冪的運(yùn)算講義

特爾教育一對一個性化指導(dǎo)講義學(xué)科：

數(shù)學(xué)

任課教師：雷夢華

授課時間：

2014年

11

月

23

日(星期

)姓名

年級

性別

總課時____

第___

課教學(xué)掌握冪的運(yùn)算法規(guī)，并能熟練運(yùn)用法規(guī)進(jìn)行計算；目標(biāo)難點(diǎn)熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算法規(guī)進(jìn)行計算；重點(diǎn)教材精華：一、同底數(shù)冪的乘法法規(guī)：am·anamn（m、n為正整數(shù)）。同底數(shù)冪相乘時，底數(shù)能夠是單項式，也能夠是多項式，若底數(shù)是多項式，能夠用字母表示為：mn(ab)mn（ab）·(ab)；同底數(shù)冪的乘法法規(guī)還可以夠逆用：amnam·an（m、n為正整數(shù)）；同底數(shù)冪相乘時，底數(shù)能夠是單項式，也能夠是多項式，再冪的運(yùn)算中常用到下面兩種變形：n(bn（為正偶數(shù)），①(a)n=②(ab)nannn（為正奇數(shù)）；教bn學(xué)牢固訓(xùn)練：過（1）計算：①a2·a3·a；②a2·a5；③a4·(a)3。程思路引導(dǎo)：將式子中不相同的底數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤牡讛?shù)，爾后再用同底數(shù)冪乘法的法規(guī)進(jìn)行計算：解：①a2·a3·aa231a6。②a2·a5a25a7。③a4·(a)3a4·a3a43a7。方法總結(jié)：同底數(shù)冪相乘，先確定符號，負(fù)因數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)個就取負(fù)號，出現(xiàn)偶數(shù)個就取正號，爾后依照同底數(shù)冪的乘法法規(guī)進(jìn)行計算。（2）計算：①(ab)2·(ab)3；②(x2)3·(x2)5·(x2)；③(ab)3·(ba)2；(xy)3·(yx)5；思路引導(dǎo)：將a+b，x+2看作是一個整體，爾后運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法規(guī)進(jìn)行計算；若底數(shù)為互為相反數(shù)的冪相乘時，能夠利用冪確定符號的方法先轉(zhuǎn)變?yōu)橥讛?shù)冪再按法規(guī)計算。解：①(ab)2·(ab)3(ab)23(ab)5。②(x2)3·(x2)5·(x2)(x2)351(x2)9。③(ab)3·(ba)2(ab)3·(ab)2(ab)32(ab)5。④(xy)3·(yx)5(xy)3·[(xy)5](xy)35(xy)8。方法總結(jié)：若底數(shù)為互為相反數(shù)的冪相乘時，在一致底數(shù)時，盡可能地改變偶次冪的底數(shù)，這樣能夠減少符號的變化。（3）已知x·xm·xnx14，且m比n大3，求mn的值。思路引導(dǎo)：運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法規(guī)計算，爾后由指數(shù)相等列出關(guān)于m，n的一個方程，與“m比n大3”列出的方程組成方程組可解得m，n的值，進(jìn)而可求mn的值。解：∵x·xm·xnx14，∴x1mnx14，∴1+m+n=14.①又∵m比n大3，∴m-n=3.②①②組成方程組為1mn14，解得m8，∴mn=8×5=40.mn3n5方法總結(jié)：解此類問題，第一要依照同底數(shù)冪的乘法法規(guī)構(gòu)造方程或方程組，再經(jīng)過解方程或方程組求出指數(shù)中的字母，經(jīng)過轉(zhuǎn)變和方程組呃綜合運(yùn)用來解決問題。（4）計算：①10310100102；②x3·xmxm3；思路引導(dǎo)：先算同底數(shù)冪相乘，再合并同類項。解：①10310100102=104104=2×104；②x3·xmxm3=x3·xmxm3xm3xm30；（5）同底數(shù)冪的乘法在科學(xué)計數(shù)法中的應(yīng)用：①光的速度大體是3.0105千米/秒，若是一束光輝從地球上向火星發(fā)射，大體需要20分鐘才能到達(dá)火星，求火星距離地球大體多少千米09年全年生產(chǎn)總值比2008年增加%，達(dá)到19367億元，19367億用科學(xué)計數(shù)法表示為：思路引導(dǎo)：①依照“行程=速度×?xí)r間”能夠求出火星與地球的大體距離。②科學(xué)計數(shù)法的一般形式是a×10n（1≤a<10）；解：①×105×20×60=×108（千米）；答：火星距離地球大體×108千米；②科學(xué)計數(shù)法的一般形式是a×10n（1≤a<10），關(guān)于大于1的數(shù)，其指數(shù)n等于改數(shù)的整數(shù)位數(shù)減

1，所以

19367億元變換為科學(xué)計數(shù)法×

1012元。二、冪的乘方法規(guī)：

(am)n

amn

（m、n為正整數(shù)），即，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；冪的乘方法規(guī)的實(shí)行：即[(am)n]pamnp（m、n、p為正整數(shù)）；冪的乘方法規(guī)還可以夠逆用：amn(am)n(an)m（m、n為正整數(shù)）；牢固訓(xùn)練：（1）計算：①（10252443；④[(2]3；⑤[(xy)26；）；②（a）；③(a)x)]思路引導(dǎo)：運(yùn)用冪的乘方法規(guī)進(jìn)行運(yùn)算時，必然要注意底數(shù)不變，指數(shù)相乘。252510；24a24a8；③43=a4312解：①（10）=1010②（a）=(a)=a④[(x)2]3=(x)23(x)6x6；⑤[(xy)2]6=(xy)26(xy)12；點(diǎn)撥：注意分清底數(shù)，特別是有負(fù)號的時候。（2）計算：①[(a2b)3(a2b)4]2；②[(2ba)3(a2b)4]2；思路引導(dǎo)：把底數(shù)a-2b看作一個整體，爾后進(jìn)行計算；解：①[(a2b)3(a2b)4]2=[(a2b)34]2=(a2b)14；②[(2ba)3(a2b)4]2=[(2ba)3(2ba)4]2=[(2ba)7]2=(2ba)72=(2ba)14；（3）若aman（a>0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則m=n。利用這個結(jié)論解決以下兩個問題：①若是28x16x222，求x的值；若是(27x)236，求x的值；思路引導(dǎo)：第一解析題意，解析結(jié)論的使用條件，即只要有aman（a>0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則可知m=n，即指數(shù)相等，爾后在解題中應(yīng)用即可。解：①∵28x16x213x4x222，∴1+3x+4x=22，解得x=3，即x的值為3；②∵(27x)2[(33)x]2(33x)236x，∴6x=6，解得x=1，即x的值為1；方法總結(jié)：綜合運(yùn)用冪的乘方法規(guī)和同底數(shù)冪的乘法法規(guī)將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?，運(yùn)用方程確定字母的值是解決這類問題的常用方法。（4）已知a=833，b=1625，c=3219，則有（）A.a<b<c<b<a<a<b<c<b思路引導(dǎo)：本題所給的冪比較復(fù)雜，直接計算比較困難，經(jīng)過觀察可發(fā)現(xiàn)其底數(shù)都能夠化成2n的形式，故逆用冪的乘方性質(zhì)把底數(shù)都化成2，再比較它們的指數(shù)的大小即可。因為a=833=(23)33=299，b=1625(24)252100，c=3219(25)19295，由乘方的意義，可知2100299295，即b>a>c，故應(yīng)選C。答案：C。三、積的乘方法規(guī)：(ab)nanbn（n為正整數(shù)），即把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。積的乘方的逆用：anbn(ab)n（n為正整數(shù)）；牢固訓(xùn)練：（1）計算：①(3xy2)2；②(2x)3；③(ab)5；④(2102)3；⑤(3x3y)4。思路引導(dǎo)：利用積的乘方法規(guī)計算，計算序次為：先算積的乘方，再算冪的乘方，最后算同底數(shù)冪的乘法，有同類項的要先合并同類項。解：①(3xy2)2=(3)2·x2·(y2)29x2y4；②(2x)3=23·x38x3；③(ab)5=(1)5·a5·b5a5b5；④(2102)3=(2)3(102)38106；⑤(3x3y)4=(3)4·(x3)4·y4=81x12y4；易錯警示：運(yùn)用積的乘方時，每個因式都要乘方，不能夠遺漏任何一個因式；系數(shù)連同他的符號一起乘方，系數(shù)是-1時不能忽略。（2）用簡略方法計算：①(12)6(0.25)4(5)(4)4；②0.1252012(8)2013；57思路引導(dǎo)：①觀察該式的特點(diǎn)可知本題需利用乘法的結(jié)合律和逆用積的乘方公式求解；②82013820128，故知該式需逆用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方公式求解。解：①(12)6(0.25)4(5)(4)457=[(12)6(5)6][(0.25)4(4)4]=(75)6(0.254)4=1×1=1；5757②0.1252012(8)20130.1252012(8)2013（0.12520122012==8）8=18=-8；（3）①已知10a10，10b1000，求102a3b的值。解：102a3b=(10a2·(10b)3=10210003102331011；)（10）②已知xnaynb，試用a，b表示(xy)2n的值。，思路引導(dǎo)：(xy)2n=x2ny2n，已知條件是xn與yn的值，所以x2ny2n(xn)2(yn)2；解：(xy)2n=x2ny2n(xn)2(yn)2=a2b2；在積的乘方運(yùn)算比較復(fù)雜時，能夠利用積的乘方法規(guī)張開，并把其轉(zhuǎn)變?yōu)橛梢阎獌绫硎镜氖阶?，爾后采用整體帶入的方法求其值。四、同底數(shù)冪的除法法規(guī)：amanamn（a≠0，m，n為正整數(shù)，并且m>n）；同底數(shù)冪的除法法規(guī)逆用：amnaman（a≠0，m，n為正整數(shù)，并且m>n）；牢固訓(xùn)練：（1）判斷以下各式可否正確，錯誤的請改正：①x8x2x4；②y5(y)3y2；③(yx)9(xy)3(xy)6；④ym1ym2y3。解：①不正確，應(yīng)改為：x8x2x6，法規(guī)中底數(shù)不變，指數(shù)相減，而不是指數(shù)相除；②不正確，應(yīng)改為：y5(y)3y2，y5與(y)3底數(shù)不相同，要先化為同底數(shù)，即(y)3y3，再計算；③不正確，應(yīng)改為(yx)9(xy)3(xy)6，x-y與y-x互為相反數(shù)，先化同底數(shù)再計算；④不正確，應(yīng)改為ym1ym2y，指數(shù)相減應(yīng)為（m-1）-（m-2）=1；方法總結(jié)：底數(shù)不相同時不能夠直接與運(yùn)用同底數(shù)冪的除法法規(guī)計算，必然要先化成相同底數(shù)的冪再運(yùn)算。計算：①x8x3；②(xy)6(xy)2；③(2x5y)5(2x5y)3；④(yx)6(xy)4；⑤x10x4x4；⑥(x)7x2(x)3；⑦(mn)8(nm)3(nm)2；思路引導(dǎo)：依照從左到右的序次進(jìn)行計算，底數(shù)不相同要先化為同底數(shù)冪再計算；解①x8x3=x83x5；②(xy)6(xy)2=(xy)62(xy)4x4y4；③原式=(2x5y)53=(2x5y)2；④原式=(xy)6(xy)4=(xy)2；⑤原式=x1044=x2；⑥原式=x7x2(x3)=x7x2x3=x723=x2；⑦原式=(nm)8(nm)3(nm)2=(nm)832=(nm)3；方法總結(jié)：多個同底數(shù)冪相除要依照從左到右的序次進(jìn)行計算。（2）①解方程：(3)x114解：①原方程可化為(3)x14

7；②解不等式：(3)15(2x1)<(3)16(1x)；169，即(3)x1(3)2；∴x-1=2，解得x=3；1644②∵(3)15(2x1)<(3)16(1x)，∴2x-1>[(3)16(3)15](1x)，2x-1>-3(1-x)，∴2x-1>3+3x，∴-x>-2，∴x<2。方法總結(jié)：在含有冪的運(yùn)算的等式（不等式）中，確定指數(shù)中的字母取值（范圍）的方法：經(jīng)過符號（等號）兩邊各自計算，使左右兩邊底數(shù)相同，爾后由指數(shù)相等（不等）構(gòu)造方程（不等式）來求解字母的取值范圍。（3）若是3nm能被13整除，試說明：3n3m也能被13整除。思路引導(dǎo)：方法一：能夠逆用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算將3n3m變形成263n(3nm)，根據(jù)已知條件3nm能被13整除，能夠說明3n3m也能被13整除；方法二：若是3nm能被13整除，且3n3m與3nm的差也能被13整除，那么3n3m也能被13整除。解：方法一：3n3m=3n·33m27·3nm263n(3nm)，∵263n和3nm都能被13整除，∴263n(3nm)能被13整除，即3n3m也能被13整除。方法二：∵（3n3m-3nm）=3n33n=3n333n=273n3n=263n，∴3n3m與3nm也能被13整除，又∵3nm能被13整除，∴3n3m也能被13整除。題型訓(xùn)練：計算：1.(a)2·a3=2.x2·x3=3.a6·a2=4.(a2)4=5.(2x2)3=6.(x)3(x)27.(5a3)28.(2x)3x9.(a)3·(a2)3·(a)210.(a2)2·(2a3)211.(a4b3)3·(a2b3)2·(a2b3)12.[(xy)2]3·[(xy)3]413.(2x4)42x10(2x2)32x45(x4)314.(2ab)2n1·(2ab)3·(2ab)m115.(xy)2·(xy)316.[(xy)3]3m17.(an1)2·(a3)2n118.(an1)2·(a3)2n19.(3xy2)220.(xy)5(yx)221.(5)2013(22)201222.(0.04)2013[(5)2013]212523.(0.532)2007(23)200824.(a5a)2(a7a·a2)31125.(x2y)37(x2)2·(x2)(y3)26.(xy)7(yx)6(xy)3(xy)2能力提升題：1.已知2m32，2n4，求2mn的值；2.已知2x64，求2x3的值；3.已知5m3，25n11，求53m2n的值；4.已知10a20，10b1，求9a32b的值；55.若an144，bn9，求(ab)4n的值；6.已知a355，b444，c533，比較a、b、c三個數(shù)的大??；7.若(ambn)3a9b15，求m、n的值；解以下關(guān)于x的方程或不等式：①33x12781；②(4)x117；③3x1·2x162x33922④(2x1)m5(2x1)m3(2x5)(2x5)2；綜合發(fā)展題：1.已知xy3(xy1)20，求代數(shù)式1[(x2y)]3的值；22.已知xz23x6y7(3x3z4)20，求x3ny3n1z3n1x的值（n為正整數(shù)）；3.已知25x2000，80y2000，求11的值；xy4.無論a、b為何值時，都有a·ax·a2yxa3bm成立，其中x、y、m是正整數(shù)且m不大于8，求x+2y+m的值；5.設(shè)3mn能被10整除，試說明：3m4n也能被10整除；學(xué)后反思附：題型練習(xí)答案計算：1.a5；2.x5；3.a8；4.a8；5.8x6；a6；8.8x29.a11；a10；11.a26b30；12.(xy)18；13.10x16；14.(2ab