導(dǎo)數(shù)解答題專練六 有解問題 學(xué)案- 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題

高考導(dǎo)數(shù)解答題專練六（有解問題）在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，則。反之，不成立。(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則;若，恒成立，則若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D恒成立則有(10)若對(duì)、，恒成立，則.若對(duì)，，使得,則.若對(duì)，，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對(duì),，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:①②③1．已知函數(shù)，其中a≥0（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）若存在唯一整數(shù)，使得f(x0)≤2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：方程在區(qū)間上有唯一解．3．記，為的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)，，則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．．（1）若函數(shù)為，上的凸函數(shù)，求的取值范圍；（2）若方程在，上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．6．已知函數(shù)．（1）設(shè)曲線在處的切線方程為，求證：f(x)≥g(x)；（2）若方程有兩個(gè)根，，求證：．7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．8．已知函數(shù)，，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：f(x)≥0（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，若方程在有且只有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若方程有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．已知函數(shù)和．（Ⅰ）若曲線和在處的切線斜率都為，求和；（Ⅱ）若方程在區(qū)間，上有解，求的取值范圍．13．已知函數(shù)，其中，令．（1）求證：當(dāng)a≤?1時(shí)，（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得在處取得極小值？并說明理由．14．已知函數(shù)，．（1）若時(shí)，函數(shù)有極小值，試確定的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上的最大值為，若存在，，使得g(x)≥M成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．高考導(dǎo)數(shù)解答題專練六（有解問題）解析1．已知函數(shù)，其中a≥0（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）若存在唯一整數(shù)，使得f(x0)≤解：（1）當(dāng)時(shí)，，，且為定義在，，上的偶函數(shù)，令，解得，且當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，（1），無最大值；（2）即，令，，作出函數(shù)與的大致圖象如下，易知恒過點(diǎn)，且，由圖象可知，要使存在唯一整數(shù)，使得，則，即，解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：方程在區(qū)間上有唯一解．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)．（2）方程，即為方程，即為方程，令，，則，又，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?），時(shí)，，令，可得，所以，所以存在，，使，即方程在區(qū)間上有唯一解．3．記，為的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)，，則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．．（1）若函數(shù)為，上的凸函數(shù)，求的取值范圍；（2）若方程在，上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．解：（1），，若為，上的凸函數(shù)，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，而在，單調(diào)遞增，，，解得：，故的取值范圍是．（2）由得，令，（1），，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，在，上單調(diào)遞增，又（1），在，上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意，當(dāng)時(shí)，令得，，若即時(shí)，對(duì)恒成立，在，單調(diào)遞減，在，上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意，若即時(shí)，在，遞增，在，遞減，，，，故存在，，即在，上有2個(gè)零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是，，．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ），，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是．（Ⅱ），是函數(shù)的極值點(diǎn)，（1），解得：，，方程即，設(shè)，則，故在遞增，在遞減，故（1），，，設(shè)，則，，故函數(shù)在遞減，在遞增，故（1），又當(dāng)無限增大或無限接近0時(shí)，都趨近于0，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．解：（1）時(shí)，，，，（1），（1），故切線方程是，即；（2），當(dāng)時(shí)，由可得，由得，由，得，①若時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，②若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，（1），故若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則，令，，則，在遞減，又（2），（3），（4），故存在使得，則的解集是，，綜上，的取值范圍是，，，故正整數(shù)的最小值是4．6．已知函數(shù)．（1）設(shè)曲線在處的切線方程為，求證：f(x)≥g(x)；（2）若方程有兩個(gè)根，，求證：．證明：（1），則，故，，故切線方程是：，即，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，即；（2）不妨設(shè)，直線與相交于點(diǎn)，又由（1）知：，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，下面證明：，由于，故，即證，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（e），即成立，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，由于等號(hào)成立的條件不同時(shí)滿足，故．7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：，（1）證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又由于，故，由于，故，即；（2）注意到（1），①若，，故在上單調(diào)遞減，取，則，故存在使得（a），即在上只有1個(gè)零點(diǎn)，②若，當(dāng)時(shí)，，而，故，當(dāng)時(shí)，，故，即在上無零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，故存在使得（b），即在上只有1個(gè)零點(diǎn)，綜上：若只有1個(gè)零點(diǎn)，，，．8．已知函數(shù)，，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：f(x)≥0（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，，因?yàn)椋?，所以，，因此，所以在，上單調(diào)遞增，于是，因此在，上單調(diào)遞增，所以．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，?dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，所以單調(diào)遞增，又，，因此在，上存在唯一的零點(diǎn)，且．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，，，因此在，上存在唯一的零點(diǎn)，且，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，，，所以在，上存在唯一零點(diǎn)，因此在，上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是，．9．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的根，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，當(dāng)時(shí)，方程不成立，所以，令，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且，令，得或，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值（1），因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是．10．已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，若方程在有且只有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）依題可得，定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，由，得，由，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．當(dāng)時(shí)，恒成立，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．（2）．方程在有且只有兩個(gè)解，即關(guān)于方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．令，，則．令，，則，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞增．因?yàn)?，?），，所以的取值范圍是．11．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若方程有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）若，則，令，令，解得或，令，解得，函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，令，則，即有唯一實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，則，，而，顯然無解；當(dāng)時(shí)，若，則，而，顯然無解，則，令，則它們的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，注意到，且在處取得等號(hào)，考慮的情況，可得，即直線與函數(shù)，分別交于點(diǎn)和，（A）若，則；（B）若，則，時(shí)，，則存在唯一交點(diǎn)；（C）若，則（a）（a），，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一交點(diǎn)；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．12．已知函數(shù)和．（Ⅰ）若曲線和在處的切線斜率都為，求和；（Ⅱ）若方程在區(qū)間，上有解，求的取值范圍．解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在處的切線的斜率為①，的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在處的切線的斜率為②，由①②，解得，；（Ⅱ）方程在區(qū)間，上有解，則在區(qū)間，上有解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，，遞減．所以的最大值為（1），所以，所以．令，則，由的導(dǎo)數(shù)為，可得在遞增，遞減，則的最小值為（1），即有恒成立，所以，所以，所以在，遞減，在，遞增，所以在處取得最小值1，因?yàn)榕c相交有解，．（e），（e），所以（1），所以，所以的取值范圍為．13．已知函數(shù)，其中，令．（1）求證：當(dāng)a≤?1時(shí)，（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得在處取得極小值？并說明理由．解：（1）證明：，則，顯然，，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，無極值點(diǎn)；（2）存在，使得在處取得極小值．理由如下：，則，顯然是的極小值點(diǎn)的必要條件為，解得，此時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，令，則，故在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，故當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，是的極小值點(diǎn)，即充分性也成立．綜上，存在，使得在處取得極小值．14．已知函數(shù)，．（1）若時(shí)，函數(shù)有極小值，試確定的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上的最大值為，若存在，，使得g(x)≥M成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1