2023高考真題知識總結方法總結題型突破：36 二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布問題(教師版)

專題36二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.1．解析(1)平均年齡（歲）．(2)設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．(3)設任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．【知識總結】1．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).3．正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標準差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區(qū)間．【題型突破】1．2021年3月6日，習近平總書記強調，教育是國之大計、黨之大計．要從黨和國家事業(yè)發(fā)展全局的高度，堅守為黨育人、為國育才，把立德樹人融入思想道德教育、文化知識教育、社會實踐教育各環(huán)節(jié)，貫穿基礎教育、職業(yè)教育、高等教育各領域，體現(xiàn)到學科體系、教學體系、教材體系、管理體系建設各方面，培根鑄魂、啟智潤心．某中學將立德樹人融入到教育的各個環(huán)節(jié)，開展“職業(yè)體驗，導航人生”的社會實踐教育活動，讓學生站在課程“中央”．為了更好了解學生的喜好情況，根據(jù)學校實際將職業(yè)體驗分為：救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、公平正義的法律類四種職業(yè)體驗類型，并在全校學生中隨機抽取100名學生調查意向選擇喜好類型，統(tǒng)計如下：類型救死扶傷的醫(yī)務類除暴安良的警察類百花齊放的文化類公平正義的法律類人數(shù)30202030在這100名學生中，隨機抽取了3名學生，并以統(tǒng)計的頻率代替職業(yè)意向類型的概率(假設每名學生在選擇職業(yè)類型時僅能選擇其中一類，且不受其他學生選擇結果的影響)．(1)求救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類這兩種職業(yè)類型在這3名學生中都有選擇的概率；(2)設這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機變量為X，求X的分布列與均值．1．解析(1)設職業(yè)體驗選擇救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、公平正義的法律類的概率分別為P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，則易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,5)，P(C)＝eq\f(1,5)，P(D)＝eq\f(3,10)，所以救死扶傷的醫(yī)務類、除暴安良的警察類這兩種職業(yè)類型在這3名學生中都有選擇的概率為P1＝Aeq\o\al(3,3)P(A)·P(B)[1－P(A)－P(B)]＋Ceq\o\al(1,3)P(A)·P(B)2＋Ceq\o\al(2,3)P(A)2·P(B)＝Aeq\o\al(3,3)×eq\f(3,10)×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2×eq\f(1,5)＝eq\f(27,100)．(2)由題意知選擇除暴安良的警察類的概率為P(B)＝eq\f(1,5)，這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機變量X的所有可能值有0，1，2，3，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，則P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,3)P(B)i[1－P(B)]3－i(i＝0，1，2，3)，所以X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)所以X的均值為E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5)．2．“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理想之地．為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生，在某旅行社實習期間，把“研學游”分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下：研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游學校數(shù)404020該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響).(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”學校數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．2．解析(1)依題意，學校選擇“科技體驗游”的概率為eq\f(2,5)，選擇“自然風光游”的概率為eq\f(1,5)，若這3所學校選擇研學游類型為“科技體驗游”和“自然風光游”，則這兩種類型都有學校選擇的概率為P＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(18,125).(2)法一：X的可能取值為0，1，2，3.則P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).法二：∵隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3.∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴E(X)＝np＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).3．某市某中學為了了解同學們現(xiàn)階段的視力情況，現(xiàn)對高三年級2000名學生的視力情況進行了調查，從中隨機抽取了100名學生的體檢表，繪制了頻率分布直方圖如圖：(1)求a的值，并估計這2000名學生視力的平均值(精確到0.1)；(2)為了進一步了解視力與學習成績是否有關，對本年級成績在前50名與后50名的學生進行了調查．得到的數(shù)據(jù)如下，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認為視力與學習成績有關？前50名后50名近視4032不近視1018(3)自從“黨的十八大”以來，國家鄭重提出了人才強軍戰(zhàn)略，充分體現(xiàn)了國家對軍事人才培養(yǎng)的高度重視．近年來該市空軍飛行員錄取情況喜人，繼2019年該市有6人被空軍航空大學錄取之后，2020年又有3位同學順利拿到了空軍航空大學通知書，彰顯了該市愛國主義教育，落實立德樹人根本任務已初見成效.2020年某空軍航空大學對考生視力的要求是不低于5.0，若以該樣本數(shù)據(jù)來估計全市高三年級學生的視力，現(xiàn)從全市視力不低于4.8的同學中隨機抽取3名同學，這3名同學中有資格報考該空軍航空大學的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.8793．解析(1)由頻率分布直方圖可得(0.25＋0.5＋2a＋1＋1.75)×0.2＝1，所以a＝0.75，設這100名學生的視力的平均值為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝4.1×0.5×0.2＋4.3×0.75×0.2＋4.5×1.75×0.2＋4.7×1×0.2＋4.9×0.75×0.2＋5.1×0.25×0.2≈4.6，所以估計這2000名學生視力的平均值是4.6.(2)因為K2＝eq\f(100×（40×18－10×32）2,72×28×50×50)＝eq\f(200,63)≈3.175<3.841，所以沒有95%的把握認為視力與學習成績有關．(3)視力不低于4.8的同學中，視力不低于5.0的同學所占的比例為eq\f(0.25,0.25＋0.75)＝eq\f(1,4).所以從全市視力不低于4.8的同學中隨機抽取3名同學，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,64)，所以X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)所以數(shù)學期望E(X)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．《健康中國行動(2019－2030年)》包括15個專項行動，其中全民健身行動提出鼓勵公眾每周進行3次以上、每次30分鐘以上中等強度運動，或者累計150分鐘中等強度或75分鐘高強度身體活動，日常生活中要盡量多動，達到每天6千步～10千步的身體活動量，某高校從該校教職工中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的日均步行數(shù)(均在2千步～14千步之間)，得到的數(shù)據(jù)如下表：日均步行數(shù)/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人數(shù)1224a24b9頻率0.080.160.40.16c0.06(1)求a，b，c的值；(2)“每天運動一小時，健康工作五十年”，學校為了鼓勵教職工積極參與鍛煉，決定對日均步行數(shù)不低于m千步的教職工進行獎勵，為了使全校30%的教職工得到獎勵，試估計m的值；(3)在第(2)問的條件下，以頻率作為概率，從該校得到獎勵的教職工中隨機抽取3人，設這3人中日均步行數(shù)不低于10千步的人數(shù)為X，求X的分布列和均值．4．解析(1)由題意可得，eq\f(12,0.08)＝eq\f(a,0.4)，解得a＝60.c＝1－0.08－0.16－0.4－0.16－0.06＝0.14.易知eq\f(12,0.08)＝eq\f(b,c)＝eq\f(b,0.14)，∴b＝21.(2)由題意知，日均步行數(shù)在[10,14]內的頻率為0.14＋0.06＝0.2，日均步行數(shù)在[8,14]內的頻率為0.16＋0.14＋0.06＝0.36，則(10－m)×eq\f(0.16,2)＋0.14＋0.06＝0.3，解得m＝8.75.所以當m＝8.75時，全校30%的教職工能夠得到獎勵．(3)由題意知，該校得到獎勵的教職工在全校教職工中所占的比例為0.3，所以日均步行數(shù)不低于10千步的教職工在得到獎勵的教職工中所占的比例為eq\f(0.14＋0.06,0.3)＝eq\f(2,3)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3，所以X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.5．為了加強食品安全監(jiān)管，某縣市場監(jiān)管局計劃添購一批食品檢測儀器，符合這次采購要求的檢測儀器只有甲、乙兩種型號，下表是該縣市場監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號檢測儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計表．使用年限1年2年3年4年合計甲型號檢測儀器數(shù)量/臺287320乙型號檢測儀器數(shù)量/臺396220以頻率估計概率．(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測儀器中各隨機抽取一臺，求甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年的概率；(2)若該縣市場監(jiān)管局購買甲、乙兩種型號檢測儀器各2臺，記2年后仍可使用的檢測儀器的臺數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值．5．解析(1)記事件Ai為“從以往使用的甲型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，事件Bi為“從以往使用的乙型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，i＝1,2,3,4，事件C為“從以往使用的甲、乙兩種型號檢測儀器中各隨機抽取一臺，甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年”，則P(C)＝P(A2B1)＋P(A3B2)＋P(A4B3)＝eq\f(8,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(7,20)×eq\f(9,20)＋eq\f(3,20)×eq\f(6,20)＝eq\f(21,80).(2)由題意知甲型號檢測儀器2年后仍可使用的概率為eq\f(1,2)，乙型號檢測儀器2年后仍可使用的概率為eq\f(2,5).設2年后仍可使用的甲型號檢測儀器有X臺，乙型號檢測儀器有Y臺，易知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5))).由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(9,100)，P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＋Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝P(X＝2，Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(1,25)，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)＝eq\f(37,100)，所以ξ的分布列為ξ01234Peq\f(9,100)eq\f(3,10)eq\f(37,100)eq\f(1,5)eq\f(1,25)所以E(ξ)＝0×eq\f(9,100)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(37,100)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,25)＝eq\f(9,5).6．某學院為了調查本校學生2021年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學生，統(tǒng)計他們在該月30天內健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．6．解析(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．(2)隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，且Y服從超幾何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52)．所以Y的分布列為Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2)．7．單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據(jù)運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績．現(xiàn)有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績如下表：分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立．(1)從上表5站中隨機選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；(2)從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數(shù)，求X的分布列和均值；(3)假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型池比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰參加，并說明理由．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數(shù))7．解析(1)設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件A，運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為86.20,92.80,87.50,89.50,86.00，運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為88.40,88.60,89.10,88.20,87.70，其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，∴P(A)＝eq\f(2,5).(2)X可能取的值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴X的分布列為X012Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).(3)推薦乙．理由如下：甲5站的平均成績?yōu)閑q\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(86.20＋92.80＋87.50＋89.50＋86.00)＝88.40，乙5站的平均成績?yōu)閑q\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(88.40＋88.60＋89.10＋88.20＋87.70)＝88.40，甲5站成績的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(88.40－86.20)2＋(88.40－92.80)2＋(88.40－87.50)2＋(88.40－89.50)2＋(88.40－86.00)2]＝6.396，乙5站成績的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(88.40－88.40)2＋(88.40－88.60)2＋(88.40－89.10)2＋(88.40－88.20)2＋(88.40－87.70)2]＝0.212，eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙說明甲乙二人水平相當，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)表明乙的發(fā)揮比甲的更穩(wěn)定，所以預測乙的成績會更好．8．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設X為質量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設Y為質量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．8．解析(1)質量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．(2)質量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的可能取值為0，1，2，X服從超幾何分布．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列為X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)∴X的均值為方法一E(X)＝0×eq\f(63,130)＋1×eq\f(28,65)＋2×eq\f(11,130)＝eq\f(3,5)．方法二E(X)＝eq\f(2×12,40)＝eq\f(3,5)．(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質量超過505克的概率為eq\f(12,40)＝eq\f(3,10)．從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗，質量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0，1，2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))2－k，k＝0，1，2，∴P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2＝eq\f(9,100)．∴Y的分布列為Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)9．據(jù)調查，目前對于已經(jīng)近視的小學生，有兩種佩戴眼鏡的方式可供選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡(因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，越來越多的小學生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展).A市從當?shù)匦W生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的8人中，2名是男生，6名是女生).(1)若從樣本中隨機選取一名小學生，已知這名小學生佩戴眼鏡，那么，他佩戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？(2)從這8名佩戴角膜塑形鏡的小學生中，隨機選出3人，求其中男生人數(shù)X的分布列；(3)若將樣本的頻率當成估計總體的概率，請問，從A市的小學生中，隨機選出20名小學生，求佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)Y的期望和方差．9．解析(1)記“這名小學生佩戴眼鏡”為事件A，“這名小學生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件B，則所求的概率為P(B|A)，P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(0.08,0.24)＝eq\f(1,3).所以若從樣本中隨機選取一名小學生，已知這名小學生佩戴眼鏡，則他佩戴的是角膜塑形鏡的概率是eq\f(1,3).(2)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28).所以X的分布列為X012Peq\f(5,14)eq\f(15,28)eq\f(3,28)(3)由已知可得，Y～B(20，0.08)，則E(Y)＝np＝20×0.08＝1.6，D(Y)＝np(1－p)＝20×0.08×0.92＝1.472.所以佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)Y的期望是1.6，方差是1.472.10．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－16\x\to(x)2)))≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16．用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計值eq\o(μ,\s\up6(^))，用樣本標準差s作為σ的估計值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)≈0.9973；0.997316≈0.9577，eq\r(0.008)≈0.09．10．解析(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內的概率為0.9973，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0027，故X～B(16，0.0027)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423．X的數(shù)學期望為E(X)＝16×0.0027＝0.0432．(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0027，一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0423，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．②由eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，得μ的估計值為eq\o(μ,\s\up6(^))＝9.97，σ的估計值為eq\o(σ,\s\up6(^))＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估計值為10.02．eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估計值為eq\r(0.008)≈0.09．11．“學習強國”學習平臺是由中共中央宣傳部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的互聯(lián)網(wǎng)學習平臺．該學習平臺采取積分制管理，內容豐富多彩，涉及政治、經(jīng)濟、文化、社會、生態(tài)，表現(xiàn)形式有圖片、文字、視頻、考試、答題、互動等，讓人們的生活充實而有質量．某市為了了解教職工在“學習強國”平臺的學習情況，從該市教職工中隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在“學習強國”中獲得的積分(單位：千分)并將樣本數(shù)據(jù)分成[1，3)，[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13]六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)以樣本估計總體，該市教職工在“學習強國”獲得的積分近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，取σ＝2.3．若該市恰有1萬名教職工，試估計這些教職工中積分ξ位于區(qū)間[4.4，11.3]內的人數(shù)；(2)若以該市樣本的頻率估計鄰市的概率(鄰市對教職工學習“學習強國”的要求與該市相同，教職工的人數(shù)也與該市教職工的人數(shù)相當)，若從鄰市教職工中隨機抽取20人，設積分在3千分至9千分內的教職工人數(shù)為X，求X的均值E(X)．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．11．解析(1)由題意知樣本的平均數(shù)為2×0.025×2＋4×0.075×2＋6×0.2×2＋8×0.125×2＋10×0.05×2＋12×0.025×2＝6.7，∴μ≈6.7．又∵σ＝2.3，∴P(4.4≤ξ≤11.3)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186．又10000×0.8186＝8186，∴估計這些教職工中積分ξ位于區(qū)間[4.4，11.3]內的人數(shù)約為8186．(2)該市樣本在[3，9)內的頻率為(0．075＋0.2＋0.125)×2＝0.8，則X～B(20，0.8)，∴X的均值E(X)＝20×0.8＝16．12．某市為了了解本市初中生周末運動時間，隨機調查了3000名學生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)按照分層抽樣的方法，從[40，50)和[80，90)中隨機抽取了9名學生．現(xiàn)從已抽取的9名學生中隨機推薦3名學生參加體能測試．記推薦的3名學生來自[40，50)的人數(shù)為X，求X的分布列和均值；(2)由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間t服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中，μ為周末運動時間的平均數(shù)eq\x\to(t)，σ近似為樣本的標準差s，并已求得s≈14.6．可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機抽取12名學生，記周末運動時間在(43.9，87.7]之外的人數(shù)為Y，求P(Y＝3)(精確到0.001)．參考數(shù)據(jù)1：當t～N(μ，σ2)時，P(μ－σ<t≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<t≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<t≤μ＋3σ)≈0.9973．參考數(shù)據(jù)2：0.81869≈0.16506，0.18143≈0.0060．12．解析(1)運動時間在[40，50)的人數(shù)為3000×0.02×10＝600．運動時間在[80，90)的人數(shù)為3000×0.01×10＝300．按照分層抽樣共抽取9人，則在[40，50)上抽取的人數(shù)為6，在[80，90)上抽取的人數(shù)為3．∴隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，∴隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,84)eq\f(3,14)eq\f(15,28)eq\f(5,21)∴E(X)＝0×eq\f(1,84)＋1×eq\f(3,14)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,21)＝2．(2)μ＝eq\x\to(t)＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝14.6，∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ，∴P(43.9<t≤87.7)＝P(μ－σ<t≤μ＋2σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，∴P(t≤μ－σ或t>μ＋2σ)＝1－0.8186＝0.1814，∴Y～B(12，0.1814)，∴P(Y＝3)＝Ceq\o\al(3,12)×0.18143×0.81869≈220×0.0060×0.16506≈0.218．13．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個重點城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上．截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．某市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進行了調查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)產(chǎn)生的垃圾數(shù)量超過28(噸/天)的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量X[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5]頻數(shù)56912864(1)在頻數(shù)分布表中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，求這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值eq\x\to(x)(精確到0.1)；(2)若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量X大致服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別近似為(1)中樣本的平均值eq\x\to(x)，方差s2，經(jīng)計算s約為5.2．請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數(shù)；(3)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調查，現(xiàn)計劃在這8個“超標”社區(qū)中隨機抽取5個進行跟蹤調查，設Y為抽到的這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求Y的分布列與均值．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973．13．解析(1)由頻數(shù)分布表得eq\x\to(x)＝eq\f(14×5＋17×6＋20×9＋23×12＋26×8＋29×6＋32×4,50)＝22.76≈22.8，所以這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸．(2)由(1)知μ＝22.8．因為s約為5.2，所以取σ＝5.2．所以P(X>28)＝P(X>μ＋σ)≈eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865．又320×0.15865＝50.768≈51，所以估計這320個社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數(shù)為51．(3)由頻數(shù)分布表知，8個“超標”社區(qū)中這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以Y的可能取值為1，2，3，4，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(4,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(1,14)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(3,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(3,7)，P(Y＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(3,7)，P(Y＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,4),C\o\al(5,8))＝eq\f(1,14)，所以Y的分布列為Y1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)所以E(Y)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)．14．2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”．某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9：20～10：40這一時間段內通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20～9：40記作[20,40)，9：40～10：00記作[40,60)，10：00～10：20記作[60,80)，10：20～10：40記作[80,100)，例如：10點04分，記作時刻64.(1)估計這600輛車在9：20～10：40時間內通過該收費站點的時刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9：20～10：00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列；(3)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9：20～10：40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，σ2用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)．假如4日全天共有1000輛車通過該收費站點，估計在9：46～10：40之間通過的車輛數(shù)(結果保留到整數(shù))．附：若隨機變量T服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤T≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)≈0.9973.14．解析(1)這600輛車在9：20～10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)由頻率分布直方圖和分層隨機抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數(shù)就是位于時間分組中在[20,60)這一區(qū)間內的車輛數(shù)，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能的取值為0,1,2,3,4.所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210).所以X的分布列為X01234Peq\f(1,14)eq\f(8,21)eq\f(3,7)eq\f(4,35)eq\f(1,210)(3)由(1)得μ＝64，σeq\o\al(2,車輛)＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估計在9：46～10：40之間通過的車輛數(shù)也就是在[46,100)內通過的車輛數(shù)，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝eq\f(P(μ－σ≤T≤μ＋σ),2)＋eq\f(P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ),2)≈0.8186.所以估計在9：46～10：40之間通過的車輛數(shù)為1000×0.8186≈819.15．面對新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命帶來的創(chuàng)新機遇，某企業(yè)對現(xiàn)有機床進行更新?lián)Q代，購進一批新機床．設機床生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位：mm)．(1)現(xiàn)有舊機床生產(chǎn)的零件10個，其中直徑大于124mm的有3個．若從中隨機抽取4個，記ξ表示取出的零件中直徑大于124mm的零件的個數(shù)，求ξ的概率分布列及數(shù)學期望E(ξ)；(2)若新機床生產(chǎn)的零件直徑X～N(120，4)，從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于124mm的概率．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，0.977210≈0.7940，0.954410≈0.6271.15．解析(1)由題知，ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～H(10，3，4)．P(ξ＝0)＝eq\f(C30C74,C104)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C31C73,C104)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C32C72,C104)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C33C71,C104)＝eq\f(1,30)，所以ξ的概率分布列為：ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝1.2.(2)記“至少有一個零件直徑大于124mm”為事件A，因為X～N(120，4)，所以μ＝120，σ＝2，所以P(X>124)＝eq\f(1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ),2)＝eq\f(1－0.9544,2)＝0.0228，所以P(X≤124)＝1－0.0228＝0.9772，所以P(A)＝1－0.977210≈1－0.7940＝0.206.所以至少有一個零件直徑大于124mm的概率為0.206.16．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定到2020年年底，實施生活垃圾強制分類的城市，生活垃圾回收利用率要達到35%以上．某市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進行調查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾量超過28噸/天的確定為“超標”社區(qū)．垃圾量X/噸[12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)[24.5，27.5)[27.5，30.5)[30.5，33.5]頻數(shù)56912864(1)通過頻數(shù)分布表估算這50個社區(qū)這一天的垃圾量的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，精確到0.1)；(2)若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為(1)中的樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s＝5.2.請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)；(3)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調查．現(xiàn)計劃在這8個“超標”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調查，設Y為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望．(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)16．解析(1)由頻數(shù)分布表得，平均值為eq\f(14×5＋17×6＋20×9＋23×12＋26×8＋29×6＋32×4,50)＝22.76≈22.8(噸)，所以這50個社區(qū)這一天的垃圾量的平均值為22.8噸．(2)由(1)知μ＝22.8，因為s＝5.2，所以σ＝s＝5.2，P(X>28)＝P(X>μ＋σ)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，因為320×0.1587＝50.784≈51，所以估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)為51.(3)由頻數(shù)分布表知，8個“超標”社區(qū)中這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以Y的所有可能取值為1，2，3，4.P(Y＝1)＝eq\f(C41C44,C85)＝eq\f(1,14)，P(Y＝2)＝eq\f(C42C43,C85)＝eq\f(3,7)，P(Y＝3)＝eq\f(C43C42,C85)＝eq\f(3,7)，P(Y＝4)＝eq\f(C44C41,C85)＝eq\f(1,14).所以Y的分布列為：Y1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)所以E(Y)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).17．某市2020年年初新增加了甲、乙兩家專門生產(chǎn)消毒液的工廠，質檢部門現(xiàn)從這兩家工廠中各隨機抽取了100瓶消毒液，檢測其質量指標值，得到甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的頻率分布直方圖如圖所示，乙廠所生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的頻數(shù)分布表如下表所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表，視頻率為概率)．質量指標值[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)頻數(shù)2010301525(1)規(guī)定：消毒液的質量指標值越高，消毒液的質量越好．已求得甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的中位數(shù)為eq\f(80,3)，乙廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的平均數(shù)為26.5，分別求甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的平均數(shù)以及乙廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的中位數(shù)，并針對這兩家工廠生產(chǎn)的消毒液的質量情況寫出兩條統(tǒng)計結論；(2)甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值Z近似地服從正態(tài)分布Ν(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，并已求得σ≈11.95.該廠決定將消毒液分為A，B，C三個等級，其中質量指標值Z不高于2.6的為C級，高于38.45的為A級，其余為B級，請利用該正態(tài)分布模型解決下列問題．(ⅰ)甲廠近期生產(chǎn)了10萬瓶消毒液，試估計其中B級消毒液的總瓶數(shù)．(ⅱ)已知每瓶消毒液的等級與出廠價X(單位：元)的關系如下表所示．等級ABC出廠價X302516假定甲廠半年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為4000萬元，問：甲廠能否在半年之內收回投資？試說明理由．附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9974.17．解析(1)甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝(5×0.01＋15×0.02＋25×0.03＋35×0.025＋45×0.015)×10＝26.5.設乙廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的中位數(shù)為n，則0.2＋0.1＋(n－20)×0.03＝0.5，解得n＝eq\f(80,3).統(tǒng)計結論：①兩家工廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的平均數(shù)相等，從這個角度看這兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質量相當．②由數(shù)據(jù)波動的情況可知，乙廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的方差，說明甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量比乙廠的更穩(wěn)定．③兩家工廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的平均數(shù)相同，但乙廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的方差，所以甲廠生產(chǎn)的消毒液更好．④兩家工廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的眾數(shù)均為25.⑤兩家工廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值的中位數(shù)均為eq\f(80,3).⑥甲廠生產(chǎn)的消毒液的質量指標值集中在平均數(shù)附近，乙廠生產(chǎn)的消毒液中質量指標值特別小和質量指標值特別大的較多．(答案不唯一，任意寫出兩條即可，其他答案言之有理也可以)(2)(ⅰ)P(2.6<Z≤38.45)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝0.8185，100000×0.8185＝81850(瓶)，可估計甲廠生產(chǎn)的這10萬瓶消毒液中，B級消毒液有81850瓶．(ⅱ)設每瓶消毒液的利潤為Y元，則Y的所有可能取值為10，5，－4，P(Y＝10)＝P(Z>38.45)＝P(Z>μ＋σ)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，由(ⅰ)知P(Y＝5)＝P(2.6<Z≤38.45)＝0.8185，P(Y＝－4)＝1－0.8185－0.1587＝0.0228，故Y的分布列為：Y105－4P0.15870.81850.0228所以每瓶消毒液的平均利潤為E(Y)＝10×0.1587＋5×0.8185－4×0.0228＝5.5883(元)，故生產(chǎn)半年消毒液所獲利潤為1000×5.5883＝5588.3(萬元)，而5588.3>4000，所以甲廠能在半年之內收回投資．18．某乒乓球教練為了解某同學近期的訓練效果，隨機記錄了該同學40局接球訓練成績，每局訓練時教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學接球成功得1分，否則不得分，且每局訓練結果相互獨立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表．①求該同學40局接球訓練成績的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))；②若該同學的接球訓練成績X近似地服從正態(tài)分布N(μ，100)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，求P(54<X<64)的值；(2)為了提高該同學的訓練興趣，教練與他進行比賽．一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學得分達到80分為獲勝，否則教練獲勝．若有人獲勝達3局，則比賽結束，記比賽的局數(shù)為Y.以頻率分布直方圖中該同學獲勝的頻率作為概率，求E(Y)．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.18．解析(1)①eq\o(x,\s\up6(－))＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85×0.2＋95×0.05＝74.②由(1)得μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝74，所以X～N(74，100)，得P(64<X<84)＝0.6826，P(54<X<94)＝0.9544，所以P(54<X<64)＝eq\f(P（54<X<94）－P（64<X<84）,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359.(2)設“該同學一局比賽獲勝”為事件A，則P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝eq\f(1,4).Y的可能取值為3，4，5，P(Y＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,16)，P(Y＝4)＝C32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq