2023高考真題知識(shí)總結(jié)方法總結(jié)題型突破：15 立體幾何中球的問題(學(xué)生版)

專題15立體幾何中球的問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．B．C．D．2．(2022·全國(guó)乙理)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A．B．C．D．3．(2022·新高考Ⅰ)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3eq\r(3)，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A．[18，eq\f(81,4)]B．[eq\f(27,4)，eq\f(81,4)]C．[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]D．[18，27]【方法總結(jié)】如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球．有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)．考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力．研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用．球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作．當(dāng)球與多面體的各個(gè)面相切時(shí)，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時(shí)，可用球心與多面體的各頂點(diǎn)連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來(lái)求球的半徑．空間幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型1．墻角模型；2．對(duì)棱相等模型；3．漢堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鱷魚模型；8．已知球心或球半徑模型；9．最值模型；10．內(nèi)切球模型．可參考：侯永青工作室《2022年高考數(shù)學(xué)之解密幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型命題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)突破》【題型突破】1．點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則該球的表面積為()A．7πB．14πC．eq\f(7,2)πD．eq\f(7\r(14)π,3)2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC沿BC邊上的高AD折成直二面角B－AD－C，則三棱錐B－ACD的外接球的表面積為()A．5πB．eq\f(20,3)πC．10πD．34π3．已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________.4．已知四面體P－ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，則球O的表面積為________．5．三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P－ABC的外接球的體積為()A．eq\f(27,2)πB．eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)πD．27π6．已知正四面體ABCD的外接球的體積為8eq\r(6)π，則這個(gè)四面體的表面積為________．7．表面積為的正四面體的外接球的表面積為A．B．C．D．8．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝eq\r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．9．三棱錐中S－ABC，SA＝BC＝eq\r(13)，SB＝AC＝eq\r(5)，SC＝AB＝eq\r(10)．則三棱錐的外接球的表面積為______.10．已知一個(gè)四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝eq\r(5)，則a＝________.11．一直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是2，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為()A．eq\f(28π,3)B．eq\f(\r(22)π,3)C．eq\f(4\r(3)π,3)D．eq\r(7)π12．一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為________.13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面積為eq\f(3\r(3),4)，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6eq\r(3)，則正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面積為()A．4πB．8πC．16πD．32π14．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為()A．eq\f(40π,3)B．eq\f(40\r(30)π,27)C．eq\f(320\r(30)π,27)D．20π15．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小為120°，則過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)的球的表面積為()A．6πB．5πC．4πD．3π16．三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，則該三棱錐外接球的表面積為()A．18πB．eq\f(21π,2)C．21πD．42π17．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若AB＝2，則球O的表面積為()A．4πB．12πC．16πD．32π18．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2eq\r(3)，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，則球O的表面積為()A．4πB．12πC．16πD．64π19．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(8\r(2)π,3)C．8πD．12π20．在三棱錐A－BCD中，AC＝CD＝eq\r(2)，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱錐的所有頂點(diǎn)，都在同一球面上，則球的表面積是________．21．把邊長(zhǎng)為3的正方沿對(duì)角線對(duì)折，使得平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為A．B．C．D．22．在三棱錐A－BCD中，△ACD與△BCD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為________．23．已知如圖所示的三棱錐D－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝eq\r(3)，BC＝CD＝BD＝2eq\r(3)，則球O的表面積為()A．4πB．12πC．16πD．36π24．在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球上，則球的表面積為()．A．B．C．D．25．已知空間四邊形，，，，，且平面平面，則該幾何體的外接球的表面積為A．B．C．D．26．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線與底面所成的角為，底面圓心到的距離為1，則該圓錐外接球的表面積為________．27．在三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為()A．B．eq\f(π,3)C．D．eq\f(4π,3)28．在三棱錐中，，，且，則該三棱錐外接球的表面積為A．B．C．D．29．已知體積為的正三棱錐的外接球的球心為，若滿足，則此三棱錐外接球的半徑是A．2B．C．D．30．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()A．eq\f(124π,3)B．eq\f(625π,81)C．eq\f(500π,81)D．eq\f(256π,9)31．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是A．B．C．D．32．已知三棱錐，，且、均為等邊三角形，二面角的平面角為，則三棱錐外接球的表面積是________．33．已知邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線折成二面角的大小為的四面體且，則四面體的外接球的表面積為________．34．在三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的投影是的外心，，且面與底面所成的二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為________．35．直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為A．B．C．D．36．已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\r(3)37．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，且四棱錐O－ABCD的體積為8eq\r(3)，則R等于()A．4B．2eq\r(3)C．eq\f(4\r(7),9)D．eq\r(13)38．已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐P－ABC的體積為eq\f(16,3)，則此三棱錐的外接球的表面積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(40π,3)C．eq\f(64π,3)D．eq\f(80π,3)39．已知三棱錐的體積為，各頂點(diǎn)均在以為直徑球面上，，則這個(gè)球的表面積為_____________．40．(2017·全國(guó)Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為________．41．三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為()A．4B．6C．8D．1042．(2015·全國(guó)Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π43．已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(3)．若三棱錐D－ABC體積的最大值為3，則球O的表面積為________．44．在三棱錐A－BCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，CD＝AC＝eq\r(3)，當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為________．45．已知三棱錐D－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，若三棱錐D－ABC體積的最大值為2，則球O的表面積為()A．8πB．9πC．eq\f(25π,3)D．eq\f(121π,9)46．若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________.47．已知一個(gè)平放的各棱長(zhǎng)為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A．eq\f(7π,6)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(2π,3)