第05章 時(shí)間序列模型

第五章時(shí)間序列模型關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)測和檢驗(yàn)我們已經(jīng)在前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時(shí)間序列模型的估計(jì)和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法，第9章我們還會(huì)討論時(shí)間序列的向量自回歸模型。這一部分屬于動(dòng)態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。通常是運(yùn)用時(shí)間序列的過去值、當(dāng)期值及滯后擾動(dòng)項(xiàng)的加權(quán)和建立模型，來“解釋”時(shí)間序列的變化規(guī)律。2在時(shí)間序列模型的發(fā)展過程中，一個(gè)重要的特征是對統(tǒng)計(jì)均衡關(guān)系做某種形式的假設(shè)，其中一種非常特殊的假設(shè)就是平穩(wěn)性的假設(shè)。通常一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列能夠有效地用其均值、方差和自相關(guān)函數(shù)加以描述。本章首先通過討論回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)通常會(huì)存在的序列相關(guān)性問題，介紹如何應(yīng)用時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模方法，修正擾動(dòng)項(xiàng)序列的自相關(guān)性。進(jìn)一步討論時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型），并且討論它們的具體形式、估計(jì)及識別方法。3由于傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型只能描述平穩(wěn)時(shí)間序列的變化規(guī)律，而大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，因此，由20世紀(jì)80年代初Granger提出的協(xié)整概念，引發(fā)了非平穩(wěn)時(shí)間序列建模從理論到實(shí)踐的飛速發(fā)展。本章還介紹了非平穩(wěn)時(shí)間序列的單位根檢驗(yàn)方法、ARIMA模型的建模方法、協(xié)整理論的基本思想及誤差修正模型。§5.1序列相關(guān)及其檢驗(yàn)第3章在對擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線性回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測問題。如果線性回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)ut滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是線性無偏最優(yōu)的。但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng)項(xiàng)ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模型估計(jì)問題。5§序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果對于線性回歸模型()隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為()如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為：()即對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性(serialcorrelation)。由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0,同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為：()特別的，如果僅存在()稱為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。7如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為：使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信；回歸得到的參數(shù)估計(jì)量的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信。①在線性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的；8EViews提供了檢測序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。§序列相關(guān)的檢驗(yàn)方法9EViews提供了以下3種檢測序列相關(guān)的方法。1.D[_]W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量(簡稱D[_]W統(tǒng)計(jì)量)用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程：()D[_]W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：？=0,備選假設(shè)是??0。10如果序列不相關(guān)，近。如果存在正序列相關(guān)，2。如果存在負(fù)序列相關(guān)，?4之間。正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對于有大于50個(gè)觀測值和較少解釋變量的方程，.5的情況，說明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。11Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有三個(gè)主要不足:1.D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。2.回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再有效。3.僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法:相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量、Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場合。2.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量1.自相關(guān)系數(shù)我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)序列相關(guān)。時(shí)間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì)()其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)。稱rk為時(shí)間序列ut的自相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì)。它告訴我們在序列ut的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。132.偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1,ut-2,…，ut-k-1的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)?k,k度量。在k階滯后下估計(jì)偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下()其中：rk是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。()這是偏自相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)。14要得到?k,k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸t=1,2,?,T()因此，滯后k階的偏自相關(guān)系數(shù)是當(dāng)ut對ut-1，…，ut-k作回歸時(shí)ut-k的系數(shù)。稱之為偏相關(guān)是因?yàn)樗攘苛薻期間距的相關(guān)而不考慮k-1期的相關(guān)。我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)，以及Ljung-BoxQ-統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān)。Q-統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為：其中：rj是殘差序列的j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。16p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在？階自相關(guān)。如果Q-統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q-統(tǒng)計(jì)量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。17反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量超過設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于。-統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度p來估算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計(jì)量有效的重要因素。在EViews軟件中的操作方法：在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。18例5.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性考慮美國的一個(gè)投資方程。美國的GNP和國內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100）,利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投資；它們是通過將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實(shí)際利息率的近似值r則是通過貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年?1984年，建立如下線性回歸方程：t=1,2,?,T19應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：t=(-1.32)(154.25)R2=0.80D.W.=0.94虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5[%]的情形下與零沒有顯著區(qū)別。本例1階的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在1階序列相關(guān)。1階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值很小，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在一階序列相關(guān)。選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會(huì)產(chǎn)生如下結(jié)果：213.序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，P為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。22（1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et（）（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到（）這是對原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸°LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和TXR2統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量是對式()所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗(yàn)。TXR2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測值個(gè)數(shù)T乘以回歸方程()的R2。一般情況下，TXR2統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn)的?2(p)分布。23在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。在EView軟件中的操作方法：選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。24LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5[%]的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。例5.1(續(xù))序列相關(guān)LM檢驗(yàn)25例5.2:含滯后因變量的回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的檢驗(yàn)考慮美國消費(fèi)CS和GDP及前期消費(fèi)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)期間：1947年第1季度?1995年第1季度，數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：t=1,2,?,T應(yīng)用最小二乘法得到的估