在拋物線上，

∴a(0?【解析】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．

由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=?11026.【答案】解：(1)當(dāng)m=2時(shí)，拋物線的解析式為：y=x2?4x+3=(x?2)2?1，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?1)；

(2)①∵拋物線y=x2?2mx+m2?1，

∴函數(shù)對(duì)稱軸為x=??2m2×1=m；

②∵函數(shù)開(kāi)口向上，x=m時(shí)函數(shù)取得最小值，

∴離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

∵m?1<m<m+3，且點(diǎn)(m?1,y1)，(m,y2)，(m+3,y3)都在拋物線y=x【解析】(1)先將m=2代入拋物線的解析式，并配方可得拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)①根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸為x=?b2a計(jì)算可得結(jié)論；

②函數(shù)開(kāi)口向上，x=m時(shí)函數(shù)取得最小值，根據(jù)離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大可比較y1，y2，y327.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°，

∴∠CBD+∠BDC=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED=90°，

∴∠CAE+∠BDC=90°，

∴∠CAE=∠CBD；

(2)①由題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CE交A【解析】(1)利用同角的余角即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CE角AE于G，進(jìn)而判斷出∠CAE=∠CBD，即可判斷出△28.【答案】解：(1)函數(shù)y=x+1在x>1的部分任取一點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為(0,3)，

設(shè)函數(shù)y=x+1圖象關(guān)于x=1對(duì)稱的部分的圖象解析式為y=kx+b，

將(1,2)，(0,3)代入解析式，