第14章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件

第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§14－1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容與目的

靜力荷載——施力過(guò)程緩慢，忽略慣性力的影響。 靜力荷載作用——大小、方向、作用點(diǎn)確定 ——結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài) ——內(nèi)力、變形、位移確定（不隨時(shí)間變化）動(dòng)力荷載的特征：

荷載的大小、方向（作用位置*）隨時(shí)間而變化荷載變化較快，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不容忽視的加速度

動(dòng)力計(jì)算：

考慮慣性力－達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)力－靜力平衡）內(nèi)力、位移、荷載均為時(shí)間的函數(shù)（瞬間(t)的平衡）第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§14－1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容1按動(dòng)力荷載變化規(guī)律分類：①周期荷載 簡(jiǎn)諧荷載 例：偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心力 非簡(jiǎn)諧荷載②沖擊荷載——急劇增大， 作用時(shí)間很短即行消失：樁錘作用；車輪撞擊軌道接頭

——急劇減少——爆炸荷載，③突加荷載——加載： 重物落在結(jié)構(gòu)上（突然加載和突然卸載）④快速移動(dòng)荷載——高速通過(guò)橋梁的火車、汽車⑤隨機(jī)荷載——地震的激振、風(fēng)力脈動(dòng)作用 荷載變化極不規(guī)律，只能用概率方法求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律按動(dòng)力荷載變化規(guī)律分類：2周期荷載（簡(jiǎn)諧）周期荷載（非簡(jiǎn)諧）沖擊荷載（急劇增大、急劇減少）周期荷載（簡(jiǎn)諧）周期荷載（非簡(jiǎn)諧）沖擊荷載（急劇增大、急劇減3隨機(jī)荷載隨機(jī)荷載4內(nèi)容：自由振動(dòng) 無(wú)阻尼 單、多自由度 強(qiáng)迫振動(dòng) 有阻尼 無(wú)限多自由度自由振動(dòng)——結(jié)構(gòu)受外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)， 而在以后的振動(dòng)過(guò)程中不再受外部干擾力作用。強(qiáng)迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)）——結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng) （在振動(dòng)過(guò)程中不斷受到外部干擾力作用）目的：①結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（周期T，頻率f(ω)、振型、阻尼） ——避免共振；地震的主要周期 例：步兵過(guò)橋——齊步走 美國(guó)懸索大橋——風(fēng)振作用，突然垮塌②動(dòng)力反應(yīng)

動(dòng)內(nèi)力/位移隨時(shí)間變化的規(guī)律 ——最大值——設(shè)計(jì)依據(jù)內(nèi)容：自由振動(dòng) 無(wú)阻尼 單、多自由度5振動(dòng)自由度——為了確定全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目集中質(zhì)量法：突出主要質(zhì)量——靜力等效 單自由度結(jié)構(gòu) 多自由度結(jié)構(gòu)§14－2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度振動(dòng)自由度§14－2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度6確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：（圖14–2）注意：①自由度數(shù)n隨計(jì)算簡(jiǎn)圖而異 （a、b、f-無(wú)限多自由度） ②自由度數(shù)與質(zhì)量數(shù)目可能不同 （c、d-e幾何構(gòu)造分析方法確定） ③自由度數(shù)與靜定或超靜定及超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：（圖14–2）7實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化（圖14–3）（a）塊式基礎(chǔ)——垂直振動(dòng)（b）水塔——頂部水池較重，水平振動(dòng)（c）樓房——樓板較重，水平振動(dòng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化（圖14–3）8單自由度——實(shí)際的問(wèn)題或簡(jiǎn)化的模型（圖14–4） 多自由度體系動(dòng)力分析的基礎(chǔ)自由振動(dòng)——結(jié)構(gòu)受外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)， 而在以后的振動(dòng)過(guò)程中不再受外部干擾力作用。初始干擾：初始位移——強(qiáng)迫偏離，突然放松； 初始速度——瞬時(shí)沖擊§14－3單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度——實(shí)際的問(wèn)題或簡(jiǎn)化的模型（圖14–4）§14－91、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng) （圖14–5）質(zhì)量——彈簧模型 ——靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正彈簧的剛度k11

：彈簧發(fā)生單位位移所需加的力彈簧的柔度δ11：?jiǎn)挝涣ψ饔孟庐a(chǎn)生的位移

振動(dòng)微分方程——位移及各量隨時(shí)間變化的規(guī)律兩個(gè)基本方法：剛度法——列動(dòng)力平衡方程柔度法——列位移方程1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)10（一）建立自由振動(dòng)微分方程（1）剛度法－動(dòng)力平衡方程（達(dá)朗貝爾原理） 質(zhì)點(diǎn)m——任一時(shí)刻t有位移y(t)， （圖16–5b） ——彈性恢復(fù)力，與位移y方向相反 ——慣性力，與加速度方向相反 達(dá)朗伯爾原理隔離體平衡方程 微分方程（一）建立自由振動(dòng)微分方程11

（2）柔度法——列位移方程 ——彈性體系（非隔離體）（圖14–5c）運(yùn)動(dòng)過(guò)程，質(zhì)量只受慣性力——按靜力荷載考慮，m在時(shí)刻t的位移等于慣性力作用下的靜力位移 即

單自由度體系

即，與剛度法相同（2）柔度法——列位移方程12（二）自由振動(dòng)微分方程的解 常系數(shù)線性齊次微分方程 通解y=C1cosωt+C2sinωt 速度（對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)）

?=-ωC1sinωt+ωC2cosωt 初始條件：t=0，（二）自由振動(dòng)微分方程的解13初位移：y0

——正弦規(guī)律初速度：?0

——余弦規(guī)律疊加——初位移：y0——正弦規(guī)律14a——振幅：質(zhì)點(diǎn)最大位移；φ——初相角則y(t)=asin(ωt+φ) ?(t)=aωcos(ωt+φ)令a——振幅：質(zhì)點(diǎn)最大位移；φ——初相角則y(t)=15（三）結(jié)構(gòu)自振同期周期運(yùn)動(dòng)y(t+T)=y(t)自振周期每隔一段時(shí)間就重復(fù)原來(lái)運(yùn)動(dòng)單位：秒（S）單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，單位：1／秒（1/S）

2π秒內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)頻率園頻率（頻率）（三）結(jié)構(gòu)自振同期自振周期每隔一段時(shí)間就重復(fù)原來(lái)運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間16周期Ｔ的重要性質(zhì)：（1）Ｔ只與結(jié)構(gòu)本身的性質(zhì)m、k有關(guān) ——結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性，與外界干擾無(wú)關(guān) ——外界干擾只能影響振幅和初相角；（2）Ｔ∝（14－8）周期Ｔ的重要性質(zhì)：（14－8）17（3）T－結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志（4）ω∝1/Δst， 質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處， 可以得到最小頻率和最大周期（3）T－結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志（4）ω∝1/18[例14－1]三種支承情況的梁，忽略梁本身質(zhì)量，求自振頻率與周期（圖14-7）[解]（1）柔度法計(jì)算δ[例14－1]三種支承情況的梁，忽略梁本身質(zhì)量，求自振頻率與19（2）剛度法a.加鏈桿約束——約束動(dòng)力自由度；b.給單位位移；c.求約束力——?jiǎng)偠萲。（2）剛度法20[例2]剛架，梁質(zhì)量m，剛度∞； 柱(忽略質(zhì)量)剛度EI，高h(yuǎn)。 試求自振頻率ω和周期計(jì)算k*（計(jì)算δ）[例2]剛架，梁質(zhì)量m，剛度∞；計(jì)算k21[例3]例2中，若初始位移△，初始速度ν0 試求振幅值及t=1s時(shí)的位移值解：上例已計(jì)算

[例3]例2中，若初始位移△，初始速度ν022作業(yè)：14－1√（振動(dòng)自由度）14－2a*、b（振動(dòng)微分方程）14－3a√、b、c√、d；4、5、6√（頻率）14－7√（振幅、位移）作業(yè)：232、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)

阻尼（力）：振動(dòng)過(guò)程中各種阻力的作用 使自由振動(dòng)逐漸衰減而不能無(wú)限延續(xù) 共振時(shí)振幅并非無(wú)限大

（外部介質(zhì)）空氣和液體的阻力、支承的摩擦

（內(nèi)部作用）材料分子之間的摩擦和粘著性阻尼的種類：（1）粘滯阻尼力R=-β?（線性阻尼） 兩個(gè)物體的相對(duì)滑動(dòng)面之間有一層連續(xù)油膜存在時(shí) 或物體以低速在粘性液體內(nèi)運(yùn)動(dòng)（2）流體阻尼

R=-cv2

固體以較大速度在流體介質(zhì)內(nèi)運(yùn)動(dòng)（例3m/s以上）（3）摩擦力

R＝kN

兩個(gè)干燥的平滑接觸面之間的摩擦力（4）結(jié)構(gòu)阻尼

材料之間的內(nèi)摩擦

2、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng) 24粘滯阻尼力計(jì)算簡(jiǎn)單，其余的可化為等效粘滯阻尼力考慮阻尼的振動(dòng)方程 I+R+S=0 其中：R=-β?

有阻尼的自由振動(dòng)微分方程

令（16－9）*粘滯阻尼力計(jì)算簡(jiǎn)單，其余的可化為等效粘滯阻尼力有阻尼的自由振25設(shè)解特征方程設(shè)解特征方程26（1）（小阻尼）令（16—10）有阻尼的自振頻率（1）（小阻尼）令（16—10）有阻尼的自振頻率27設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?028寫(xiě)成其中(14-12)式（14－12）的位移－時(shí)間曲線如（圖14－9）所示：低阻尼體系自由振動(dòng)y-t曲線——逐漸衰減的正弦（波動(dòng)）曲線寫(xiě)成其中(14-12)式（14－12）的位移－時(shí)29a.阻尼對(duì)頻率（周期）的影響ξ↑→ω’↓ξ↑→T’↑阻尼比——阻尼的基本參數(shù)：a.阻尼對(duì)頻率（周期）的影響ξ↑→ω’↓ξ↑→T’↑30b、阻尼對(duì)振幅的影響——振幅隨時(shí)間逐漸衰減一周期相隔j個(gè)周期：——振幅對(duì)數(shù)遞減量若取對(duì)數(shù)：b、阻尼對(duì)振幅的影響——振幅隨時(shí)間逐漸衰減一周期相隔j個(gè)周31（2）（大阻尼），此時(shí)特征根r1、r2為一對(duì)重根（負(fù)實(shí)數(shù)），通解為：這是非周期函數(shù)，故不發(fā)生振動(dòng)，且受初始干擾偏離平衡位置后返回中心位置更慢（2）（大阻尼），這是非周期函數(shù)，故不發(fā)生振動(dòng)，32（3）（臨界阻尼）微分方程解特征方程根

（3）（臨界阻尼）微分方程解特征方程根33

y–t曲線－仍是有衰減性質(zhì)，但不具有波動(dòng)性質(zhì)（如圖）φ?0y0試題y–t曲線－仍是有衰減性質(zhì)，φ?0y0試題34

——臨界阻尼系數(shù)——使運(yùn)動(dòng)不再具有波動(dòng)性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)最小值阻尼比：

——反映阻尼情況的基本參數(shù)實(shí)測(cè)相隔j個(gè)周期的振幅——計(jì)算ξ：——臨界阻尼系數(shù)——反映阻尼情況的基本參數(shù)實(shí)測(cè)相隔j個(gè)周35§14－4單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

強(qiáng)迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)）－結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)一、振動(dòng)方程建立剛度法：取m隔離體，由動(dòng)力平衡得：§14－4單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)36微分方程的解：y=y0+y其中齊次方程通解：與干擾力P(t)相應(yīng)的特解,則與干擾力的形式有關(guān)二、簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsinθt （14—17）（14－18）特解：微分方程的解：y=y0+y與干擾力P(t)相應(yīng)的特解37

代入方程：對(duì)于任意的t上式均成立，一定有相應(yīng)系數(shù)相等： 代入方程：對(duì)于任意的t上式均成立，一定有相應(yīng)系數(shù)相等：38全解：自由振動(dòng)：頻率ω’，振幅衰減； B1、B2由初始條件確定強(qiáng)迫振動(dòng)：頻率θ，C1、C2與F有關(guān)可解：全解：自由振動(dòng)：頻率ω’，振幅衰減；可解：39設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?040（14—19）分三部分：自由振動(dòng)——初始條件確定；伴生自由振動(dòng)——與初始條件無(wú)關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)，但頻率與自振頻率ω’相同； ——以上二部分有e-ξωt,隨時(shí)間衰減純強(qiáng)迫振動(dòng)——平穩(wěn)振動(dòng)（不衰減）（14—19）分三部分：41過(guò)渡階段平穩(wěn)階段過(guò)渡階段平穩(wěn)階段421、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

ξ＝01、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)43振幅（最大位移）動(dòng)力（位移）系數(shù)（14—22）θ<ω，μ>0，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載同相θ>ω，μ<0，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反相單自由度，干擾力與慣性力作用點(diǎn)重合， ——內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)＝位移動(dòng)力系數(shù)振幅（最大位移）動(dòng)力（位移）系數(shù)（1444μ的特性（由圖示）P(t)變化非常慢（與自振周期T相比）θ/ω|μ|11μ的特性（由圖示）P(t)變化非常慢θ/ω|μ|11452、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

ξ≠0振幅相位差2、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)振幅46——?jiǎng)恿ο禂?shù)與θ/ω有關(guān)，與阻尼比ξ有關(guān)——?jiǎng)恿ο禂?shù)47

的關(guān)系曲線：（圖14－12） 討論：①當(dāng)ξ：0→1時(shí)，曲線漸趨平緩，附近，峰值下降顯著研究共振，阻尼影響不容忽略若實(shí)際共振

② 的關(guān)系曲線：（圖14－12） 附近，峰值下降顯48（1）動(dòng)荷載主要與彈性力平衡

y與P(t)同相位

μ≈1，靜力荷載振動(dòng)慢，慣性力、阻尼力小（1）動(dòng)荷載主要與彈性力平衡y與P(t)同相位49（2）y很小的顫動(dòng)ky,c?很小,振動(dòng)快，慣性力大

動(dòng)荷載主要與慣性力平衡

與位移同相位（2）y很小的顫動(dòng)ky,c?很小,振動(dòng)快，慣性力大50（3）μ增加快（共振）荷載值為最大時(shí)，位移、加速度最小

——?jiǎng)雍奢d主要與阻尼力平衡共振時(shí)，阻尼力起重要作用，不容忽略（3）μ增加快荷載值為最大時(shí)，510.75<θ/ω<1.25范圍，阻尼對(duì)位移影響很大；阻尼較小時(shí)，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)；工程設(shè)計(jì)，自振頻率ω應(yīng)比θ大25~30%。0.75<θ/ω<1.25范圍，阻尼對(duì)位移影響很大；52干擾力不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上：（14－28）干擾力不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上：（14－28）53§14－5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)(m)的動(dòng)量(mv)在某一時(shí)間間隔內(nèi)的改變量，等于同一時(shí)間內(nèi)的作用力的沖量（P·Δt）（圖）t=0,y=0,v1=0Δt→ε,v2=v0mv0=PΔt →令為Q（瞬時(shí)沖量）§14－5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量的54沖量作用時(shí)間很短，忽略Δt，相當(dāng)于物體：在

（坐標(biāo)平移），則（14－11）沖量作用時(shí)間很短，忽略Δt，相當(dāng)于物體：55一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)Ｐ(t)——加載過(guò)程視為一系列瞬時(shí)沖量組成t=τ時(shí)，P(τ)在微分時(shí)段dτ內(nèi)沖量ds=P(τ)dτ微分沖量對(duì)動(dòng)力反應(yīng)的貢獻(xiàn)：（τ時(shí)刻沖量對(duì)t時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)）動(dòng)力反應(yīng)y(t)為0→t時(shí)刻所有微分反應(yīng)的疊加一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)力反應(yīng)y(t)為0→t時(shí)刻所有56

杜哈梅積分(ξ＝0，ω’=ω)若有y0、v0，則——任意荷載P作用的動(dòng)力響應(yīng)杜哈梅積分(ξ＝0，ω’=ω)若有y0、v0，57（1）突加荷載ωt=(2n-1)πymax=2yst實(shí)例圖（1）突加荷載ωt=(2n-1)πymax=2yst實(shí)例圖58（2）短時(shí)荷載動(dòng)力反應(yīng)分二段考慮（2）短時(shí)荷載動(dòng)力反應(yīng)分二段考慮59當(dāng)0<t<t0時(shí)當(dāng)t>t0時(shí)當(dāng)t0<T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在后一階段（表14－1）當(dāng)t0>T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在前一階段：μ＝2以t0時(shí)的位移和速度為初始位移和初始速度的——自由振動(dòng)當(dāng)0<t<t0時(shí)當(dāng)t>t0時(shí)當(dāng)t0<T60§14－6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度體系：

多層房屋的側(cè)向振動(dòng)

不等高排架的振動(dòng)

塊形基礎(chǔ)的平面振動(dòng) 梁上有幾個(gè)集中質(zhì)量的振動(dòng)求解方法：

剛度法——建立力的平衡方程（位移法）

柔度法——建立位移協(xié)調(diào)方程（力法） 兩個(gè)自由度體系——推廣到n個(gè)自由度體系：特性（與單自由度區(qū)別）：

固有頻率：2個(gè)——n個(gè)；

主振型：2個(gè)——n個(gè)；

耦合：各自由度的運(yùn)動(dòng)相互影響；

不同坐標(biāo)寫(xiě)方程式（剛度、柔度法）

矩陣形式及運(yùn)算§14－6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度體系： 多層房屋的側(cè)611、振動(dòng)微分方程建立（1）剛度法（位移法）a)n個(gè)質(zhì)量——n個(gè)位移；b)附加鏈桿： ——反力＝慣性力；c)令附加鏈桿發(fā)生實(shí)際位移 ——反力=Ri

剛度系數(shù)：d)Yi=1引起的反力 ——kii、kjie)同理有kij、kjj1、振動(dòng)微分方程建立62疊加(b)、(c)，附加鏈桿的反力之和＝0（原結(jié)構(gòu)）

且即有n個(gè)自由度體系振動(dòng)方程(14-43)疊加(b)、(c)，附加鏈桿的反力之和＝0（原結(jié)構(gòu)）63（2）柔度法（力法）a)n個(gè)質(zhì)量——n個(gè)位移； ——只受慣性力-m?i

（作為靜力荷載）柔度系數(shù)：b)Pi=1引起的位移 ——δii、δjic)同理有δij、δjj思路：考慮彈性體系的某一質(zhì)量mi，在自由振動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻t的位移yi，應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系中各個(gè)質(zhì)量的慣性力-m?j(j=1,2…n)共同作用下所產(chǎn)生的靜力位移。，

（2）柔度法（力法）思路：考慮彈性體系的某一質(zhì)量mi，在自64n個(gè)位移方程：矩陣形式：（14－44）[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣[δ]——柔度陣，對(duì)稱，正定，非奇異（結(jié)構(gòu)）柔度矩陣與剛度矩陣——互為逆矩陣n個(gè)位移方程：矩陣形式：（14－44）[M]——質(zhì)量65剛度法與柔度法實(shí)質(zhì)相同，形式不同。根據(jù)結(jié)構(gòu)的形式適當(dāng)采用剛度法或柔度法求系數(shù)2、按柔度法求解振動(dòng)微分方程：設(shè)解對(duì)任意均成立，則振型方程：其中：[I]為單位矩陣，{Y}={Y1Y2…Yn}T為振幅列向量剛度法與柔度法實(shí)質(zhì)相同，形式不同。振動(dòng)微分方程：66齊次方程，若{Y}有非零解則：頻率（特征）方程即展開(kāi)關(guān)于λ的n次方程（14－47）齊次方程，若{Y}有非零解則：即展開(kāi)關(guān)于λ的n次方程（1467——頻率方程解為n個(gè)正實(shí)根λi,即1/ωi2（i=1,2,…n）;得到n個(gè)自振頻率：ω1，ω2，…ωn，——按從小到大順序排列， 稱為第一、第二…第n頻率——總稱為結(jié)構(gòu)自振頻譜將n個(gè)自振頻率中的任意一個(gè)ωk代入特解：（14－47）（i=1,2,…n）——頻率方程（14－47）（i=1,2,…n）68即各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率ωk作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則各質(zhì)點(diǎn)的位移的比值：y1:y2:…:yn=Y1:Y2:…:Yn——為定值（不隨時(shí)間變化）即任意時(shí)刻，結(jié)構(gòu)振動(dòng)保持同一形態(tài)，像單自由度振動(dòng)。將代入振型方程由于D=0，n個(gè)方程中只有n-1個(gè)方程線性無(wú)關(guān)，不能求得Y(k)1,Y(k)2,…,Y(k)n的確定值，但可以確定相對(duì)比值——（主）振型。任取n-1個(gè)方程，令Y(k)1＝1——規(guī)準(zhǔn)化振型即各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率ωk作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，代入振型方程由于D=069n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)——n個(gè)自振頻率：——相應(yīng)有n個(gè)主振動(dòng)和主振型——特解；一般解——主振動(dòng)的線性組合：n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)——n個(gè)自振頻率：70一般情況，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)——n個(gè)主振動(dòng)分量疊加而成；——各主振動(dòng)的振幅Ak{Y}(k)和初相角αk 取決于初始條件： n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的n個(gè)初始位移和n個(gè)初始速度——確定n個(gè)Ak和n個(gè)αk。自振頻率和振型——結(jié)構(gòu)固有動(dòng)力特性； ——主要任務(wù)振幅和初相角——由初始條件確定一般情況，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)71（1）兩個(gè)自由度頻率方程（1）兩個(gè)自由度72振型方程取第一方程

（k=1、2）寫(xiě)成列陣形式：振型方程取第一方程（k=1、2）寫(xiě)成列陣形式73[例14—3]求[解][例14—3]求[解]74取較大的為λ1，對(duì)應(yīng)ω1為較小的取較大的為λ1，對(duì)應(yīng)ω1為較小的75振型頻率振型頻率76[解II]頻率方程令[解II]頻率方程令77頻率頻率78正交性振型正交性振型79結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布 ——對(duì)稱其主振型 ——對(duì)稱、反對(duì)稱計(jì)算自振頻率：——分別就正、反對(duì)稱情況——取半跨結(jié)構(gòu)計(jì)算——兩個(gè)單自由度問(wèn)題計(jì)算顯然，振型分別為： [11]T、[1-1]T——*作業(yè)結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布80【例14－4】【例14－4】81第14章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件82[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣[K]——?jiǎng)偠汝?，?duì)稱，正定，非奇異（結(jié)構(gòu)）設(shè)解對(duì)任意的t（即）等式均成立則：2、按剛度法求解[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣對(duì)任意83振型方程齊次方程非零解——系數(shù)行列式D=0頻率（特征）方程頻率方程——關(guān)于ω2的n階代數(shù)方程（n為自由度數(shù)）可解n個(gè)根頻率向量{w}：由小到大排列其中ω1——基本頻率或第一頻率振型方程齊次方程非零解——系數(shù)行列式D=084由于n個(gè)方程線性相關(guān)，任取n－1個(gè)方程可解（取Y1＝1）i階振型：無(wú)窮多組解標(biāo)準(zhǔn)化主振型由于n個(gè)方程線性相關(guān)，任取n－1個(gè)方程可解（取Y1＝1）i85（一）兩個(gè)自由度體系矩陣形式：即：齊次方程有非零解：

——頻率方程（特征方程）（一）兩個(gè)自由度體系矩陣形式：即：齊次方程有非零解： 86方程的兩個(gè)根：ω21、2（16-58）ω21、2均>0，所以兩個(gè)自由度體系共有二個(gè)自振頻率 ω1——基本（第一）圓頻率——最小圓頻率 ω2——第二圓頻率方程的兩個(gè)根：ω21、2（16-58）87 振型方程，代入ωi，由于D=0，兩個(gè)方程線性相關(guān)（兩組系數(shù)成比例），只有一個(gè)獨(dú)立方程任取其一，可得：主振型：——振幅之比第一振型（基本振型）第二振型 振型方程，代入ωi，主振型：——振幅之比第二振型88[例14－5]【解】1、[K][M]2、頻率方程——ωi3、振型方程——{Y}(i),[例14－5]891、K、M：剛度矩陣質(zhì)量矩陣式中：1、K、M：質(zhì)量矩陣式中：902、頻率方程：頻率：試算法：2、頻率方程：頻率：試算法：913、振型方程第k階：ωk→ηkK=1

η1=0.392令Y1＝1，取前2個(gè)方程3、振型方程K=1令Y1＝1，92同理，可求第二、三振型:同理，可求第二、三振型:93圖14－25MSSolver圖14－25MSSolver944、主振型的正交性 振型方程設(shè)體系具有n個(gè)自由度，兩個(gè)不同的自振頻率對(duì)應(yīng)二個(gè)振型向量。（1）（2）4、主振型的正交性設(shè)體系具有n個(gè)自由度，（1）（2）95第二式兩側(cè)同時(shí)取轉(zhuǎn)之置：（1）－（2）對(duì)于質(zhì)量陣[M]，不同頻率的主振型彼此正交對(duì)于剛度陣[K]，不同頻率的主振型也是彼此正交（14—60）（14—61）（1）（2）第二式兩側(cè)同時(shí)取轉(zhuǎn)之置：（1）－（2）對(duì)于質(zhì)量陣[M]，不同96主振型的正交性：結(jié)構(gòu)本身固有的特性——簡(jiǎn)化計(jì)算；——檢驗(yàn)主振型是否正確例16－5中的第一、二振型：主振型的正交性：結(jié)構(gòu)本身固有的特性97平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)承受簡(jiǎn)諧荷載，且各荷載的頻率和相位相同圖16－26，n個(gè)集中質(zhì)量， k個(gè)簡(jiǎn)諧周期荷載Pjsinθt，位移：§14－7多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)§14－7多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫98圖14－26，n個(gè)集中質(zhì)量，k個(gè)簡(jiǎn)諧周期荷載Pjsinθt，位移：圖14－26，99{I}=-[M]{?}{I}純強(qiáng)迫振動(dòng)的解：（14-62）{I}=-[M]{?}{I}純強(qiáng)迫振動(dòng)的解：（14-62）100對(duì)任意的t成立：——振幅方程，可解振幅{Y}。代入振動(dòng)方程，可得各質(zhì)點(diǎn)的慣性力：——慣性力幅值{I0}。位移、慣性力和干擾力同時(shí)最大。（14－64）（14－65）對(duì)任意的t成立：——振幅方程，可解振幅{Y}。——慣性力幅值101當(dāng)θ＝ωk（k＝1，2，…，n)時(shí),由系數(shù)行列式＝0，振幅、慣性力及內(nèi)力均為無(wú)限大——共振現(xiàn)象實(shí)際由于阻尼的存在，不會(huì)無(wú)限大，但結(jié)構(gòu)也很危險(xiǎn)，應(yīng)避免。當(dāng)θ＝ωk（k＝1，2，…，n)時(shí),102【例14－6】 圖14－27其中，δij、ΔiP，與力法中求解相同{P}={0，P，0}T，且P作用于質(zhì)點(diǎn)。【例14－6】 圖14－27其中，δij、ΔiP，103慣性力幅值——最大動(dòng)力彎矩圖慣性力幅值104(p90)剛度法：n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)，各干擾力作用于質(zhì)點(diǎn)（圖14－26）振動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧荷載：平穩(wěn)振動(dòng)階段：質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅方程(p90)剛度法：簡(jiǎn)諧荷載：平穩(wěn)振動(dòng)階段：質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振105設(shè)（與頻率方程形式相同）若D0≠0即若（與任一頻率重合）－有幾種情況－共振設(shè)（與頻率方程形式相同）即若（與任一頻率重合）－有幾種情況106慣性力（14－69）——可解慣性力幅值{I0}（14－68）慣性力（14－69）（14－68）107§14－10計(jì)算頻率的近似法近似法計(jì)算結(jié)構(gòu)的較低頻率——工程實(shí)際問(wèn)題1、能量法求第一頻率動(dòng)能——質(zhì)量和速度應(yīng)變能——結(jié)構(gòu)變形能量守恒原理：一個(gè)無(wú)阻尼彈性體系自由度振動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻的總能量（動(dòng)能與應(yīng)變能之和）應(yīng)當(dāng)保持不變

結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)： 最大振幅——V=0，Umax 靜力平衡位置——Vmax，U＝0§14－10計(jì)算頻率的近似法近似法計(jì)算結(jié)構(gòu)的較低頻率——108梁的自由振動(dòng)位移速度動(dòng)能結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能梁的自由振動(dòng)位移速度動(dòng)能結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能109能量守恒

同時(shí)有集中質(zhì)量mi動(dòng)能增加一項(xiàng)

能量守恒110公式計(jì)算自振頻率，必須已知振幅曲線Y（x），故只能假設(shè)Y（x）。 若Y（x）～第一振型，→第一頻率的精確值； 若Y（x）～第二振型，→第二頻率的精確值；…。但假設(shè)的曲線往往是近似的，故求得的頻率為近似值?！m于計(jì)算第一頻率。Y（x）為假設(shè)的振幅曲線——至少滿足位移邊界條件。——通?？扇∧硞€(gè)靜分布荷載q（x）作用下的彈性曲線應(yīng)變能U＝相應(yīng)荷載作的功＝

公式計(jì)算自振頻率，必須已知振幅曲線Y（x），111若q（x）＝mg，且有Pi＝mg（作功）

[例14－9]試求兩端固定等截面梁的自振第一頻率?！窘狻咳∽灾豵作用下的撓度曲線作為第一振型若q（x）＝mg，且有Pi＝mg（作功）112因?yàn)閝＝mg因?yàn)閝＝mg113【例14－10】1、三個(gè)自由度——?jiǎng)偠确ǎ?、相對(duì)層間側(cè)移剛度ki；3、各層重量P＝mg作為水平力，產(chǎn)生各層位移yi;4、其比值作為第一振型{Y}；5、能量法公式：1.1252.3753.375【例14－10】1.1252.3753.375114討論①位移形狀函數(shù)Y(x)

——未知，需要假設(shè)， ——首先滿足位移邊界②Y(x)——第一主振型相似→ω1精確值， 第二主振型相似→ω2精確值，③能量法——主要計(jì)算基頻 ——第一振型為最易實(shí)現(xiàn)的形狀曲線一般越接近——精度越高④（近似解）ω1*>ω1（精確解） 是真實(shí)基頻的上限（僅對(duì)ω1而言－舊版下冊(cè)P206）⑤物理意義：近似形狀曲線相當(dāng)于增加了人為約束，剛度提高↑,頻率ω↑討論1152、集中質(zhì)量法集中質(zhì)量——無(wú)限自由度→有限自由度集中質(zhì)量愈多，結(jié)果愈精確——工作量愈大；實(shí)用較低頻率，集中質(zhì)量無(wú)須太多——滿意結(jié)果靜力等效——集中質(zhì)量后，重力與原重力的合力相同——每段分布質(zhì)量按杠桿原理?yè)Q成位于兩端的集中質(zhì)量[例14－11]等截面簡(jiǎn)支梁，均布質(zhì)量m，求自振頻率。2、集中質(zhì)量法116[解]a）【例14－1】單自由度b)【例16－3】?jī)蓚€(gè)自由度c)精確解[解]a）【例14－1】單自由度b)【例16－3】?jī)?17集中質(zhì)量法→良好的近似結(jié)果，工程上常采用；適用于較復(fù)雜結(jié)構(gòu)剛架等，簡(jiǎn)便計(jì)算最低頻率；選擇集中質(zhì)量位置的原則：注意結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式，質(zhì)量集中在振幅較大的地方，——使所得頻率值較為精確。集中質(zhì)量法→良好的近似結(jié)果，工程上常采用；118√14-2(b)*√14－8（阻尼）√14－9（位移、內(nèi)力）√14－10（ξ、動(dòng)力系數(shù)）√1－11（爆炸荷載）14－√12、√13、*14、√15（頻率、振型）14－√16、17、18、*19（強(qiáng)迫振動(dòng)）*例14－3利用對(duì)稱性√14-2(b)*119第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§14－1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容與目的

靜力荷載——施力過(guò)程緩慢，忽略慣性力的影響。 靜力荷載作用——大小、方向、作用點(diǎn)確定 ——結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài) ——內(nèi)力、變形、位移確定（不隨時(shí)間變化）動(dòng)力荷載的特征：

荷載的大小、方向（作用位置*）隨時(shí)間而變化荷載變化較快，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不容忽視的加速度

動(dòng)力計(jì)算：

考慮慣性力－達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)力－靜力平衡）內(nèi)力、位移、荷載均為時(shí)間的函數(shù)（瞬間(t)的平衡）第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§14－1概述一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容120按動(dòng)力荷載變化規(guī)律分類：①周期荷載 簡(jiǎn)諧荷載 例：偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心力 非簡(jiǎn)諧荷載②沖擊荷載——急劇增大， 作用時(shí)間很短即行消失：樁錘作用；車輪撞擊軌道接頭

——急劇減少——爆炸荷載，③突加荷載——加載： 重物落在結(jié)構(gòu)上（突然加載和突然卸載）④快速移動(dòng)荷載——高速通過(guò)橋梁的火車、汽車⑤隨機(jī)荷載——地震的激振、風(fēng)力脈動(dòng)作用 荷載變化極不規(guī)律，只能用概率方法求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律按動(dòng)力荷載變化規(guī)律分類：121周期荷載（簡(jiǎn)諧）周期荷載（非簡(jiǎn)諧）沖擊荷載（急劇增大、急劇減少）周期荷載（簡(jiǎn)諧）周期荷載（非簡(jiǎn)諧）沖擊荷載（急劇增大、急劇減122隨機(jī)荷載隨機(jī)荷載123內(nèi)容：自由振動(dòng) 無(wú)阻尼 單、多自由度 強(qiáng)迫振動(dòng) 有阻尼 無(wú)限多自由度自由振動(dòng)——結(jié)構(gòu)受外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)， 而在以后的振動(dòng)過(guò)程中不再受外部干擾力作用。強(qiáng)迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)）——結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng) （在振動(dòng)過(guò)程中不斷受到外部干擾力作用）目的：①結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（周期T，頻率f(ω)、振型、阻尼） ——避免共振；地震的主要周期 例：步兵過(guò)橋——齊步走 美國(guó)懸索大橋——風(fēng)振作用，突然垮塌②動(dòng)力反應(yīng)

動(dòng)內(nèi)力/位移隨時(shí)間變化的規(guī)律 ——最大值——設(shè)計(jì)依據(jù)內(nèi)容：自由振動(dòng) 無(wú)阻尼 單、多自由度124振動(dòng)自由度——為了確定全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目集中質(zhì)量法：突出主要質(zhì)量——靜力等效 單自由度結(jié)構(gòu) 多自由度結(jié)構(gòu)§14－2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度振動(dòng)自由度§14－2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度125確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：（圖14–2）注意：①自由度數(shù)n隨計(jì)算簡(jiǎn)圖而異 （a、b、f-無(wú)限多自由度） ②自由度數(shù)與質(zhì)量數(shù)目可能不同 （c、d-e幾何構(gòu)造分析方法確定） ③自由度數(shù)與靜定或超靜定及超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：（圖14–2）126實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化（圖14–3）（a）塊式基礎(chǔ)——垂直振動(dòng)（b）水塔——頂部水池較重，水平振動(dòng)（c）樓房——樓板較重，水平振動(dòng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化（圖14–3）127單自由度——實(shí)際的問(wèn)題或簡(jiǎn)化的模型（圖14–4） 多自由度體系動(dòng)力分析的基礎(chǔ)自由振動(dòng)——結(jié)構(gòu)受外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)， 而在以后的振動(dòng)過(guò)程中不再受外部干擾力作用。初始干擾：初始位移——強(qiáng)迫偏離，突然放松； 初始速度——瞬時(shí)沖擊§14－3單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度——實(shí)際的問(wèn)題或簡(jiǎn)化的模型（圖14–4）§14－1281、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng) （圖14–5）質(zhì)量——彈簧模型 ——靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正彈簧的剛度k11

：彈簧發(fā)生單位位移所需加的力彈簧的柔度δ11：?jiǎn)挝涣ψ饔孟庐a(chǎn)生的位移

振動(dòng)微分方程——位移及各量隨時(shí)間變化的規(guī)律兩個(gè)基本方法：剛度法——列動(dòng)力平衡方程柔度法——列位移方程1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)129（一）建立自由振動(dòng)微分方程（1）剛度法－動(dòng)力平衡方程（達(dá)朗貝爾原理） 質(zhì)點(diǎn)m——任一時(shí)刻t有位移y(t)， （圖16–5b） ——彈性恢復(fù)力，與位移y方向相反 ——慣性力，與加速度方向相反 達(dá)朗伯爾原理隔離體平衡方程 微分方程（一）建立自由振動(dòng)微分方程130

（2）柔度法——列位移方程 ——彈性體系（非隔離體）（圖14–5c）運(yùn)動(dòng)過(guò)程，質(zhì)量只受慣性力——按靜力荷載考慮，m在時(shí)刻t的位移等于慣性力作用下的靜力位移 即

單自由度體系

即，與剛度法相同（2）柔度法——列位移方程131（二）自由振動(dòng)微分方程的解 常系數(shù)線性齊次微分方程 通解y=C1cosωt+C2sinωt 速度（對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)）

?=-ωC1sinωt+ωC2cosωt 初始條件：t=0，（二）自由振動(dòng)微分方程的解132初位移：y0

——正弦規(guī)律初速度：?0

——余弦規(guī)律疊加——初位移：y0——正弦規(guī)律133a——振幅：質(zhì)點(diǎn)最大位移；φ——初相角則y(t)=asin(ωt+φ) ?(t)=aωcos(ωt+φ)令a——振幅：質(zhì)點(diǎn)最大位移；φ——初相角則y(t)=134（三）結(jié)構(gòu)自振同期周期運(yùn)動(dòng)y(t+T)=y(t)自振周期每隔一段時(shí)間就重復(fù)原來(lái)運(yùn)動(dòng)單位：秒（S）單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，單位：1／秒（1/S）

2π秒內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)頻率園頻率（頻率）（三）結(jié)構(gòu)自振同期自振周期每隔一段時(shí)間就重復(fù)原來(lái)運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間135周期Ｔ的重要性質(zhì)：（1）Ｔ只與結(jié)構(gòu)本身的性質(zhì)m、k有關(guān) ——結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性，與外界干擾無(wú)關(guān) ——外界干擾只能影響振幅和初相角；（2）Ｔ∝（14－8）周期Ｔ的重要性質(zhì)：（14－8）136（3）T－結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志（4）ω∝1/Δst， 質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處， 可以得到最小頻率和最大周期（3）T－結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志（4）ω∝1/137[例14－1]三種支承情況的梁，忽略梁本身質(zhì)量，求自振頻率與周期（圖14-7）[解]（1）柔度法計(jì)算δ[例14－1]三種支承情況的梁，忽略梁本身質(zhì)量，求自振頻率與138（2）剛度法a.加鏈桿約束——約束動(dòng)力自由度；b.給單位位移；c.求約束力——?jiǎng)偠萲。（2）剛度法139[例2]剛架，梁質(zhì)量m，剛度∞； 柱(忽略質(zhì)量)剛度EI，高h(yuǎn)。 試求自振頻率ω和周期計(jì)算k*（計(jì)算δ）[例2]剛架，梁質(zhì)量m，剛度∞；計(jì)算k140[例3]例2中，若初始位移△，初始速度ν0 試求振幅值及t=1s時(shí)的位移值解：上例已計(jì)算

[例3]例2中，若初始位移△，初始速度ν0141作業(yè)：14－1√（振動(dòng)自由度）14－2a*、b（振動(dòng)微分方程）14－3a√、b、c√、d；4、5、6√（頻率）14－7√（振幅、位移）作業(yè)：1422、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)

阻尼（力）：振動(dòng)過(guò)程中各種阻力的作用 使自由振動(dòng)逐漸衰減而不能無(wú)限延續(xù) 共振時(shí)振幅并非無(wú)限大

（外部介質(zhì)）空氣和液體的阻力、支承的摩擦

（內(nèi)部作用）材料分子之間的摩擦和粘著性阻尼的種類：（1）粘滯阻尼力R=-β?（線性阻尼） 兩個(gè)物體的相對(duì)滑動(dòng)面之間有一層連續(xù)油膜存在時(shí) 或物體以低速在粘性液體內(nèi)運(yùn)動(dòng)（2）流體阻尼

R=-cv2

固體以較大速度在流體介質(zhì)內(nèi)運(yùn)動(dòng)（例3m/s以上）（3）摩擦力

R＝kN

兩個(gè)干燥的平滑接觸面之間的摩擦力（4）結(jié)構(gòu)阻尼

材料之間的內(nèi)摩擦

2、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng) 143粘滯阻尼力計(jì)算簡(jiǎn)單，其余的可化為等效粘滯阻尼力考慮阻尼的振動(dòng)方程 I+R+S=0 其中：R=-β?

有阻尼的自由振動(dòng)微分方程

令（16－9）*粘滯阻尼力計(jì)算簡(jiǎn)單，其余的可化為等效粘滯阻尼力有阻尼的自由振144設(shè)解特征方程設(shè)解特征方程145（1）（小阻尼）令（16—10）有阻尼的自振頻率（1）（小阻尼）令（16—10）有阻尼的自振頻率146設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0147寫(xiě)成其中(14-12)式（14－12）的位移－時(shí)間曲線如（圖14－9）所示：低阻尼體系自由振動(dòng)y-t曲線——逐漸衰減的正弦（波動(dòng)）曲線寫(xiě)成其中(14-12)式（14－12）的位移－時(shí)148a.阻尼對(duì)頻率（周期）的影響ξ↑→ω’↓ξ↑→T’↑阻尼比——阻尼的基本參數(shù)：a.阻尼對(duì)頻率（周期）的影響ξ↑→ω’↓ξ↑→T’↑149b、阻尼對(duì)振幅的影響——振幅隨時(shí)間逐漸衰減一周期相隔j個(gè)周期：——振幅對(duì)數(shù)遞減量若取對(duì)數(shù)：b、阻尼對(duì)振幅的影響——振幅隨時(shí)間逐漸衰減一周期相隔j個(gè)周150（2）（大阻尼），此時(shí)特征根r1、r2為一對(duì)重根（負(fù)實(shí)數(shù)），通解為：這是非周期函數(shù)，故不發(fā)生振動(dòng)，且受初始干擾偏離平衡位置后返回中心位置更慢（2）（大阻尼），這是非周期函數(shù)，故不發(fā)生振動(dòng)，151（3）（臨界阻尼）微分方程解特征方程根

（3）（臨界阻尼）微分方程解特征方程根152

y–t曲線－仍是有衰減性質(zhì)，但不具有波動(dòng)性質(zhì)（如圖）φ?0y0試題y–t曲線－仍是有衰減性質(zhì)，φ?0y0試題153

——臨界阻尼系數(shù)——使運(yùn)動(dòng)不再具有波動(dòng)性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)最小值阻尼比：

——反映阻尼情況的基本參數(shù)實(shí)測(cè)相隔j個(gè)周期的振幅——計(jì)算ξ：——臨界阻尼系數(shù)——反映阻尼情況的基本參數(shù)實(shí)測(cè)相隔j個(gè)周154§14－4單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

強(qiáng)迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)）－結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)一、振動(dòng)方程建立剛度法：取m隔離體，由動(dòng)力平衡得：§14－4單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)155微分方程的解：y=y0+y其中齊次方程通解：與干擾力P(t)相應(yīng)的特解,則與干擾力的形式有關(guān)二、簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsinθt （14—17）（14－18）特解：微分方程的解：y=y0+y與干擾力P(t)相應(yīng)的特解156

代入方程：對(duì)于任意的t上式均成立，一定有相應(yīng)系數(shù)相等： 代入方程：對(duì)于任意的t上式均成立，一定有相應(yīng)系數(shù)相等：157全解：自由振動(dòng)：頻率ω’，振幅衰減； B1、B2由初始條件確定強(qiáng)迫振動(dòng)：頻率θ，C1、C2與F有關(guān)可解：全解：自由振動(dòng)：頻率ω’，振幅衰減；可解：158設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0設(shè)初始條件:t=0,y=y0、?=?0159（14—19）分三部分：自由振動(dòng)——初始條件確定；伴生自由振動(dòng)——與初始條件無(wú)關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)，但頻率與自振頻率ω’相同； ——以上二部分有e-ξωt,隨時(shí)間衰減純強(qiáng)迫振動(dòng)——平穩(wěn)振動(dòng)（不衰減）（14—19）分三部分：160過(guò)渡階段平穩(wěn)階段過(guò)渡階段平穩(wěn)階段1611、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

ξ＝01、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)162振幅（最大位移）動(dòng)力（位移）系數(shù)（14—22）θ<ω，μ>0，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載同相θ>ω，μ<0，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反相單自由度，干擾力與慣性力作用點(diǎn)重合， ——內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)＝位移動(dòng)力系數(shù)振幅（最大位移）動(dòng)力（位移）系數(shù)（14163μ的特性（由圖示）P(t)變化非常慢（與自振周期T相比）θ/ω|μ|11μ的特性（由圖示）P(t)變化非常慢θ/ω|μ|111642、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

ξ≠0振幅相位差2、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)振幅165——?jiǎng)恿ο禂?shù)與θ/ω有關(guān)，與阻尼比ξ有關(guān)——?jiǎng)恿ο禂?shù)166

的關(guān)系曲線：（圖14－12） 討論：①當(dāng)ξ：0→1時(shí)，曲線漸趨平緩，附近，峰值下降顯著研究共振，阻尼影響不容忽略若實(shí)際共振

② 的關(guān)系曲線：（圖14－12） 附近，峰值下降顯167（1）動(dòng)荷載主要與彈性力平衡

y與P(t)同相位

μ≈1，靜力荷載振動(dòng)慢，慣性力、阻尼力小（1）動(dòng)荷載主要與彈性力平衡y與P(t)同相位168（2）y很小的顫動(dòng)ky,c?很小,振動(dòng)快，慣性力大

動(dòng)荷載主要與慣性力平衡

與位移同相位（2）y很小的顫動(dòng)ky,c?很小,振動(dòng)快，慣性力大169（3）μ增加快（共振）荷載值為最大時(shí)，位移、加速度最小

——?jiǎng)雍奢d主要與阻尼力平衡共振時(shí)，阻尼力起重要作用，不容忽略（3）μ增加快荷載值為最大時(shí)，1700.75<θ/ω<1.25范圍，阻尼對(duì)位移影響很大；阻尼較小時(shí)，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)；工程設(shè)計(jì)，自振頻率ω應(yīng)比θ大25~30%。0.75<θ/ω<1.25范圍，阻尼對(duì)位移影響很大；171干擾力不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上：（14－28）干擾力不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上：（14－28）172§14－5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)(m)的動(dòng)量(mv)在某一時(shí)間間隔內(nèi)的改變量，等于同一時(shí)間內(nèi)的作用力的沖量（P·Δt）（圖）t=0,y=0,v1=0Δt→ε,v2=v0mv0=PΔt →令為Q（瞬時(shí)沖量）§14－5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量的173沖量作用時(shí)間很短，忽略Δt，相當(dāng)于物體：在

（坐標(biāo)平移），則（14－11）沖量作用時(shí)間很短，忽略Δt，相當(dāng)于物體：174一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)Ｐ(t)——加載過(guò)程視為一系列瞬時(shí)沖量組成t=τ時(shí)，P(τ)在微分時(shí)段dτ內(nèi)沖量ds=P(τ)dτ微分沖量對(duì)動(dòng)力反應(yīng)的貢獻(xiàn)：（τ時(shí)刻沖量對(duì)t時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)）動(dòng)力反應(yīng)y(t)為0→t時(shí)刻所有微分反應(yīng)的疊加一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)力反應(yīng)y(t)為0→t時(shí)刻所有175

杜哈梅積分(ξ＝0，ω’=ω)若有y0、v0，則——任意荷載P作用的動(dòng)力響應(yīng)杜哈梅積分(ξ＝0，ω’=ω)若有y0、v0，176（1）突加荷載ωt=(2n-1)πymax=2yst實(shí)例圖（1）突加荷載ωt=(2n-1)πymax=2yst實(shí)例圖177（2）短時(shí)荷載動(dòng)力反應(yīng)分二段考慮（2）短時(shí)荷載動(dòng)力反應(yīng)分二段考慮178當(dāng)0<t<t0時(shí)當(dāng)t>t0時(shí)當(dāng)t0<T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在后一階段（表14－1）當(dāng)t0>T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在前一階段：μ＝2以t0時(shí)的位移和速度為初始位移和初始速度的——自由振動(dòng)當(dāng)0<t<t0時(shí)當(dāng)t>t0時(shí)當(dāng)t0<T179§14－6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度體系：

多層房屋的側(cè)向振動(dòng)

不等高排架的振動(dòng)

塊形基礎(chǔ)的平面振動(dòng) 梁上有幾個(gè)集中質(zhì)量的振動(dòng)求解方法：

剛度法——建立力的平衡方程（位移法）

柔度法——建立位移協(xié)調(diào)方程（力法） 兩個(gè)自由度體系——推廣到n個(gè)自由度體系：特性（與單自由度區(qū)別）：

固有頻率：2個(gè)——n個(gè)；

主振型：2個(gè)——n個(gè)；

耦合：各自由度的運(yùn)動(dòng)相互影響；

不同坐標(biāo)寫(xiě)方程式（剛度、柔度法）

矩陣形式及運(yùn)算§14－6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度體系： 多層房屋的側(cè)1801、振動(dòng)微分方程建立（1）剛度法（位移法）a)n個(gè)質(zhì)量——n個(gè)位移；b)附加鏈桿： ——反力＝慣性力；c)令附加鏈桿發(fā)生實(shí)際位移 ——反力=Ri

剛度系數(shù)：d)Yi=1引起的反力 ——kii、kjie)同理有kij、kjj1、振動(dòng)微分方程建立181疊加(b)、(c)，附加鏈桿的反力之和＝0（原結(jié)構(gòu)）

且即有n個(gè)自由度體系振動(dòng)方程(14-43)疊加(b)、(c)，附加鏈桿的反力之和＝0（原結(jié)構(gòu)）182（2）柔度法（力法）a)n個(gè)質(zhì)量——n個(gè)位移； ——只受慣性力-m?i

（作為靜力荷載）柔度系數(shù)：b)Pi=1引起的位移 ——δii、δjic)同理有δij、δjj思路：考慮彈性體系的某一質(zhì)量mi，在自由振動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻t的位移yi，應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系中各個(gè)質(zhì)量的慣性力-m?j(j=1,2…n)共同作用下所產(chǎn)生的靜力位移。，

（2）柔度法（力法）思路：考慮彈性體系的某一質(zhì)量mi，在自183n個(gè)位移方程：矩陣形式：（14－44）[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣[δ]——柔度陣，對(duì)稱，正定，非奇異（結(jié)構(gòu)）柔度矩陣與剛度矩陣——互為逆矩陣n個(gè)位移方程：矩陣形式：（14－44）[M]——質(zhì)量184剛度法與柔度法實(shí)質(zhì)相同，形式不同。根據(jù)結(jié)構(gòu)的形式適當(dāng)采用剛度法或柔度法求系數(shù)2、按柔度法求解振動(dòng)微分方程：設(shè)解對(duì)任意均成立，則振型方程：其中：[I]為單位矩陣，{Y}={Y1Y2…Yn}T為振幅列向量剛度法與柔度法實(shí)質(zhì)相同，形式不同。振動(dòng)微分方程：185齊次方程，若{Y}有非零解則：頻率（特征）方程即展開(kāi)關(guān)于λ的n次方程（14－47）齊次方程，若{Y}有非零解則：即展開(kāi)關(guān)于λ的n次方程（14186——頻率方程解為n個(gè)正實(shí)根λi,即1/ωi2（i=1,2,…n）;得到n個(gè)自振頻率：ω1，ω2，…ωn，——按從小到大順序排列， 稱為第一、第二…第n頻率——總稱為結(jié)構(gòu)自振頻譜將n個(gè)自振頻率中的任意一個(gè)ωk代入特解：（14－47）（i=1,2,…n）——頻率方程（14－47）（i=1,2,…n）187即各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率ωk作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則各質(zhì)點(diǎn)的位移的比值：y1:y2:…:yn=Y1:Y2:…:Yn——為定值（不隨時(shí)間變化）即任意時(shí)刻，結(jié)構(gòu)振動(dòng)保持同一形態(tài)，像單自由度振動(dòng)。將代入振型方程由于D=0，n個(gè)方程中只有n-1個(gè)方程線性無(wú)關(guān)，不能求得Y(k)1,Y(k)2,…,Y(k)n的確定值，但可以確定相對(duì)比值——（主）振型。任取n-1個(gè)方程，令Y(k)1＝1——規(guī)準(zhǔn)化振型即各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率ωk作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，代入振型方程由于D=0188n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)——n個(gè)自振頻率：——相應(yīng)有n個(gè)主振動(dòng)和主振型——特解；一般解——主振動(dòng)的線性組合：n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)——n個(gè)自振頻率：189一般情況，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)——n個(gè)主振動(dòng)分量疊加而成；——各主振動(dòng)的振幅Ak{Y}(k)和初相角αk 取決于初始條件： n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的n個(gè)初始位移和n個(gè)初始速度——確定n個(gè)Ak和n個(gè)αk。自振頻率和振型——結(jié)構(gòu)固有動(dòng)力特性； ——主要任務(wù)振幅和初相角——由初始條件確定一般情況，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)190（1）兩個(gè)自由度頻率方程（1）兩個(gè)自由度191振型方程取第一方程

（k=1、2）寫(xiě)成列陣形式：振型方程取第一方程（k=1、2）寫(xiě)成列陣形式192[例14—3]求[解][例14—3]求[解]193取較大的為λ1，對(duì)應(yīng)ω1為較小的取較大的為λ1，對(duì)應(yīng)ω1為較小的194振型頻率振型頻率195[解II]頻率方程令[解II]頻率方程令196頻率頻率197正交性振型正交性振型198結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布 ——對(duì)稱其主振型 ——對(duì)稱、反對(duì)稱計(jì)算自振頻率：——分別就正、反對(duì)稱情況——取半跨結(jié)構(gòu)計(jì)算——兩個(gè)單自由度問(wèn)題計(jì)算顯然，振型分別為： [11]T、[1-1]T——*作業(yè)結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布199【例14－4】【例14－4】200第14章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件201[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣[K]——?jiǎng)偠汝?，?duì)稱，正定，非奇異（結(jié)構(gòu)）設(shè)解對(duì)任意的t（即）等式均成立則：2、按剛度法求解[M]——質(zhì)量陣，（集中質(zhì)點(diǎn)）對(duì)角陣對(duì)任意202振型方程齊次方程非零解——系數(shù)行列式D=0頻率（特征）方程頻率方程——關(guān)于ω2的n階代數(shù)方程（n為自由度數(shù)）可解n個(gè)根頻率向量{w}：由小到大排列其中ω1——基本頻率或第一頻率振型方程齊次方程非零解——系數(shù)行列式D=0203由于n個(gè)方程線性相關(guān)，任取n－1個(gè)方程可解（取Y1＝1）i階振型：無(wú)窮多組解標(biāo)準(zhǔn)化主振型由于n個(gè)方程線性相關(guān)，任取n－1個(gè)方程可解（取Y1＝1）i204（一）兩個(gè)自由度體系矩陣形式：即：齊次方程有非零解：

——頻率方程（特征方程）（一）兩個(gè)自由度體系矩陣形式：即：齊次方程有非零解： 205方程的兩個(gè)根：ω21、2（16-58）ω21、2均>0，所以兩個(gè)自由度體系共有二個(gè)自振頻率 ω1——基本（第一）圓頻率——最小圓頻率 ω2——第二圓頻率方程的兩個(gè)根：ω21、2（16-58）206 振型方程，代入ωi，由于D=0，兩個(gè)方程線性相關(guān)（兩組系數(shù)成比例），只有一個(gè)獨(dú)立方程任取其一，可得：主振型：——振幅之比第一振型（基本振型）第二振型 振型方程，代入ωi，主振型：——振幅之比第二振型207[例14－5]【解】1、[K][M]2、頻率方程——ωi3、振型方程——{Y}(i),[例14－5]2081、K、M：剛度矩陣質(zhì)量矩陣式中：1、K、M：質(zhì)量矩陣式中：2092、頻率方程：頻率：試算法：2、頻率方程：頻率：試算法：2103、振型方程第k階：ωk→ηkK=1

η1=0.392令Y1＝1，取前2個(gè)方程3、振型方程K=1令Y1＝1，211同理，可求第二、三振型:同理，可求第二、三振型:212圖14－25MSSolver圖14－25MSSolver2134、主振型的正交性 振型方程設(shè)體系具有n個(gè)自由度，兩個(gè)不同的自振頻率對(duì)應(yīng)二個(gè)振型向量。（1）（2）4、主振型的正交性設(shè)體系具有n個(gè)自由度，（1）（2）214第二式兩側(cè)同時(shí)取轉(zhuǎn)之置：（1）－（2）對(duì)于質(zhì)量陣[M]，不同頻率的主振型彼此正交對(duì)于剛度陣[K]，不同頻率的主振型也是彼此正交（14—60）（14—61）（1）（2）第二式兩側(cè)同時(shí)取轉(zhuǎn)之置：（1）－（2）對(duì)于質(zhì)量陣[M]，不同215主振型的正交性：結(jié)構(gòu)本身固有的特性——簡(jiǎn)化計(jì)算；——檢驗(yàn)主振型是否正確例16－5中的第一、二振型：主振型的正