第二章隨機(jī)變量精選課件

第二章隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性條件分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量1

關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．22.1隨機(jī)變量的概念(p24)定義.

設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機(jī)變量的特點(diǎn):

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件2.1隨機(jī)變量的概念(p24)定義.設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣3?請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：①將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，B={有2個(gè)空格}，C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D={試驗(yàn)成功一次}，F(xiàn)={試驗(yàn)至少成功一次}，G={至多成功3次}?請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下4隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類：52.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …2.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,6(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑。現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性質(zhì)(1)pk0,k＝1,2,…;例1設(shè)袋中7例2.某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。解：設(shè)Ai第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨(dú)立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

例2.某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X8·幾個(gè)常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.(0-1)分布(p26)若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或·幾個(gè)常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概9(P27)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為2.(p27)定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).(P27)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服10Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.SX={0,1,2,3,4,5},X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？特別，當(dāng)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(分布函數(shù)相同)時(shí)，則有長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率012答:P{X0}=0現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。上題用泊松定理取=np＝(400)(0.例4設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,P(Ai)=p,i=1,2,…5.上公式推求Y的密度函數(shù)。(2)的大小直接影響概率的分布XYy1y2…yj…V＝max(X,Y)例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.例3.從某大學(xué)到火車站途11例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理(p28)設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解

設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…例4.某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，12上題用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)上題用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,13泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，14例5.設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。

解:由題意,例5.設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一15例6.進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。解:m=1時(shí),m>1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且

在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次}例6.進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，解:m=1時(shí),16Xn)的k（1k<n)維邊緣(假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)火車站時(shí)停止)(2)的大小直接影響概率的分布03/103/10正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布事實(shí)上，對n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)若X～f(x)＝五．n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性(p51)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。越小，曲線越陡峻，。三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.以Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù),求Y的分布律.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為若X～f(x)＝想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，對消費(fèi)者來說，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘}Xn)的k（1k<n)維邊緣想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特172.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義(P29)設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.18二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29)1、單調(diào)不減性：若x119一般地，對離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。一般地，對離散型隨機(jī)變量例1設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解20例2

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1例2向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定21用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，對非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？?ab用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，?ab222.4連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度

1.定義(p33)

對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實(shí)數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)2.4連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度1.定義(23密度函數(shù)的幾何意義為密度函數(shù)的幾何意義為24事實(shí)上，對n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)為Y＝y(tǒng)j的條件下，X的條件分布律;j＝，j＝1,2,…進(jìn)一步地，若X1,X2,…,Xn獨(dú)立且具相同的密度函數(shù)f(x)，則M和N的密度函數(shù)分別由以下二式表出則可先求Y的分布函數(shù):P{X＝xi}＝pi.P(Ai)=p,i=1,2,…5.則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。XYy1y2…yj…設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘過時(shí)不候。V＝max(X,Y)或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。，則P{Y≥1}=7設(shè)(X1,,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…，Ym)相互獨(dú)立，則Xi(i=1,2,…,n))與Yi(i=1,2,…,m)相互獨(dú)立；X 1 0 Y 1 0為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)；5一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對任意的(x1,x2,…,xn)Rn，2.密度函數(shù)的性質(zhì)(p34)(1)非負(fù)性f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

EX設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:事實(shí)上，對n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，2.25(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則EX設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f(x)(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則EX設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)26（4）對任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是（4）對任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，27P(35)例2.3.2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}P(35)例2.3.2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為28二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.均勻分布(p36)若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.均勻分布(p36)則稱X在(a29例.長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率1545解：設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)例.長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客302.指數(shù)分布(p36)若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為2.指數(shù)分布(p36)則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。31例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布解32例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，設(shè)[0，t]時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當(dāng)t≤0時(shí)，當(dāng)t>0時(shí)，=1-{在t時(shí)刻之前無汽車過橋}于是例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，解當(dāng)t≤0時(shí)，當(dāng)t33正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布ABA，B間真實(shí)距離為，測量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上3.正態(tài)分布ABA，34其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機(jī)變量其中為實(shí)數(shù)，>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)35

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=對稱；(p38) f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：(1)單峰對稱正態(tài)分布有兩個(gè)特性：36(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布(2)的大小直接影響概率的分布374.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p38)

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p38)38分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為39一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的40EX設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?P(39)例2.3.5.設(shè)XN(,2),求P{-3<X<+3}本題結(jié)果稱為3原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.正態(tài)分布表EX設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.41(p67)14一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率.解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中正態(tài)分布表(p67)14一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布42一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律

2.5一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(p55)設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律2.5一維隨機(jī)變量函數(shù)的分43或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）一般地XPkY=g(X)或一般地XPkY=g(X)44(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,22),P{-2.(2)已知該電子元件已使用了1.FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}Xn)的k（1k<n)維邊緣已知(X,Y)的分布函數(shù)為定義(p33)對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實(shí)數(shù)x，都有為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量(X1,X2,.設(shè)(X,Y)的概率密度為為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。同理，對固定的i,pi.Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,.對于離散型隨機(jī)變量的情形，若對任意整數(shù)xn)FY(y1,y2,…ym)Pqp對任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有記作X~U(a,b)一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律已知隨機(jī)變量X的概率密度為二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、一般方法(p56)若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“分布函數(shù)法”(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)45例1.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當(dāng)y<0時(shí)當(dāng)0≤y<1時(shí)當(dāng)y≥1時(shí)例1.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。46例2.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度為

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)例2.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)472、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則

注：1只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。2注意定義域的選擇其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).2、公式法：一般地注：1只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)48例3.已知XN(,2),求

解：的概率密度關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為故例3.已知XN(,2),求解：的概率密度關(guān)于49例4設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為故而故例4設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠050小結(jié).小結(jié).51習(xí)題課一、填空：1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（2,p）的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)（3,p）的二項(xiàng)分布，若，則P{Y≥1}=

習(xí)題課一、填空：522.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為fY(y)=

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X533.設(shè)隨機(jī)變量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.3，則P(X<0)=3.設(shè)隨機(jī)變量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.354二.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.以Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù),求Y的分布律.(假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)火車站時(shí)停止)二.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇55三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的骰子，扔出幾點(diǎn)就對靶獨(dú)立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的56四.已知隨機(jī)變量X的概率密度為求：Y=1-X2的概率密度四.已知隨機(jī)變量X的概率密度為求：Y=1-X2的概率密度57二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。例1設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)x+y=zx+yz一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,(2)歸一性：二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)(2)的大小直接影響概率的分布X 1 0 Y 1 0X01同理，對固定的i,pi.yV＝max(X,Y)注：1只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)2.6二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

一、

多維隨機(jī)變量1.定義(p41)將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機(jī)變量。一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)2.6二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布58

(p41)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2,則稱F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。二.聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：分布函數(shù)F()表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域中的概率。如圖陰影部分：(p41)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,59對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<60分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)且(1)歸一性

對任意(x,y)R2,0F(x,y)1,分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)且(1)61

(2)單調(diào)不減

對任意yR,當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)；

對任意xR,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)

對任意xR,yR,

(2)單調(diào)不減(3)右連續(xù)對任意x62(4)矩形不等式

對于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。(4)矩形不等式反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,63例2.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:例2.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B64三.聯(lián)合分布律

(P42)若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取至多可列個(gè)值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為

二維離散型隨機(jī)變量。若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，三.聯(lián)合分布律(P42)若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取至65XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................聯(lián)合分布律的性質(zhì)(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:P43XYy1y2…yj66例3.(P43)袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010例3.(P43)袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，67四.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1、定義p44

對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使對(x,y)R2，其分布函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2四.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1、定義p44則稱68特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。2：隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是(p49)對于離散型隨機(jī)變量的情形，若對任意整數(shù)上題用泊松定理取=np＝(400)(0.fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布(p45)求X、Y的邊緣分布律。(1)歸一性對任意(x,y)R2,0F(x,y)1,電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布(p45)設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為2、聯(lián)合密度f(x,y)的性質(zhì)(p44)泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；故關(guān)于X和Y的分布律分別為：某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，2、聯(lián)合密度f(x,y)的性質(zhì)(p44)(1)非負(fù)性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)歸一性：反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f(x,y)，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。此外，f(x,y)還有下述性質(zhì)(3)若f(x,y)在(x,y)R2處連續(xù)，則有特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=12、聯(lián)合密度f(x,69(4)對于任意平面區(qū)域GR2,EX設(shè)求:P{X>Y}G(4)對于任意平面區(qū)域GR2,EX設(shè)求70求：(1)常數(shù)A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內(nèi)的概率。

例4.設(shè)解(1)由歸一性求：(1)常數(shù)A；(2)F(1,1)；例4.設(shè)解(171(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內(nèi)的概率。解(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,72

3.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布(p45)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布，對D內(nèi)任意區(qū)域G，有3.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻73例5.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)例5.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，74其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、||<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布N(1,2,1,2,)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為(P101)其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、||<1，75分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，F(xiàn)(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)稱為的n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。定義2.4.6.n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對任意的n元立方體分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。定義2.4.6.76定義2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。定義2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值77求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} EX:隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為xyD答:P{X0}=0求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Y78FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).

2.7.邊緣分布與獨(dú)立性

一、邊緣分布函數(shù)(p46)FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè)(某些)低維分量的分布。FY(y)＝F(+,y)＝79例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)。例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)80二、邊緣分布律若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為(p47)(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，i,j＝1,2,…則稱P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律；P{Y＝y(tǒng)j}＝p.j＝，j＝1,2,…為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。二、邊緣分布律若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為(p47)P{81例2.已知(X,Y)的分布律為x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的邊緣分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故關(guān)于X和Y的分布律分別為：X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5例2.已知(X,Y)的分布律為解： 故關(guān)于X和Y82三、邊緣密度函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。設(shè)(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,則稱(p48)

為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)；同理，稱易知N(1,2,12,22,)的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N(1,12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N(2,22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。三、邊緣密度函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。83例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X的邊緣概率密度解:(1)由歸一性例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X84設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度

x=yx=-yEX設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，x=yx=-yEX85四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義2.4.1稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，如果對任意實(shí)數(shù)a<b,c<d，有(p49)p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}與事件{c<Yd}獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立。定理2.4.2：隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是(p49) F(x,y)=FX(x)FY(y)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義2.4.1稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立86定理2.4.3.(p50)設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4.(p50)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每一對可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可定理2.4.3.(p50)設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量87EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨(dú)立例(p50).已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為且知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。例4.(p51)甲乙約定8:009:00在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘過時(shí)不候。求兩人能見面的概率。EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨(dú)立例(p50)88定義.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2）的邊緣分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性(p51)則稱X1,X2,...Xn相互獨(dú)立，或稱(X1,X2,...Xn)是獨(dú)立的。定義.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為89對于離散型隨機(jī)變量的情形，若對任意整數(shù)i1,i2,…,in及實(shí)數(shù)有則稱離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立。

設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對任意的(x1,x2,…,xn)Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。對于離散型隨機(jī)變量的情形，若對任意整數(shù)則稱離散型隨機(jī)變量X190定義2.4.6.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...xn)；m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym組成的n+m維隨機(jī)變量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)則稱n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…Ym)獨(dú)立。定義2.4.6.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的91定理2.4.7設(shè)(X1,,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…，Ym)相互獨(dú)立，則Xi(i=1,2,…,n))與Yi(i=1,2,…,m)相互獨(dú)立；又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,,X2,…,Xn)與g(Y1,Y2,…，Ym)相互獨(dú)立.定理2.4.7設(shè)(X1,,X2,…,Xn)與(Y1,92設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，X和Y的邊緣分布律分別為2.8條件分布

一.離散型隨機(jī)變量的條件分布律設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為2.8條件分布

一.離散型93為Y＝y(tǒng)j的條件下，X的條件分布律;若對固定的j,p.j>0,則稱同理，對固定的i,pi.

>0,稱為X＝xi的條件下，Y的條件分布律;為Y＝y(tǒng)j的條件下，X的條件分布律;若對固定的j,p.j94EX.設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.EX.設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲95二連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度

定義.給定y，設(shè)對任意固定的正數(shù)>0，極限存在，則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數(shù).記作可證當(dāng)時(shí)二連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度

定義.給定y，設(shè)對任意固96若記為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3.3)知,當(dāng)時(shí)，.類似定義，當(dāng)時(shí)若記為在Y=y條件97例2.已知(X,Y)的概率密度為(1)求條件概率密度(2)求條件概率xy1解:=…p55例2.已知(X,Y)的概率密度為(1)求條件概率密度(2)求982.8多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或2.8多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的99

EX

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且均服從0-1分布，其分布律均為X

0

1

Pqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。EX設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且均服從0-100(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X,Y)U＝min(X,Y)011201110001VW01012000(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝101二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法(p60)若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),則可先求Y的分布函數(shù):然后再求出Y的密度函數(shù):二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法(p1022、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

若X與Y相互獨(dú)立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù)

2、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)z若X與Y相互獨(dú)立，則Z103例1.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，...,Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(i,i2),i=1,...,n,則p62例1.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=104例2.卡車裝運(yùn)水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從N(50,2.52)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過0.05.解:設(shè)最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥的重量.則由題意,令查表得例2.卡車裝運(yùn)水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從N(50,105(2)商的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝的密度。

y

G1

0x

G2特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，上式可化為

其中fX(x),fY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。

(2)商的分布y特別106

3、極大(小)值的分布設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，記M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}則，M和N的分布函數(shù)分別為：FM(z)＝F1(z)…Fn(z)3、極大(小)值的分布FM(z)＝F1(z)…107

特別，當(dāng)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(分布函數(shù)相同)時(shí)，則有

FM(z)＝[F(z)]n;FN(z)＝1－[1－F(z)]n.

進(jìn)一步地，若X1,X2,…,Xn獨(dú)立且具相同的密度函數(shù)f(x)，則M和N的密度函數(shù)分別由以下二式表出

fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；

fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).

特別，當(dāng)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(108例3.設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián)，(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為X與Y，已知它們的概率密度分別為其中>0，>0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度．例3.設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分109小結(jié)小結(jié)110第二章隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性條件分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量111

關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．1122.1隨機(jī)變量的概念(p24)定義.

設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機(jī)變量的特點(diǎn):

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件2.1隨機(jī)變量的概念(p24)定義.設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣113?請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：①將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，B={有2個(gè)空格}，C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D={試驗(yàn)成功一次}，F(xiàn)={試驗(yàn)至少成功一次}，G={至多成功3次}?請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下114隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類：1152.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …2.2離散型隨機(jī)變量(P25)定義若隨機(jī)變量X取值x1,116(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性質(zhì)(1)pk0,k＝1,2,…;例1設(shè)袋中117例2.某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。解：設(shè)Ai第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨(dú)立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

例2.某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X118·幾個(gè)常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.(0-1)分布(p26)若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或·幾個(gè)常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概119(P27)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為2.(p27)定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).(P27)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服120Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.SX={0,1,2,3,4,5},X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？特別，當(dāng)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(分布函數(shù)相同)時(shí)，則有長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率012答:P{X0}=0現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。上題用泊松定理取=np＝(400)(0.例4設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,P(Ai)=p,i=1,2,…5.上公式推求Y的密度函數(shù)。(2)的大小直接影響概率的分布XYy1y2…yj…V＝max(X,Y)例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.例3.從某大學(xué)到火車站途121例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理(p28)設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解

設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…例4.某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，122上題用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)上題用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,123泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，124例5.設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。

解:由題意,例5.設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一125例6.進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。解:m=1時(shí),m>1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且

在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次}例6.進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，解:m=1時(shí),126Xn)的k（1k<n)維邊緣(假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)火車站時(shí)停止)(2)的大小直接影響概率的分布03/103/10正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布事實(shí)上，對n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)若X～f(x)＝五．n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性(p51)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。越小，曲線越陡峻，。三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.以Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù),求Y的分布律.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為若X～f(x)＝想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，對消費(fèi)者來說，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘}Xn)的k（1k<n)維邊緣想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特1272.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義(P29)設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.128二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29)1、單調(diào)不減性：若x1129一般地，對離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表